FLEXÃO NORMAL COMPOSTA SLIDES 2017

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Profa. Dra. Rosilene de Fátima Vieira
2017
FACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO
GRADUAÇÃO
FLEXÃO NORMAL COMPOSTA
FLEXO COMPRESSÃO
2
FNC
1 – Introdução
Flexão normal composta 
Flexão normal → é aquela em que o plano 
de flexão (ou plano de carregamento) 
contém um dos eixos principais de inércia 
da seção transversal 
Composta → com a presença da força 
normal de compressão
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FNC
Equações de equilíbrio
Os esforços estão definidos em relação 
ao CG da seção...
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FNC
Pode-se admitir que Md = Nd ⋅ e
Excentricidade
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FNC
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6
FNC
Os esforços agora estão definidos em 
relação ao CG das armaduras tracionada As
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FNC
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2.Flexão normal composta com grande 
excentricidade
É aquela em que uma das armaduras é 
tracionada.
Ocorre nos domínios 2, 3 e 4
Começa-se em d’, pois se a LN estiver acima de 
d’ tem-se Rs’ de tração.
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FNC COM GRANDE EXCENTRICIDADE
Domínios 
2, 3 e 4 
Caracteriza 
comportamento de flexão 
tem-se tração e 
compressão na seção 
Excentricidade 
(e) grande
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FNC COM GRANDE EXCENTRICIDADE
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FNC COM GRANDE EXCENTRICIDADE
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FNC COM GRANDE EXCENTRICIDADE
Substituindo o valor de y tem-se que:
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FNC COM GRANDE EXCENTRICIDADE
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FNC COM GRANDE EXCENTRICIDADE
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8
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FNC COM GRANDE EXCENTRICIDADE
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FNC COM GRANDE EXCENTRICIDADE
Tem-se duas equações e o objetivo é o 
cálculo de As e As´
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FNC COM GRANDE EXCENTRICIDADE
•Têm-se duas equações e duas incógnitas caso
se saiba a posição da LN, σs e σs’.
•Se for conhecido a posição da LN pode-se
descobrir qual é o domínio:
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FNC COM GRANDE EXCENTRICIDADE
a) Se domínio 2 ou 3 tem-se σs=fyd;
b) Se domínio 4 tem-se σs pela Lei de Hooke.
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FNC COM GRANDE EXCENTRICIDADE
USO DE TABELAS
As equações de equilíbrio 
devem ser transformadas em 
formas adimensionais
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FNC COM GRANDE EXCENTRICIDADE
USO DE TABELAS
1ª. Equação → Para o equilíbrio de forças 
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FNC COM GRANDE EXCENTRICIDADE
USO DE TABELAS
1ª. Equação → Para o equilíbrio de forças 
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FNC COM GRANDE EXCENTRICIDADE
USO DE TABELAS
Tabela 4 Tabela 5 e 6
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FNC COM GRANDE EXCENTRICIDADE
USO DE TABELAS
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FNC COM GRANDE EXCENTRICIDADE
USO DE TABELAS
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FNC COM GRANDE EXCENTRICIDADE
USO DE TABELAS
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FNC COM GRANDE EXCENTRICIDADE
USO DE TABELAS
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FNC COM GRANDE EXCENTRICIDADE
USO DE TABELAS
Tabela 4 Tabela 6
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FNC COM GRANDE EXCENTRICIDADE
USO DE TABELAS
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FNC COM GRANDE EXCENTRICIDADE
USO DE TABELAS
OBS:
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FNC COM GRANDE EXCENTRICIDADE
USO DE TABELAS
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FNC COM GRANDE EXCENTRICIDADE
USO DE TABELAS
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FNC COM GRANDE EXCENTRICIDADE
USO DE TABELAS
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FNC COM PEQUENA EXCENTRICIDADE
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FNC COM PEQUENA EXCENTRICIDADE
USO DE TABELAS
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FNC COM PEQUENA EXCENTRICIDADE
USO DE TABELAS
OBS:
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FNC COM GRANDE EXCENTRICIDADE
USO DE TABELAS
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FNC COM PEQUENA EXCENTRICIDADE
USO DE TABELAS
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FNC COM PEQUENA EXCENTRICIDADE
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FNC COMPRESSÃO NÃO UNIFORME
É a flexão composta em que toda a seção 
transversal da peça é comprimida inclusive as 
armaduras 
(força normal dentro do núcleo central)
As → armadura menos comprimida;
As’ → armadura mais comprimida.
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FNC COMPRESSÃO NÃO UNIFORME
Ocorre no domínio 5
Portanto:
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FNC COMPRESSÃO NÃO UNIFORME
Na compressão não uniforme o dimensionamento é, em 
geral, feito com armadura dupla. 
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FNC COMPRESSÃO NÃO UNIFORME
Dividi-se a compressão não uniforme 
em dois casos:
Portanto, o 
intervalo será: 
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FNC COMPRESSÃO NÃO UNIFORME
As equações de equilíbrio são as mesmas da 
flexão normal composta com pequena 
excentricidade. 
No dimensionamento procede-se do mesmo 
modo que para aquele caso.
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FNC COMPRESSÃO NÃO UNIFORME
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FNC COMPRESSÃO NÃO UNIFORME
2o CASO → 1,25⋅(1+η) ≤ βx < +∞
y = h = cte
Limite da seção transversal de concreto ymax=h
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FNC COMPRESSÃO NÃO UNIFORME
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FNC COMPRESSÃO NÃO UNIFORME
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48Tabela 7
Tabela 8 e 9
FNC COMPRESSÃO NÃO UNIFORME
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FNC COMPRESSÃO NÃO UNIFORME
Portanto pode se escrever a equação (I) na sua 
forma adimensional para seção com armadura 
dupla da seguinte forma:
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FNC COMPRESSÃO NÃO UNIFORME
Tabela 7 Tabela 9
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FNC COMPRESSÃO NÃO UNIFORME
Portanto pode se escrever a equação (II) na sua forma 
adimensional para seção com armadura dupla da 
seguinte forma:
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FNC COMPRESSÃO NÃO UNIFORME
OBS:
a) Tabelas para o dimensionamento de flexão normal
composta com pequena excentricidade (Domínio 5):
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CASOS DA INTERAÇÃO M-N
NA FLEXO-COMPRESSÃO
Pode-se estabelecer um intervalo viável de βx através
do estudo de µ e µsd
μ=0,68∙βx∙(1-0,4∙βx) 
Para βx=0 
μ=0,68∙βx∙(1-0,4∙βx)=0 
Para βx=η 
μ=0,68∙η∙(1-0,4∙η) 
Equação do 2o grau
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CASOS DA INTERAÇÃO M-N
NA FLEXO-COMPRESSÃO
Para βx=1 
μ=0,68∙1∙(1-0,4∙1)=0,408 
μ=0,68∙βx∙(1-0,4∙βx) 
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CASOS DA INTERAÇÃO M-N
NA FLEXO-COMPRESSÃO
μ=0,68∙βx∙(1-0,4∙βx) 
Para vértice da parábola (ponto de máximo) 
μ=0,68∙βx-0,272∙βx
2
 
dμ
dβx
=0,68-0,544∙βx 
dμ
dβx
=0,68-0,544∙βx=0 βx = 0,680,544 =1,25 
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CASOS DA INTERAÇÃO M-N
NA FLEXO-COMPRESSÃO
μ=0,68∙βx∙(1-0,4∙βx) 
Para βx=1,25 
μ=0,68∙1,25∙(1-0,4∙1,25)=0,425 
Obs:
βx = xd =1,25 
d=
x
1,25=0,8∙x=y 
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CASOS DA INTERAÇÃO M-N
NA FLEXO-COMPRESSÃO
Para y=h Limite da seção transversal
y=0,8∙x=h x=
h
0,8 x=1,25∙h 
Dividir equação por d:
x
d =
1,25∙h
d =
1,25∙(d+d')
d 
βx=1,25∙�dd +
d'
d� =1,25∙(1+η) 
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CASOS DA INTERAÇÃO M-N
NA FLEXO-COMPRESSÃO
μ=0,68∙βx∙(1-0,4∙βx) 
βx=1,25∙(1+η) 
μ=0,68∙1,25∙(1+η)-0,272∙(1,25∙(1+η))2 
μ=0,425∙(1-η2) 
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CASOS DA INTERAÇÃO M-N
NA FLEXO-COMPRESSÃO
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CASOS DA INTERAÇÃO M-N
NA FLEXO-COMPRESSÃO
βx1=1,25 -�1,5625 - 3,6765∙μsd 
Raiz da equação 
do 2o grau para 
As’=0
βx2=1,25∙η +�1,5625∙η2 + 3,6765∙�νd∙	1-η
-μsd�
Existe duas possibilidade de solução com armadura 
simples:
•Pela 2o equação de equilíbrio:
•Pela 1o equação de equilíbrio:
Raiz da equação 
do 2o grau para 
As=0
Se não existir βx1 e βx2
não existe solução com 
armadura simples! 
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CASOS DA INTERAÇÃO M-N
NA FLEXO-COMPRESSÃO
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CASOS DA INTERAÇÃO M-N
NA FLEXO-COMPRESSÃO
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CASOS DA INTERAÇÃO M-N
NA FLEXO-COMPRESSÃO
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CASOS DA INTERAÇÃO M-N
NA FLEXO-COMPRESSÃO
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USO DE ÁBACOS
•Normal reduzida para ábaco:
•Momento reduzido para ábaco:
νd=ν= NdAc∙fcd =
Nd
bw∙h∙fcd
 
μsd=μ= MdAc∙h∙fcd =
Nd
bw∙h∙h∙fcd
 
ω= As∙fydAc∙fcd =
As∙fyd
bw∙h∙fcd
 
•Taxa mecânica de armadura para ábaco:
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Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 68
Profa. Dra. Rosilene de Fátima Vieira
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Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 69
Profa. Dra. Rosilene de Fátima Vieira
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Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 71
Profa. Dra. Rosilene de Fátima Vieira
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Vigas
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS - ABNT. NBR 6118: 
Projeto de estruturas de concreto – Procedimento. Rio de Janeiro, 2014.
FERNANDES, G. B. Solicitações normais – Cálculo no estado limite 
último. Campinas, Universidade Estadual de Campinas – UNICAMP, 
Faculdade de Engenharia Civil, Departamento de Estruturas, fev. 2006, 74p.
FERNANDES, G. B. Casos da interação M-N na flexo-compressão: Notas 
de aula. Campinas, Universidade Estadual de Campinas – UNICAMP, 
Faculdade de Engenharia Civil, Departamento de Estruturas, fev. 2006, 74p.
VENTURINI, W. S. RODRIGUES, R. O. Dimensionamento de peças 
retangulares de concreto armado solicitadas à flexão reta. São Carlos, 
Universidade de São Paulo – USP, Escola de Engenharia de São Carlos, 1987, 
133p.
Profa. Dra. Rosilene de Fátima Vieira