Estatística Descritiva: Conceitos e Métodos

Prévia do material em texto

� PAGE \* MERGEFORMAT �56�
I- PROGRAMA DA DISCIPLINA
1.1. EMENTA (PRÉ-REQUISITOS)
O aluno deve possuir as noções básicas de matemática (Símbolos comuns, Ordem das operações, Números positivos e Números negativos, Regras da Raiz, Arredondamento de números,…)
1.2.-OBJECTIVOS 
1.2.1. OBJECTIVO GERAL
Ao termino da disciplina o aluno devera ser capaz de:
- Entender a linguagem e todas as técnicas de estatística descritiva.
- Integrar essa disciplina na elaboração de seus trabalhos de pesquisa (redação de monografias; teses, etc.), ler e interpretar os dados, as tabelas e gráficos estatísticos.
1.2.2. OBJECTIVOS ESPECÍFICOS
Permitir ao aluno de ser capaz de dominar os capítulos (unidades) e secções contidos no programa dessa disciplina.
1.3. CONTEÚDO PROGRAMÁTICO
- Unidade 1: Generalidades (Todos os cursos)
- Unidade 2: Processo de Elaboração e de Análise Estatística (Todos os cursos)
- Unidade 3: Medidas de Tendência Central e de Posição Para Dados Não Agrupados e 
 Para Dados Agrupados. (Todos os cursos)
- Unidade 4: Medidas de Dispersão Para Dados Não Agrupados e Para Dados 
 Agrupados ( Todos cursos)
- Unidade 5: Abordagem das teorias da Probabilidade, Amostragem e Inferência 
 	 7 (Cursos de LAD e LGP2)
- Unidade 6: Números Índices ( Curso de LEO 2)
- Unidade 7: Regressão e Correlação Linear ( Curso de LEO 2)
1.4. MÉTODOS E MEIOS (RECURSOS) DE ENSINO
Dando ênfase ao aspecto metodológico deste programa, escolhemos o uso interligado dos métodos de Análise e Síntese, de Elaboração conjunta, Oral, Visual e Prático (Problemático) com um suporte material (conjunto de meios) adequado e fácil, tais como fascículo, quadros, marcadores, apagadores, computadores e vários materiais estatísticos.
-Fórmulas e exemplos simples (com soluções passo por passo - permeiam cada unidade
-Exercícios que apelam aos interesses dos alunos são apresentados unidade por unidade, incluindo tarefas individuais e coletivas na sala de aula e para casa no âmbito de uma avaliação contínua.
-Pesquisas na biblioteca e Internet.
1.5. MÉTODOS DE AVALIAÇÃO
Os alunos serão avaliados nas bases de 1ª e 2ª prova parcelares. Avaliação continua: presença, participação na sala da aula, além de pesquisas dirigidas.
-MÉDIA DO SEMESTRE ANTES DO EXAME = (1ª PP + 2ª PP/ 2)
-MÉDIA SEMESTRAL DEPOIS DO EXAME = (MÉDIA DO EXAME ANTES DO
 EXAME) + …. (RESULTADO DO EXAME). 
2- DOCIFICAÇÃO TEMÁTICA DO PROGRAMA
PERÍODO CONTEÚDO 
UNIDADE 1: Generalidades 
 Explicitar as origens, a importância da estatística e 
 Os conceitos básicos. 
 Diferenciar variáveis quantitativas e qualitativas. 
Definições básicas (População, parâmetros, 
Amostra, Unidade estatística, Percentagens, Proporções, etc.
Variáveis estatísticas
 Exercícios
UNIDADE 2: Processo de Elaboração e de Análise 
 Estatística
 Organizar os dados brutos nas tabelas, construir interpretar
 os gráficos subsequentes.
 2.1. Identificação do problema
 2.2. Métodos de Organização de dados 
 -Distribuição de frequências para dados não agrupados 
 -Distribuição de frequências para dados agrupados
 -Apresentação gráfica de dados 
 Exercícios
UNIDADE 3: Medidas de Tendência Central e de Posição
 Para Dados Não Agrupados e Dados Agrupados 
 Descrever dados calculando e usando medidas de tendência
 central e não central.
 3.1. Introdução
 3.2. Média (aritmética, harmónica, 
 Quadrática, geométrica)
 3.3. Mediana, Moda
 3.4. Medidas de posição ou de tendência não central
 3.4.1. Quartis, Decis e Percentis- 
 Exercícios
 
UNIDADE 4: Medidas de Dispersão para Dados Não 
 Agrupados e Dados Agrupados 
 Descrever dados calculando e usando medidas de dispersão
 ou de variação 
 4.1. Introdução
 4.2. Amplitude 
 4.3. Variância
 4.4. Desvio padrão
 4.5. Coeficiente de variação.
 Exercícios
UNIDADE 5: Abordagem das teorias da Probabilidade, Amostragem
 	e Inferência
UNIDADE 6: Números Índices
 Definir e calcular os vários números índices incluindo suas vantagens. 
 6.1.Definicao de número índice. 
 6.2. Vantagens dos números índices. 
 6.3. Tipos de números índices.
 6.4. Índices agregados ou compostos: - Índice de Laspeyres
 - Índice de Paasches
 - Índice de valores.
 - IPC (Índice de preços ao consumidor)
 Exercícios
UNIDADE 7: Regressão e Correlação linear
 Descrever os dados calculando e usando a regressão
 e correlação 
 5.1. Introdução 
 5.2. Modelo de regressão simples e correlação. 
 5.2.1. Estudo de regressão
 Cálculo do coeficiente de correlação
 Exercícios
Obs.: - Por razões de forças maiores é de salientar que as unidades após a pausa 
Pedagógica, serão abordadas de forma introdutória no 1º semestre.
 - A sua maior parte será desenvolvida na cadeira de Métodos QuantitativosPrevista no 2º semestre.
 REVISÃO 
 
 
 REFERÊNCIAS BIBLIOGRAFICAS BÁSICAS:
-BERNSTEIN, Stephen e BERNEESTEIN Ruth. Elements of statistics 1: Descriptive
and probability. Sao Paulo: McGraw-Hill, 1999.
-BLUMAN, Allan G. Elementary statistics a step by step approach. Nova Iorque: McGraw-Hill, 2007.
-MILONE, Gioseppe. Estatística Geral e Aplicada. São Paulo: Thomson,2004.
-MANN, Prem S. Introdução à Estatística. Rio de Janeiro: LTC, 2006.
-REIS, Elizabeth. Estatística Descritiva. Lisboa, 7ª ed. Silabo, 2009
-RICHEY, Ferris J. The statistical Imagination. Nova Iorque:McGaw.Hill, 2008.
- TIBONI, Conceição G. R. Estatística Básica Para os Cursos de Administração, 
 Ciências Contábeis, Tecnológicos e de Gestão. São Paulo: Atlas, 2010
-TRIOLA, Mário F. Introdução à Estatística. Rio de Janeiro: LTC, 2008.
- WEBSTER, Allen L. Estatística Aplicada. São Paulo: McGraw-Hill, 2007.
- WITTE, Robert S. e WITTE John S. Estatística. Rio de Janeiro: PLTC, 2004. 
 
 
 
INTRODUÇÃO Á ESTATISTICA //ESTATÍSTICA GERAL 
 UNIDADE 1- Generalidades
1.1. AS ORIGENS DA ESTATÍSTICA
Historicamente, as ideias e os métodos da estatística desenvolveram-se gradativamente, à medida que a sociedade se mostrava interessada em colectar e usar dados para inúmeras aplicações.
As origens da estatística decorrem do desejo dos administradores de contar o número de habitantes, ou avaliar o valor da terra tributável em seus domínios. Com o desenvolvimento das ciências físicas nos séculos XVII e XVIII, avultou-se a importância de medidas precisas de pesos, distâncias e outras grandezas físicas. 
Os astrónomos e os topógrafos, em sua luta pela exactidão ,tinham de lidar com a variação em suas medidas .Várias medidas , sem dúvida, são melhores do que uma única medida.
Para analisar medidas científicas, criaram-se métodos estatísticos que são importantes ainda hoje.
No decorrer do século dezanove, as ciências agrárias, humanas e comportamentais também começaram a se basear em dados para resolver questões fundamentais. 
Qual a relação entre as alturas dos pais e as dos filhos? Uma nova variedade de trigo produz melhores safras do que a antiga? E sob que condições pluviométricas e de fertilizantes? Pode-se medir a capacidade mental e o comportamento de uma pessoa da mesma forma como medimos uma altura ou um tempo de reacção ? Os métodos efectivos para tratar tais problemas se desenvolveram lentamente e com muito debate.
Com o aumento do número e da sofisticação de métodos para a produção e interpretação de dados, a nova disciplina de estatística tomou forma no século vinte. 
Ideias e técnicas originadas na colecta de dados governamentais, no estudo de medidas astronómicas ou biológicas, e na tentativa de entender a hereditariedade ou inteligência, se uniram para formar uma “ciência dos dados”unificada – a estatística.
Segundo S.Berman e R.Bezard(1973), o termo ESTATÍSTICA seria usada pela primeira vez no século XVIII por Gottfried Achenwall, professor da universidade de Göttingen (Alemanha).
1.2. ALGUNS PIONEIROS DA ESTATÍSTICA
O prodigioso desenvolvimento da estatística, como disciplina cientifica, ficou possível graças a importante contribuição de alguns pioneiros , nomeadamente:
- John Graunt (1620-1674) e William Pety (1623- 1674): fundadores da escola dos aritméticos políticos e autores de bases de cálculo que iniciaram as tabelas de mortalidade usadas nas empresas de seguro.
- J. Bernoulli (1654-1705) : Autor de estudos sobre os jogos de azar, fonte da teoria de grandes números iniciadores de princípios e aplicações de cálculos de probabilidades.
- P.S. Laplace ( 1749-1827) : Autor da teoria analítica de probabilidades e sua aplicação aos todos fenómenos dependentes de várias causas complexas. (Lei Normal)
- A. Quetelet ( 1796-1874) . Autor da teoria do homem médio e da aplicação das leis e princípios estatísticos na área moral e física.
- F.Galton ( 1822-1874) : Iniciador de medidas aplicadas a cerca dos seres humanos e das obras de correlação referente a hereditariedade ( fisiologia /biologia).
- K. Pearson (1857-1936) :Assegurou a continuação e melhoria da obra de Galton sobre os cruzamentos de propriedades hereditárias dos organismos ( Medicina).
- C.Spearman (1863-1945) : Iniciador das aplicações estatísticas no estudo de comportamento e aptidões individuais ( psicologia experimenta, psicotécnica).
- R. Aymer Asher ( 1890-1962): Autor das aplicações estatísticas na área agrícola tendo melhorado significativamente as variedades e os métodos agrícolas.
1.3. O QUE É ESTATISTICA ?
ESTATÍSTICA:  ramo da matemática aplicada. 
ANTIGUIDADE: os povos já registravam o número de habitantes, nascimentos, óbitos. Faziam "estatísticas".
IDADE MÉDIA:        as informações eram tabuladas com finalidades tributárias e bélicas.
SEC. XVI:      surgem as primeiras análises sistemáticas, as primeiras tabelas e os números relativos.
SEC. XVIII:   a estatística com feição científica é batizada por GODOFREDO ACHENWALL. As tabelas ficam mais completas, surgem as primeiras representações gráficas e os cálculos de probabilidades. A estatística deixa de ser uma simples tabulação de dados numéricos para se tornar "O estudo de como se chegar a conclusão sobre uma população, partindo da observação de partes dessa população (amostra)".
MÉTODO ESTATÍSTICO
MÉTODO:     é um meio mais eficaz para atingir determinada meta. 
MÉTODOS CIENTÍFICOS: destacamos o método experimental e o método estatístico.
MÉTODO EXPERIMENTAL:       consistem em manter constante todas as causas, menos uma, que  sofre variação para se observar seus efeitos, caso existam.   Ex: Estudos da Química, Física, etc.
MÉTODO ESTATÍSTICO:            diante da impossibilidade de manter as causas constantes (nas ciências sociais), admitem todas essas causas presentes variando-as, registrando essas variações e procurando determinar, no resultado final, que influências cabem a cada uma delas.   Ex: Quais as causas que definem o preço de uma mercadoria quando a sua oferta diminui?
Seria impossível, no momento da pesquisa, manter constantes a uniformidade dos salários, o gosto dos consumidores, nível geral de preços de outros produtos, etc.
A ESTATÍSTICA
É uma parte da matemática aplicada que fornece métodos para coleta, organização, descrição, análise e interpretação de dados e para a utilização dos mesmos na tomada de decisões.
A coleta, a organização, a descrição dos dados, o cálculo e a interpretação de coeficientes pertencem à ESTATÍSTICA DESCRITIVA, enquanto a análise e a interpretação dos dados, associado a uma margem de incerteza, ficam a cargo da ESTATÍSTICA INDUTIVA ou INFERENCIAL, também chamada como a medida da incerteza ou métodos que se fundamentam na teoria da probabilidade
Estatística, como disciplina científica, representa um grupo de métodos utilizados para colectar, analisar, apresentar e interpretar dados, bem como tomar decisões.
Todos os dias, tomamos decisões que podem ser pessoais, relacionadas a negócios, ou de qualquer outra natureza. Usualmente, essas decisões são tomadas em condições de incerteza. Muitas vezes , as situações ou problemas que enfrentamos no mundo real não tem uma solução precisa ou exacta. Os métodos estatísticos nos ajudam a tomar decisões cientificas e inteligentes em tais situações. Decisões tomadas pela utilização de métodos estatísticos são chamadas de suposições fundamentadas. Decisões tomadas sem a utilização de métodos estatísticos (ou científicos) representam meras suposições e, por esta razão, podem se revelar não - confiáveis.Por exemplo, a abertura de uma grande loja, com ou sem uma avaliação de sua necessidade, pode afectar o sucesso do empreendimento.
Na prática, a estatística envolve as aplicações de teoremas, fórmulas ( tabelas, gráficos, indicadores numéricos, etc), regras e leis para resolver problemas da vida real.
FASES DO MÉTODO ESTATÍSTICO 
1º - DEFINIÇÃO DO PROBLEMA:         Saber exatamente aquilo que se pretende pesquisar é o mesmo que definir corretamente o problema.
2º - PLANEJAMENTO:     Como levantar informações? Que dados deverão ser obtidos? Qual levantamento a ser utilizado? Censitário?  Por amostragem? E o cronograma de atividades? Os custos envolvidos? Etc.
3º - COLETA DE DADOS:            Fase operacional. É o registro sistemático de dados, com um objetivo determinado.
Dados primários:     quando são publicados pela própria pessoa ou organização que os haja recolhido.  Ex:  tabelas do censo demográfico do IBGE.
Dados secundários:         quando são publicados por outra organização. Ex: quando determinado jornal publica estatísticas referentes ao censo demográfico extraídas do IBGE.
OBS:              É mais seguro trabalhar com fontes primárias. O uso da fonte secundária traz o grande risco de erros de transcrição.
Coleta Direta:          quando é obtida diretamente da fonte. Ex: Empresa que realiza uma pesquisa para saber a preferência dos consumidores pela sua marca.
Coleta contínua:     registros de nascimento, óbitos, casamentos;
Coleta periódica:    recenseamento demográfico, censo industrial;
Coleta ocasional:   registro de casos de dengue.
Coleta Indireta:       É feita por deduções a partir dos elementos conseguidos pela coleta direta, por analogia, por avaliação, indícios ou proporcionalização.
4º - APURAÇÃO DOS DADOS:     Resumo dos dados através de sua contagem e agrupamento. É a condensação e tabulação de dados.
5º - APRESENTAÇÃO DOS DADOS:   Há duas formas de apresentação, que não se excluem mutuamente. A apresentação tabular, ou seja é uma apresentação numérica dos dados em linhas e colunas distribuídas de modo ordenado, segundo regras práticas fixadas pelo Conselho Nacional de Estatística. A apresentação gráfica dos dados numéricos constitui uma apresentação geométrica permitindo uma visão rápida e clara do fenômeno.
6º - ANÁLISE E INTERPRETAÇÃO DOS DADOS:    A última fase do trabalho estatístico é a mais importante e delicada. Está ligada essencialmente ao cálculo de medidas e coeficientes, cuja finalidade principal é descrever o fenômeno (estatística descritiva).
1.4. A IMPORTÂNCIA DA ESTATÍSTICA
Estatística é a ciência da colecta, organização e interpretação de fatos numéricos, que chamamos dados. Somos bombardeados por dados em nossa vida quotidiana.
A maioria de nos associa “estatística” a trechos de dados que aparecem no noticiário: media de pontos em futebol nacional ou internacional, vendas de carros importados, números de acidentes rodoviários, a popularidade do presidente na última pesquisa realizada, ou a temperatura média do dia de hoje. Os anúncios costumam apregoar que os dados mostram a superioridade do produto do anunciante. 
Todos os lados , nos debates sobre economia, educação e politica social, argumentam com base em dados. Mas a utilidade da estatística vai muito além desses exemplos quotidianos.
O estudo e a colecta de dados tem grande importância no trabalho de muitas profissões, e assim o treinamento na ciência da estatística constitui preparo importante para diversas carreiras. A cada mês, por exemplo, os serviços estatísticos do governo liberam 
as últimas informações numéricas sobre desemprego e inflação, o preço do barril de petróleo, etc.
Os economistas e os consultores financeiros , assim como os articuladores de políticas do governo e nos negócios, estudam esses dados a fim de poderem tomar decisões fundamentais.
Os médicos devem entender a origem e a confiabilidade dos dados que aparecem em revistas médicas, a fim de que possam proporcionar o tratamento mais eficaz aos seus pacientes. Os políticos se apöiam em dados de pesquisas de opinião pública. 
As decisões em negócios se baseiam em dados de pesquisa de mercado que mostram as preferências dos consumidores. Os fazendeiros estudam dados sobre novas variedades de safra. Os engenheiros colectam dados sobre a qualidade e a confiabilidade de produtos manufacturados. 
A maioria das áreas de estudo académico faz uso de números e , assim , também utiliza os métodos de estatística.
O estudo da estatística é, pois, essencial para uma educação sólida. Devemos aprender a ler dados criticamente e com compreensão. Devemos aprender a produzir dados que permitam dar resposta claras a problemas importantes. E devemos aprender métodos seguros para tirar conclusões confiáveis com base de dados.
1.5. TIPOS DE ESTATÍSTICA
Em sentido amplo, a estatística pode ser subdividida em duas áreas: estatística descritiva e estatística inferencial. 
1.5.1. Estatística Descritiva
A estatística descritiva consiste em métodos para se organizar, exibir e descrever dados utilizando tabelas, gráficos e medidas resumidas.
Obs.: Um conjunto de dados em seu formato original é geralmente muito extenso. Em consequência , tal conjunto de dados não é muito proveitoso no que diz respeito a extrair conclusões ou tomar decisões. É mais fácil tirar conclusões a partir de diagramas e tabelas resumidas do que a partir da versão original de conjunto de dados.
Desta maneira, reduzimos os dados a um tamanho manuseável, construindo tabelas, elaborando gráficos, ou calculando medidas resumidas, tais como médias, desvio padrão. A parcela da estatística que nos auxilia a fazer esse tipo de análise estatística é chamada de estatística descritiva.
1.5.2. Estatística Inferencial ou estatística indutiva.
A estatística inferencial consiste em métodos que utilizam resultados de amostras para auxiliar na tomada de decisão, ou na realização de previsões sobre uma população.
Exemplos:
1- Podemos tomar algumas decisões ( inferências; isto é, conclusões gerais, previsões e prognósticos) sobre as visões políticas de todos alunos de faculdades e universidades, com base nas visões politicas de 1000 alunos, seleccionados a partir de algumas poucas faculdades ou universidades.
2- Podemos desejar encontrar o salário inicial de um aluno típico, formado em uma faculdade. Para fazer isso, podemos seleccionar 2000 pessoas recém-formadas em faculdades ou universidades do pais, encontrar seus salários iniciais e tomar uma decisão com base nessas informações.
Obs.: O nosso programa de estatística do 1º semestre 2012 baseia -se na estatística descritiva.
1.6. DEFINIÇÕES BÁSICAS ( CONCEITOS FUNDAMENTAIS )
1.6.1.População ou População-Alvo
-Uma população consiste em todos os elementos ( pessoas, itens ou objectos) cujas características estejam sendo estudadas. A população que está sendo estudada também é chamada de população-alvo.
Exemplos:
1- A percentagem de todos eleitores em uma cidade que irão votar em determinado candidato em uma eleição.
2- As vendas brutas em 2010 de todas as empresas na cidade de Luanda.
3-Os preços de todas as casas na Rio de Janeiro
Obs.: -Uma população pode, na verdade, representar um conjunto de pessoas ou de qualquer tipo de item ,como por exemplo ,casas, livros, aparelhos de televisão ou carros, etc.
 - A população chama-se também Universo ou conjunto de referência.
 - O símbolo N representa o número de elementos numa população inteira.
 
1.6.2.Amostra
-Uma amostra é qualquer subconjunto ou uma parcela da população, seleccionada para estudo.
- É uma parcela representativa da população que É EXAMINADA com o propósito de tirarmos conclusões sobre a essa população.
O símbolo ou tamanho da amostra é n.
Exemplos:
1- Uma empresa industrial está interessada em descobrir as razões de ocorrência de números acidentes de trabalho na sua fabrica. Para isso, seleccionaum pequeno grupo de operários que sofreram acidentes e estuda os hábitos alimentares (por exemplo, se consumem ou não bebidas alcoólicas durante o horário de trabalho), a hora em que esses acidentes ocorrem e os vários tipos de acidentes. Esse pequeno grupo é uma amostra.
2- Uma equipa de médicos dispõe de um novo medicamento para evitar uma doença infantil muito comum e pretende testar a sua eficiência. Na impossibilidade de aplicar o novo medicamento a todas as crianças, é recolhido um grupo de crianças pertencentes aos vários grupos de idade, a quem será ministrado o medicamento e estudados resultados.
3- Um patrocinador de um programa de televisão pretende conhecer a população do seu programa e simultaneamente ter uma ideia da percentagem de espectadores de televisão que vêem o programa. Dada a impossibilidade de inquirir a toda a população
- os telespectadores – a sua opinião sobre o programa, o patrocinador resolve escolher um pequeno número de telespectadores – uma amostra - a quem vai perguntar o que pensam do programa.
Obs.:- O conjunto de informações a partir dos elementos de uma população ou de uma amostra é chamado de pesquisa.
 - Uma pesquisa que inclua todos os elementos da população é chamada de censo ou recenseamento.
 - Frequentemente, a população-alvo é muito extensa. Por esta razão, na prática um censo raramente é realizado, uma vez que é oneroso e demorado. Em muitos casos, e até mesmo difícil identificar cada elemento da população-alvo. Em geral, para conduzir uma pesquisa, seleccionamos uma amostra e colectamos as informações necessárias , a partir dos elementos incluídos naquela amostra. Em seguida, tomamos decisões com base nessas informações da amostra.
1.6.2.1 . Pesquisa por Amostragem
- A técnica de colectar informações a partir de uma parcela da população é denominada pesquisa por amostragem.
1.6.2.2. Amostra Representativa
- A amostra representativa é uma amostra que representa , o mais próximo possível, as características da população
.
1.6.2.3. Amostra Aleatória
- A amostra aleatória é uma amostra extraída da maneira tal que cada elemento da população tenha uma chance de ser seleccionado
1.6.2.4. Erro da amostra.
- O erro da amostra acontece quando a amostra seleccionada não representa exactamente a população. Esse erro é a diferença entre o valor desconhecido do parâmetro da população e o valor da estatística usada para estimar esse valor.
1.6.2.5. Amostra viciada
- A amostra viciada é outro erro da amostra considerado mais grave.
1.6.2.6 .Diferença entre parâmetro e estatística
1- O parâmetro é uma medida numérica ou característica que descreve a população que o pesquisador deseja investigar.
- São valores singulares que existem na população e que servem para caracterizá-la. Para definirmos um parâmetro devemos examinar toda a população.  Ex: Os alunos do 2º ano da FACEV têm em média 1,70 metros de estatura.
Exemplo: Na cidade de Nova York há 3250 botões que os peões podem accionar nos cruzamentos de ruas. Descobriu-se que 77% deles não funcionam.
O número 77% é um parâmetro, porque se baseia na população inteira de 3250 botões de tráfego para peões.
2- A estatística é uma medida numérica ou característica que descreve uma amostra.
Exemplo: Com base de uma amostra de 877 executivos ( quadros) pesquisados, descobriu-se que 45% deles cometesse um erro tipográfico em sua solicitação de emprego. O número 45% é uma estatística, pois se baseia em uma amostra de 877 pessoas.
ESTIMATIVA:          é um valor aproximado do parâmetro e é calculado com o uso da amostra.
ATRIBUTO:    quando os dados estatísticos apresentam um caráter qualitativo, o levantamento e os estudos necessários ao tratamento desses dados são designados genericamente de estatística de atributo
FENÔMENO ESTATÍSTICO:       é qualquer evento que se pretenda analisar, cujo estudo seja possível a aplicação do método estatístico. São divididos em três grupos:
Fenômenos de massa ou coletivo:      são aqueles que não podem ser definidos por uma simples observação. A estatística dedica-se ao estudo desses fenômenos. Ex: A natalidade na Grande Vitória, O preço médio da cerveja no Espírito Santo, etc.
Fenômenos individuais:             são aqueles que irão compor os fenômenos de massa.   Ex: cada nascimento na Grande Vitória, cada preço de cerveja no Espírito Santo, etc.
Fenômenos de multidão:            quando as características observadas para a massa não se verificam para o particular. 
DADO ESTATÍSTICO:      é um dado numérico e é considerada a matéria-prima sobre a qual iremos aplicar os métodos estatísticos.
1.6.3. Elemento / Membro/ Indivíduo ou Unidade estatística
- Um elemento, membro, indivíduo ou unidade estatística de uma amostra ou população representa um sujeito ou objecto específico ( por exemplo, uma pessoa, uma empresa, um item, um estado ou um país) sobre o qual a informação é colectada.
1.7. VARIÁVEIS ESTATÍSTICAS
1.7.1. Definição
- É o conjunto de resultados possíveis de um fenômeno.
- Uma variável representa uma característica quantitativa ou qualitativa de uma população ou amostra sob estudo que assume diferentes valores para diferentes elementos. A notação ou símbolo utilizada para uma variável corresponde às letras X, Y, Z. 
Alguns exemplos de variáveis são : a renda de casas, o número de casas construídas por mês em uma cidade durante o ano passado, os modelos de carros possuídos por pessoas físicas, os lucros brutos de empresas, o números de apólices de seguro negociadas por um vendedor durante o mês passado, o sexo, a altura, o peso, etc.
1.7.2. Classificação de variáveis
- Há variáveis quantitativas e variáveis qualitativas
1.7.2.1. Variável Quantitativa
- A variável quantitativa é uma variável que pode ser mensurada numericamente. Os dados colectados sobre uma variável quantitativa são chamados de dados quantitativos.
- Quando os dados são de caráter nitidamente quantitativo, e o conjunto dos resultados possui uma estrutura numérica, trata-se portanto da estatística de variável.
Ex. Rendas, altura, peso, vendas brutas, preços de casas, número de carros , número de acidentes, idade,…
- As variáveis quantitativas podem ser discretas ou contínuas.
1- Variáveis discretas OU DESCONTÍNUA têm valores inteiros, tais com 0, 1, 2,3,…
- Seus valores são expressos geralmente através de números inteiros não negativos.  Resulta normalmente de contagens.  Ex: Nº de alunos presentes às aulas de introdução à estatística econômica no 1º semestre de 1997: mar = 18 , abr = 30 , mai = 35 , jun = 36. 
 Exemplos: Número de filhos de uma família, número de alunos de BGB2N, número de ovos.
2- Variáveis contínuas têm um número infinito de valores num intervalo de 2 valores específicos e muitas vezes têm fracções ou decimais.
- Resulta normalmente de uma mensuração, e a escala numérica de seus possíveis valores corresponde ao conjunto R dos números Reais, ou seja, podem assumir, teoricamente, qualquer valor entre dois limites.
Exemplos: altura, largura, temperatura, salário, peso, …
- Quando você vai medir a temperatura de seu corpo com um termômetro de mercúrio o que ocorre é o seguinte: O filete de mercúrio, ao dilatar-se, passará por todas as temperaturas intermediárias até chegar na temperatura atual do seu corpo. 
1.7.2.2. Variável qualitativa
- A variável qualitativa é uma medida não numérica. É uma variável que não podemos quantificar com precisão ou exactidão.
Exemplos: o sexo, a raça, a cor de cabelo, a religião, a paciência, a amabilidade,
 o estado civil, a profissão, etc…
Obs.: Os dados ou conjunto de dados são as observações colectadas sobre uma ou mais variáveis . ( Ex. uma lista de preços de 25 casas recentemente vendidas, notas de estatística geral de 15 alunos , opiniões de 100 eleitores, as idades de todos empregados de uma empresa,….).
1.7.3.Outras variáveis ( Variáveis independentes e variáveisdependentes)
- As variáveis independentes e variáveis dependentes são variáveis quantitativas tendo uma relação ou associação entre elas. ( Esta noção será desenvolvida na unidade referente a Regressão e Correlação linear).
1- A variável independente ou explicativa ( V.I.) é utilizada para explicar a variação na variável dependente.
2- A variável dependente ( V.D.) é aquela que está sendo explicada.
Exemplos : ( Relação entre ) gasto com alimentação e a renda de uma família.
 ( ---------------- ) a altura e o peso dos jogadores da NBA
 ( ----------------- ) experiência ou anos de serviço e salário mensal.
 ( ---------------- ) fertilizante utilizada e produção de milho 
 ( ---------------- ) gasto de publicidade e vendas brutas de uma empresa
 ( -----------------) tempo (horas) de estudo e notas obtidas numa prova.
No 1º exemplo, gasto com alimentação é a variável dependente ( Y ) e a renda constitui a variável independente ( X ). Faz o mesmo exercício para os 5 outros exemplos.
 
Obs. : O símbolo da variável independente é a letra X
 -------------------------- dependente é -------- Y
1.8. Percentagens - Fracções - Decimais ou proporções
- Seguem alguns princípios fundamentais a serem usados quando trabalhamos com percentagens.
- Todos esses princípios usam a notação básica de % ou “ por cento” que realmente significa “ dividido por 100 ”.
1- Percentagem de uma quantidade
- Para achar alguma percentagem de uma quantidade, despreze o símbolo de % , divida o valor da percentagem por 100 e então multiplique.
- Este exemplo mostra que 6% de 1200 são 72. 
 Pois 6% de 1200 → Resposta = 6 x 1200 = 72 
 100
2- Fracção → Decimal ou proporção
- Para converter uma fracção em decimal, divida o numerador pelo denominador.
 Exemplo: ¾ = 0,75
3- Fracção → Percentagem
- Para converter uma fracção em percentagem, divida o numerador pelo denominador para obter um número decimal ou proporção equivalente, multiplique por 100 e acrescente o símbolo de %.
Exemplo: ¾ = 0,75 → 0,75 x 100% = 75%
4-Decimal ou proporção → Percentagem
- Para converter um decimal em percentagem, multiplique por 100 %.
Exemplo : 0,25 é equivalente a 25% → 0,25 x 100 % = 25 %
5- Percentagem → Decimal ou proporção
- Para converter uma percentagem em um número decimal ou proporção , despreze o símbolo % e divida por 100.
Exemplo: 85 % são equivalentes a 0,85 → 85% = 85 / 100 = 0,85
Exercícios
1- Uma clínica de Luanda registou 300 doentes. Se a proporção ou a frequência de falecidos é 0,24 , ache o número de pessoas falecidas dentre esses doentes.
2- Uma empresa (fábrica) de cimento tem 800 operários temporários aos 05 de Janeiro de 2010. Devido ao bom desempenho, 7,2 % destes temporários tornaram-se operários permanentes ao fim de 2010. Encontre o número exacto dos operários permanentes. 
3- Uma padaria produz 9000 pães por dia. Se constata - se que 213 pães são estragados, determine a percentagem de pães danificados.
INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA// ESTATÍSTICA GERAL
TESTE DE AUTO-REVISÃO DA UNIDADE 1: Generalidades
1- Em estatística , uma população significa um conjunto de todos (os) (as) :
a) Homens e mulheres
b) Sujeitos ou objectos de interesse
c) Pessoas que vivem em um país
2- Em estatística, uma amostra significa uma parcela referente a (à ):
a) Pessoas seleccionadas a partir da população de um país
b) Pessoas seleccionadas a partir da população de uma área ou de um bairro
c) População de interesse.
3- Indique se cada um dos exemplos a seguir refere-se a uma população ou a uma amostra :
a) Um grupo de 25 pacientes seleccionados para se testar um novo medicamento
b) Total de itens produzidos em uma máquina em um ano
c) Gastos anuais com roupas para 50 pessoas
d) Número de casas vendidas para cada um dos 10 empregados de uma empresa imobiliária durante 2002.
4- Indique se cada um dos exemplos a seguir refere-se a uma população ou a uma amostra :
a) Salários dos quadros de todas as empresas da cidade de Luanda.
b) Mesadas de 1500 alunos do sexto ano seleccionados a partir de Lubango
c) Vendas brutas para o ano 2003 em quatro redes de lanchonetes
d) Rendas anuais relativas a todos os 33 empregados de um restaurante.
5- Indique quais das seguintes variáveis são quantitativas e quais são qualitativas. Classifique as variáveis quantitativas como discretas ou continuas :
a) Programas de TV favoritos das mulheres
b) Salários de jogadores de futebol da UEFA
c) Número de animais de estimação possuídos por famílias 
d) Total de indemnizações pagas por 15 seguradoras de automóveis em 2010.
6- Indique quais das seguintes variáveis são qualitativas e quais são quantitativas
Classifique as variáveis quantitativas como discretas ou contínuas_
a) Grupo étnica ; b) Tamanho da família , c) Especialização académica; 
d) Resultado do exame de admissão no IMETRO; e) Idade; f) Preferência politica
g) Esporte favorito, h) Sexo, i) Temperatura ; j) Falso testemunho de criminosos convictos ; k) População da sua cidade natal.
7-a) Transforme a fracção 3/20 em uma percentagem equivalente
 b) Transforme 0,567 em uma percentagem equivalente.
 c) Quanto são 34% de 500 ?
 d) Transforme a proporção ou decimal 0,789 em uma percentagem equivalente.
8- a) Quanto são 15% de 620 ?
 b) Transforme 5% em um decimal ou proporção ou frequência relativa equivalente.
 c) Transforme a proporção ou decimal 0,01 em uma percentagem equivalente
 d) Transforme a fracção 987/1068 em uma percentagem equivalente.
 Arredonde o resultado para o décimo e/ou o centésimo mais próximo.
9- Em uma pesquisa ou inquérito do INE. , 52% de 1038 adultos pesquisados disseram que o fumo passivo é “ muito prejudicial “. Qual o número que disseram que o fumo passivo é “ muito prejudicial ” ? 
10- Diga em que domínio da Estatística - Descritiva ou Inferencial – incluiria as seguintes afirmações:
a) 30 % dos estudantes do curso de Economia não conseguem fazer a cadeira de Estatística em avaliação continua.
b) Os pneus da marca Rodamais duram 60 000 Km.
11- Qual a diferença entre os termos estatística e parâmetro. Exemplifique cada um deles.
12- Numa empresa fez-se um inquérito aos empregados do departamento financeiro pedindo-lhes que indicassem a idade ( em anos), a altura, o peso e a frequência de horários de trabalho ( manha ou tarde).
- Indique :
a) a população e a amostra em estudo
b) a unidade estatística ou individuo
c) as variáveis estatísticas e sua classificação.
 
 Resolução :
a) A população são todos os empregados( trabalhadores) dessa empresa ( em todos os departamentos). A amostra são os empregados do departamento financeiro.
b) A unidade estatística é cada empregado ( qualitativo) do departamento financeiro.
 As variáveis estatísticas são:
 - Idade: variável quantitativa discreta.
 - Altura: variável quantitativa continua.
 - Peso: variável quantitativa continua.
 
INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA// ESTATÍSTICA GERAL
UNIDADE 2 - Processo de Elaboração e de Análise Estatística 
2.1. Introdução
- Quase todo trabalho estatístico começa com o processo de colectar dados para serem utilizados em estudo. Na origem, os dados são geralmente brutos e desorganizados ( ou em desordem).
- O processo é o seguinte :
1º- Identificação do problema ; isto édeterminar :
 a) a população ou a amostra
 b) as variáveis ou características dessa população ou amostra
 c) as frequências da variável.
2º Colecção dos dados sobre a população ou a amostra
3º Organização dos dados, isto é, sintetizar – os através da contagem e agrupamento..
4º Analise e interpretação dos dados
2.2. Métodos estatísticos para organizar os dados.
- Os métodos (ou ferramentas estatísticas) que vamos usar para organizar os dados são os seguintes:
1ª Distribuição ou Tabela de frequências onde os dados são alocados de forma não agrupada ou individualmente e também na forma agrupada ( por grupo de intervalos ou classes).
2ª Vários gráficos que nos dão uma ideia , a mais imediata possível permitindo chegar – se a conclusões rápidas sobre a evolução do fenómeno ou variável em estudo, etc.
2.2.1. Distribuição ou Tabela de frequências.
- A distribuição de frequências permite de:
1º Resumir grandes conjuntos de dados
2º Poder entender a natureza dos dados
3º Ser uma base para construir os gráficos importantes , tais com as histogramas,…
Obs: Devemos fazer a distinção entre a distribuição de frequência para dados não-agrupados e a distribuição de frequências para dados agrupados.
DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA É um tipo de tabela que condensa uma coleção de dados conforme as freqüências (repetições de seus valores).
Tabela primitiva ou dados brutos:       É uma tabela ou relação de elementos que não foram numericamente organizados. É difícil formarmos uma idéia exata do comportamento do grupo como um todo, a partir de dados não ordenados.
Ex : 45, 41, 42, 41, 42 43, 44, 41 ,50, 46, 50, 46, 60, 54, 52, 58, 57, 58, 60, 51 
ROL:              É a tabela obtida após a ordenação dos dados (crescente ou decrescente).
Ex : 41, 41, 41, 42, 42 43, 44, 45 ,46, 46, 50, 50, 51, 52, 54, 57, 58, 58, 60, 60
A- DISTRIBUICAO DE FREQUENCIAS PARA DADOS NÃO –AGRUPADOS
 EM CLASSES → Para n≤ 25
Distribuição de freqüência SEM INTERVALOS DE CLASSE:     É a simples condensação dos dados conforme as repetições de seus valores. Para um ROL de tamanho razoável esta distribuição de freqüência é inconveniente, já que exige muito espaço.
Exemplo :
Você procura saber a idade de um grupo de pacientes no Hospital Militar de Luanda e registou os seguintes dados ( brutos):
	14 18 19 15
15 17 15 15
16 16 15 15
14 17 14 16
16 14 15 16
Tarefa : 
 Construa a distribuição ou tabela de frequências para esses dados incluindo as variáveis , a contagem, as frequências absolutas ( simples), as frequências relativas ou proporções( simples) , as frequências absolutas acumuladas crescentes, as frequências relativas acumuladas crescentes, as percentagens (simples) e acumuladas. 
Solução:
 Tabela ou Distribuição de frequências
	Xi
	Contagem
	 Fi
	 fi
	Faci
	fraci
	P (%)
	Pac. %)
	14
15
16
17
18
19
	IIII
IIII II
IIII 
II
I
I
	 4 
 7
 5
 2
 1 
 1
	0,20
0,35
0,25
0,10
0,05
0,05
	4
11
16
18
19
20
	0,20
0,55
0,80
0.90
0,95
1,00
	20
35
25
10
 5
 5
	20
55
80
90
95
 100
	Total
	
	∑Fi = n = 20
	∑fi= 1,00
Interpretação (ou compreensão – explicação - comentário) de dados da tabela.
a) - Temos 20 dados, mas apenas 6 variáveis : 14, 15, 16, 17, 18,19.
b) - Interpretação das frequências absolutas e percentagens :
 -Fi = 4 alunos : dos 20 alunos inquiridos, 4 têm 14 anos de idade.
 Isto é: 20% do total dos alunos inquiridos. 
 -Fi = 5 alunos : dos 20 alunos inquiridos, 5 tem 16 anos de idade.
 Isto é: 25% do total dos alunos inquiridos.
 -Fi = 1 aluno : dos 20 alunos inquiridos, apenas 1 tem 18 anos de idade.
 Ou seja, apenas 5% do total inquirido.
c) -Interpretação das frequências acumuladas e percentagens:
 - Faci 1 = Fi1 = 4 alunos.
 - Faci 2 = 11 dos 20 alunos inquiridos têm até 15 anos de idade.
 - Faci 4 = 18 dos alunos inquiridos têm até 17 anos de idade.
 - fraci 1 = fi 1 = 0,20
 - fraci 3 = 0,80 = 80% dos 20 alunos inquiridos têm até 16 anos de idade.
 - fraci 5 = 0,95 = 95% dos alunos inquiridos têm até 18 anos de idade. 
 
Observação :
Xi = A variável sob investigação. No nosso exemplo Xi representa 
 a idade.
Fi = A frequência absoluta (simples). É o número de vezes que cada modalidade da variável se repete na amostra ou população.
A partir das frequências absolutas podem ainda calcular-se as frequências relativas e as frequências absolutas e relativas acumuladas.
e ∑ Fi = N = n
fi = A frequência relativa ou proporção (simples) de um valor da
 variável. 
 Isto é, o número de vezes que esse valor ocorre relativamente ao 
 total da amostra (n) ou população (N).
fi = Fi /n ou Fi/ N → No nosso exemplo, 0,20 = 4/20; 0,35 = 7/20; etc
Faci = Frequências absolutas acumuladas crescentes = soma de frequências absolutas. No nosso exemplo ,os dados da coluna de Faci são obtidos de modo a seguir: 0+​4 = 4; 4+7 = 11; 11+5 = 16; 16+2= 18; 18+1 =19 ; 19+1= 20.
fraci = Frequências relativas acumuladas crescentes = soma de frequências relativas. No nosso exemplo, a coluna de fraci é o resultado de 0 + 0,20 = 0,20 ; 0,20 + 0,35 = 0,55 ; 0,55 + 0,25 = 0, 80;
0,80 + 0,10 = 0,90; 0,90 + 0,05 = 0,95 ; 0,95 + 0,05 = 1
- Muitas vezes, para facilitar a interpretação, as frequências relativas simples (fi) e acumuladas (fraci) convertem em percentagens (P%) e (Pac.%).
P% = Percentagens = fi x (100) % . Exemplos: 0,20 x ( 100)% = 20 % ;
 0,35 x 100% = 35 %; 0,25 x 100% = 25%; etc…. 
Pac.% = Percentagens acumuladas crescentes = fraci x 100%
Exemplos : 0,20 x 100% = 20 % , 0,55 x 100% = 55% ; 
 0,80 x 100% = 80 % ; 0,90 x100% = 90% ; 0,95 x 100% = 95%;
1,00 x 100% = 100%.
Freqüências simples ou absolutas:       são os valores que realmente representam o número de dados de cada classe. A soma das freqüências simples é igual ao número total dos dados da distribuição.
Freqüências relativas:     são os valores das razões entre a freqüência absolutas de cada classe e a freqüência total da distribuição. A soma das freqüências relativas é igual a 1 (100 %). 
Exercício 1: 
 Seja a seguinte amostra de 20 medidas de pesos expressas em quilogramas:
1,00 ; 1,00; 1,20; 1,20; 1,30; 1,30; 1,30; 1,30; 1,30, 1,30; 1,30, 1,30; 1,40; 1,40 ; 1,40; 1,50; 1,50; 1,20; 1,20; 1,40.
Pretende-se construir a tabela de frequência para esses dados contendo os seguintes elementos :Xi - Contagem- 
 Fi - fi - Faci- fraci – P% e Pac.%.
Exercício 2 :
25 novos empregados de uma empresa petrolífera fazem-se um teste de sangue para determinar o seu respectivo tipo de grupo sanguíneo.
A distribuição é a seguinte :
A B B AB O O O B AB B B B O 
A O A O O O AB AB A O B A 
Construa a distribuição de frequências para esses dados com os elementos a seguir: Xi- Contagem – Fi – fi e P%.
Exercicio 3:
Foi feito um inquérito a um grupo de 25 pacientes para determinar quantas vezes foram a consulta durante os primeiro meses do ano 2016 . Obtiveram-se os seguintes resultados: 
	1 4 1 2 2 3 3 2 1 2 3 2 3 1 0 1 2 7 4 3 5 1 2 4 
5
.
Tarefa: a) Construa um quadro de distribuição de frequências absolutas.
 b) Calcule as frequências relativasc) Calcule as frequências acumuladas.
 b) Calcule as percentagens simples 
 c) Calcule as percentagens acumuladas.
 d) Interprete as frequências e percentagens.
 
 
B- DISTRIBUIÇÃO OU TABELA DE FREQUÊNCIAS PARA 
 DADOS AGRUPADOS EM CLASSES → Para n>25
 Introdução 
- Quando o conjunto de dados é muito grande ( n>25) , é melhor agrupar aqueles dados em classes ou intervalos. 
- O agrupamento em classes implicam alguns novos conceitos, tais como:
 - o número de classes, - a amplitude das classes – o limite (inferior e superior) das classes – a diferença entre o valor máximo e mínimo da variável – o ponto médio ou centro das classes, etc.
Observação :
- Existem algumas regras básicas que deverão ser seguidas na construção das classes :
CLASSES:      são os intervalos de variação da variável e é simbolizada por  i  e o número total de classes simbolizada por k.
1ª- Em geral, o número de classes ( símbolo K) devera estar compreendido entre 5 e 20.
2ª- As classes deverão ter, sempre que possível, amplitudes iguais. Cada classe tem um limite inferior (Li) e um limite superior (Ls).
3ª- As amplitudes podem ser qualquer valor ; mas por conveniência, podem ser múltiplos de 5, 10, 15, 20, 25, 50, 100, 500, etc.
AMPLITUDE TOTAL DA DISTRIBUIÇÃO:      é a diferença entre o limite superior da última classe e o limite inferior da primeira classe. AT = L(Max) -L(min).   
AMPLITUDE TOTAL DA AMOSTRA (ROL):   é a diferença entre o valor máximo e o valor mínimo da amostra (ROL). Onde AA = Xmax - Xmin. Obs.:   AT sempre será maior que AA. 
4ª- Os pontos médios ou centros das classes deverão ser números de cálculo fácil.
PONTO  MÉDIO DE CLASSE:    é o ponto que divide o intervalo de classe em duas partes iguais. 
LIMITES DE CLASSE:      são os extremos de cada classe. O menor número é o limite inferior de classe (li) e o maior número, limite superior de classe (Ls).  Ex: em 12|-------14,... li = 12 e Ls = 14.  O símbolo |------- representa um intervalo fechado à esquerda e aberto à direita. O dado 14 do ROL não pertence à classe 3 e sim a classe 4 representada por 14 |------- 16.
- Tendo em conta estas regras básicas, por vezes, é adoptada uma das seguintes soluções 
1ª- a) Nº de classes : K = √ n → Fórmula geral.
 b) Nº de classe K = 1 + 3,22 log n → Fórmula de Sturges.
Por exemplo, para n = 49, K = √ 49 = 7 classes para as duas fórmulas.
2ª a) A amplitude total : ( At ) que é a diferença entre o valor máximo e o valor mínimo da variável, ou seja , At = valor Max. – valor min. 
 b) A amplitude ou intervalo da classe : Ac ou I = At
 K 
3ª- Cada classe de uma distribuição possui dois extremos,
 - O extremo esquerdo ou limite inferior ( Li);
 - O extremo direito ou limite superior ( Ls).
4ª- O ponto médio de uma classe (PM) é a média aritmética do limite inferior e do limite superior da classe ; isto é : PM = Li + Ls
 2
Obs.: Existem diversas maneiras de expressar os limites das classes.
 Eis algumas:
a) [10 – 12] : compreende todos os valores entre 10 e 12 , incluindo 
 o 10 e o 12
b) [10 - 12[: compreende todos os valores entre 10 e 12, excluindo o 12.
c) ]10 - 12]: compreende todos os valores entre 10 e 12, excluindo o 10.
 - O exemplo b) é talvez o mais utilizado.
Obs:   Qualquer regra para determinação do nº de classes da tabela não nos levam a uma decisão final; esta vai depender na realidade de um julgamento pessoal, que deve estar ligado à natureza dos dados. 
Exercício 1:
Os dados abaixo indicados referem-se aos resultados de Bioestatística de alguns alunos de TPSM11 , na 1º prova parcelar no ano lectivo 2016.
	12 12 10 11 10 8 9 18
13 15 11 18 16 14 10 17
17 11 12 12 13 14 13 11
10 9 8 11 12 15 16 11
15 10 11 14 13 12 14 10
 
 
a) Construa uma tabela de frequências, tendo em conta em: Fi, fi, Faci, 
 fraci e PM.
Resolução: 
n = 40 → ≥25 dados → Vamos agrupar esses dados em classes.
K = √ 40 = 6,3 ≈ 6 classes. At = Val.max. – Val.min. = 18 – 8 = 10 
 Ac = At = 10 = 1,67 ≈ 2
 K 6
	Nº de 
classes
	Xi ( Classes de resultados)
	Contagem
	Fi
	fi
	Faci
	fraci
	PM
	1
2
3
4
5
6
	[ 8 – 10[
10 - 12
12 - 14
14 - 16
 16 - 18
 18 - 20
	IIII
IIII IIII III
IIII IIII
IIII II
IIII
II
	4
13
10
7
4
2
	0,10
0,325
0,25
0,175
0,10
0,05
	4
17
27
34
38
40
	 0,10
 0,425
 0,675
0,85
0,95
1,00
	9
11
13
15
17
19
	n = 40
Obs.: PM (classe 1) = 8 + 10/ 2 = 9 , etc.
 
b) Interprete Fi 3, fi 2, Faci 3 , e fraci 4
 Resolução :
- Fi 3 = 10, significa que dos 40 alunos, 10 obtiveram notas de 12 até quase 
 14 valores.
- fi 2 = 0,325 ; convertida em P % = 32,5% : significa que dos 40 alunos, 
 32,5% obtiveram notas de 10 até quase 12 valores.
- fraci 4 = 0,85; isto é . Pac.% 4 = 85% : significa que dos 40 alunos, 85% 
 obtiveram notas até quase 16 valores.
c) Calcule a percentagem dos alunos aprovados.
 Resolução:
- P% ( Xi ≥ 10 valores) ) = 36 x 100% = 90 %.
 40 
Exercício 2:
- Os seguintes dados brutos abaixo ( expressos em mil kwanzas) referem-se aos salários de uma amostra de quadros médios do Hospital de Prenda.
	
 76 55 108 125 63 102 70 
 105 60 134 103 80 59 85
 65 45 100 74 69 99 73
 92 89 93 95 91 98 100
 107 110 117 119 104 94 90 
a) Construa uma tabela de frequências para esses dados , determinando o número das classes, a amplitude ou intervalo das classes, as frequências absolutas e relativas ( simples e acumuladas), as percentagens ( simples e acumuladas), os pontos médios das classes.
b) Interprete as frequências e percentagens.
C – METODOS GRAFICOS
 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE DADOS
Objetivo: Facilitar a compreensão do fenômeno estatístico por meio do efeito visual imediato que lhe é próprio.
 
1- Definição :
- O gráfico é um recurso ou instrumento visual da estatística utilizado para 
 representar um fenómeno ou variável em estudo de forma resumida 
 ( sintética ) , simples, clara e exacta ou verdadeira.
- Os dados contidos na tabela permitem a sua construção tendo em conta
 o eixo, a origem e a escala.
- Uma representação gráfica coloca em evidencia as tendências,
 as ocorrências ocasionais, os valores mínimos e máximos e também
 as ordens de grandezas dos fenómenos ( variáveis) que estão sendo 
 observados.
2- Tipos de gráficos ( Para aplicar na sala de aula)
	
Tipos de gráficos: Existem vários tipos de gráficos, os mais usados são:
Gráficos de linha;
Diagramas de área:
Gráficosde coluna;
Gráficos de barras;
Gráficos de setores (ou gráfico de Pizza).
Representação gráfica para as distribuições de freqüências:
Polígono de freqüências;
Histograma e 
Ogiva.
2.1. Gráfico de linhas
- E talvez o mais utilizado devido a sua facilidade de execução e de interpretação. É , sobretudo, o gráfico de séries cronológicas que muito se estudar na cadeira de Métodos Quantitativos.
- Sempre que as categorias utilizadas representarem um intervalo de tempo, assim como sucede com os dados do exemplo 1 – Figura 1, os dados podem ser descritos também através de um gráfico de linha. Um gráfico de linha retrata as mudanças nas quantidades com respeito ao tempo através de uma série de segmentos de reta.
Exemplo 1: De acordo com os dados dos censos demográficos do INE, temos os seguintes dados, em termos percentuais, sobre o nível de desconhecimento de doenças transmissíveis sexualmente em Angola:
	ANO
	 1872 1890 1920 1940 1950 1960 1970 1980 1990
	%
	 82,3 82,6 71,2 61,1 57,1 46,7 38,7 31,9 26,5
Construa: 
a-) um gráfico de linha;
2.2. Gráfico (ou Diagrama) de barras (ou colunas):
- É formado por rectângulos verticais separados. Constrói-se colocando 
 os valores da variável em estudo ( Xi) num eixo horizontal e as 
 respectivas frequências absolutas ou relativas ( Fi e fi) no eixo vertical.
- O gráfico de barras permite fazer a comparação simultânea de duas ou 
 mais vaiáveis (Xi).
- O diagrama de barras representa por meio de uma série de barras, quantidades ou freqüências para diferentes categorias de dados. (Ver Exemplo 1 – Figura 2) A diferença entre um diagrama de barras e um histograma é que o histograma refere-se sempre aos dados de uma distribuição de freqüências, enquanto o diagrama de barras ilustra quantidades para qualquer tipo de categorias.
OBS: O gráfico de barras, quando as barras estão dispostas no sentido vertical, também é chamado de gráfico de colunas.
b-) um gráfico de barras (ou colunas);
2.3. Gráfico de bastões
- É formado por segmentos de rectas perpendiculares ao eixo horizontal 
 ( O eixo de Xi) , cujo cumprimento corresponde a cada Fi ou fI.
 Suas coordenadas não podem ser unidas.
2.4. Gráfico (ou Diagrama) de setores:ou de pizza ou gráfico circular
- É um tipo de gráfico onde a variável em estudo ( Xi) é projectada num 
 circulo , dividido em sectores. 
- E utilizado quando se pretende comparar cada parte com o total.
- Para o construir, divide-se o círculo em sectores, cujas áreas serão 
 proporções ou percentagens aos valores das partes.
- O diagrama de setores, também conhecido como gráfico de Pizza, é uma gráfico particularmente apropriado para representar as divisões de um montante total. (Ver Exemplo 2 – Figura 3). 
Exemplo 2: De 75.200 mortes por acidentes nos EUA, em um ano recente, 43.500 foram causadas por veículos motorizados, 12.200 por quedas, 6.400 por envenenamento, 4.600 por afogamento, 4.200 por incêndios, 2.900 por ingestão de alimentos ou de um objeto, e 1.400 por armas de fogo (com base em dados do Conselho de Segurança Nacional). Descrever estes dados através de um gráfico de setores.
 GRÁFICO DE SETORES
2.5. Gráficos para dados agrupados em classes ( Variáveis 
 Quantitativas contínuas e discretas )
2.5.1. O histograma
É formado por um conjunto de retângulos justapostos, cujas bases se localizam sobre o eixo horizontal, de tal modo que seus pontos médios coincidam com os pontos médios dos intervalos de classe. A área de um histograma é proporcional à soma das freqüências simples ou absolutas.
- No eixo horizontal colocam-se as classes e no eixo vertical as Fi e fi.
- E um gráfico de barras justapostas ou adjacentes ( não são separadas ).
- Um Histograma é um diagrama de barras de uma distribuição de freqüência com uma diferença: não há espaços entre as barras. Os intervalos de classe são colocados no eixo horizontal enquanto as freqüências são colocadas no eixo vertical. (Ver Exemplo 3 – Figura 4).
Exemplo 3: A tabela abaixo representa o salário de famílias de uma pequena comunidade.
	Salário (em reais)
	Freq. Absoluta (F)
	Freq. Acumulada (Fa)
	8000,00 |- 9000,00
	18
	18
	9000,00 |- 10000,00
	31
	49
	10000,00 |- 11000,00
	15
	64
	11000,00 |- 12000,00
	3
	67
	12000,00 |- 13000,00
	1
	68
	13000,00 |- 14000,00
	1
	69
	14000,00 |- 15000,00
	1
	70
	Total
	70
	
Construa com estes dados:
a-) um Histograma;
2.5.2. O polígono de frequências
- É um gráfico de linha. Constrói-se usualmente a partir do histograma.
- O polígono de frequências se obtém colocando os pontos médios de 
 Classes (P.M.) no eixo horizontal unindo-os aos Fi ou fi no eixo 
 vertical.
- O polígono de freqüência é um gráfico de linha de uma distribuição de freqüência. Os eixos de um Polígono de freqüência são similares ao do Histograma, exceto que no eixo horizontal são colocados os pontos médios de cada intervalo de classe. (Ver Exemplo 3 – Figura 5)
b-) Um polígono de freqüências
 
2.5.2.1. Polígono de freqüência acumulada:   é traçado marcando-se as freqüências acumuladas sobre perpendiculares ao eixo horizontal, levantadas nos pontos correspondentes aos limites superiores dos intervalos de classe.
Freqüência simples acumulada de uma classe:      é o total das freqüências de todos os valores inferiores ao limite superior do intervalo de uma determinada classe. 
Freqüência relativa acumulada de uma classe:         é a freqüência acumulada da classe, dividida pela freqüência total da distribuição.
2.5.3. O ogiva ou gráfico de frequências acumuladas
- É um gráfico de linhas que permite descrever dados quantitativos por meio das Faci ( frequências absolutas acumuladas crescentes).
- O ogiva une os limites superiores das classes ( colocados no eixo horizontal ) a suas respectivas Faci.
- Um Ogiva é um gráfico de uma distribuição de freqüência acumulada. (Ver Exemplo 3 – Figura 6)
c-) Um Ogiva
2.6. Outro tipo de gráfico 
- Gráfico de Ramo - e – Folha : ( por informação)
INTRODUÇÃO Á ESTATISTICA //ESTATÍSTICA GERAL 
Unidade 3: Medidas de Tendência Central e de Posição Para Dados 
 Não Agrupados e Para Dados Agrupados
MEDIDAS DE POSIÇÃO 
Introdução: São as estatísticas que representam uma série de dados orientando-nos quanto à posição da distribuição em relação ao eixo horizontal do gráfico da curva de freqüência.
As medidas de posições mais importantes são as medidas de tendência central ou pro médias (verifica-se uma tendência dos dados observados a se agruparem em torno dos valores centrais).
As medidas de tendência centrais mais utilizadas são: média aritmética, moda e mediana. Outros pro médios menos usados são as médias: geométrica, harmônica, quadrática, cúbica e bi quadrático.
As outras medidas de posição são as separatrizes, que englobam: a própria mediana, os decis, os quartis e os percentis.
3.1. MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
Definição :
- São assim denominadas por indicarem um ponto em torno do qual se 
 concentram os dados. Este ponto tende a ser o centro de um conjunto de 
 dados.
- As três medidas mais usadas são : - a média, - a mediana – a moda.
3.1.1. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL PARA DADOS NÃO
 AGRUPADOS ( n
A- A MÉDIA
Há: – a média aritmética 
 - a média harmónica
 - a média geométrica
 - a média quadrática.
1) A MÉDIA ARITMÉTICA
Definição:
A média aritmética é a soma de todos os valores observados da variável dividida pelo total de observações.
É a medida de tendênciacentral mais utilizada (mais importante da estatistica) para representar a massa de dados.
a) Média aritmética para a população
- Símbolo = 
- Fórmula : 
- Exemplo:
 Os dados a seguir representam as idades de todos os empregados de uma pequena empresa : 53 32 61 27 39 44 49 57 . Encontre a media aritmética para esses dados.
Solução:
N= 8
= 53+32+61+27+39+44+49+57 = 362
Logo, = = 45,25 
b) Média aritmética para uma amostra
- Símbolo = 
- Fórmula : = 
- Exemplo : A partir do exemplo precedente seleccionando ao acaso uma amostra de 3 idades, a média aritmética será :
n = 3
 = = = 42,67 
Onde  xi são os valores da variável e n o número de valores. 
Desvio em relação à média:       é a diferença entre cada elemento de um conjunto de valores e a média aritmética, ou seja:
di = Xi -  
Ex:      Num certo hospital pediátrico de Luanda durante uma semana, registou a entrada de crianças a consulta cujo peso foi de 10, 14, 13, 15, 16, 18 e 12 kg. Determinar di:
.= (10+14+13+15+16+18+12) / 7 = 14 kilos 
No exemplo anterior temos sete desvios:...   d1 = 10 - 14 = - 4 , ...d2 = 14 - 14 = 0 ,   d3 = 13 - 14 = - 1 , ...d4 = 15 - 14 = 1 ,... d5 = 16 - 14 = 2 ,... d6 = 18 - 14 = 4 ...e.  ..   d7 = 12 - 14 = - 2.
Propriedades da média aritmética  
1ª propriedade:      A soma algébrica dos desvios em relação à média é nula.
        No exemplo anterior: d1+d2+d3+d4+d5+d6+d7 = 0
2ª propriedade:      Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante (c) a todos os valores de uma variável, a média do conjunto fica aumentada ( ou diminuída) dessa constante.
Se no exemplo original somarmos a constante 2 a cada um dos valores da variável temos:
Y = 12+16+15+17+18+20+14 / 7 = 16 kilos ou Y =.+ 2 = 14 +2 = 16 kilos 
3ª propriedade:      Multiplicando-se (ou dividindo-se) todos os valores de uma variável por uma constante (c), a média do conjunto fica multiplicada ( ou dividida) por essa constante.
Se no exemplo original multiplicarmos a constante 3 a cada um dos valores da variável temos:
Y = 30+42+39+45+48+54+36 / 7 = 42 kilos ou Y = x 3 = 14 x 3 = 42 kilos
Observação
A Média Aritmética Ponderada
- Símbolo : p
- Fórmula : p = 
- Exemplo : Encontre o preço médio ponderado ou seja a média aritmética ponderada dos preços de 3 modelos de carros vendidos pela sua empresa .
O número e o preço de cada modelo de carro vendido está na tabela a seguir :
	Modelo
	Número de carros
	Preço de venda ( em USD)
	A
B
C
	8
10
12
	10000
12000
 8000
 
Solução: p = 
	Modelo
	Xi ( Preços)
	Fi
	XiFi
	A
B
C
	10000
12000
 8000
	8
10
12
	 80000
 120000
 96000
	
	
	n=30
	
 n = 30
 =296000
Logo, p = = 9866,66 
Numa distribuição sem intervalos de classe:  Consideremos a distribuição relativa a 34 famílias de quatro filhos, tomando para variável o número de filhos do sexo masculino. Calcularemos a quantidade média de meninos por família:
	Nº de meninos
	freqüência = fi
	0
	2
	1
	6
	2
	10
	3
	12
	4
	4
	total
	34
Como as freqüências são números indicadores da intensidade de cada valor da variável, elas funcionam como fatores de ponderação, o que nos leva a calcular a média aritmética ponderada, dada pela fórmula do exercício anterior.
	. xi.
	. fi.
	..xi.fi .
	0
	2
	0
	1
	6
	6
	2
	10
	20
	3
	12
	36
	4
	4
	16
	total
	34
	78
 Onde 78 / 34  =  2,3 meninos por família
Interpretação: Sendo x uma variável discreta, como interpretar o resultado obtido, 2 filhos e 3 décimos (ou 0,3) de menino?
	
	O valor médio 2,3 meninos sugere, que o maior número de famílias com 4 filhos tem 2 meninos e 2 meninas, sendo, porém, a tendência geral de uma leve superioridade numérica em relação ao número de meninos.
Moda: O valor encontrado com maior freqüência para este conjunto de dados é de 3 meninos por família de 4 filhos.
Mediana: Geralmente, quando os dados estão tabelados, a variável de interesse já está ordenada. Portanto, basta encontrar o valor central dos dados. Neste exemplo temos que a mediana é de 2 meninos.
2) A MÉDIA HARMÓNICA
- Símbolo = MH ou h
Média Harmônica Simples.  (para dados não agrupados) 
- Fórmula : MH = 
.ou 
- Exemplo :
Ache a média harmónica de 1, 4, 5, e 2
 
 ____4______
Solução : MH = + + = 2,05 
Média Harmônica Ponderada:  (para dados agrupados em tabelas de freqüências)
	
	
	
 .
Ex.: Calcular a média harmônica dos valores da tabela abaixo:
	classes
	....fi....
	....xi....
	........fi/xi........
	1 |--------- 3
	2
	2
	2/2 = 1,00
	3 |--------- 5
	4
	4
	4/4 = 1,00
	5 |--------- 7
	8
	6
	8/6 = 1,33
	7 |--------- 9
	4
	8
	4/8 = 0,50
	9 |--------- 11
	2
	10
	2/10 = 0,20
	total
	20
	 
	4,03
 Resp: 20 / 4,03 = 4,96
 OBS:        A média harmônica não aceita valores iguais a zero como dados de uma série.
A igualdade g = h.= . só ocorrerá quando todos os valores da série forem iguais.
OBS:        Quando os valores da variável não forem muito diferentes, verifica-se aproximadamente a seguinte relação:
	g = (.+ h) /2
 Demonstraremos a relação acima com os seguintes dados:
z = { 10,1 ; 10,1 ; 10,2 ; 10,4 ; 10,5 }
Média aritmética = 51,3 / 5      = 10, 2600
Média geométrica=                  = 10, 2587
Média harmônica = 5 / 0, 4874508           = 10, 2574
Comprovando a relação: 10, 2600 + 10,2574 / 2 = 10,2587 = média geométrica
3) A MÉDIA GEOMÉTRICA
É a raiz n-ésima do produto de todos eles.
- Símbolo = M.G. ou g
- Fórmula : M.G.= 
Média Geométrica Simples:
 ou . 
- Exemplo 1 .
 Ache a média geométrica de 4 e 16
Solução : MG = = = 8
- Exemplo 2 .
Ache a média geométrica de 1, 3 e 9
Solução: MG = = = 3
Média Geométrica Ponderada:
 ou ..
Ex - Calcular a média geométrica dos valores da tabela abaixo:
	...xi...
	...fi...
	1
	2
	3
	4
	9
	2
	27
	1
	  Total
	9
=    (12 * 34 * 92 * 271) (1/9)........R: 3,8296
4) A MÉDIA QUADRATICA
- Símbolo = M.Q.
- Fórmula : M.G. = 
-Exemplo
Ache a média quadrática de 3, 5, 6 e 10
Solução : M.Q. = + ++
 4
 M.Q. = = 6,52 
- Outro exemplo : Ache a média quadrática de 8, 6, 3, 5 e 4
B - A MEDIANA Símbolo = Med
- Definição :
- A mediana é o ponto médio num conjunto ordenado de dados.
- É , as vezes, chamada de média posicional, pois se encontra exactamente
 no meio do conjunto de dados.
1)- A Mediana para conjunto de dados com número impar
- Passo 1: Ordenar os dados em ordem crescente ou decrescente ( rol).
- Passo 2 : Achar a posição mediana = ou = 0,50 
- Passo 3: Achar o valor da mediana
Exemplo:
 Seja o seguinte conjunto de dados : 67, 52, 67, 45 e 56
Ache a mediana.
Solução :
a) Rol de dados : 45, 52, 56, 67, 67
b) Posição mediana = = = 3 ou 0,50 = 0.50(6) = 3 , 
isto é a 3ª posição.
c) Logo, o valor da Mediana (Med.) é 56 ( que está no meio, na 3ª posição) 
2)- A Mediana para conjunto de dados com número par
- É melhor achar a média aritmética dos valores centrais (depois de 
 ordenados).
Exemplo: 
Seja o conjunto a seguir: 35, 45, 52, 56, 67, 67
Ache a mediana.
Solução
a) Posição mediana : = = 3,5 ou 0,50 (7) = 3,5 isto é a 3ª posição e 
 meia
b) Logo, a mediana (Med) = = 54
OBSERVAÇÃO
Para encontrar directamente a mediana, eis os passos :
Passo 1: Arranje os dados em ordem (crescente)
Passo 2 : Escolha o ponto meio do conjunto
 a) Em caso de número ímpar de dados, a mediana é o valordo 
 meio ou do centro.
 b) Em caso de número par , a mediana será a média aritmética de 
 dois valores de meio do conjunto.
Exemplo 1 Caso do conjunto ímpar
- O número de quartos em 7 hotéis de Luanda é o seguinte :
 713, 300, 618, 595, 311, 401 e 292
 Ache a mediana para esses dados.
Solução :
Passo 1: Arranje os dados em ordem crescente: 
 292, 300, 401, 595, 618, 713
Passo 2 : Escolha ou seleccione o valor de meio ou do centro.
 Logo, a mediana (Med) = 401 quartos.
Exemplo 2 Caso do conjunto par
- Seja o conjunto a seguir: 
 209, 223, 211, 227, 213, 240, 211, 229, 212 , 240
Encontre a mediana.
Solução:
Passo 1 : 209, 211, 211, 212, 213, 223, 227, 229, 240, 240
Passo 2 : A Mediana ( Med) = = 218 
Obs.: A noção de Posição ( Símbolo = p) será muito importante na resolução do problema das outras medidas de posição tais quais :
- os Quartis , Decis e Percentis que vamos estudar nas páginas seguintes.
Notas:
Quando o número de elementos da série estatística for ímpar, haverá coincidência da mediana com um dos elementos da série. 
Quando o número de elementos da série estatística for par, nunca haverá coincidência da mediana com um dos elementos da série. A mediana será sempre a média aritmética dos 2 elementos centrais da série.
 
Em uma série a mediana, a média e a moda não têm, necessariamente, o mesmo valor.
 
A mediana depende da posição e não dos valores dos elementos na série ordenada. Essa é uma da diferenças marcantes entre mediana e média (que se deixa influenciar, e muito, pelos valores extremos). Vejamos:
Em {5, 7, 10, 13, 15} a média = 10 e a mediana = 10
Em {5, 7, 10, 13, 65} a média = 20 e a mediana = 10
Isto é, a média do segundo conjunto de valores é maior do que a do primeiro, por influência dos valores extremos, ao passo que a mediana permanece a mesma.
Emprego da Mediana
Quando desejamos obter o ponto que divide a distribuição em duas partes iguais.
Quando há valores extremos que afetam de maneira acentuada a média aritmética.
Quando a variável em estudo é salário.
C - A MODA Símbolo = Mo
Definição :
 A moda é o valor ou a observação que ocorre com a maior frequência( Fi) num conjunto de dados.
- Passos para encontrar a moda (Mo)
Passo 1 : Arranje os dados em ordem (crescente)
Passo 2 : Escolhe o valor da moda ou a moda.
Exemplo : 
Ache a moda para esses dados:
8, 9, 9, 14, 8, 8, 10, 7, 6, 9, 7, 8, 10, 14, 11, 8, 14, 11
Solução 
Passo 1 : 6, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 11, 14, 14, 14
Passo 2 : Mo = 8 
OBSERVAÇÃO
Ao contrario do valor da média ou da mediana que é único, o valor da moda pode ser:
a) Uni modal : o conjunto de dados tem apenas um valor com a maior frequência (Fi)
b) Bimodal : O conjunto tem mais de dois valores com a maior frequência (Fi).
c) Multimodal : O conjunto tem mais de dois valores com a mesma frequência ( Fi).
d) Sem nenhuma moda : Cada valor ou dado do conjunto tem a mesma frequência de ocorrência ou o mesmo número de vezes.
Exemplo: No seguinte conjunto:
 20, 84, 103, 110, 118, 731, 752, 1031, 1162 e 1977,
 não há moda, pois cada valor ocorre só uma vez.
Exercício de revisão
Calcule a , Med e Mo para cada um dos seguintes conjuntos de dados:
a) 20, 22, 20, 18, 25, 23, 27, 24, 24, 28, 20
b) 20, 22, 20, 18, 25, 23, 27, 24, 24, 200, 20 
c) 5, 4, 5, 7, 2, 1, 8, 4, 9, 5, 4, 1, 1, 4, 5, 1
d) 113, 105, 108, 107, 110, 105, 113, 109
e) 2, 5, 7, 8, 9, 3, 4, 6, 11, 10, 13, 12
 
3.2. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL PARA DADOS
 AGRUPADOS(n)
A - MEDIA ARITMETICA ( PARA A AMOSTRA)
- Símbolo : 
- Fórmula : = = 
Onde : Fi = Frequência absoluta simples ou o número de observações.
 M = Ponto médio ou centro de cada classe.
 N = = tamanho ou dimensão da amostra ou soma das 
Exemplo:
No exemplo precedente referente aos resultados de estatística, determine a média aritmética para esses dados.
Solução
Passo 1: Construção da tabela de frequências - Com Xi ( Classes ), Fi, 
 M e FiM)
	Xi (Classes de Notas)
	Fi
	M
	 FiM
	8 - 10
10 - 12
12 - 14
14 - 16
16 - 18
18 - 20
	 4
13
10
 7
 4
 2
	9
11
13
15
17
19
	 36
 143
 130
 105
 68
 38
	
	 n=40
	
	
Passo 2: Aplicação da fórmula
 = = = = 13
Logo, a nota média para a amostra de 40 alunos = 13/20
B – A MEDIANA
- Símbolo : Medg
- Fórmula : Medg = LiMed +(Ac)
 Onde : - LiMed = Limite inferior da classe mediana, ( isto é a classe que 
 contem a mediana)
 - = Valor que determine a classe mediana ( através da coluna de 
 frequências absolutas acumuladas – as Faci )
 - FaciPrec. = A frequência absoluta simples precedente á classe 
 Mediana
 - FiMed = A frequência absoluta simples da classe mediana
 - Ac = A amplitude ou intervalo da classe mediana
Obs : Ac = Li 2 – Li 1, Li 3 – Li 2 ….. etc
 
Exemplo
No mesmo exemplo precedente, encontre a mediana para os dados referentes aos resultados de estatística.
Solução
Passo 1: Tabela de frequências - Com Xi (Classes) Fi e Faci)
	Xi ( Classes de resultados )
	 Fi
	Faci
	8 - 10
10 - 12
12 - 14
14 - 16
16 - 18
18 - 20
	 4
 13
 10
 7
 4
 2
	4
17
27
34
38
40
	
	n=40
	
Passo 2 : Determinação da classe mediana
a) = = 20
b) Indicar a posição do valor 20 na coluna das Faci. Em nosso caso, 
 o valor 20 está incluído na Faci 27 que pertence à classe 12 - 14
c) Logo, a classe mediana é a classe 12 - 14
Passo 3: Aplicação da fórmula 
Medg = LiMed +(Ac)
Onde: - LiMed = 12
FaciPrec.( à classe mediana ) = 17
FiMed = 10
Ac = 12 – 10 = 2 ou 14 - 12 = 2
Isto é Li3 – Li2 ou Lc3 – Ls2
Logo, Medg = 12 +(2) = 12 +(2) = 12 +(2) 
 
 Medg = 12 + ( 0,3)(2) = 12 + 0,6 = 12,6
Assim, a mediana das notas de estatística para esses 40 alunos é 12,6/20 
C - A MODA 
- Símbolo : Mog
- Fórmula : Mog = LiMo +(Ac)
Onde : - LiMo = Limite inferior da classe modal ( isto é, a classe que 
 contem a moda), ou seja a classe que contem a maior
 frequência absoluta simples – Fi)
 - Da = Diferença entre a frequência absoluta simples da classe 
 modal e a da classe precedente
 - Db = Diferença entre a frequência absoluta simples da classe 
 modal e a da classe posterior ( ou seguinte)
 - Ac = Amplitude ou intervalo da classe modal
Exemplo 
- No exemplo da página 20 referente aos resultados da estatística,