Momento_de_inércia_de_uma_coroa_plana

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Calcule o momento de inércia de uma lâmina homogênea de massa M em forma de anel
circular, de raio interno r1 e raio externo r2 .
a) Em relação a um eixo perpendicular ao plano do anel, passando pelo seu centro.
π .(r2
2 − r1
2) — M
2.π . r dr — dm } dm= M .2.π . r drπ .(r 22 − r12)
I =∫r2dm  I z = ∫
r2
r1
2. M .r3
r2
2 − r1
2 dr =
2.M
r2
2 − r 1
2 ∫
r 2
r 1
r3 dr  I z =
2.M
r2
2 − r1
2 ⋅
r4
4 |
r2
r1
 I z =
2.M
4 .(r2
2 − r1
2)
⋅ r4|
r2
r1
 I z =
M
2 .(r2
2 − r1
2)
⋅(r 2
4 − r1
4)  I z =
M
2
⋅
(r2
2 − r1
2).(r 2
2 + r1
2)
(r 2
2 − r1
2)
Logo, o momento de inércia da figura acima em relação ao eixo perpendicular ao seu plano é:
I z =
1
2⋅M⋅(r1
2 + r2
2)
b) Em relação a um diâmetro do anel. Verifique o resultado nos casos limites de um disco e de 
um aro circular.
cosθ = rR
 r = R .cos (θ)
A =π .(r 2
2 − r1
2)
M — dm
A — dA } dm= MA dA
dA = R dR d θ
Obs.: Identidade Trigonométrica → cos2(θ)= 1 + cos(2θ)
2
I =∫r2dm  I x = I y =∫
r2
r1
∫
2π
0
R2⋅cos2(θ)⋅M
A
⋅R dR dθ
 I x = I y =
M
A
⋅∫
r 2
r 1
R3 dR ∫
2π
0
cos2(θ) dθ  I x = I y =
M
A
⋅R
4
4 |
r2
r1
⋅∫
2π
0
1− cos(2θ)
2
dθ
 I x = I y =
M .(r2
4−r1
4)
4 . A
⋅ 1
2
⋅∫
2π
0
[1 + cos (2θ)] dθ
 I x = I y =
M .(r2
2 + r1
2).(r2
2 − r1
2)
8. π.(r2
2 − r1
2)
⋅(θ + sen(2θ)2 )|
2π
0
 I x = I y =
M .(r1
2 + r2
2)
8. π
⋅2 π  I x = I y =
M .(r1
2 + r2
2)
4
Logo, o momento de inércia da figura acima em relação aos eixos paralelos ao seu plano é:
I x = I y =
1
4⋅M⋅(r1
2 + r2
2)