Pré Cálculo IME

cação, pois, se a é um número real, então
Em um produto, podemos eliminar
os fatores iguais a 1, mas não aque-
les iguais a 0.
a ⋅ 1 = a. Exemplo: 128 ⋅ 1 = 128.
Pode parecer inútil definir esses elementos neutros mas, como veremos nesse e
nos próximos capítulos, eles são muito empregados na simplificação de expressões e
equações.
10 Capítulo 1. Números reais
∎ Números negativos
Todo número real a possui um número oposto, ou simétrico, −a, tal que a+ (−a) = 0.
Assim,
O número −3 é o simétrico de 3, pois 3 + (−3) = 0.
O número 3 é o simétrico de −3, pois (−3) + 3 = 0.
Observe que a operação de subtração equivale à soma de um número pelo simétrico
do outro, ou seja,
a − b = a + (−b).
Usando essa equivalência, pode-se mostrar que a propriedade distributiva se aplica
à subtração:
a(b − c) = ab − ac.
As principais propriedades dos números negativos estão resumidas no quadro a
seguir.
Propriedades dos números negativos
Suponha que a e b sejam números reais.
Propriedade Exemplo
1. (−1)a = −a (−1)32 = −32
2. −(−a) = a −(−27) = 27
3. (−a)b = a(−b) = −(ab) (−3)4 = 3(−4) = −(3 ⋅ 4) = −12
4. (−a)(−b) = ab (−5)(−14) = 5 ⋅ 14 = 70
5. −(a + b) = −a − b −(7 + 9) = −7 − 9 = −16
6. −(a − b) = −a + b = b − a −(10 − 3) = −10 + 3 = 3 − 10 = −7
A primeira propriedade nos diz que, para obter o simétrico de um número, basta
trocar o seu sinal, o que corresponde a multiplicá-lo por −1. A segunda propriedade
indica que o simétrico do simétrico de um número a é o próprio a. Usando essas duas
propriedades, bem como as propriedades da soma e da multiplicação apresentadas na
subseção anterior, podemos provar facilmente as demais.
Para provar a primeira parte da propriedade 3, escrevemos
(−a)b = [(−1) ⋅ a] ⋅ b Propriedade 1.= [a ⋅ (−1)] ⋅ b Propriedade comutativa da multiplicação.= a ⋅ [(−1) ⋅ b] Propriedade associativa da multiplicação.= a ⋅ (−b) Propriedade 1.
Já a propriedade 6 pode ser deduzida por meio do seguinte raciocínio:
Seção 1.2. Soma, subtração e multiplicação de números reais 11
−(a − b) = (−1) ⋅ (a − b) Propriedade 1.= (−1)a − (−1)b Propriedade distributiva da multiplicação.= (−a) − (−b) Propriedade 1.= −a + b Propriedade 2.= b + (−a) Propriedade comutativa da soma.= b − a Subtração como a soma do simétrico.
Exemplo 3. Trabalhando com números negativos
a) (−1)12 + 30 = −12 + 30 = 30 − 12 = 18
b) 52 − (−10,5) = 52 + 10,5 = 62,5
c) 70 + (−5)6 = 70 − 30 = 40
d) 70 − (−5)6 = 70 − (−30) = 70 + 30 = 100
e) 70 + (−5)(−6) = 70 + 30 = 100
f) 70 − (−5)(−6) = 70 − 30 = 40
g) 25 + (−2,75)x = 25 − 2,75x
h) 56 − (−3)y = 56 + 3y
i) 144,2 − (−4,2)(−w) = 144,2 − 4,2w
j) (−x)(−8)(−11) = −88x
k) (−3)(−2y)(7) = 42y
l) (−5z)(3x)(4y) = −60xyz
m) −(18 + x) = −18 − x
n) x − (18 − 3x) = x − 18 + 3x = 4x − 18
Agora, tente o exercício 2.Tabela 1.3: Expressões incorretas
com números negativos.
Errado Correto
3 + −2 3 + (−2)
10 − −4 10 − (−4)
6 ⋅ −5 6 ⋅ (−5)
Observe que, frequentemente, é necessário usar parênteses e colchetes em expres-
sões que envolvem números negativos. A Tabela 1.3 mostra expressões nas quais, por
preguiça de incluir os parênteses, um operador (+, − ou ×) foi erroneamente sucedido
pelo sinal negativo, o que não é permitido na notação matemática.
Problema 3. A escola de Atenas
Sócrates, que morreu em 399 a.C., foi retratado por Rafael em seu famoso afresco
“A escola de Atenas”, concluído em 1510 d.C. Quanto tempo após a morte de Sócrates
a pintura foi concluída?
12 Capítulo 1. Números reais
Figura 1.7: A escola de Atenas, afresco do Museu do Vaticano.
Solução.
O ano 399 a.C., quando ocorreu a morte de Sócrates, é equivalente ao ano -398 da
era comum (pois o ano 1 a.C. for sucedido pelo ano 1 d.C., sem que tenha havido o
ano 0 d.C.). Como o afresco foi concluído em 1510, os visitantes do Vaticano puderam
ver essa magnífica obra
1510 − (−398) = 1510 + 398 = 1908 anos
após a morte do famoso filósofo ateniense.
Agora, tente o exercício 8.
Problema 4. Propriedade distributiva com números negativos
Aplique a propriedade distributiva às expressões abaixo.
a) 7(6 − 5w − 2t). b) −3[(4 − 2x) − 2(3x − 1)].
Solução.
a)
7(6 − 5w − 2t) = 7 ⋅ 6 − 7 ⋅ 5w − 7 ⋅ 2t= 42 − 35w − 14t.
b) −3[(4 − 2x) − 2(3x − 1)] = −3 ⋅ (4 − 2x) + (−3) ⋅ (−2)(3x − 1)= −3(4 − 2x) + 6(3x − 1)= −3 ⋅ 4 + (−3) ⋅ (−2x) + 6 ⋅ 3x − 6 ⋅ 1= −12 + 6x + 18x − 6= 24x − 18.
Agora, tente o exercício 3.
Seção 1.2. Soma, subtração e multiplicação de números reais 13
Exercícios 1.2
1. Calcule os pares de expressões abaixo, observando o
papel dos parênteses.
a) 10+5−12+3−7+23−6 e 10+5−(12+3)−(7+23)−6
b) 10 + 6 × 12 − 8 ÷ 2 e (10 + 6) × (12 − 8) ÷ 2
c) 38 − 6 × 4 − 28 ÷ 2 e [(38 − 6) × 4 − 28] ÷ 2
d) 2 + 10 × 2 + 10 × 2 + 10 × 2 + 10 e
2 + 10 × {2 + 10 × [2 + 10 × (2 + 10)]}
2. Calcule as expressões abaixo.
a) −(−3,5)
b) −(+4)
c) 2 + (−5,4)
d) 2 − (−5,4)
e) (−32,5) + (−9,5)
f) −32,5 − 9,5
g) (−15,2) + (+5,6)
h) (−15,2) + 5,6
i) 4 ⋅ (−25) ⋅ 13
j) 13 ⋅ (−25) ⋅ 4
k) −10 ⋅ (−18) ⋅ (−5)
l) (−7x) ⋅ (−4y) ⋅ (3)
m) (−12) ⋅ (−6)
n) −(12 ⋅ 6)
o) −[12 ⋅ (−6)]
p) −15 ⋅ (−6) + 15 ⋅ (−6)
q) −15 ⋅(−6)−(−10) ⋅(−3)
r) 3 − (5 + x)
s) 24 − (8 − 2y)
t) 2x − (6 + x)
u) y − (8 − 2y)
3. Aplique a propriedade distributiva e simplifique as ex-
pressões sempre que possível.
a) 5 ⋅ (6 + x).
b) 7 ⋅ (5 − x).
c) −3(x + 8).
d) −4(10 − 2x).
e) (3x − 4) ⋅ 2.
f) −2(3x − 4).
g) 15(2 + 5x − 6y).
h) −6(x − 2y + 7z − 9).
i) 3(x − 6) + 2(4x − 1).
j) 4(6− 5x)− 2(2x− 12).
k) (3 − 5x) ⋅ (2 − 4y).
l) 2[x − 2 − 4(5 − 2x)].
m) −5[4 − 2(2 − 3x)].
n) −4[(2−3x)+3(x+1)].
4. Aplicando a propriedade distributiva, ponha algum
termo em evidência.
a) 5x + 5w
b) 12x + 12
c) 3x − 3y + 3z
d) xy − yz
e) 2xw − 2xv
f) xy + 2sx − 5xv
g) 2 + 2x
h) 30 + 5x
i) 35 − 7x
j) −10 − 2x
5. Calcule as expressões abaixo.
a) 2 + (x + 3)
b) 6 − (5 + x)
c) 3 ⋅ (8 ⋅ y)
d) 7 ⋅ (−2 ⋅ x)
e) 4 + (3 ⋅ x)
f) 8 − (y ⋅ 5)
g) 9 ⋅ x ⋅ (3 ⋅ y)
h) (3x) ⋅ (−6y)
i) (−2x) ⋅ (8y)
j) (−5x) ⋅ (−2y)
6. Você possui R$ 300,00 em sua conta bancária, que dis-
põe do sistema de cheque especial. Se der um cheque
no valor de R$ 460,00, qual será seu saldo bancário?
7. Um termômetro marca 8○C. Se a temperatura baixar
12○C, quanto o termômetro irá marcar?
8. A câmara funerária de Tutancâmon foi aberta em 1923
d.C. Sabendo que o famoso rei egípcio morreu em 1324
a.C., quanto tempo sua múmia permaneceu preservada?
9. Após decolar de uma cidade na qual a temperatura era
de 20,5○C, um avião viaja a 20.000 pés de altura, a
uma temperatura de −32,2○C. Qual foi a variação de
temperatura nesse caso? Forneça um número positivo,
se tiver havido um aumento, ou um número negativo,
se tiver havido uma redução da temperatura.
10. Antes de sua última partida, na qual perdeu por 7 a 0,
o Chopotó Futebol Clube tinha um saldo de 2 gols no
campeonato da terceira divisão. Qual é o saldo atual
do glorioso time?
Respostas dos Exercícios 1.2
1. a) 16 e −36.
b) 78 e 32.
c) 0 e 50.
d) 72 e 12222.
2. a) 3,5.
b) −4.
c) −3,4.
d) 7,4.
e) −42.
f) −42.
g) −9,6.
h) −9,6.
i) −1300.
j) −1300.
k) −900.
l) 84xy.
m) 72.
n) −72.
o) 72.
p) 0.
q) 60.
r) −2 − x.
s) 16+2y.
t) x − 6.
u) 3y − 8.
3. a) 30 + 5x.
b) 35 − 7x.
c) −3x − 24.
d) 8x − 40.
e) 6x − 8.
f) 8 − 6x.
g) 30 + 75x − 90y.
h) −6x + 12y −
42z + 54.
i) 11x − 20.
j) 48 − 24x.
k) 20xy − 10x −
12y + 6.
l) 18x − 44.
m) −30x.
n) −20.
4. a) 5(x +w)
b) 12(x + 1)
c) 3(x − y + z)
d) y(x − z)
e) 2x(w − v)
f) x(y + 2s − 5v)
g) 2(1 + x)
h) 5(6 + x)
i) 7(5 − x)
j) −2(5 + x)
5. a) 5 + x
b) 1 − x
c) 24y
d) −14x
e) 4 + 3x
f) 8 − 5y
g) 27xy
h) −18xy
i) −16xy
j) 10xy
6. −160 reais.
7. −4○C.
8. 3246 anos. Note que 1324 a.C. corresponde
ao ano -1323 da era comum, em virtude do
fato de o ano 1 a.C. ter sido sucedido por
1.d.C.).
9. −52,7○C.
10. −5 gols.
14 Capítulo 1. Números