Cálculo I Calculo de uma variavel Parte 1

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 2
PRESIDENTE DA REPÚBLICA 
Luiz Inácio Lula da Silva 
 
MINISTRO DA EDUCAÇÃO 
Fernando Haddad 
 
GOVERNADOR DO ESTADO 
Wellington Dias 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ 
Luiz de Sousa Santos Júnior 
 
SECRETÁRIO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA DO MEC 
Carlos Eduardo Bielschowsky 
 
COORDENADORIA GERAL DA UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL 
Celso Costa 
 
SECRETÁRIO DE EDUCAÇÃO DO ESTADO DO PIAUÍ 
Antônio José Medeiro 
 
COORDENADOR GERAL DO CENTRO DE EDUCAÇÃO ABERTA A 
DISTÂNCIA DA UFPI 
Gildásio Guedes Fernandes 
 
SUPERITENDENTE DE EDUCAÇÃO SUPERIOR NO ESTADO 
 Eliane Mendonça 
 
CENTRO DE CIENCIAS DA NATUREZA 
 Helder Nunes da Cunha 
 
COORDENADORA DO CURSO DE QUÍMICA NA MODALIADE DE EAD 
Rosa Lina Gomes do Nascimento Pereira da Silva 
 
COORDENADORA DE MATERIAL DE DIDÁTICO DO CEAD/UFPI 
Cleidinalva Maria Barbosa Oliveira 
 
DIAGRAMAÇÃO 
Joaquim Carvalho de Aguiar Neto 
Josimária da Silva Macêdo 
 
 
 
 C837C 
 
Costa Filho, Otávio de Oliveira. 
 Cálculo de uma variável para aplicação: módulo II/Otávio de 
Oliveira Costa - Teresina: UFPI/ CEAD, 2008. 
165 p. 
1. Cálculo Numérico. 2. Cálculo de variável. 3. Universidade 
Aberta do Piauí I. Título. 
 
 
 3
 
Esta é uma parte do Curso de Cálculo, voltado para Aplicações 
em ciências não-exatas. Veremos que a teoria é apresentada de 
modo quase completo, faltando para completá-la as demonstrações 
das proposições enunciadas. Apesar disso, é conveniente que os 
leitores deste livro possuam conhecimento de matemática 
equivalente ao ensino médio, nos tópicos como noções de conjuntos, 
funções, seqüências e suas convergências. Mesmo sem estes 
conhecimentos de maneira formal, acreditamos que uma rápida 
consulta á bibliografia, elucidará as questões. 
 
Este livro contém oito unidades, onde cada uma contém 
listagens de exercícios, que devem ser resolvidos. Os assuntos 
tratados e dispostos de forma lógica, estão nas seguintes: 
 
Unidade 1 - onde tratamos das idéias básicas sobre função, e o que 
é necessário para um entendimento da linguagem que será utilizada 
no texto. Esta unidade contém sete subunidades; 
 
A unidade 2 - trata de limites e continuidade, contendo seis 
subunidades, com exercícios que devem ser resolvidos, pois 
completam o texto, além dos exemplos que são elucidativos; 
 
A Unidade 3 - contém dez subunidades, com exercícios em cada 
uma, ela trata de derivação e diferenciação; 
 
Na Unidade 4 - é feita aplicações das derivadas e diferenciais, em 
APRESENTAÇÃO
 4
sete subunidades que vão obter os procedimentos de construção de 
gráficos, curvaturas, assíntotas, etc. 
 
Na Unidade 5 - tratamos da integração, onde procuramos mostra 
principalmente os métodos de integração, e em particular a 
integração por parte. 
 
Na Unidade 6 - damos continuidade ao estudo de integração 
fazendo a integral definida em 4 subunidades; em continuação, 
fazemos a. 
 
Unidade 7 - onde é tratada algumas importantes aplicações das 
integrais em 4 subunidades. 
 
Na Unidade 8 - tratamos das integrais impróprias; 
 
Na Unidade 9 - examinamos as seqüências e séries em 8 
subunidades, inclusive as séries de Taylor. 
 
 5
 
1 - NOÇÕES SUCINTAS DE FUNÇÕES 
1.1 - Determinação de função ...................................................... 10 
1.2 - Campo de definição de uma Função ................................... 10 
1.3 - Função inversa ..................................................................... 10 
1.4 - Função composta ................................................................. 11 
1.5 - Função implícita ................................................................... 12 
1.6 - Gráfico de uma função ......................................................... 12 
1.7 - Gráficos de uma função elementar ...................................... 15 
 
2 – LIMITES E CONTINUIDADE 
2.1 - Limite de uma função ........................................................... 19 
2.2 - Limites laterais ..................................................................... 20 
2.3 - Infinitésimos e infinitos ......................................................... 23 
1.4 – Continuidade ....................................................................... 26 
2.5 – Descontinuidade .................................................................. 27 
 
3 - DIFERENCIAÇÃO DAS FUNÇÕES 
3.1 - Cálculo das derivadas(processo direto) ............................... 34 
3.2 - Derivada ............................................................................... 35 
3.3 - Derivadas laterais ................................................................ 36 
3.4 - Derivada infinita ................................................................... 37 
3.5 - Derivação por tabelas .......................................................... 40 
3.6 - Derivadas de funções não dadas explicitamente ................. 44 
3.7 - Derivadas de ordem superior ............................................... 47 
3.8 - Diferenciais de primeira ordem e de ordem superior ........... 50 
3.9 - Aplicação da diferencial para cálculo aproximado ............... 52 
3.10 - Teorema do valor médio .................................................... 56 
 
4 - APLICAÇÕES DA DERIVADA 
4.1 - Crescimento e decrescimento das funções .......................... 66 
4.2 - Extremos das funções .......................................................... 68 
4.3 - Valores mínimos e máximos absolutos ................................ 71 
4.4 - Concavidade e pontos de inflexão ....................................... 73 
4.5 - Assíntotas ............................................................................ 76 
4.6 - Construção de gráficos das funções pelos pontos 
característicos .............................................................................. 80 
4.7 - Diferencial de arco e curvatura ............................................ 83 
SUMÁRIO
 6
 
5 - INTEGRAIS 
5.1 - Regras principais para integração direta ............................. 91 
5.2 - Método de substituição ........................................................ 95 
5.3 - Integração por partes ........................................................... 99 
 
6 - INTEGRAL DEFINIDA .......................................................... 103 
6.1 - A integral definida .............................................................. 104 
6.2 - Cálculo de integrais definidas usando as indefinidas ......... 107 
6.3 - Teorema do valor médio para integrais ............................. 110 
6.4 - O Teorema fundamental do cálculo ................................... 112 
 
7.1 - Coordenadas polares ......................................................... 117 
7.2 - Área de figuras planas ....................................................... 120 
 
8 - INTEGRAIS IMPRÓPRIAS ................................................... 139 
 
9 - SEQÜÊNCIAS E SÉRIES ..................................................... 145 
9.1 - Séries numéricas ............................................................... 146 
9.2 - Critérios de convergência de séries de termos positivos ... 147 
9.3 - Critério da convergência de séries de termos positivos e 
negativos .................................................................................... 151 
9.4 - Operações com as séries .................................................. 152 
9.5 - Séries de funções .............................................................. 161 
9.6 - Séries de potências ........................................................... 156 
9.7 - Série de Taylor ................................................................... 166Nesta unidade procuramos fazer uma recapitulação 
dos pontos principais e que são de importância, no que 
vamos desenvolver nas demais unidades. 
 
 8
 
 
1 - NOÇÕES SUCINTAS DE FUNÇÕES ....................................... 9 
1.1 - Determinação de função ........................................................ 10 
1.2 - Campo de definição de uma Função .................................. 10 
1.3 - Função inversa .......................................................................... 10 
1.4 - Função composta ................................................................ 11 
1.5 - Função implícita ................................................................... 12 
1.6 - Gráfico de uma função ......................................................... 12 
1.7 - Gráficos de uma função elementar ...................................... 15 
SUMÁRIO
 9
 
1 - NOÇÕES SUCINTAS DE FUNÇÕES 
 
(a) Números Racionais: O conjunto dos números racionais, 
denotado por Q , é o conjunto dos números que podem 
ser expressos na forma 
a
b com a e b números 
inteiros e b  0 . Por exemplo: 23 ; 0 ; 0,36 ; 2,333. . . 
. 
 
(b) Números irracionais: Os elementos deste conjunto sao 
aqueles que não podem ser postos na forma de fração, 
que denotaremos por Q
C
 , lemos o complementar de Q 
em R . Por exemplo:  ; e ; 0,3323223222. . . . 
 
(c) Números reais: são aqueles formados pela reunião dos 
números racionais e dos irracionais, isto é. CQQR U= . 
exemplo: qualquer dos números acima. 
Representamos os números reais como uma reta 
orientada, isto é, marcamos sobre a reta uma origem, uma 
unidade de comprimento e uma direção (veja fig.1). 
 
 
 
O valor absoluto ou "módulo" de um número real é a 
quantidade denotada por |a| com a  R e que definimos por 
|a| a a  0 |a| a a  0. 
 
 
 
 10
1.1 - Determinação de função 
 
Seja A  R . Diz-se que f : A  R é uma função real se, 
qualquer que seja x  A , existe um número y  R tal que 
y  fx . 
 
Daqui em diante todos os valores serão estimados em 
grandezas reais e serão tidos como números reais, a não ser que 
especifiquemos em contrário. Além disso, como não deve ocorrer 
dúvidas, denotaremos a função f simplesmente por y  fx , 
significando que y é uma função de x . Em geral necessitamos 
indicar o campo de definição ou domínio da função. 
 
1.2 - Campo de definição de uma Função 
 
Denominamos "Campo de existência" ou "campo de definição" 
ou "domínio" de uma função y  fx ao conjunto de valores de x 
para os quais a função dada está determinada. Por exemplo: 
y  1
1x2 , tem para campo de definição o conjunto dos números 
reais do intervalo 1  x  1 ou equivalentemente 
x  R : |x| 1 . 
1.3 - Função inversa 
 
Se cada y que são valores da função fx , e a equação 
y  fx tem solução única com respeito a x , então existe uma 
função x  gy tal que y  fgy . Neste caso diz-se que a 
função y  gx é a inversa de y  fx pois gfx  x e 
fx e gx são reciprocamente inversas, valendo as relações 
y  fgy e x  gfx . 
 11
 
Nota: Em geral, y  fx determina uma função múltipla se 
x  f1y de modo que y  ff1y , para todos os y tais que 
y  fx . 
Exemplo: Tome y  1  2x . Então x 
ln1y
ln 2 . Note que o campo 
de definição da função y  fx é x  R e o campo de definição 
de x  gy é   y  1 . 
 
1.4 - Função composta 
 
Uma função y de x pode ser dada por uma cadeia de 
funções ou equação como y  fu , sendo u  gx . Exige-se, é 
claro. que fu seja determinada para todos os valores de u que 
são valores de gx (veja fig.2). 
 
 
 
 
Figura 02 – [Scale=40] 
 12
 
1.5 - Função implícita 
 
Quando uma função é dada por meio de uma equação que não 
pode ser resolvida em relação à variável escolhida como 
independente, denominamos de função implícita. Assim: x 2  y2  1 
define uma função y como implícita de x . 
 
1.6 - Gráfico de uma função 
 
O conjunto dos pontos x,y  R2 , ou melhor, do plano 
coordenado XOY, cujas coordenadas estão vinculadas pela equação 
y  fx é dito gráfico da função f . 
 
 
 
1) Demonstre as relações com a,b  R . 
a) ||a||b||  |a  b| 
b) |a.b| |a|. |b| e ab 
|a|
|b| com b  0 
c) |a|2  a2 
d) a2  |a| 
 
EXERCÍCIOS
 13
2) Resolva 
a) |2x  1| 1 
b) |2x  1| 3 
c) |3x  1| 7 
d) |x  1| |x  1| 
 
3) Sendo fx  x 3  5x 2  10x  1 , determine: f1 , f0 , 
f1 , f2 , f2 , f3 , f4 . 
4) Se fx  1  x 2 , quanto vale: f0 , f 1x  , 
1
fx 
5) Determine a função linear tal que f1  2 e f2  3 
6) Determine uma função racional inteira fx de grau 2 tal que 
f0  1 , f1  0 e f3  5 . 
 
7) Determine o campo de existência (ou domínio) de: 
a) y  x  1 
b) y  14x2 
c) y  x x 2  2 
d) y  2  x  x 2 
e) y  log x
23x2
x1 
f) y  cos2x . 
 
8) Dada a função fx  2x 4  3x 3  5x 2  6x  10 , descreva 
 14
x  12 fx  fx e x  12 fx  fx . 
9) Uma função f é dita PAR se fx  fx e IMPAR se 
fx  fx . Verifique quais das funções abaixo são pares e 
quais são impares: 
 
afx  ax  ax bfx  3 x  12  3 x  12
cfx  ln 1x1x dfx  cos3x 
10) Seja fx uma função PERIÓDICA. Isto é, Diz-se que fx é 
periódica de PERÍODO T se, fx  fx  T para todos os 
valores de x do Domínio da função. Qual das funções abaixo 
são periódicas? 
afx  5sen3x bfx  senax  cosbx;
cfx  sen 2x dfx  cos x
 
11) Sendo fx  x 2 e gx  2x , determine fgx e gfx 
12) Encontre fffx se fx  11x . 
13) Se fx  1  x 2 , determine fx  1 
14) Determine as inversas das funções y se: 
ay  2x  3 by  x 2  1 cy  lnx/2
dy  arc tg3x ey  3 1  x 3 fy  senx
 
 
RESPOSTAS: 
 
 
 
 15
1.7 - Gráficos de uma função elementar 
O gráfico de uma função fx é feito, de forma natural, por 
meio da marcação de pontos M  jx j,yj , com yj  fx j e 
j  1,2,3, . . . ,n com n suficientemente grande, de modo a deixar 
os pontos distribuídos de forma o mais denso possível, e unindo 
estes pontos por uma linha que procure contemplar os pontos 
intermediários. è aconselhável usar uma máquina para determinar 
estes pontos. 
A construção de gráficos vem facilitar o estudo das curvas 
elementares. Suponhamos y  fx uma função a vamos dar 
algumas noções de como construir os gráficos. 
1) y1  fx representa simetricamente o gráfico de fx em 
relação ao eixo dos x 
2) y2  fx representa o gráfico simetricamente em relação ao 
eixo y 
3) y3  fx  a desloca o gráfico de fx ao longo do eixo OX , 
com valor de a 
4) y4  b  fx desloca o gráfico de fx ao longo do eixo OY 
com valor b . 
Veja os gráficos (fig.3 e fig.4) 
 
 
 
 
 
 
Figura 04 - veja uma aplicação do item (3) acima (em p lê-se  ). 
 16
 
 
1) Construa o gráfico das funções racionais: 
ay  x 3 by  2x 2  x 4 y  x 3  3x  2
 
2) Construa o gráfico das funções fracionárias ou hipérboles: 
ay  x  1x by  x2x1 cy  1x3 dy 
2x
x21
 
3) Construa o gráfico dasfunções irracionais: 
ay  x by  3 x cy   35 25  x 2
 
4) Construa o gráfico de funções trigonométricas: y  senx ; 
y  cosx ; y  tgx ; y  co tgx ; y  secx ; y  co secx 
5) Construa os gráficos das funções exponenciais: 
iy  a3 a  2,1/2,e iiy  logax a  10,2,1/2,e
 
 
RESPOSTAS: 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aqui será tratado do limite das funções em geral, e em 
particular das seqüências. Procuramos tornar o estudo 
agradável, pois conduzimos de modo natural as questões de 
limites para chegarmos à noção de continuidade, cuja 
importância é marcante em matemática, pois veremos que 
tanto a derivação como a integração tem uma dependência 
muito grande deste conceito. 
 18
 
 
2 – LIMITES E CONTINUIDADE 
2.1 - Limite de uma função ........................................................... 19 
2.2 - Limites laterais ..................................................................... 20 
2.3 - Infinitésimos e infinitos ......................................................... 23 
1.4 – Continuidade ....................................................................... 26 
2.5 – Descontinuidade ................................................................. 27 
SUMÁRIO
 19
2 - LIMITES E CONTINUIDADE 
 
Consideremos uma sucessão de números (ou pontos) 
x 1 ,x 2 , e um número (ou ponto) a . Diz-se que a é o limite da 
sucessão, e simbolizamos por limn xn  a, se, para todo   0 , 
existe um número natural N  N (número que depende da 
escolha de  ) tal que, |xn  a|  n  N . 
 
Por exemplo: Diz-se que limn
2n  1
n  1  2 porque 
2n1
n1  2   1n1  1n1   se n  1  1  N , logo, 
podemos afirmar: para qualquer   0 (escolhido), existe um 
número N  1  1 tal que, vale a desigualdade n  1  1 . 
Logo, o número 2 é o limite da sucessão xn dada. Note que 
podemos indicar uma sucessão na forma xn  x 1 ,x 2 , . . . ,xn , . . .  
. 
 
2.1 - Limite de uma função 
 
Diz-se que uma função fx converge para A , quando x 
tende a (ou em símbolos: fx  A quando x  a ) ou mais 
precisamente, limxa fx  A, se, qualquer que seja   0 , existe 
um número   0 (    ) tal que, |fx  A|  , sempre que 
0  |x  a|  . 
Por analogia com as sucessões podemos por, 
lim
x fx  A,   0,  0 tal que, 
|fx  A|  |x| N. 
 
 20
Também, uma notação convencional seguinte: 
lim
xa fx  , que significa |fx|   0 , quando 
0  |x  a|    0 . 
 
2.2 - Limites laterais 
 
Suponhamos que x  a e x  a . Então, por convenção, 
pomos x  a  0 . Analogamente, se x  a e x  a , pomos na 
x  a  0 . 
 
Denominamos de limite lateral à esquerda, no ponto a , ao 
número fa  0  limxa0 fx e limite lateral à direita no ponto a , 
ao número fa  0  limxa0 fx. 
 
 OBS.: 
(1) Note que os termos à direita ou à esquerda se referem ao 
deslocamento de x , "rumo" ao ponto a , pela direita ou pela 
esquerda, sobre uma reta horizontal (veja fig. 5). 
 
 
 
 
(2) Dizemos que existe limite para a função fx quando x  a , se 
é satisfeita a condição necessária e suficiente para a igualdade 
fa  0  fa  0 . 
 
 
 
 21
(3) Supondo que existam os limites limxa f1x e limxa f2x , 
então são válidas as propriedades: 
a. limxa0f1x  f2x  limxa0 f1x  limxa0 f2x ; 
b. limxa0f1x. f2x  limxa0 f1x. limxa0 f2x ; 
c. limxa0
f1x
f2x 
lim xa0 f1x
lim xa0 f2x com  limxa0 f2x  0 . 
 
(4) Limites de uso freqüente: 
a. limx1  1x x  limy01  y
1
y  e com e = Número de 
Napier. 
b. limx0 sen xx  1 . 
 
Exemplo: Determinar os limites laterais da função 
y  fx  arc tg 1x quando x  0 . 
 
resolução: Sabemos que f0  f0  limx0arc tg 1x   2 e 
f0  f0  limx0arc tg 1x    2 . Logo, o limite da função 
dada quando x  0 , não existe. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 22
 
 
 
1. Mostre que o limite da sucessão xn  nn1 é 1 . 
2. Calcule limn
1
n 2
 2
n 2
   n1
n 2 . 
3. Calcule limn
1
2  14    12 n . 
4. Calcule limn
1 22 23 2n 2
n 3 
5. Calcule o limite quando x   , das funções:(é usual dividir 
ambos os membros da função por xn onde n é a potência 
máxima dos polinômios) 
i 2x33x54x6
3x3x1 ii
x
3 x310
iii x
x x x
 
6. Se Px e Qx são polinômios inteiros e Px  0 
então o limite da função 
Px
Qx quando x  a é encontrado 
diretamente substituindo x por a . Agora, se 
Px  0  Qx é recomendável simplificar a fração em 
uma ou mais vezes por x  a . 
7. Calcule os seguintes limites: 
i limx1 x31x21 ii limx5
x25x10
x225
iii limx2 x32xx24x4 iv limx1
1
1x  31x3
 
 
EXERCÍCIOS
 23
8. Em um processo químico aumento da quantidade da 
substância em cada intervalo de tempo t , da sucessão 
infinita de intervalos jt, j  1t com j  0,1,2, . . .  é 
proporcional à quantidade disponível da substância, que se 
tem no início deste intervalo e proporcional à grandeza do 
intervalo. Supondo que no início de tempo a quantidade da 
substância seja Q0 , Determine a quantidade da substância 
Qn no intervalo de tempo t . Se o aumento da quantidade 
da substância ocorre a cada n - parte do intervalo de tempo 
t  1n . Determine 
9. 
Qt  limnQt
n
 
10. Sugestão: 
11. 
Qt
n  Q0 1  ktn
n
 
12. onde k é a constante de proporcionalidade.Veja que 
Qt  Q0ekt . 
 
2.3 - Infinitésimos e infinitos 
 
Definição: Denominamos de infinitésimos, a uma quantidade que é 
infinitamente pequena, isto é, simbolicamente x é um infinitésimo 
se |x|  quando x  a , ou seja, |x|  quando 
0  |x  a|  ,   0 para x  a . De modo análogo, 
determina-se a função infinitamente pequena x quando x   . 
 
A soma e o produto de um número limitado de infinitésimos, 
quando x  a , são, também, infinitamente pequenos quando 
 24
x  a . 
 
NOTA: Se x e x são infinitésimos quando x  a e 
limxa xx  C , onde C é um número dado, não-nulo, então as 
funções x e x são denominadas de infinitamente pequenas 
de uma mesma ordem; se C  0 , então a função x é um 
infinitésimo de ordem superior em comparação com x . 
 
Também, denominamos de infinitamente pequena de ordem n 
a função x em comparação com a função x , se, 
lim
xa
x
xn  C, onde 0  C   . 
 
Se limxa
x
x  1 diz-se que as funções x e x são 
equivalentes ou assintoticamente iguais quando x  a , 
Simbolicamente x  x . Por exemplo: Quando x  0 , 
senx  x , tgx  x , ln1  x  x . 
 
OBS.: A soma de dois infinitésimos de ordens diferentes, é igual aos 
termos cuja ordem é inferior. 
 
Proposição:O limite da razão de dois infinitésimos não se altera, se 
os membros da razão forem substituídos por grandezas 
equivalentes. 
 
Prova: Óbvio. 
 
 25
Conseqüência: Para calcular o limite limxa
x
x quando x  0 
e x  0 quando x  a , pode-se somar ou subtrair ao 
numerador e denominador infinitésimos de ordem superior, 
escolhidos de tal modo que as grandezas resultantessejam 
equivalentes às subtraídas ou somadas. 
 
Por exemplo: 
lim
x0
3 x 3  2x 4
ln1  2x  limx0
3 x 3
2x 
1
2 .
 
 
 Definição: Diz-se que uma função é infinita ou infinitamente grande 
quando x  a , se dado qualquer número N (grande) existe um 
N , tal que quando |0  |x  a| N , obtem-se |fx| N . 
 
Analogamente ao que foi feito para infinitésimos, pode-se fazer 
para os infinitos de diferentes ordens. 
 
 
1. Mostre que a função fx  sen xx é infinitamente pequena 
quando x   . Para que valores de x é válida |fx|  , 
para  um número arbitrário? 
2. Mostre que fx  1  x 2 é infinitamente pequena para 
x  1 . Para que valores de x é válido |fx|  para todo 
  0 ? 
EXERCÍCIOS
 26
3. Mostre que a função fx  1x2 é infinitamente grande 
quando x  2 . Em que entornos de |x  2|  verifica-se 
que |fx  N para N  0 ? 
4. Use a teoria e encontre os limites: 
a limx0 sen 23xxx32 b limx0
ln x
1x c limx0 cosxcos2x1cosx
 
 
5. Mostre que, quando x  0 , as grandezas x2 e 1  x  1 
são equivalentes. Use este resultado e mostre que para |x| 
pequeno, 1  x  1  x2 . 
 
1.4 – Continuidade 
 
Definição: Diz-se que uma função fx é contínua em x   (ou 
no ponto  ), se satisfaz às seguintes condições: 
 
1) A função está definida no ponto  , isto é, existe f ; 
2) Existe o limite de fx quando x   , isto é, existe limx fx 
;e 
3) O limite acima é igual ao valor da função no ponto, ou seja 
limx fx  f . 
 
 Algumas vezes, tomando x     , onde   0 , é 
cômodo descrever as condições acima como segue: 
lim
0
f  lim
0
f    f  0
isto é, a função fx é 
 27
contínua no ponto  , se e somente se, neste ponto x   a um 
incremento infinitésimo da função. 
 
O modo tradicional de fazer a definição acima é fx é contínua 
em x   , se ,  x,  0, |x  |  |fx  f|  
 
Note que os três itens acima estão todos contemplados. 
 
Definição: Diz-se que uma função é contínua em seu domínio, se 
ela é contínua em cada ponto deste domínio. 
 
Por exemplo: A função y  senx é contínua em todos os pontos de 
seu domínio, que é R . De fato, tome y  senx  x  senx  
 
 2sen x2 cos x  x2 
sen x
2
x
2
. cos x  x2 .x. Sabendo que 
m
0
sen x2
x
2
 1 cos x  x2  1, temos que limx0 y  0 , 
qualquer que seja o ponto x  R , logo a função senx é contínua 
para   x   . 
 
2.5 – Descontinuidade 
 
Definição: Diz-se que uma função é descontínua em certo ponto 
x  a do domínio da função, ou no limite deste domínio, se neste 
ponto violar alguma das condições de continuidade. 
Por exemplo: fx 
1
1x2 (veja a fig.6) é uma função descontínua 
em x  1 . Note que esta função não está definida em x  1 , mas 
qualquer número que escolhamos para f1 a função completada é 
 28
contínua para x  1 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se, para a função fx existem limites finitos 
limxa0 fx  fa  0 e limxa0 fx  fa  0 , mas os números 
fa , fa  0 e fa  0 forem diferentes entre si, então x  a 
denomina-se ponto de descontinuidade de primeira espécie. Mas se 
fa  0  fa  0 diz-se que x  a é ponto de descontinuidade 
evitável. Para que a função seja contínua no ponto x  a é 
necessário e suficiente que fa  fa  0  fa  0 . 
 
Por exemplo: fx 
sen x
|x| tem descontinuidade de primeira espécie 
em x  0 , pois f0  limx0  sen xx  1 
f0  limx0  sen xx  1 . 
Outro exemplo: Sendo y  Ex que representa a parte inteira do 
número x (ou seja, Ex é o número inteiro que satisfaz a 
igualdade x  Ex  q , sendo 0  q  1 é descontínua em cada 
ponto x  0,1,2, . . . (fig.7). Estes pontos são de descontinuidade 
de primeira espécie. Com efeito, tomando n  número inteiro então 
En  0  n  1 e En  0  n são pontos de descontinuidade e 
nos demais pontos a função é contínua. 
 
Figura 06 - [scale=.50] 
 
Figura 07 [scale 50]
 29
Quando os pontos de descontinuidade, não são de primeira 
espécie diz-se que são de segunda espécie. Como, por exemplo, os 
pontos de descontinuidade infinita, isto é, os pontos x 0 nos quais 
os limites laterais (pelo menos um), fx 0  0 ou fx 0  0 é  , 
por exemplo, a função fx 
1
x12 , que é descontínua em x  1 . 
Esta função, além de não está definida em x  1 , qualquer que 
seja f1 escolhido, a função completa não será contínua em 
x  1 . Também a função y  cos x (fig. 8) tem descontinuidade de 
segunda espécie no ponto x  0 , devido não existirem os limites 
laterais limx0  cos x e limx0  cos x . 
 
 
 
 
 
 
 
1.6 - PROPRIEDADES DAS FUNÇÕES CONTÍNUAS 
Agora consideraremos algumas proposições importantes sobre 
continuidade. Proposição 1: A soma e o produto de quantidade 
limitada de funções contínuas com o mesmo domínio é uma função 
contínua neste domínio. 
 
Proposição 2: O quociente da divisão de duas funções contínuas, 
no mesmo domínio é uma função contínua para os argumentos que 
não anulam o denominador neste domínio. 
Proposição 3: Se fx é contínua em um intervalo aberto a,b e 
a,b  A,B , sendo a função x definida e contínua em 
A,B , então a função composta fx também é contínua no 
 
Figura 08 - [scale=.50]
 30
intervalo a,b . 
Quando a função fx é definida e contínua no intervalo fechado 
(segmento) a,b podemos considerar as seguintes propriedades: 
 
1) Se a função fx está definida em a,b , então existe um 
número M tal que |fx  M , qualquer que seja x  a,b . 
2) A função fx atinge seu máximo e seu mínimo em a,b . 
3) A função fx assume todos os valores intermediários no 
intervalo a,b , ou seja, se f  A e f  B com 
a      b e A  B então, C  A,B , existe, pelo 
menos um valor x   com      tal que f  C . 
Em particular, se falpha. f  0 a equação fx  0 tem, 
no intervalo , pelo menos, uma raiz. 
 
 
 
Mostre que a função y  x 2 é contínua em todo x  R ; 
1) Mostre que toda função racional inteira 
2) Px  anxn  an1xn1  a1x  a0 
3) é contínua x  R; 
4) Mostre que a função racional fracionária 
Rx  anxn  an1xn1    a1x  a0
bnxn  bn1xn1    b1x  b0 
EXERCÍCIOS
 31
 
5) é contínua x  R exceto para quando x é raiz do 
denominador; 
6) Mostre que: 
a) y  x é contínua x  0 ; 
b) Se fx é contínua e não-negativa em dado intervalo a,b 
, então a função Fx  fx também é; 
c) fx  cosx é contínua x  R ; 
d) Para que valores de x serão contínuas as funções : tgx e 
cotx ? 
e) Mostre que |x| é uma função contínua x  R 
 
7) Determine A para que a função 
fx 
x24
x2 se x  2
A se x  2
 
seja contínua. 
 
 
 
 
 
 
 
 32
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 33
 
3 - DIFERENCIAÇÃO DAS FUNÇÕES 
 
3.1 - Cálculo das derivadas(processo direto) ............................... 34 
3.2 - Derivada ............................................................................... 35 
3.3 - Derivadas laterais ................................................................ 363.4 - Derivada infinita ................................................................... 37 
3.5 - Derivação por tabelas .......................................................... 40 
3.6 - Derivadas de funções não dadas explicitamente ................. 44 
3.7 - Derivadas de ordem superior ............................................... 47 
3.8 - Diferenciais de primeira ordem e de ordem superior ........... 50 
3.9 - Aplicação da diferencial para cálculo aproximado ............... 52 
3.10 - Teorema do valor médio .................................................... 56 
 
 
 
SUMÁRIO
 34
3 - DIFERENCIAÇÃO DAS FUNÇÕES 
 
3.1 - Cálculo das derivadas(processo direto) 
 
Definição: (acréscimo do argumento e acréscimo da função) 
Denominamos de acréscimo do argumento, à diferença, denotada 
por x  x 1  x , entre os extremos do intervalo x,x 1 . Também 
denominamos de acréscimo da função y , neste intervalo x,x 1 , 
à diferença, denotada por y  y1  y , ou mais explicitamente 
y  fx 1  fx  fx  x  fx (veja fig.9). 
 A razão 
y
x  tg representa o coeficiente angular da secante 
MN do gráfico da função y  fx (fig.9) que denominamos 
"velocidade Média" da variação da função y no intervalo x,x  x 
. 
 
 
 
 
 
 
Figura 09 – onde está D, A e B lê-se  ,  e  respectivamente. 
 35
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Determinar x e y para a função y  x 2  3x  2 
que corresponde às seguintes variações do argumento: (a) de 
x  1 a x  1,1 ; (b) no segmento 3,2 . 
 
Resolução: (a) x  1,1  1  0,1 e 
Deltay  1,12  3, 1,1  2  12  3.1  2  o, 09 
(b) x  2  3  1 e 
y  22  3. 2  2  32  3. 3  2  4  6  2  9  9  2  8
 
(2) Determine o coeficiente angular da secante à hipérbole y  1x , 
que passa nos pontos de abscissa x  3 e x 1  10 . 
 
Resolução: x  10  3  7 , y  13 e y1  110 , logo 
y  110  13   730 , e consequentemente o coeficiente angular é 
y
x   130 
 
3.2 - Derivada 
 
Definição 2.2: Denominamos de Derivada da função y  fx no 
ponto x do domínio da função, ao limite da razão 
y
x , quando x 
 36
tende a zero, se este limite existe e denotamos por y
  dy
dx , ou 
seja y
  lim
x0
y
x . 
 
O valor da derivada dá o coeficiente angular da tangente MT (fig.9), 
isto é, y  tg . Para determinar a derivada y da função y  fx , 
realizamos uma operação denominada de derivação da função no 
ponto x . 
 
Exemplo: Determine a derivada da função y  x 2 . Então, 
calculamosy  x  x2  x 2  2xx  x2 . Logo a razão 
y
x  2x  x e assim, y  limx0 yx  limx02x  x  2x . 
 
 
3.3 - Derivadas laterais 
 
Para que exista a derivada y da função y  fx no ponto x 
é necessário e suficiente que existam f x e f x com 
f x  f xdenominados de derivadas laterais. 
 
Definição: Denominamos de derivadas laterais da função y  fx 
aos limites 
f x  limx0
fx  x  fx
x f
 x  lim
x0
fx  x  fx
x . 
 
Exemplo: Vamos determinar f 0 e f 0 para fx  |x| . Por 
definição, y  x  x e em x  0 , y  x , logo temos que 
 37
f 0  limx0 
|x|
x  1 f
 0  lim
x0
|x|
x  1. 
 Veja que esta função não tem derivada em x  0 . 
 
3.4 - Derivada infinita 
 
Se em um determinado ponto de uma função y  fx temos 
que limx0
fx  x  fx
x  , diz-se que a função contínua fx 
tem derivada infinita no ponto x e neste caso o gráfico da tangente 
neste ponto é uma perpendicular ao eixo OX , ou seja , ao X -eixo. 
Por exemplo, tome a função y  3 x . Note que em x  0 , 
y  3 x , e portanto, y
0  lim
x0
3 x
x  limx0
1
3 x 2
 .
 
 
 
 
 
 
 
 
1) Determine o acréscimo da função y  x 2 , para a mudança do 
argumento de: 
a) x  1 para x 1  2 ; b) x  1 para x 1  1  h 
 
EXERCÍCIOS
 38
2) Calcule y para a função y  3 x , se: 
a) x  0 e x  0,001 ; b) x  8 e x  9 
 
3) Justifique porque para a função y  2x  3 podemos 
determinar e acréscimo y , conhecendo apenas que o 
acréscimo correspondente é x  5 , enquanto que para a 
função y  x 2 não podemos fazê-lo? 
 
4) Determinar o acréscimo y e a razão yx para as funções: 
ay  1x222 , x  1 x  0,4;
by  x , x  0 x  0,0001;
cy  tgx, x  100000 x  90000. 
 
5) Encontre y e yx correspondente à variação do argumento 
de x até x  x para as funções: 
ay  ax  b by  x cy  2x dy  lnx. 
 
6) Determine o coeficiente angular da secante à parábola 
y  2x  x 2 se as abscissas dos pontos de interseção são: 
ax 1  1 x 2  2;
bx 1  1 x 2  0,9;
cx 1  1 x 2  1  h. 
 
7) Para qual limite tende o coeficiente angular da secante acima 
quando h  0 ? 
No Exemplo 3, 
lembre-se dos 
conceitos de 
linearidade
No Exemplo 8, 
velocidade média 
é a razão de 
acréscimos da 
função para a da 
iá l li
 39
 
8) Qual a velocidade média de variação da função y  x 3 no 
intervalo 1,4 ? 
 
9) Achar a pendente média da curva y  2x no segmento 
1  x  5 . 
 
10) Que se entende por pendente da curva y  fx no segmento 
x,x  x ? 
 
11) Um corpo aquecido resfria-se quando colocado em meio cuja 
temperatura é menor que a do corpo. Que se entende por 
velocidade média de resfriamento? e it velocidade de 
resfriamento num instante dado? 
 
12) Que se entende por velocidade de reação de uma substância 
em uma química? 
 
13) Achar a derivada da função y  tgx . 
 
14) Achar a derivada de y  1x no ponto x  2 
 
15) Achar a derivada de cada uma das seguintes funções: 
ay  x 2 ; by  x , cy  1
x2
; y  cotx. 
 
16) Achar o valor do coeficiente angular da tangente à curva 
No Exemplo 13, 
usa a fórmula da 
tangente da soma 
de arcos
y  senx no ponto , 0 
 
17) Mostre que as seguintes funções não têm derivadas no ponto 
indicado: 
ay  3 x 2 x  0;
by  5 x  1 x  1;
cy  |cosx| x  2k12  k  0,1,2, . . . 
.
 
 
RESPOSTAS: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 41
Vamos, de modo sucinto, indicar as regras principais para a 
obtenção de derivadas de algumas funções elementares: 
 Regras principais para a determinação de derivadas 
Suponhamos que c seja uma constante, e u  x , v  x 
sejam duas funções que admitem derivadas. Valem as seguintes 
regras: 
 
1c  0 2x   1 3u  v  u   v 
4cv  cv  5uv  uv  uv  6 uv   u vuv v2 :v  0
7 cv    cv v2 v  0 
 
Tabelas das derivadas de algumas funções elementares 
 
1xnn1 2 x   1
2 x
x  0
3sen  cosx 4cosx   senx 5 tgx2x
6ctg2x 7arcsenx  1
1x2
|x| 1.
 
 
Mais algumas derivadas de funções elementares 
 
iarccosx   1
1x2
|x| 1
iiarctanx  1
1x2 iiiarcctgx  
1
x21
ivaxx lnaa  0 vexx
vilnx   1x x  0 viilgax  1x ln a 
lgax
x x  0;a  0. 
 
Regra de derivação de uma função composta 
Todas as 
formulas das 
tabelas são 
demonstráveis, 
veja a 
obrigatoriedade
 40
 
 
3.5 - Derivação por tabelas 
 
 42
 
Consideremos as funções deriváveis y  fue u  gx , 
com domínio de f contendo a imagem de g, então a função 
composta será y  fgx . Assim podemos definir a derivada da 
função composta pos 
dy
dx 
dy
du .
du
dx e também podemos utilizar a 
seguinte notação: 
yx  yu .ux 
Essa regra pode ser usada sempre que o número de funções 
deriváveis for finito e estejam em uma cadeia de domínios coerentes. 
 
Exemplos: 
 
1) Veja a função 
y  x 2  3x  24 . 
Note que esta função é uma composição das funções y  u4 e da 
função u  x 2  3x  2 . Pelas fórmulas acima, podemos 
determinas: 
du
dx  ux
  2x  3 dydu  yu
  4u3 dydx  y
2  3x  23 . 2x  3
 
 que é a derivada procurada. 
 
2) Se y  sen 34x vê-se facilmente que 
y  u3 , u  senv v  4x, 
 logo obtemos y2 . cosv. . 4  12sen 24x. cos4x que é a derivada de 
y com respeito a x . 
 43
 
 
 
Achar as derivadas das funções abaixo: 
1y  x 4  4x 3  2x  2 2y  ax 2  bx  c
3y   5x3a 4y  atm  btmn
5y  x  ln2 6y  x 2 3 x 2
7y  1 t
1 t 8y  3senx  5cosx
9y  tgz  cotz 10y  sen xcosxsen xcosx
11y  2t sent  t3  2cos t 12y  x arcsenx
13y  x 7 .ex 14y  x  1ex
15y  ex cosx 16y  lnx lgx  lna logax
17y  x2
ln x
18y  1x  2 lnx  ln xx
19y  x 2ex  x 20y  1
3 cos3x
 1cosx
21y  3 2ex  2x  1  ln53x 22y  arcsen2x 3
 
 
RESPOSTAS: 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS
Nestes exercícios use 
cuidadosamente as 
definições e regras, 
cujos demonstrações 
devem ser vistas na 
bibli fi
 44
3.6 - Derivadas de funções não dadas explicitamente 
 
Nesta seção veremos as derivadas das funções inversa, 
explícita e as dadas de modo paramétricas. 
 
Derivadas das funções inversas 
 
Consideremos a função y  fx e suponhamos que sua 
derivada é não-nula, isto é 
dy
dx
 yx  0 . Então a derivada da 
função inversa x  f1y é dada por 
dx
dy  x y
  1
yx
 1
dy
dx . 
 
Exemplo: A derivada da função inversa da função y  x  lnx , é 
calculada através da derivada desta função como segue. Sabemos 
que yx  1  1x  x1x , logo 
dx
dy  x y
  x1  x . 
 
Derivada da função implícita 
 
Suponha que a função seja dada na forma Fx,y  0 e que não 
podemos colocar y como função de x ou vice-versa. A esta 
função denominamos de função implícita, por exemplo, 
x 3  y2  5xy  0 a qual é muito difícil explicitar x ou y , isto é, 
escrever y como função de x ou o contrário. 
 Para encontrarmos a derivada da função na forma implícita 
Fx,y  0 , nos casos simples, ou seja, determinar yx  y , 
estudaremos os seguintes passos: 
 
 45
(i) calcular a derivada de Fx,y  0 com respeito a x ( no 
primeiro membro da equação), onde considera-se y como 
função de x . 
(ii) igualar esta derivada a zero, ou seja, supor que 
d
dx Fx,y  0.. 
(iii) resolver a equação obtida com respeito a y . 
 
Exemplo: Vamos determinar a derivada y de x 3  y3  3xy  0 . 
 
Calculamos a derivada do primeiro membro com respeito a x , 
obtendo 3x 2  3y2y  3y  3xy  0 e resolvendo algebricamente 
com respeito a y temos: 
y  x
2  y
x  y2 . 
 
Derivada de funções na forma paramétrica 
 
Uma função pode ser apresentada em função de um parâmetro, 
isto é, a dependência entre as variáveis x e y é feita através de 
um parâmetro t , a saber: 
x  t
y  t
 
 e neste caso, podemos colocar a derivada na forma 
dy
dx 
dy
dt
dx
dt 
 ou equivalentemente 
y  yx  yt

x t
.
 
 46
 Exemplo: Dada a função na forma paramétrica 
x  acos t,
y  a sent,
 
 determinar a derivada y . Sabemos que 
dy
dt  acos t
dx
dt  a senx logo, y 
dy
dx 
acos t
asent  cot t 
Outro exemplo: Vamos determinar a derivada yx da função 
y  0,1x  e x2 . Note que, y  0,1   x2 
x
2 (tente justificar) segue-
se, então que, y
  yx  0,1  12 e
x
2
. 
 
 
 
1) Calcular as derivadas das funções dadas na forma implícita, a 
seguir: 
a3y  y2  x by  2seny  x cx  0,1y  e y2
d2x  5y  10  0 ex 2  y2  a2 fx 3  x 2y  y2  0
garctanx  y  x hey  x  y i tgy  xy
 
2) Calcular as derivadas das funções y dadas na forma 
paramétrica: 
(i) 
x  3t  5
y  t4 (ii) 
x  t
y  3 t 
iii x  e
t
y  e2 t 
(iv) 
x  at  sent
y  a1  cos t (v) 
x  acos2 t
y  a sen 2 t 
EXERCÍCIOS
 47
3.7 - Derivadas de ordem superior 
 
Definição: Denominamos de derivada de segunda ordem da 
função y  fx à derivada de sua derivada, isto é,y . 
Também designamos a segunda derivada de uma função y  fx , 
com a simbologia descrita a seguir: 
y, : d
2y
dx 2
, f x.
 
 
Se repintamos um movimento por y  ft , então y 
representa a sua velocidade e y a sua aceleração. 
Em geral a Derivada de ordem n ou a n -ésima derivada de 
uma função y  fx é denotada por um dos seguintes símbolos: 
yn; :ou d
ny
dxn ; ou f
nx.
 
Exemplo: A derivada de segunda ordem da função y  ln1  x é 
dada por 
y   11  x e y
  11  x
   11  x2 . Sejam 
u  ux e v  vx duas funções da variável livre x , que são 
contínuas é suas derivadas existem, pelo menos até a ordem n . O 
matemático Leibniz, desenvolveu uma fórmula para calcular a n-
ésima derivada do produto uv  ux.vx , conhecida por 
Fórmula de Leibniz que descrevemos a seguir: 
uvn  unv  nun1v   nn  11.2 u
n2v n
 
 
Derivada de ordem superior de funções dadas na forma 
paramétrica. 
 
Seja dado o sistema 
 48
x  t
y  t 
de funções contínuas e deriváveis até a segunda ordem. Então as 
derivadas 
yx  dydx , yxx
  d
2y
dx 2 
podem ser determinadas sucessivamente pelas fórmulas: 
yx  yt

x t
, yxx  yx x  yx
 t
x t
.
 
 
Para ordens superiores basta continuar o procedimento. 
Explicitamente podemos expressar a derivada de segunda ordem da 
seguinte forma: 
yxx  x t
ytt  x ttyt
x t2
.
 
Por exemplo: Se 
x  acos t
y  b sent
 
 então podemos determinar a derivada segunda desta função que é 
y  bsentt

acos tt
 bcos ta sent  
b
a cot t
 
 e 
 49
y  
b
a cott t

acos tt

 ba 1sen 2t
a sent  
b
a2 sen 2 t
 
 
 
1) Determinar as derivadas de segunda ordem das seguintes 
funções: 
iy  x 8  7x 6  5x 3  x 2  x  1 iiyx2 iiiy  sen 2x
ivy  lnx  a2  x 2  vy  cos x4 viy  arcsenx2 
2) Calcular 
f0, f 0, f 0, f 0 fx  ex senx. 
3) Achar as segundas derivadas, isto é 
d 2y
dx2 das seguintes funções: 
i x  lnt
y  t4 ii
x  acos t
y  a sent iii
x  arcsent
y  1  t2
 
4) Determine y
  d 3y
dx3 para as seguintes funções: 
ay2  2px b x 2
a2
 y
2
b2
 1 cx 2  2xy  y2  3x  4y  2  0.
 
 
RESPOSTAS: 
 
 
 
EXERCÍCIOS
No 2, Primeiro 
derive e depois 
substitua x por 
0. 
 50
3.8 - Diferenciais de primeira ordem e de ordem superior 
 
Vamos procurar definir o que vem a ser "diferencial" a fim de 
que saibamos qual a diferença entre isto e derivada. 
 Definição Denominamos de diferencial (de primeira ordem) de 
uma função y  fx em um determinado ponto x , a parte 
principal de seu acréscimo y  fx  x  fx , quando x  0 
. Isto é linearquando x  dx da variável independente x . Além 
disso, a diferencial de uma função é igual ao produto de sua 
derivada pela diferencial da variável independente, a saber: 
dy  ydx, e com isso podemos usar (ou melhor abusar) da 
notação e por y
  dydx . 
 
Vejamos um gráfico. Denotando por MN o arco do gráco da 
função y  fx (fig. 10), MT a tangente no ponto Mx,y e 
PQ  x  dx , obteremos o acréscimo da ordenada da tangente 
AT  dy eo segmento AN  y . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 10 - ... 
 51
 
Obs.: Na figura 10 onde pomos Dy devemos ler y Exemplos: 
 
(i) O acréscimo da função y  3x 2  x é dado por 
y  3x  x2  x  x  3x 2  x 
 ou simplificando y  6x  1x  3x2 . 
 
Logo, dy  6x  1x  6x  1dx. 
 
De outro modo podemos, também, efetuar o cálculo acima 
assim: y
  6x  1, dy  ydx  6x  1dx
. 
 
(ii) Se desejamos calcular y e dy da função acima para x  1 
e x  0,01 , temos: 
 y  6x  1x  3x2  5.0,01  3. 0,012  0,0503 
 e dy  6x  1x  5.0,01  0,0500 
 
Propriedades Fundamentam das Diferenciais 
 
As propriedades das diferenciais são muito similares às das 
derivas. Isto é óbvio pela própria definição de diferencial. Vamos 
apenas descrever as sete principais propriedades, a saber: 
 
sejam u  ux e v  x funções de x 
 
 52
(1)d  0 onde  é uma constante. 
(2) dx  x onde x é a variável independente. 
(3) du  du 
(4) du  v  du  dv. 
(5) du.v  u.dv  v.du. 
(6) d uv   vduudvv2 com v  0 . 
(7) dfu  f u.du . 
3.9 - Aplicação da diferencial para cálculo aproximado 
 
 Consideremos que o acréscimo x do argumento x por sua 
grandeza absoluta, que deve ser pequena. Então, a diferencial dy da 
função y  fx e o acréscimo y desta função, são 
aproximadamente iguais, isto é : 
 
y  dy, 
 
ou 
 
fx  x  fx  f x.x, 
 
onde podemos colocar 
 
fx  x  fx  f x.x 
 53
 
Exemplo: Vamos calcular em quanto devemos aumentar o lado do 
quadrado se sua área aumenta de 9m2 para 9,1m2 . Ora, sendo 
x a área do quadrado e y seu lado, temos: 
 
y  x 
 
 e pelas condições dadas, x  9 e x  0,1 , então o acréscimo 
y de modo aproximado, do lado do quadrado é: 
 
y  dy  yx  1
2 9
.0,1  0,016m.
 
 
 
Diferenciais de Ordem Superior 
 
Definição: Denominamos Diferencial de Segunda Ordem quando 
fixado o acréscimo da variável independente x , x  dx , obtemos 
a diferencial da diferencial de primeira ordem, a saber: 
d2y  ddy. 
De forma análoga definimos diferenciais de terceira, quarta e 
sucessivas ordens. Se y  fx e x é variável independente, 
então podemos calcular as sucessivas ordens de diferenciais da 
função dada, como segue: 
 54
d y  ydx
d2y  y2
d3y  y3

dny  yndxn
 
 
 
1) Determinar y e a diferencial dy de 
y  3x  x 2 x  2 e x  0,001. 
 
2) Determine a diferencial d1  x 3 para x  1 e x   13 
sem calcular a derivada. 
 
3) Dê a diferencial das seguintes funções: 
iy  2
x
, quando x  2 e x  0,001
iiy  tgx quando x  3 e x  180 
 
4) Calcular, as diferenciais das funções abaixo, para quaisquer 
valores do ponto e do acréscimo: 
iy  1xm iiy  x1x iiiy  ex
2
ivy  ln 1x1x vy  x lnx  x viy  arctan xa
 
5) Determinar as diferenciais das seguintes funções dadas na forma 
implícita: 
EXERCÍCIOS
 55
ix  y22x  y3  1 iiy  e xy iii ln x 2  y2  arctan yx
 
6) Determine os valores aproximados das funções indicadas abaixo: 
iy  x 3  5x 2  4x  3, quando x  1,03
iifx  1  x , quando x  0,2
iiifx  3 1x1x , quando x  0,1
.
 
7) Determine d2y das seguintes funções: 
iy  1  x 2 iiy  x 2ex iiiy  3sen2x  3 ivy  ln xx
 
 
RESPOSTAS: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 56
3.10 - Teorema do valor médio 
 
Um dos mais importantes teoremas do cálculo é este que vamos 
escrever, bem como outros de grande importancia , a iniciar com o 
teorema de Rolle bem como os teoremas de Lagrange e de Cauchy. 
 
Teorema de Rolle: Considere a função fx definida e contínua no 
intervalo a,b e tendo derivada em todo o interior deste intervalo, 
com fa  fb . Então, sendo x  a,b a variável independente, 
existe, pelo menos um valor c com a  c  b tal que f c  0 . 
(veja fig.11) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teorema de Lagrange Considere uma função contínua no segmento 
a  x  b e tendo derivadas em todos os pontos do intervalo (a,b); 
então vale a igualdade 
 
fb  fa  f cb  a 
 
 
Figura 11- ... 
Procure vê na 
bibliografia a 
demonstração 
desse teorema 
de Lagrouge 
 57
 
 paraa  c  b . 
 
obs.: Este teorema é uma generalização do teorema de Rolle. (veja 
fig.12) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nota: nas fig. 11 e fig. 12, onde indicamos com f c , queremos 
indicar a inclinação da reta alí representada. 
Citqaremos, a seguir, o Teorema de Cauchy: 
 
Teorema de Cauchy; Sejam fx e gx funções contínuas 
definidas no intervalo a  x  b e tendo derivadas que não se 
anulam simultaneamente no intervalo a  x  b , sendo 
gb  ga , então: 
 
 
Figura 12- ... 
 58
 
fb  fa
gb  ga 
f c
g c , :a  c  b.
 
 
 
 
 
 
1) Mostre que a função fx  x  x 3 satisfaz as condições do 
teorema de Rolle nos segmentos 1  x  0 e 0  x  1 e 
encontre os valores de c que satisfazem o Teorema de Rolle 
2) A função fx  3 x  22 nos extremos do segmento 
0  x  4 toma valores f0  f4  3 4 . No Intervalo 0,4 , 
será válido o Teorema de Rolle? Por que? 
3) Verifique as condições do teorema de Lagrange para a função 
fx  x  x 3 no intervalo 2,1 
4) Aplicando o teorema de Lagrange demonstre que 
5) senx  h  senx  hcos 
6) onde x    x  h . 
7) Verifique a validade do teorema de Cauchy para as funções 
fx  x 2  2 e gx  x 3  1 no intervalo 1,2 e ache o 
ponto c  1,2 
EXERCÍCIOS
Todos os exercícios 
são aplicações 
diretas dos 
teoremas
 59
 
Fórmula de Taylor 
Seja fx uma função contínua tendo derivada contínua até a 
ordem n  1 no intervalo a,b e que para cada ponto interior do 
mesmo existe uma derivada finita f nx . Neste intervalo é válida a 
fórmula: 
fx  fa  x  af a  x  a
2
2! f
a  x  a
3
3! f
a   
 
 
 x  a
n1
n  1! f
n1a  x  a
n
n! f
n
 
Em particular, quando a  0 esta forma assume a forma da 
Fórmula de Maclaurin, a saber: 
fx  f0  xf 0  x 22! f
0  x 33! f
0   
 
 
 xn1n  1! f
n10  x nn! f
n
 
 onde   x , 0    1. 
 
 
 
1) Desenvolva o polinômio fx  x 3  2x 2  3x  5 em potências 
inteiras e não-negativas de x  2 . 
2) Desenvolver a função y  ex em potências do binômio x  1 , 
até o termo que contenha x  13 . 
EXERCÍCIOS
Para resolver 1. 
Derive até uma 
ordem desejada e 
substitua x por 2, 
e use formula de 
T l
 60
3) Desenvolver a função y  lnx em potências de x  1 até o 
termo que tenha x  12 . 
4)Avalie a fórmula 
e  2  12! 
1
3! 
1
4! . 
 
Regra de L'Hospital-Bernoulli 
Vamos apresentar fórmulas para resolver os problemas de 
limites indeterminados. Primeiro trataremos das formas 
0
0 e  e 
depois de outras formas indeterminadas. 
 
Cálculo de limites das formas
0
0 e  
Consideremos as funções fx e gx , deriváveis em 
0  |x  a| h desde que a derivada de gx , ou seja, gx , não 
se reduza a zero. Se fx e gx são infinitamente pequenos, ou 
infinitamente grades, quando x  a , isto é, se a razão 
fx
gx 
representa paposição x  a uma expressão indeterminada, das 
formas 
0
0 ou  podemos afirmar que 
lim
xa
fx
gx  limxa
f x
gx 
desde que exista o limite desta razão das derivadas (regra de 
L'Hospital-Bernoulli). Esta regra também, é aplicável quando a   . 
Quando a razão 
f x
g x torna a dar uma expressão indeterminada no 
ponto x  a de uma das formas citadas acima, podemos aplicar 
novamente a regra, desde que sejam satisfeitas as mesmas 
condições que usamos para fx e gx . O resultado das 
segundas derivadas, se ainda perdura a indeterminação, podemos 
continuar aplicando a regra sucessivamente, até obter um resultado. 
Vale ressaltar que pode existir o limite da razão 
fx
gx , sem que exista 
o limite da razão das derivadas, como por exemplo 
 61
lim
x
x  senx
x  senx  1.
 
 
Mais formas indeterminadas 
Suponhamos que temos a forma indeterminada 0. , oriunda 
da multiplicação das funções fx e gx , isto é, fx.gx , onde 
limxa fx  0 e limxa gx   . devemos utilizar uma das 
seguintes transformações : 
fx
1
gx
forma 00
gx
1
fx
forma 
 
 Em casos de expressões indeterminadas do tipo    podemos 
transformar a diferença fx  gx no produto fx 1 
gx
fx 
 e calcular, primeiramente, a fração indeterminada 
gx
fx e se o limite 
deste caso quando x  a for 1 , ista é, limx
gx
fx  1, 
 então podemos reduzir esta expressão à forma 
1  gx
fx
1
fx
forma 00
. 
Outras formas indeterminadas como 1 , 00 e 0 , podem 
ser calculados, desde que consigamos estudar antes os logaritmos. 
Uma vez encontrado o logaritmo e seu limite de grau correspondente 
fxgx , devemos talvez antes ter necessidade de calcular as 
expressões indeterminadas da forma 0. . Em vários casos é 
importantante e útil, combinar os métodos elementares com a Regra 
de L'Hospital-Bernoulli. Vejamos exemplos: 
(1) Seja limx0
ln x
cot x , que é uma forma do tipo 
0
0 . Pela regra de 
L'Hospital-Bernoulli, pomos 
As formas 
indeterminadas devem 
ser estudadas, pois 
suas aplicações são 
vastíssimas, em 
quaisquer ramos do 
conhecimento, 
principalmente quando 
surgem as 
 62
lim
x0
lnx
cotx  limx0
lnx
cotx   limx0
sen 2x
x . 
 Note que, a expressão continua na forma 
0
0 mas não é necessário 
aplicarmos a regra acima, senão vejamos: 
lim
x
sen 2x
x  lim senxx . senx  1.0  0 
 e pomos em definitivo que 
lim
x0
lnx
cotx  0. 
 (2) Agora consideremos o seguinte 
lim
x0
1
sen 2x
 1
x 2 
 que está na forma indeterminada    . Vamos reduzir as frações 
ao mesmo denominador, a saber: 
lim
x0
1
sen 2x
 1
x 2
 lim
x0
x 2  sen 2x
x 2 sen 2x 
 que continua na forma indeterminada 
0
0 , mas lembrando que 
podemos substituir o último denominador por infinitésimo equivalente 
(veja Cap. 3, item 1.3, que senx  x ), pomos x 2 sen 2x  x 4 . e 
assim pela Regra de L'Hospital-Bernoulli, pomos 
lim
x0
1
sen 2x
 1
x 2
 lim
x0
x 2  sen 2x
x 2 sen 2x
 lim
x0
x 2  sen 2x
x 4
 lim
x0
2x  sen2x
4x 3 
 aplicando novamente a regra de L'Hospital-Bernoulli e depois 
utilizando procedimentos elementares como a identidade 
trigonométrica 1  cos2x  2sen 2x pomos 
lim
x0
1
sen 2x
 1
x 2
 lim
x0
2  2cosx
12x 2
 lim
x0
1  cos2x
6x 2
 lim
x0
2sen 2x
6x 2
 13 
 (3)Agora vejamos um exemplo, cuja forma indeterminada é 1 , na 
 63
qual antes de qualquer estudo, aplicamos logaritmo, como segue; 
lim
x0
cos2x 3x2  lim
x0
3 ln cos2x
x 2
 6 lim
x0
tan2x
2x  6 
 e assim podemos determinar o limite procurado, que é: 
lim
x0
cos2x 3x2  e6
 
 
 
 
 
 
 
 
1) Calcular os limites indicados abaixo: 
a limx0 x cosx sen xx3 b limx1
1x
1 sen x
2
c limx0 tan x sen xx sen x
d limx exx5 e limx
ln x
3 x
f limx/2 tan xtan 5x
g limx x 1x h limx0 x sen x i limx1 x
1
1x
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS
 64
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 65
 
 
4 - APLICAÇÕES DA DERIVADA 
4.1 - Crescimento e decrescimento das funções .......................... 66 
4.2 - Extremos das funções .......................................................... 68 
4.3 - Valores mínimos e máximos absolutos ................................ 71 
4.4 - Concavidade e pontos de inflexão ....................................... 73 
4.5 - Assíntotas ............................................................................ 76 
4.6 - Construção de gráficos das funções pelos pontos 
característicos .............................................................................. 80 
4.7 - Diferencial de arco e curvatura ............................................ 83 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SUMÁRIO
 66
4 - APLICAÇÕES DA DERIVADA 
 
Uma das primeiras e de grande importância das aplicações das 
derivadas é o estudo dos extremos das funções. Iniciaremos este 
capítulo com o estudo do crescimento e decrescimento das funções 
reais, com uma variável livre. 
 
4.1 - Crescimento e decrescimento das funções 
 
Seja fx uma função real de variável real, definida em um 
intervalo a,b . 
 
Definição: Diz-se que uma função fx é crescente no intervalo de 
definição a,b , quando para quaisquer dois pontos, x 1 ,x 2  a,b 
, distintos, com x 1  x 2 , tem-se fx 1  fx 2 (fig. 13a), também, 
diz-se que fx é decrescente no intervalo de definição da função, 
se x 1  x 2 implica em fx 1  fx 2 (fig. 13b). 
 
 
 
Proposição: Se a função fx é contínua e derivável no intervalo 
a,b e f x  0 então a função é crescente neste intervalo.e se a 
Observa-se 
que, podemos 
definir os 
máximos das 
funções com o 
uso do seu 
crescimento e 
 67
derivada f x  0 ela é decrescente no intervalo considerado. 
Em alguns casos, o domínio da função fx , pode ser dividido 
em um número finito de intervalos, para o estudo do crescimento e 
decrescimento da função, chamados de intervalos de monotonia da 
função. Estes intervalos são limitados pelos pontos críticos de x , 
isto é, f x  0 ou f1x não existe. 
 
Exemplos: 
 
(1) Vejamos um caso muito interessante, a saber: Considere a 
função y  x 2  2x  5 , cuja derivada é dada por 
y  2x  2  2x  1 . Veja que y  0 se x  1 . Aí 
obtemos dois intervalos de monotonia, que são: infty  x  1 
e neste caso y  0 , logo a função decresce no intervalo 
  x  1 e no intervalo 1  x   temos y  0 e 
portanto a função cresce neste intervalo.(veja fig. 14) 
 
 
 
 (2) vamos estudar o crescimento ou decrescimento da 
função y  1x  2 Note que no ponto x  2 a função é 
descontínua, e além disso,a derivada y
   1x22 é sempre 
Note que o ponto 
x= -2 não está no 
domínio da 
função
 68
negativa para todos valor de x  2 portanto a função y 
decresce nos intervalos ,2 e 1, . 
(3) Vamos observar a seguir, que a função y 
1
5 x
5  13 x
3
tem 
derivada y4  x 2 cujas raízes são: 1, 0, 1 , ou seja os pontos 
onde a derivada se anula. Como a derivada pode mudar de sinal 
apenas quando se anula ou é descontinua no ponto, e em nosso 
caso não ocorre descontinuidade, vemos facilmente, que em cada 
um dos seguintes intervalos ,1 , 1,0 , 0,1 , 1, a 
derivada conserva um mesmo sinal. Donde em cada um desses 
intervalos a função investigada é monótona. Para determinarmos o 
crescimento e decrescimento em cada um desses intervalos 
precisamos saber qual o sinal da derivada em cada intervalo. Para 
sabermos qual o sinal da derivada no intervalo ,1 , basta 
determinarmos o valor de y em qual quer ponto deste intervalo. 
Por exemplo, em 2 , a derivada vale y  12  0 , logo a função, 
neste intervalo é crescente.de modo análogo vemos que y  0 no 
intervalo 1,0 , logo a função y é aí decrescente (veja em 
x  0,5 . Também y  0 no intervalo 0,1 (experimente com 
x  0,5 , logo a função y é decrescente neste intervalo. E no 
intervalo 1, ela é crescente pois y  0 . Desta forma a 
função y cesce no intervalo ,1 , decresce no intervalo 
1,1 e volta a crescer em 1, . 
 
 
 
4.2 - Extremos das funções 
 
Ao estudarmos o problema dos extremos de uma função, ou 
seja. os pontos de máximos e mínimos de uma função, devemos ver 
que este fato é um problema local, isto é, depende do ponto e de 
 69
uma pequena vizinhança deste ponto. 
 
Definição:Seja dada uma função definida em certo intervalo a,b . 
Consideremos os pontos x 1 e x 2 pertencentes ao intervalo a,b 
, e suponhamos que existam vizinhanças Vx 1 de x 1 e Vx 2 
de x 2 , ambas contidas em a,b . Diz-se que x 1 é um ponto de 
máximo da função fx e fx 1 seu máximo, se qualquer que seja 
x  x 1 , x  Vx 1 , tem-se fx  fx 1 . De modo análogo, diz-
se que x 2 é ponto de mínimo, e fx 2 e o valor mínimo da função 
fx , se qualquer que seja x  Vx 2 , x  x 2 , tem-se 
fx  fx 2 (veja fig.15). 
 
 
 
Proposição; Um ponto de máximo ou de mínimo de uma função, é 
denominado de ponto extremo e o valor da função neste ponto é 
denominado extremo. Se x 0 é ponto extremo de uma função fx 
então f x 0  0 ( x 0 é um ponto estacionário), ou não existe 
f x 0 . Essa é a condição necessária para a existência de extremo. 
A condição recíproca não é válida, visto que os pontos nos quais 
f x  0 ou não existe a derivada (denominados de pontos 
críticos), não são obrigatoriamente pontos extremos da função fx 
 A seguir veremos as condições suficientes para existência, ou 
ausência, de extremos de uma função contínua. 
Note que pelo ponto 
de f’(x0) = 0 não 
significa que x0 seja 
extremo Como
 70
Vejamos as condições: 
(1) Se existe um número positivo  tal que, numa vizinhança 
x 0  ,x 0   , do ponto crítico x 0 , obtém-se f x  0 para 
x 0    x  x 0 e f x  0 em x 0  x  x 0   , o ponto 
x 0 será de máximo da função fx ; e se f x  0 para 
x 0    x  x 0 e f x  0 para x 0  x  x 0   , o ponto 
x 0 será um ponto de mínimo da função fx . Finalmente se 
encontramos um ponto x 0 e um número positivo  , tal que 
0  |x  x 0 |  , então o ponto x 0 não será um ponto de 
extremo da função fx . 
(2) Se f x 0  0 e f x 0  0 , x 0 é um ponto de máximo da 
função fx ; se, f x 0  0 e f x 0  0 tem-se que x 0 é 
ponto de mínimo da função fx e finalmente se f x 0  0 , 
f x 0  0 e f x 0  0 o ponto x 0 não é ponto extremo da 
função fx . Segue uma regra: Vamos supor que a primeira 
das derivadas da função fx que não se anula seja de ordem 
k . Neste caso, se k é um número par, o ponto x 0 será ponto 
extremo que será de máximo se f kx 0  0 e de mínimo se 
f kx 0  0 . Agora, se o número k é impar, o ponto x 0 não 
é extremo. 
Exemplo: Seja y  2x  3 3 x 2 cuja derivada é 
y  2  2
3 x
 2
3 x
 3 x  1.
 
 
Fazendoy  0 , obtemos  3 x  1  0 . 
Obtemos o ponto estacionário que é x 1  1 . Podemos ver que 
x 1  1 é ponto de máximo. De fato, tome a expressão da derivada 
acima e veja que, se x  1  k para k  0 suficientemente 
 71
pequeno, então y  0 e, ao contrário, se x  1  k , tem-se que 
y  0 e portanto, x 1  1 é um ponto de máximo e ymax  1 . 
 
Agora, consideremos a não existência de derivada. Para isso 
tomemos o denominador da derivada igual a zero, isto é, 3 x  0 . 
onde x 2  0 , é o segundo ponto crítico da função y para o qual 
não existe derivada. Tomando x  k , com k  0 , obtemos 
y  0 e quando x  k teremos y  0 . Logo o ponto x  0 é 
um ponto de mínimo da função y , sendo ymin  0 (veja fig.16). 
Note que o estudo do comportamento da função no ponto x  1 , 
também pode ser efetuado pela segunda derivada 
y   2
3x 3 x
,
 
 e quando x 1  1 temos que y  0 e, portanto, x 1  1 é um 
ponto de máximo da função. 
 
 
 
[scale=.60] 
 
4.3 - Valores mínimos e máximos absolutos 
 
Pelo que estudamos acima podemos dizer que para obtermos os 
valores máximos ou mínimos absolutos de uma função continua fx 
em certo intervalo a,b pode ser obtido pelos pontos críticos ou 
A construção desse 
gráfico poderia ser 
mais precisa usando 
um programa 
chamado SWP3D, 
que trabalha com o 
 72
simplesmente nos pontos extremos do intervalo dado. 
Por exemplo: Dada a função y  x 3  3x  3 possua valores 
máximos e mínimos no intervalo 1,5  x  2,5 . De fato, a 
derivada desta função é y2  3 , cujos pontos críticos função y 
são os pontos x 1  1 e x 2  1 . Comparando os valores da 
função nestes pontos, com os valores da função nos extremos do 
intervalo dado, vemos que y1  5 , y1  1 , y1,5  4,125 
e y2,5  11,125 . Portanto, o valor mínimo absoluto da função é 
ymin  1 no ponto x  1 e o valor máximo absoluto é 
ymax  11,125 obtido no ponto x  2,5 (extremo direito do 
intervalo dado. (veja fig. 17). 
 
 
 
 
 
 
 
1) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento das 
seguintes funções: 
EXERCÍCIOS 
 73
ay  x  43 by  x  22 cy  x 2x  3
dy  xx2 ey  1x12 fy 
x
x26x16
 
2) Estudar os extremos das seguintes funções: 
ay  x 2  x  2 by  x3
x23 cy  x 2x  22
d x22x2x1 ey  3 x 2  12 fy  x 2ex
 
3) Determine os coeficientes p e q no polinômio 
y  x 2  px  q de modo que y  3 seja um mínimo 
deste polinômio, quando x  1 
 
4) Dividir um número positivo dado a em dois termos, de modo 
que o produto desses termos seja o maior possível. 
 
5) Qual dos triângulos retângulos de perímetro 2p , tem maior 
área? 
 
 
4.4 - Concavidade e pontos de inflexão 
 
Vimos que a derivada de uma função num ponto, dá a inclinação 
da curva que representa a função, neste ponto. Agora queremos 
estudar como se comporta a curva com respeito a sua "curvatura", se 
está voltada para cima ou para baixo. Veremos que este fato está 
ligado à derivada de ordem dois. 
 
Concavidade do gráficode uma função 
No exercício 4, 
escreva a = m.n e 
imponha as 
condições de 
mínimo ou máximo
No exercício 5, 
lembre-se da 
relação de
 74
 
Definição: Seja dada uma função y  fx . Diz-se que seu gráfico 
é côncavo para baixo no intervalo a,b , se o arco da curva está 
situado abaixo da tangente traçada em qualquer ponto no intervalo 
a,b . Diz-se que o gráfico de y  fx é côncavo para cima, se o 
arco da curva, no intervalo a1 ,b1 , está situado acima da tangente 
traçada em qualquer ponto do intervalo considerado (fig.18). 
 
 
 
Proposição: Uma condição suficiente para que no gráfico da função 
fx estudada no intervalo a,b , tenha concavidade voltada para 
baixo ou para cima, é que seja verificada respectivamente a 
desigualdade f x  0 f x  0 no intervalo considerado. 
 
Definição: Denominamos ponto de inflexão ao ponto x 0 , fx 0 
no qual a concavidade do gráfico muda de sentido (veja fig.18). 
 
No ponto, de abscissa x 0 , de inflexão, a derivada f x 0  0 
ou não existe e denominamos estes pontos de pontos críticos de 
segunda espécie. 
 
Exemplo: Consideremos a curva de Gauss, a saber: y  ex2 , 
vamos procurar os intervalos onde a curva tem concavidade e o 
ponto de inflexão, se houver. Veja que yx
2
 e y2  2ex2 . 
Nesta aplicação do 
crescimento e 
decrescimento da 
função, torna mais 
fácil estudar os 
t d i fl ã
 75
Tomando y  0 encontramos os pontos críticos de segunda 
espécie, a saber: 
x 1   1
2
x 2  1
2
.
 
Como a função dada é contínua no intervalo , , temos que 
os pontos críticos dividem este intervalo em três subintervalos, a 
saber:   x  x 1 , x 1  x  x 2 e x 2  x   e nestes 
intervalos veja que os sinais de y são respectivamente , ,  . 
Assim podemos afirmar que a curva será côncava para cima nos 
intervalos infty  x  x 1 e x 2  x   e côncava para baixo no 
intervalo x 1  x  x 2 . Observe que os pontos 
1
2
; 1e e 
 1
2
; 1e , são,pontos de inflexão (veja fig. 19). 
 
 
 
 
Outro exemplo: Seja a função cuja derivada segunda é: 
y   29 x  2
 5
3  2
9 3 x  25
.
 
É claro que y não se anula em parte alguma. Então vamos 
fazer um estudo, baseado no que temos visto de modo teórico. 
Tomemos o denominador de y e igualemos a zero , isto é, 
 76
3 x  25  0 , segue-se que y não existe para x  2 e como 
y  0 para x  2 e y  0 para x  2 , temos, obviamente 
que, o ponto 2,  é um ponto de inflexão (veja fig.20). Segue-se 
que neste ponto a tangente é paralela ao eixo OY , já que a 
derivada primeira , y , é infinita para x  2 
 
 
 
 
 
01. Determine os intervalos de concavidade das funções abaixo, bem 
como os pontos de inflexão: 
ay  1x3 by  x  senx cy  x  14
dy  3 4x 3  12x ey  y  arctanx  x fy  x 2 lnx
gy  cosx hy  x3
x312 iy  1  x 2ex
 
 
4.5 - Assíntotas 
 
Vamos considerar uma função y  fx , e tomar um ponto 
EXERCÍCIOS
Procure explicar o 
porquê da variável 
no ponto -2 ser 
infinita. 
 77
variável x,y que se move continuamente pela curva que 
representa y  fx de modo que, pelo menos uma de suas 
coordenadas tenda ao infinito. 
 
Definição: Considere uma curva y  fx nas condições acima, e 
uma determinada reta cuja distância entre ela e a curva tenda a zero. 
Esta reta é denominada de Assíntota da curva. 
 
Definição: de assíntota vertical: Diz-se que uma assíntota é 
vertical ou paralela ao eixo OY se existe um número  tal que 
lim
x fx   e a reta x   é a assíntota vertical 
Definição de assíntota oblíqua: Se existem os limites 
lim
x
fx
x  h e limxfx  hx  b, a reta y  hx  b será 
assíntota, oblíqua à direita ou se h  0 será horizontal direita, 
paralela ao eixo OX . 
 
Se existem os limites limx
fx
x  h e 
lim
xfx  hx  b, 
 a reta y  hx  b é assíntota oblíqua à esquerda, ou se h  0 , 
horizontal à esquerda, paralela ao eixo OX . O gráfico da função, 
suposta uniforme, y  fx não pode ter mais de uma assíntota 
direita (oblíqua ou horizontal) nem mais de uma assíntota esquerda 
(oblíqua ou horizontal). 
 
Exemplos: 
(1) Considere a curva 
y  x 2
x 2  1
,
e iguale a zero seu 
denominador, determinando assim, as possíveis singularidades, das 
raízes deste denominador. Vê-se que as duas assíntotas são 
 78
x  1 e x  1 . A seguir vamos determinar, se existem, as 
assíntotas oblíquas. Para isso, calculemos os limites quando x   
seguintes: 
h  lim
x
y
x  limx xx 2  1
 1
 
e 
b  lim
xy  x  limx
x 2  x x 2  1
x 2  1
 0.
 
 Portanto, a assíntota direita será a reta y  x (Veja fig.21). 
 
 
Obtem-se a assíntota esquerda por analogia, notando, também , que 
o gráfico é simétrico. Vejamos o cálculo da assíntota proposta: 
h  lim
x
y
x  limx xx 2  1
 1
 
 e 
b  lim
xy  x  limx
x 2  x x 2  1
x 2  1
 0.
 
e desta forma a assíntota esquerda é a reta y  x (fig.21) 
 
Outro exemplo: Consideremos agora, a função y  x  lnx, cujo 
 79
limx0 y   . Então a reta x  0 é uma assíntota vertical. 
 
Devido o domínio da função ser o intervalo 0, , podemos 
procurar a assíntota oblíqua. Notemos que 
y  lim
x
y
x  1  limx lnxx  1 
 e 
b  lim
xy  x  limx lnx  , logo, esta curva não tem assíntota 
oblíqua. 
 
Uma função pode ser dada por suas equações paramétricas 
x  t e y  t . Neste caso, podemos estudar a existência de 
pontos críticos. Primeiramente, deve ser verificado se o parâmetro t 
tem valores para os quais uma das funções  ou  se torne 
infinita, enquanto a outra se mantenha finita. Ou seja, se 
limtt0 t  A e limtt0 t  B e se A   e B   , então 
a curva tem uma assíntota horizontal y  B ; e se A   e 
B   , a curva tem assíntota vertical x  A . E no caso de 
A  B   , bem como 
lim
tt0
t
t  h; limtt0t  t  b, a curva terá uma assíntota 
oblíqua y  hx  b. 
 
No caso da curva ser dada na forma polar r  f , onde r é 
o raio e  o argumento angular, suas assíntotas podem ser 
encontradas pela regra anterior, bastando reduzir a equação da 
curva à forma paramétrica pelas fórmulas: 
x  rcos  fcos;
y  rsen  fsen .
 
 80
 
 
 
 
01. Encontre as assíntotas das seguintes funções: 
1y  1x22 ; 2y 
x
x24x3 ; 3y 
x2
x24 ;
4y  x3
x39 ; 5y  e
1
x ; 6y  x  2  x2
x29 ;
7y  sen xx ; 8y  ln1  x; 9y  11ex .
 
 
 
 
4.6 - Construção de gráficos das funções pelos pontos 
característicos 
 
 Para que possamos construir o gráfico de uma função, faz-se 
necessário definir o domínio (campo de definição) e estudar o 
comportamento da função nos limites tesse domínio. É conveniente, 
embora nem sempre necessário, a determinação dos pontos 
peculiares (se existirem) como:se é monótona, se possue simetria, 
periodicidade, variação de sinal, etc. Devemos determinar os pontos 
de descontinuidade, os pontos extremos e os de inflexão, bem como 
as assíntotas. Com estes elementos determinados, poderemos 
estabelecer a característica geral do gráfico da função e obter o 
desenho matemático. 
 
EXERCÍCIOS 
A construção de 
gráficos agora, se 
torna mais simples 
que usando as 
tabelas,