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I Lista de Exercícios – Matemática Discreta Lógica Faça os seguintes cálculos: Prove: é logicamente equivalente a x. Prove que é logicamente equivalente a . Prove que é logicamente equivalente a . Prove que é logicamente equivalente a . Prove que é logicamente equivalente a . Responda à seguinte pergunta, justificando sua resposta: “Qual a relação dos valores lógicos de duas sentenças equivalentes?” Suponha que tenhamos duas expressões booleanas que envolvam dez variáveis. Para provar que essas duas expressões são logicamente equivalentes, construímos uma tabela verdade. Quantas linhas, além da linha do cabeçalho, essa tabela teria? Como se refutaria uma equivalência lógica? Mostre que: não é logicamente equivalente a . não é logicamente equivalente a . não é logicamente equivalente a . Prove que as expressões seguintes são tautologias: . . . . . . Todas as sentenças tautológicas são equivalentes? Por quê? Prove que as expressões seguintes são contradições: . . . Todas as sentenças contraditórias são equivalentes? Por quê? Eis outra operação booleana chamada ou-exclusivo. Denota-se pelo símbolo v e é definido pela tabela seguinte: x y x v y V V F V F V F V V F F F Prove que v verifica as propriedades comutativa e associativa; isto é, prove as equivalências lógicas x v y = y v x e (x v y) v z = x v (y v z). Prove que x v y é logicamente equivalente a . (Dessa maneira, v pode expressar-se em termos das operações básicas ) Prove que x v y é logicamente equivalente a . (Trata-se de outra maneira de expressar v em termos das operações básicas ) Explique por que a operação v é chamada ou-exclusivo. Quais das frases a seguir são proposições? A lua é feita de queijo verde. Ele é um homem alto. Dois é um número primo. O jogo terminará logo? Que bom! x –(– 4 ) = 0. Construa as tabelas-verdade das proposições: “(P Q) R” e “P (Q R)”. Discuta a importância da posição dos parênteses numa proposição. Marque a alternativa correta: O conjunto pode ser representado na forma Se e se então é tal que Dados os valores-verdade A verdadeiro, B falso e C verdadeiro, qual o valor-verdade de cada uma das expressões booleanas? Quais os valores-verdade das seguintes sentenças? a. 8 é par ou 6 é ímpar. b. 8 é par e 6 é ímpar. c. 8 é ímpar ou 6 é ímpar. d. 8 é ímpar e 6 é ímpar. e. Se 8 é ímpar, então 6 é ímpar. f. Se 8 é par, então 6 é ímpar. g. Se 8 é ímpar, então 6 é par. h. h. Se 8 é ímpar e 6 é par, então 8 < 6. Diversas negativas são dadas para cada uma das seguintes afirmações. Quais são as certas? a. Mário vai viajar e jogar futebol. 1. Mário não vai jogar futebol, mas vai viajar. 2. Mário não vai viajar ou não vai jogar futebol. 3. Mário não vai viajar e nem jogar futebol. b. Luiz irá visitar seus tios ou seus avós. 1. Luiz não irá visitar seus tios ou seus avós. 2. Luiz não irá visitar seus tios e seus avós. 3. Luiz não irá visitar seus tios e nem seus avós. c. x < y e z é ímpar. 1. x > y e z é par. 2. x y e z é par. 3. x y ou z é ímpar. 4. x y ou z é par. Com o uso de letras para denotar as sentenças componentes, traduza as seguintes sentenças compostas para notação simbólica: a. Tanto ir para cama como nadar é condição suficiente para trocar de roupa; no entanto, trocar de roupa não significa que se vai nadar. b. Ou vai chover ou vai nevar, mas não ambos. c. Se Janet vencer ou perder, ela estará cansada. d. Ou Janet irá vencer ou, se perder, ficará cansada. Explique por que “ ” é uma sentença verdadeira. Seja p : “está frio” e seja q : “está chovendo”. Escreva uma sentença verbal que descreva cada proposição. � p p q p q q �� EMBED Equation.3 p p q p � Seja p : “ele é alto” e q : “ele é bonito”. Escrever cada uma das proposições na forma simbólica. Ele é alto e bonito. Ele é alto mas não bonito. É falso que ele é baixo e bonito. Ele não é alto, nem bonito. Ele é alto, ou ele é baixo e bonito. Dentre as afirmações a seguir, detecte quais não representam a idéia do que seja um número par. Um número par é um número inteiro m tal que m = 2k , para algum m é da forma 2k , para todo m = 2k. m = 2k. Determine o valor lógico das seguintes sentenças, justificando sua resposta: Existem dois números primos entre os números 22 e 32, ou Se x é um número real, então e e , ou Sejam x, y Responda às seguintes perguntas, justificando sua resposta: Se você não conhece os números x e y, e alguém afirma “x > 0 ou y > 0”, pode-se concluir que: x pode ser negativo? y pode ser zero? x pode ser negativo ou zero? y não pode ser negativo? E se essa pessoa diz “x > 0 e y < 0”, então: x ou y podem ser nulos? x e y podem ser nulos? x ou y podem ser positivos? x pode ser negativo ou nulo ou y pode ser positivo? Marque a alternativa correta para as seguintes questões. Sua resposta só é válida com a respectiva justificativa. O conjunto pode ser representado na forma � � Se são tais que , podemos afirmar: � � Se são tais que , podemos afirmar: � � Ao resolverem uma equação algébrica do segundo grau na variável x, quatro alunos escreveram suas respostas de maneiras distintas. Eles afirmaram que as raízes eram: “x = 2 e x = 3” “x = 2 ou x = 3” “x1 = 2 e x2 = 3” “x1 = 2 ou x2 = 3” Quais das respostas estão formuladas se maneira correta? Por quê? �PAGE � �PAGE �4� _1288431455.unknown _1288437652.unknown _1309110131.unknown _1309112488.unknown _1309173920.unknown _1309174052.unknown _1309174141.unknown _1312271629.unknown _1309174147.unknown _1309174086.unknown _1309174022.unknown _1309173854.unknown _1309173877.unknown _1309112538.unknown _1309112717.unknown _1309112530.unknown _1309112534.unknown _1309112526.unknown _1309112420.unknown _1309112469.unknown _1309112473.unknown _1309112425.unknown _1309110690.unknown _1309110743.unknown _1309110754.unknown _1309110777.unknown _1309110723.unknown _1309110359.unknown _1309108386.unknown _1309109248.unknown _1309109334.unknown _1309109964.unknown _1309109269.unknown _1309109153.unknown _1309109190.unknown _1309109117.unknown _1288437955.unknown _1309107987.unknown _1309108093.unknown _1309108162.unknown _1290229592.unknown _1288437742.unknown _1288437947.unknown _1288437697.unknown _1288432559.unknown _1288436211.unknown _1288436436.unknown _1288437623.unknown _1288436332.unknown _1288432586.unknown _1288432597.unknown _1288432573.unknown _1288431821.unknown _1288432137.unknown _1288432368.unknown _1288432420.unknown _1288432543.unknown _1288432202.unknown _1288431959.unknown _1288431754.unknown _1288431770.unknown _1288431716.unknown _1288430739.unknown _1288430981.unknown _1288431330.unknown _1288431426.unknown _1288431223.unknown _1288431268.unknown _1288430796.unknown _1288430682.unknown _1288430712.unknown _1288430641.unknown
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