Pré Cálculo IME

7
= 5 × 7 = 35.
Atenção
Não se esqueça de incluir um
par de parênteses (ou colche-
tes, ou chaves) quando quiser
indicar que uma operação deve
ser efetuada antes de outra que,
normalmente, lhe precederia.
Se não tivéssemos usado os parênteses nesse exemplo, teríamos que efetuar a mul-
tiplicação antes da soma, de modo que o resultado seria bastante diferente:
5 × 10®
50
−3 = 50 − 3 = 47.
Um exemplo mais capcioso é dado abaixo. Como se vê, na expressão da esquerda,
os parênteses indicam que a multiplicação deve ser efetuada antes da divisão. Já na
6 Capítulo 1. Números reais
expressão da direita, que não contém parênteses, a divisão é calculada em primeiro
lugar.
100 ÷ (2 × 5)´udcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymod¸udcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymod¶ 100 ÷ 2´udcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymod¸udcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymod¶×5
100 ÷ 10´udcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymod¸udcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymod¶ 50 × 5®
10 250
Por outro lado, é permitido usar parênteses em situações nas quais eles não seriam
necessários. Como exemplo, a expressão
100 − (75 ÷ 5) + (12 × 6)
é equivalente a
100 − 75 ÷ 5 + 12 × 6.
Na calculadora
As calculadoras científicas mo-
dernas permitem o uso de pa-
rênteses. Efetue a conta ao
lado em sua calculadora, subs-
tituindo as chaves e os colche-
tes por parênteses, e verifique
se você obtém o mesmo resul-
tado.
Podemos escrever expressões mais complicadas colocando os parênteses dentro de
colchetes, e estes dentro de chaves, como no exemplo abaixo.
5 × {3 × [(20 − 4) ÷ (9 − 7) + 2] + 6} = 5 × {3 × [16 ÷ 2 + 2] + 6}= 5 × {3 × 10 + 6}= 5 × 36= 180.
∎ Propriedades da soma e multiplicação
Foge ao objetivo desse livro definir as operações aritméticas elementares, que supomos
conhecidas pelo leitor. Entretanto, nos deteremos nas propriedades dessas operações,
nem sempre bem exploradas no ensino fundamental.
Comecemos, então, analisando as propriedades mais importantes da soma e da
multiplicação.
Propriedades da soma e da multiplicação
Suponha que a, b e c sejam números reais.
Propriedade Exemplo
1. Comutatividade da soma
a + b = b + a 2 + 3 = 3 + 2
2. Associatividade da soma(a + b) + c = a + (b + c) (2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5)
3. Comutatividade da multiplicação
a ⋅ b = b ⋅ a 15 ⋅ 9 = 9 ⋅ 15
4. Associatividade da multiplicação(ab)c = a(bc) (4 ⋅ 3) ⋅ 6 = 4 ⋅ (3 ⋅ 6)
5. Distributividade
a(b + c) = ab + ac 5(12 + 8) = 5 ⋅ 12 + 5 ⋅ 8
A propriedade comutativa da multiplicação pode ser facilmente compreendida se
considerarmos, por exemplo, duas possibilidades de dispor as carteiras de uma sala
de aula. Como ilustrado na Figura 1.5, não importa se formamos 4 fileiras com 7
carteiras ou 7 fileiras de 4 carteiras, o número total de carteiras será sempre 28, ou
seja
4 ⋅ 7 = 7 ⋅ 4 = 28.
Seção 1.2. Soma, subtração e multiplicação de números reais 7
(a) 4 fileiras de 7 carteiras. (b) 7 fileiras de 4 carteiras.
Figura 1.5: Duas formas de organizar 28 carteiras em uma sala.
A Propriedade 5, formalmente conhecida como propriedade distributiva, é popu-
larmente chamada de regra do chuveirinho, porque costuma ser apresentada na forma
a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c.
O problema abaixo, que também envolve assentos, mostra uma aplicação dessa
propriedade.
Problema 1. Contagem das poltronas de um auditório
Um pequeno auditório é formado por dois conjuntos de poltronas, separados por
um corredor, como mostra a Figura 1.6. Determine o número de poltronas da sala.
Figura 1.6: Poltronas de um auditório.
Solução.
Podemos contar as poltronas de duas formas diferentes. A primeira delas consiste em
8 Capítulo 1. Números reais
contar as poltronas de cada grupo, e depois somá-las. Nesse caso, temos
8 × 6®
esquerda
+ 8 × 4®
direita
= 48 + 32 = 80.
A segunda maneira consiste em multiplicar o número de fileiras pelo número de
poltronas de cada fileira, ou seja,
8 × (6 + 4) = 8 × 10 = 80.
Como o número de poltronas é o mesmo, não importando o método usado para
contá-las, concluímos que
8 × (6 + 4) = 8 × 6 + 8 × 4,
que é exatamente aquilo que diz a propriedade distributiva.
Apesar de simples, a propriedade distributiva costuma gerar algumas dúvidas,
particularmente pela má interpretação do significado dos parênteses. Alguns erros
comuns são apresentados na Tabela 1.2.
Tabela 1.2: Aplicações incorretas da propriedade distributiva.
Expressão Errado Correto
2 ⋅ (5 ⋅ x) 2 ⋅ 5 + 2 ⋅ x = 10 + 2x 2 ⋅ (35) = 70
4 + (15 + 5) 4 + 15 + 4 + 5 = 28 4 + 15 + 5 = 24
9 + (10 ⋅ 8) 9 ⋅ 10 + 9 ⋅ 8 = 162 9 + 80 = 89
5 ⋅ (3 + 2 ⋅ x) 5 ⋅ 3 + 5 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ x = 15 + 50x 5 ⋅ 3 + 5 ⋅ 2x = 15 + 10x
3 ⋅ 4 + 6 3 ⋅ 4 + 3 ⋅ 6 = 30 12 + 6 = 18
Observe que, nos três primeiros exemplos, há um sinal de multiplicação dentro dos
parênteses, ou um sinal de soma fora dos parênteses, de modo que a propriedade dis-
tributiva não pode ser aplicada. No quarto exemplo, deve-se perceber que o produto
de 5 por 2 ⋅x fornece, simplesmente, 5 ⋅ 2 ⋅x = 10x. Finalmente, a expressão do último
exemplo não contém parênteses, de modo que a multiplicação deve ser efetuada antes
da soma, como vimos à página 5, não cabendo o uso da propriedade distributiva.
Voltaremos a essas dificuldades quando tratarmos das expressões algébricas. Ve-
jamos, agora, alguns exercícios um pouco mais complicados sobre a Propriedade 5.
Problema 2. Propriedade distributiva
Quando possível, aplique a propriedade distributiva às expressões abaixo.
a) 2(x + 8)
b) 4(9 ⋅ x) c) 7 + (11 + x)d) 6(3 + 5x − 8y). e) 5[4 + 2(x + 3)].
Solução.
a)
2(x + 8) = 2 ⋅ x + 2 ⋅ 8= 2x + 16.
b) Nesse caso, não é possível aplicar a propriedade distributiva, já que há apenas
um produto dentro dos parênteses. De fato, os parênteses podem ser suprimidos,
de modo que
4(9 ⋅ x) = 4 ⋅ 9 ⋅ x = 36x.
Seção 1.2. Soma, subtração e multiplicação de números reais 9
c) Nesse problema, também não é possível aplicar a propriedade distributiva, já
que há uma soma fora dos parênteses. Mais uma vez, os parênteses podem ser
suprimidos, ou seja,
7 + (11 + x) = 7 + 11 + x = 18 + x.
d)No problema (d), há uma soma de
três termos dentro dos parênteses.
Nesse caso, o valor 6 é multiplicado
por todos os termos.
Já no problema (e), a propriedade
distributiva é aplicada duas vezes,
uma considerando os termos entre
colchetes, e outra incluindo os termos
entre parênteses.
6(3 + 5x + 8y) = 6 ⋅ 3 + 6 ⋅ 5x + 6 ⋅ 8y= 18 + 30x + 48y.
e)
5[4 + 2(x + 3)] = 5 ⋅ 4 + 5 ⋅ 2(x + 3)= 20 + 10(x + 3)= 20 + 10x + 30= 50 + 10x.
A propriedade distributiva também é muito usada na direção contrária àquela
apresentada nos Problemas 1 e 2, ou seja,
Se a, b e c forem números reais, podemos substituir ab + ac por a(b + c).
Quando essa substituição é feita, dizemos que o termo a é posto em evidência.
Esquematicamente, temosVoltaremos a por termos em evidên-
cia ao tratarmos da fatoração de ex-
pressões algébricas, na Seção 2.9.
a ⋅ c + a ⋅ b = a ⋅ (b + c).
Exemplo 2. Pondo números em evidênciaNão se esqueça de que, nesse exem-
plo, as letras x, y, z, s e t represen-
tam números reais. a) 10x + 10y = 10(x + y)
b) 3x + 3 = 3(x + 1)
c) 5x + xy = x(5 + y)
d) 15x + 25 = 5(3x + 5)Observe que 15 = 5 × 3 e 25 = 5 × 5.
e) 8s − 2t = 2(4s − t)Observe que 8 = 2 × 4.
f) 7xy − 7yz = 7y(x − z)
Agora, tente o exercício 4.
O número 0 (zero) é chamado elemento neutro da soma, pois, se a é um número
real, então
a + 0 = a. Exemplo: 37 + 0 = 37.Em uma soma, podemos eliminar asparcelas iguais a 0.
De forma análoga, o número 1 (um) é chamado elemento neutro da multipli-