Estado triplo de tensões 2

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ESTADO DE TENSÕES 
 
 
Exercício 2 
1. Dado o estado de tensão: 
 
{𝜎}𝑥𝑦𝑧 = (
2,2 1,0 1,5
1,0 1,5 2,0
1,5 2,0 1,0
) (𝑀𝑃𝑎) 
 
Determinar: 
a) Invariantes de tensão. b) Tensões principais. 
c) Direções dos planos principais. d) Mostrar que os planos principais são ortogonais 
entre si. 
e) Tensões octaédricas normal e cisalhante 
 
Parte 1 – Invariantes de Tensões 
Do desenvolvimento do estado triplo de tensões sabe-se que os três invariantes de 
tensão podem ser obtidos por: 
𝐼1 = 𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 + 𝜎𝑧 = 𝜎1 + 𝜎2 + 𝜎3 
𝐼2 = 𝜎𝑥𝜎𝑦 + 𝜎𝑦𝜎𝑧 + 𝜎𝑥𝜎𝑧 − 𝜏𝑥𝑦
2 − 𝜏𝑦𝑧
2 − 𝜏𝑥𝑧
2 = 𝜎1𝜎2 + 𝜎2𝜎3 + 𝜎1𝜎3 
𝐼3 = 𝜎𝑥𝜎𝑦𝜎𝑧 + 2𝜏𝑥𝑦𝜏𝑦𝑧𝜏𝑥𝑧 − 𝜎𝑥𝜏𝑦𝑧
2 − 𝜎𝑦𝜏𝑥𝑧
2 − 𝜎𝑧 𝜏𝑥𝑦
2 = 𝜎1𝜎2𝜎3 
Dessa forma, obtemos: 
𝐼1 = 2,2 + 1,5 + 1,0 = 4,70 𝑀𝑃𝑎 
𝐼2 = 2,2 × 1,5 + 1,5 × 1 + 2,2 × 1 − 1
2 − 22 − 2,52 = −0,25 𝑀𝑃𝑎² 
𝐼3 = 2,2 × 1,5 × 1 + 2(1 × 2 × 1,5) − 2,2 × 2
2 − 1,5 × 1,52 − 1 × 12 = −3,8 𝑀𝑃𝑎³ 
Parte 2 – Tensões Principais 
A partir das invariantes de tensão, pode-se construir a equação característica do 
estado triplo de tensões: 
𝑆3 − 𝐼1𝑆
2 + 𝐼2𝑆 − 𝐼3 = 0 
𝑆3 − 4,70 × 𝑆2 − 0,25 × 𝑆 + 3,80 = 0 
As raízes da equação característica (autovalores) fornecem as tensões principais 
atuantes no corpo. Desenvolvendo a resolução da equação cúbica, obtemos: 
𝑆1 = 4,57 𝑀𝑃𝑎 = 𝜎1 
 
2 
𝑆2 = 0,99 𝑀𝑃𝑎 = 𝜎2 
𝑆3 = −0,86 𝑀𝑃𝑎 = 𝜎3 
 
Parte 3 – Plano das Tensões Principais 
Com base nas tensões principais obtidas (autovalores) é possível determinar os 
cossenos diretores de cada tensão principal (autovetores) que satisfazem a relação matricial: 
[
(𝜎𝑥 − 𝜎) 𝜏𝑥𝑦 𝜏𝑥𝑧
𝜏𝑥𝑦 (𝜎𝑦 − 𝜎) 𝜏𝑦𝑧
𝜏𝑥𝑧 𝜏𝑦𝑧 (𝜎𝑧 − 𝜎)
] {
𝑙
𝑚
𝑛
} = {
0
0
0
} 
Como o sistema é linearmente dependente (apenas duas equações linearmente 
independentes) é necessário utilizar a relação de Euler para a resolução não trivial do sistema: 
𝑙2 + 𝑚2 + 𝑛2 = 1 
Direção principal 𝝈𝟏 
[
(2,20 − 4,57) 1 1,50
1 (1,50 − 4,57) 2
1,50 2 (1 − 4,57)
] {
𝑙
𝑚
𝑛
} = {
0
0
0
} 
[
(−2,37) 1 1,50
1 (−3,07) 2
1,50 2 (−3,57)
] {
𝑙
𝑚
𝑛
} = {
0
0
0
} 
𝑚 = 0,944. 𝑙 𝑛 = 0,949. 𝑙 𝑙 = 𝑙 
⇒ 𝑙2 + (0,944. 𝑙)2 + (0,949. 𝑙)2 = 1 
⇒ 𝑙2 = 
1
2,793
⇒ 𝑙 = ±0,599 
σ l m n 
σ1 = 4,57 MPa 
0,599 0,565 0,568 
- 0,599 - 0,565 - 0,568 
 
σ θ ϕ ψ 
σ1 = 4,57 MPa 53,2° 55,6° 55,4° 
 
3 
126,8° 124,4° 123,6° 
 
Direção principal 𝝈𝟐 
[
(2,20 − 0,99) 1 1,50
1 (1,50 − 0,99) 2
1,50 2 (1 − 0,99)
] {
𝑙
𝑚
𝑛
} = {
0
0
0
} 
[
(1,21) 1 1,50
1 (0,51) 2
1,50 2 (0,01)
] {
𝑙
𝑚
𝑛
} = {
0
0
0
} 
𝑚 = −0,748. 𝑙 𝑛 = −0,309. 𝑙 𝑙 = 𝑙 
⇒ 𝑙2 + (−0,748. 𝑙)2 + (−0,309. 𝑙)2 = 1 
⇒ 𝑙2 = 
1
1,656
⇒ 𝑙 = ±0,777 
σ l m n 
σ2 = 0,99 MPa 
0,777 - 0,582 - 0,240 
- 0,777 0,582 0,240 
 
σ θ ϕ ψ 
σ2 = 0,99 MPa 
39,0° 125,6° 103,9° 
141,0° 54,4° 76,1° 
 
 
Direção principal 𝝈𝟑 
[
(2,20 − (−0,86)) 1 1,50
1 (1,50 − (−0,86)) 2
1,50 2 (1 − (−0,86))
] {
𝑙
𝑚
𝑛
} = {
0
0
0
} 
[
(3,06) 1 1,50
1 (2,36) 2
1,50 2 (1,86)
] {
𝑙
𝑚
𝑛
} = {
0
0
0
} 
𝑚 = 2,926. 𝑙 𝑛 = −3,953. 𝑙 𝑙 = 𝑙 
 
4 
⇒ 𝑙2 + (2,926. 𝑙)2 + (−3,953. 𝑙)2 = 1 
⇒ 𝑙2 = 
1
25
⇒ 𝑙 = ±0,199 
σ l m n 
σ3 = - 0,86 MPa 
0,199 0,583 - 0,788 
- 0,199 - 0,583 0,788 
 
σ θ ϕ ψ 
σ3 = - 0,86 MPa 
78,5° 54,3° 142,0° 
101,5° 125,7° 38,0° 
 
 
Parte 4 – Ortogonalidade entre planos principais 
Os cossenos diretores de um plano constituem as componentes do versor normal a 
este plano, por definição. 
�̂� = (𝑐𝑜𝑠𝜃, 𝑐𝑜𝑠𝜙, 𝑐𝑜𝑠𝜓), |�̂�| = 1 
Um plano possui dois versores normais que passam pela origem, iguais em módulo e 
direção, mas com sentidos opostos (como verificado na Parte 3). 
A ortogonalidade entre vetores pode ser verificada pelo produto escalar entre eles, que 
correlaciona o ângulo existente entre dois vetores não nulos: 
〈𝑢, 𝑣〉 = 𝑢𝑥𝑣𝑥 + 𝑢𝑦𝑣𝑦 + 𝑢𝑧𝑣𝑧 
〈𝑢, 𝑣〉 = |𝑢||𝑣| cos(𝑢, 𝑣) ⇒ cos(𝑢, 𝑣) = 
〈𝑢, 𝑣〉
|𝑢||𝑣|
 
Dessa forma, tomemos os versores representativos �̂�, 𝑣, �̂�, referentes aos planos 
principais 1, 2 e 3, respectivamente. 
�̂� = (0,599; 0,565; 0,568) 
𝑣 = (0,777; −0,582; −0,240) 
�̂� = (0,199; 0,583; −0,788) 
Como os vetores são versores, o cosseno do ângulo entre eles é numericamente igual 
ao seu produto escalar que, observando a propriedade comutativa, pode ser aferido: 
〈�̂�, 𝑣〉 = 0,599 × 0,777 + 0,565 × −0,582 + 0,568 × −0,240 = 4,4 × 10−5 =̃ 0 
 
5 
〈�̂�, �̂�〉 = 0,599 × 0,199 + 0,565 × 0,583 + 0,568 × −0,788 = 1,3 × 10−3 =̃ 0 
〈�̂�, 𝑣〉 = 0,199 × 0,777 + 0,583 × −0,582 − 0,788 × −0,240 = 5 × 10−3 =̃ 0 
Observa-se que para o nível de significância adotado (3 casas decimais) ambos 
produtos são numericamente iguais a zero. A discrepância existente é resultado do 
arredondamento utilizado na determinação dos cossenos diretores. 
Como o cosseno entre os versores é nulo, observamos a condição de ortogonalidade, 
pois o ângulo existente entre os mesmos é de 90º (ou 270º). 
 
Parte 5 – Tensão Cisalhante Máxima 
A partir do círculo de Morh 3D (Figura 4), pode-se obter os valores da tensão cisalhante 
máxima e sua respectiva tensão normal: 
Figura 1 - Círculo de Mohr 3D 
 
𝜏𝑚á𝑥 = ± 
1
2
 (𝜎𝑚á𝑥 − 𝜎𝑚í𝑛) = ± 
1
2
 (4,57 − (−0,86)) = ±2,72 𝑀𝑃𝑎 
𝜎 = 
1
2
 (𝜎3 + 𝜎1) =
4,57 + (−0,86)
2
= 1,86 𝑀𝑃𝑎 
Os ângulos diretores do plano em que ocorrem tais tensões podem ser determinados 
por: 
𝑙2 = 
𝜏2 + (𝜎 − 𝜎2)(𝜎 − 𝜎3)
(𝜎1 − 𝜎2)(𝜎1 − 𝜎3)
= 
2,722 + (1,86 − 0,99)(1,86 − (−0,86))
(4,57 − 0,99)(4,57 − (−0,86))
= ±0,707 
𝑚2 = 
𝜏2 + (𝜎 − 𝜎3)(𝜎 − 𝜎1)
(𝜎2 − 𝜎3)(𝜎2 − 𝜎1)
= 
2,722 + (1,86 − (−0,86))(1,86 − 4,57)
(0,99 − (−0,86))(0,99 − 4,57)
= 0 
𝑛2 = 
𝜏2 + (𝜎 − 𝜎1)(𝜎 − 𝜎2)
(𝜎3 − 𝜎1)(𝜎3 − 𝜎2)
= 
2,722 + (1,86 − 4,57)(1,86 − 0,99)
((−0,86) − 4,57)((−0,86) − 0,99)
= ±0,707 
 
 
6 
σ θ ϕ ψ 
σ = 1,86 MPa 45,0° 90,0° 45,0° 
|τ| = 2,72 MPa 135,0° 90,0° 135,0° 
 
 
Parte 6 – Tensões Octaédricas 
As tensões octaédricas normal e cisalhante podem ser determinadas pelas 
expressões: 
𝜎𝑚 = 𝜎𝑜𝑐𝑡 =
𝐼1
3
=
4,7
3
= 1,57 𝑀𝑃𝑎 
 
𝜏𝑜𝑐𝑡
2 =
1
3
[(𝜎1 − 𝜎𝑚)
2 + (𝜎2 − 𝜎𝑚)
2 + (𝜎3 − 𝜎𝑚)
2] 
𝜏𝑜𝑐𝑡
2 =
1
3
[(4,57 − 1,57)2 + (0,99 − 1,57)2 + (−0,86 − 1,57)2] 
𝜏𝑜𝑐𝑡 = ± 2,25 𝑀𝑃𝑎