Pré Cálculo IME

Um quadrado cujo lado mede 1 m.
Unindo o conjunto dos números racionais ao conjunto dos números irracionais,
obtemos o conjunto dos números reais.
O conjunto dos números reais é representado pelo símbolo R.
A Figura 1.3 mostra os números reais e os conjuntos que o formam (que são
chamados subconjuntos de R).
Figura 1.3: O conjunto dos núme-
ros reais e seus subconjuntos.
É possível realizar qualquer operação de adição, subtração e multiplicação entre
números reais. Também é possível realizar a divisão de qualquer número real por outro
número diferente do zero. A seguir, revisaremos as propriedades dessas operações.
4 Capítulo 1. Números reais
Exercícios 1.1
1. Indique quais frases abaixo são verdadeiras.
a) Todo número real é racional.
b) Todo número natural é real.
c) Todo número inteiro é natural.
d) Todo número racional pode ser escrito como uma
fração na qual o numerador e o denominador são
naturais.
e) Todo número irracional é real.
f) Todo número natural é racional.
2. Forneça dois exemplos de
a) números naturais;
b) números inteiros;
c) números racionais negativos;
d) números irracionais;
e) números reais que não são naturais.
3. Dentre os números reais
5,3 −2 10000000√
5 632
75
√
2
3−8,75 √4 125,666...
indique quais são
a) naturais;
b) inteiros;
c) racionais;
d) irracionais.
Respostas dos Exercícios 1.1
1. a) F
b) V
c) F
d) F
e) V
f) V
2. a) Por exemplo, 123 e 13489.
b) Por exemplo, -3 e 250.
c) Por exemplo, −4/3 e −0,255.
d) Por exemplo, 3
√
2 e 4pi.
e) Por exemplo, −1 e 0,5.
3. a) Naturais: 10000000 e
√
4.
b) Inteiros: −2, 10000000 e √4.
c) Racionais: 5,3, −2, 10000000, 63275 ,−8,75, √4 e 125,666...
d) Irracionais:
√
5 e
√
2
3 .
1.2 Soma, subtração e multiplicação de números reais
Uma das características mais importantes dos serem humanos é a capacidade de abs-
tração. Exercitamos essa capacidade o tempo inteiro, sem nos darmos conta disso.
Quando alguém diz “flor”, imediatamente reconhecemos do que se trata. Compreen-
demos o significado desse termo porque já vimos muitas flores, e somos capazes de
associar palavras aos objetos que conhecemos, sem dar importância, por exemplo, à
espécie da planta (begônia, rosa, antúrio, calanchoe, orquídea, cravo, hortênsia, ge-
rânio, margarida, violeta etc). Se não empregássemos essa generalização, escolhendo
uma única palavra para representar a estrutura reprodutora de várias plantas, sería-
mos incapazes de dizer frases como “darei flores no dia das mães”.
Na matemática, e na linguagem matemática, a abstração ocorre em vários níveis,
e em várias situações. O uso de números naturais para contar objetos diferentes é a
forma mais simples e antiga de abstração. Outra abstração corriqueira consiste no
uso de letras, como a, b, x e y para representar números. Nesse caso, a letra serve
apenas para indicar que aquilo a que ela se refere pode ser qualquer número. Assim,
ao escrevermos
a + b
para representar uma soma, indicamos que essa operação é válida para dois números
a e b quaisquer, que suporemos reais. Além disso, a própria escolha das letras a e b
é arbitrária, de modo que, a mesma soma genérica poderia ter sido escrita na forma
w + v.
O leitor deve ter sempre em mente que, ao trabalhar com letras, está trabalhando
com os números que elas representam, mesmo que, no momento, esses números não te-
Seção 1.2. Soma, subtração e multiplicação de números reais 5
nham sido especificados. Vejamos um exemplo no qual definimos a área e o perímetro
de um retângulo mesmo sem conhecer seus lados.
Exemplo 1. Perímetro e área de um retângulo
Suponha que um retângulo tenha arestas (lados) de comprimento b e h. Nesse
caso, definimos o perímetro, P , do retângulo como a soma dos comprimentos das
arestas, ou seja
P = b + b + h + h = 2b + 2h.
Observe que usamos o sinal = para definir o termo P que aparece à sua esquerda.
Definimos também a área, A, do retângulo como o produto
A = b ⋅ h.
Dadas essas fórmulas para o perímetro e a área, podemos usá-las para qualquer
retângulo, quer ele represente um terreno cercado, como o da Figura 1.4, quer um
quadro pendurado na parede. No caso do terreno, o perímetro corresponde ao compri-
mento da cerca, enquanto o perímetro do quadro fornece o comprimento da moldura.
Figura 1.4: Um terreno retangu-
lar.
Embora não tenhamos dito explicitamente, fica subentendido que as medidas b e
h devem ser números reais maiores que zero.
∎ A precedência das operações e o uso de parênteses
Para calcular uma expressão aritmética envolvendo as quatro operações elementares,
é preciso seguir algumas regras básicas. Em primeiro lugar, deve-se efetuar as multi-
plicações e divisões, da esquerda para a direita. Em seguida, são efetuadas as somas
e subtrações, também da esquerda para a direita.
Como exemplo, vamos calcular a expressão 25 − 8 × 2 + 15 ÷ 5.
25 − 8 × 2 + 15 ÷ 5´udcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymod¸udcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymod¶
25 − 16 + 15 ÷ 3´udcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymod¸udcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymod¶
25 − 16 + 5´udcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymod¸udcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymod¶
9 + 5´udcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymod¸udcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymod¶
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Quando desejamos efetuar as operações em outra ordem, somos obrigados a usar
parênteses. Nesse caso, a expressão que está entre parênteses é calculada em primeiro
lugar, como mostra o exemplo a seguir.
5 × (10 − 3)´udcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymod¸udcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymod¶