extra_lista-9

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Teor. Aplic. Ca´lc. 1o sem 2012
Exerc´ıcios extras lista 9
1. Calcule os limites usando a regra de L’Hoˆpital.
a) lim
x→0+
√
x ln(x) b) lim
x→+∞
e
3
√
x
x2
c) lim
x→0+
[tan(3x)]
2
ln(x)
d) lim
x→0+
(
sen(x)
x
) 1
x
e) lim
x→+∞
[
sen
(
5
x
)
+ cos
(
1
3x
)]
x
f) lim
x→+∞
(
1 +
1
ln(x)
)
x
g) lim
x→+∞
(x2 − 1)e−x2 h) lim
x→+∞
ln(ln(x))
ln(x)
i) lim
x→+∞
[ln(x)]
1
x
j) lim
x→+∞
xln[1+
1
x ] k) lim
x→0
cos(x)− 1
ex − x− 1 l) limx→0+
ln(x2 + 2x)
ln(x)
2. Calcule os limites limx→+∞
e
x
x
2 , limx→+∞
e
x
x
3 e conclua qual deve ser o valor de
limx→+∞
e
x
x
n sendo n um nu´mero natural qualquer. Como voceˆ compara o crescimento
exponencial com o crescimento polinomial no limite x→ +∞ ?
3. Calcule limx→+∞
ln(x)
x
1/n onde n e´ um nu´mero natural qualquer. Como voceˆ compara
o crescimento de ln com o crescimento de n
√
x quando x→ +∞ ?
Respostas:
1. a)0 b)+∞ c)e2 d)1 e)e5 f)+∞ g)0 h)0 i)1 j)1 k)-1 l)1. 2. Os limites sa˜o +∞, para todo n.
Crescimento exponencial supera o de qualquer polinoˆmio quando x cresce para infinito. 3. O limite e´
0 para qualquer n. O crescimento polinomial supera o crescimento logar´ıtmico quando x tende para
+∞.