Mat 1 - Lista exercícios semana 15

Prévia do material em texto

Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Matema´tica 1
Lista de Exerc´ıcios da Semana 15
Temas abordados : Aplicac¸o˜es da integral
Sec¸o˜es do livro:
1) Para uma func¸a˜o cont´ınua f : [a, b] → R o volume do so´lido de revoluc¸a˜o obtido pela
rotac¸a˜o do seu gra´fico em torno do eixo Ox e´ dado por V = ∫ b
a
pif(x)2dx. Calcule esse
volume no caso das func¸o˜es indicadas abaixo. Em seguida, fac¸a o gra´fico da func¸a˜o e
identifique qual o so´lido gerado pela rotac¸a˜o.
(a) f(x) = r, para x ∈ [0, h], onde h, r > 0
(b) f(x) =
r
h
x, para x ∈ [0, h], onde h, r > 0.
(c) f(x) =
√
r2 − x2, para x ∈ [−r, r], onde r > 0.
2) Seja a ≥ 0, f : [a, b]→ [0,+∞) uma func¸a˜o cont´ınua e Rf a regia˜o compreendida abaixo
do gra´fico de f e acima do eixo Ox. Quando giramos a regia˜o Rf em torno do eixo Oy
obtemos um so´lido cujo volume e´ dado por V =
∫ b
a
2pixf(x)dx. Calcule esse volume no
caso das func¸o˜es indicadas abaixo.
(a) f(x) =
√
1 + x2, para x ∈ [0, 1]
(b) f(x) = ln(x), para x ∈ [1, e]
3) Determine o volume obtido ao rotacionarmos a regia˜o abaixo do gra´fico de cada uma das
func¸o˜es abaixo em tordo do eixo indicado.
(a) f(x) =
√
x ln(4x), para x ∈ [1, 2], rotac¸a˜o em torno do eixo Ox
(b) f(x) =
1
1 + x2
, para x ∈ [0, 2], rotac¸a˜o em torno do eixo Oy
(c) f(x) = e3x, para x ∈ [0, 1
3
], rotac¸a˜o em torno do eixo Oy
(d) f(x) =
√
x cos(x2)
pi
, para x ∈ [0,
√
pi/2], rotac¸a˜o em torno do eixo Ox
4) Se f : [a, b]→ R e´ uma func¸a˜o deriva´vel enta˜o o comprimento da curva determinada pelo
gra´fico de f e´ dado pela integral
L =
∫ b
a
√
1 + f ′(x)2 dx.
Calcule esse comprimento em cada um dos casos abaixo.
(a) f(x) =
1
2
(ex + e−x), para x ∈ [0, 2]
(b) f(x) =
1
3
(x2 + 2)3/2, para x ∈ [0, 3]
Lista de Exerc´ıcios da Semana 15 - Pa´gina 1 de 6
5) Seja C uma curva no plano definida, parametricamente, por (x(t), y(t)), com a ≤ t ≤ b.
Suponha que x′ e y′ sa˜o func¸o˜es cont´ınuas que na˜o se anulam simultaneamente em [a, b]
e que a curva C e´ percorrida exatamente uma vez quando t avanc¸a de t = a para t = b.
Nessas condic¸o˜es, o comprimento L da curva e´ dado por
L =
∫ b
a
√
x′(t)2 + y′(t)2 dt.
Calcule esse comprimento em cada um dos casos abaixo.
(a) x(t) = r cos(t), y(t) = r sen(t), para t ∈ [0, pi] e r > 0
(b) x(t) = t3, y(t) = 3
2
t2, para t ∈ [0,√3]
(c) x(t) = et − t, y(t) = 4et/2, para t ∈ [0, 3]
6) Para uma func¸a˜o cont´ınua f : [a, b] → R o volume do so´lido de revoluc¸a˜o obtido pela
rotac¸a˜o do seu gra´fico em torno do eixo Ox e´ dado por
V =
∫ b
a
pif(x)2 dx.
Calcule esse volume no caso em que f(x) = xex,
definida no intervalo [0, 1], conforme ilustra a
figura ao lado.
7) A figura ao lado ilustra o gra´fico da func¸a˜o f : [0,∞) → R, f(x) = e−
√
x. A a´rea A(R)
sob esse gra´fico entre x = 0 e x = R e´ dada pela integral
A(R) =
∫ R
0
e−
√
x dx.
(a) Use uma mudanc¸a de varia´veis para transformar a integral indefinida
∫
e−
√
x dx em
uma outra cujo integrando na˜o envolva a func¸a˜o raiz quadrada.
(b) Calcule a integral do item anterior usando
integrac¸a˜o por partes.
(c) Usando os resultados anteriores, determine
explicitamente a func¸a˜o A(R).
 R O
8) Em cada um dos itens abaixo determine a expressa˜o da func¸a˜o y(x) que satisfaz as
condic¸o˜es indicadas.
(a) y′(x) = 4xex
2+1 e y(0) = 1
(b) y′(x) = x cos(2x) e o gra´fico de y passa pelo ponto (0, 2)
(c) y′′(x) = (12x + 6), o gra´fico de y passa pelo ponto (0, 13) e a inclinac¸a˜o da reta
tangente no ponto x = −1 e´ igual a 24
Lista de Exerc´ıcios da Semana 15 - Pa´gina 2 de 6
9) Suponha que a temperatura T (t) de um corpo imerso em um meio com temperatura
constante e igual a 20 seja tal que T (0) = 80 graus Celsius. Segundo a Lei do Resfriamento
de Newton, a taxa de variac¸a˜o T ′(t) e´ proporcional a` diferenc¸a entre as temperaturas T (t)
e 20. Supondo que a constante de proporcionalidade seja igual a −2, segue que
T ′(t) = −2(T (t)− 20), t > 0.
(a) A partir dos dados apresentados, determine a temperatura T (t).
(b) Determine o instante t0 em que T (t0) = 40.
(c) O que acontece com a temperatura T (t) apo´s muito tempo?
10) Uma part´ıcula de massa m > 0 se move retilineamente sob a ac¸a˜o de uma forc¸a F que e´
proporcional a` velocidade v(t) da part´ıcula e atua em sentido contra´rio ao deslocamento.
Desse modo F = −k v(t), com k > 0 constante. Supondo que v(0) = v0 > 0 resolva os
itens a seguir.
(a) De acordo com a Segunda Lei de Newton, temos que F = mv′(t), em que v′(t) e´
a acelerac¸a˜o da part´ıcula. Usando essa informac¸a˜o e a expressa˜o para F dada no
enunciado, obtenha a equac¸a˜o que relaciona m, k, v(t) e v′(t).
(b) Lembrando que a derivada de ln(v(t)) e´ igual a v′(t)/v(t), use o item anterior para
obter v(t) em termos de v0, k e m.
(c) Determine o espac¸o s(t) percorrido pela part´ıcula ate´ o instante t, supondo s(0) = 0.
(d) Calcule a distaˆncia total d percorrida pela part´ıcula, dada por d = lim
t→∞
s(t).
11) Suponha que, juntamente com o combust´ıvel, um foguete tenha massa inicial de m0 kg,
e que o combust´ıvel seja consumido a uma taxa de r kg/s. Assim, a massa do foguete
no instante t ≥ 0 e´ dada por m(t) = m0 − r t. Suponha ainda que os gases de exausta˜o
sejam ejetados a uma velocidade constante de v0 m/s em relac¸a˜o ao foguete. Nesse
caso, indicando por g a acelerac¸a˜o da gravidade e considerando valores pequenos de t, a
velocidade do foguete em relac¸a˜o a` Terra pode ser modelada por
v(t) = −g t− v0 ln
(
m(t)
m0
)
.
(a) Determine uma primitiva para a func¸a˜o ln(x) usando integrac¸a˜o
por partes.
(b) Use o item anterior e substituic¸a˜o de varia´veis para determinar
uma primitiva para a func¸a˜o ln(m(t)/m0).
(c) Determine a altura s(t) do foguete em um instante t > 0, supondo
s(0) = 0.
(d) Seja t0 o instante em que m(t0) e´ igual a 90% da massa inicial
m0. Calcule a altura do foguete no instante t0 em termos das
constantes m0, r, v0, g e ln(9/10).
Lista de Exerc´ıcios da Semana 15 - Pa´gina 3 de 6
RESPOSTAS
1) (a) pir2h (cilindro circular reto de altura h e raio da base r)
(b)
1
3
pir2 (cone circular reto de altura h e raio da base r)
(c)
4
3
pir3 (esfera de raio r)
2) (a)
4
3
√
2pi − 2
3
pi
(b)
pi
2
(e2 + 1)
3) (a) pi
(
2 ln(8)− ln 4
2
− 3
4
)
(b) pi ln(5)
(c) 1/9
(d) 1/2
4) (a) (e2 + e−2)/2
(b) 12
5) (a) 2pir (a curva aqui e´ uma circunfereˆncia de raio r centrada na origem)
(b) 7
(c) e3 + 2
6) O volume em questa˜o e´ igual a pi
∫ 1
0
x2e2xdx. A fim de obter uma primitiva para a func¸a˜o
x2e2x vamos fazer duas integrac¸o˜es por partes.
Inicialmente, escolhemos u = x2 e dv = e2xdx para obter∫
x2e2xdx =
x2
2
e2x −
∫
xe2xdx.
Na integral do lado direito escolhemos agora u = x e dv = e2xdx e obtemos∫
x2e2xdx =
x2
2
e2x − x
2
e2x +
1
2
∫
e2xdx = e2x
(
x2
2
− x
2
+
1
4
)
+K.
Denotando por G(x) a func¸a˜o do lado direito da igualdades acima podemos usar o Teo-
rema Fundamental do Ca´lculo para determinar o volume como segue
V = pi
∫ 1
0
x2e2xdx = pi(G(1)−G(0)) = pi(e
2 − 1)
4
.
7) (a) Usando a substituic¸a˜o x = t2 com t > 0, tem-se que dx = 2t dt, e portanto∫
e−
√
x dx =
∫
e−
√
t22t dt = 2
∫
te−t dt.
(b) Usando integrac¸a˜o por partes com as escolhas u = t e dv = e−tdt, tem-se que
2
∫
te−t dt = 2
[
t(−e−t)−
∫
−e−t dt
]
= 2(−te−t − e−t) + C = −2
(
t+ 1
et
)
+K.
Lista de Exerc´ıcios da Semana 15 - Pa´gina 4 de 6
(c) Voltando a` varia´vel x = t2, segue-se que
A(R) =
∫ R
0
e−
√
x dx = −2
(√
x+ 1
e
√
x
) ∣∣∣R
0
= 2− 2
(√
R + 1
e
√
R
)
.
8) (a) y(x) = 2ex
2+1 − 1
(b) y(x) =
x
2
sen(2x) +
cos(2x)4
+
7
4
(c) y(x) = 2x3 + 3x2 + 24x+ 13
9) (a) Como a temperatura inicial T (0) = 80 e´ maior que a temperatura ambiente podemos
supor que T (t) > 20 para todo tempo t > 0. Desse modo
d
dt
ln(T (t)− 20) = T
′(t)
T (t)− 20 = −2. (1)
Integrando os dois lados em relac¸a˜o a` varia´vel t e depois aplicando a func¸a˜o expo-
nencial obtemos que
T (t) = Ke−2t + 20, (2)
em que K ∈ R e´ a constante de integrac¸a˜o. Como T (0) = 80, segue que K = 60.
(b) Note que
T (t0) = 40⇔ 60e−2t0 = 20.
Aplicando a func¸a˜o logar´ıtmica na expressa˜o acima conclu´ımos que t0 =
ln 3
2
.
(c) Como queremos saber o que ocorre para tempos t muito grandes, calculamos o limite
da expressa˜o T (t) quando t→ +∞ para obter
lim
t→+∞
T (t) = lim
t→+∞
60e−2t + lim
t→+∞
20 = 20.
Assim, se t for muito grande, T (t) estara´ muito pro´ximo da temperatura ambiente 20
graus Celsius. Dizemos nesse caso que 20 e´ a temperatura de equil´ıbrio do sistema.
10) (a) Segue diretamente da comparac¸a˜o entre as expresso˜es dadas para a forc¸a F que
mv′(t) = −kv(t).
(b) Integrando a igualdade
d
dt
ln(v(t)) =
v′(t)
v(t)
= − k
m
conclu´ımos que ln v(t) = −kt/m+A1, comA1 ∈ R sendo uma constante de integrac¸a˜o.
Aplicando a func¸a˜o exponencial obtemos
v(t) = eA1e−
k
m
t = A2e
− k
m
t.
Como v(0) = v0, obtemos A2 = v0 e portanto
v(t) = v0e
− kt
m , t ≥ 0.
(c) Para calcular o espac¸o s(t) basta lembrar que s′(t) = v(t) e portanto
s(t) =
∫
s′(t)dt =
∫
v0e
− kt
mdt =
−mv0
k
e−
kt
m + C.
Como, s(0) = 0 segue da igualdade acima que C = mv0/k.
Lista de Exerc´ıcios da Semana 15 - Pa´gina 5 de 6
(d) Basta calcular o limite
lim
t→+∞
s(t) = lim
t→+∞
−mv0
k
e−
kt
m + lim
t→+∞
mv0
k
=
mv0
k
.
11) (a) Escolhendo u = ln(x) e dv = dx, obte´m-se du = dx/x e v = x. Assim, usando
integrac¸a˜o por partes, segue-se que∫
ln(x) dx = x ln(x)−
∫
x
1
x
dx = x(ln(x)− 1) +K.
(b) Usando a substituic¸a˜o u = m(t)/m0, tem-se du = (1/m0)m
′(t) dt, onde m′(t) = −r.
Segue-se que (−m0/r) du = dt. Substituindo na integral de ln(m(t)/m0) e usando o
item anterior, obte´m-se∫
ln
(
m(t)
m0
)
dt =
−m0
r
∫
ln(u) du
=
−m0
r
u (ln(u)− 1) +K1
=
−m(t)
r
(
ln
(
m(t)
m0
)
− 1
)
+K1.
(c) Como s′(t) = v(t), podemos usar a equac¸a˜o satisfeita por v(t) e o item acima para
obter
s(t) = −1
2
g t2 + v0
m(t)
r
(
ln
(
m(t)
m0
)
− 1
)
+K1.
Fazendo t = 0 e lembrando que s(0) = 0, conclu´ımos que K = v0
m0
r
.
(d) O instante t0 e´ aquele para o qual m(t0) = m0 − r t0 = (9/10)m0, isto e´, t0 =
m0/(10 r). Substituindo esse valor na expressa˜o de s(t), obte´m-se
s(t0) = −1
2
g
( m0
10 r
)2
+ v0
9m0
10 r
(
ln
(
9
10
)
− 1
)
+ v0
m0
r
.
Lista de Exerc´ıcios da Semana 15 - Pa´gina 6 de 6