extra_lista-11

Prévia do material em texto

Teor. Aplic. Ca´lc. 2o sem 2012
Exerc´ıcios extras lista 11
1. Determine as dimenso˜es do retaˆngulo de a´rea ma´xima, com a base inferior sobre
o eixo 0x. Os ve´rtices da base superior esta˜o sobre a para´bola y = 4 − x2, e o
retaˆngulo esta´ na parte interna da para´bola.
2. Calcule as dimenso˜es de uma lata cil´ındrica de 128cm3 de volume que gaste a
menor quantidade poss´ıvel de metal em sua produc¸a˜o.
3. Num triaˆngulo iso´sceles os lados iguais medem 12cm. Qual deve ser o valor do
aˆngulo compreendido entre eles para que a a´rea seja ma´xima ?
4. Encontre e classifique os pontos cr´ıticos de f(x) = x4 − 2x2 − 12. Obtenha os
pontos e valores extremos globais que existirem.
5. Fixamos uma constante p > 0. Quais as dimenso˜es do retaˆngulo de per´ımetro=p
de a´rea ma´xima?
6. Ao meio dia uma barco A esta´ a 50 milhas ao norte de um barco B, dirigindo-se
para o sul a 16 milhas por hora. O barco B esta´ indo para leste a 12 milhas por
hora. Em que instante eles ficara˜o o mais pro´ximo poss´ıvel ?
7. Entre todos os cilindros de mesmo volume V qual deles possui menor superf´ıcie ?
8. Quais as dimenso˜es de um cilindro inscrito numa esfera de raio R que tenha a
maior superf´ıcie lateral poss´ıvel ?
9. Quer se construir uma janela de formato de um retaˆngulo encimada por um
triaˆngulo equila´tero. Sendo o per´ımetro da janela de 8m, determine as dimenso˜es
da mesma que propicie a maior luminosidade.
10. Prove que para todo x > 0 vale a desigualdade
sen(x) > x− x
3
6
.
dica: mostre que a func¸a˜o g(x) = sen(x)− x + x3
6
e´ sempre positiva em ]0,+∞[.
Respostas: 1. base= 4√
3
, altura= 2
3
. 2. raio= 43√
pi
, altura= 83√
pi
. 3. pi
2
. 4. pontos cr´ıticos {−1, 0, 1}.
Ha´ dois mı´nimos globais (−1,−13) e (1,−13), na˜o ha´ ma´ximos globais. 5. Um quadrado de lado p
4
.
6. t = 2h. 7. Aquele cuja altura e´ igual ao diaˆmetro da base. 8. Altura do cilindro R
√
2. 9. base da
janela 8
6−
√
3
m, altura da parte retangular 4− 12
6−
√
3
m.