4 - Equação de Energia com Presença de Máquinas - UNIP Online

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MÓDULO 4 – Equação de Bernoulli e Presença de Máquinas 
 
Máquina, para efeito do nosso estudo, será qualquer dispositivo introduzido no 
escoamento, que forneça ou retire energia do mesmo, na forma de trabalho. A maneira de 
funcionamento da máquina não nos interessará por enquanto, importando somente como 
que sua presença afeta a equação de energia. 
Como, por exemplo, subsiste a hipótese de fluido incompressível para facilidade de 
linguagem chamaremos bomba, qualquer máquina que forneça energia ao fluido e 
turbina, qualquer máquina que retire energia do fluido. 
Vejamos a alteração na equação de Bernoulli ao introduzir uma máquina entre as 
seções (1) e (2) (Figura 4.1) 
 
Figura 4.1 – Escoamento de fluido ao longo de uma tubulação com a presença de 
máquina 
 
Se não houvesse máquina sabemos que a energia (H) nos pontos 1 e 2 seria: 
21 HH 
 
isto é, a energia por unidade de peso do fluido em (1) é igual a energia por unidade de 
peso em (2) ou a carga total em (1) é igual à carga total em (2). 
 Se a máquina for uma bomba o fluido receberá um acréscimo de energia tal que 
21 HH 
. Para restabelecer a igualdade deveremos então somar ao primeiro membro a 
energia recebida pela unidade de peso do fluido na máquina. Então: 
21 HHH B 
 (1) 
A parcela HB é chamada carga manométrica da bomba e representa a energia 
fornecida à unidade de peso do fluido que passa pela bomba (Figura 4.2). 
 
 2 
 
Figura 4.2 – Escoamento de fluido ao longo de uma tubulação com a presença de 
uma bomba (Brunetti, F. Mecânica dos Fluidos, 2ª ed., Prentice Hall, 2ª ed. 2009) 
 
Se a máquina for uma turbina (
21 HH 
), pois por definição a turbina retira energia 
do fluido (Figura 4.3). Para restabelecermos a igualdade: 
21 HHH T 
 (2) 
A parcela HT é a carga manométrica da turbina, ou seja é a energia retirada da 
unidade de peso do fluido pela turbina. 
 
 
Figura 4.3 – Escoamento de fluido ao longo de uma tubulação com a presença de 
uma turbina (Brunetti, F. Mecânica dos Fluidos, 2ª ed., Prentice Hall, 2ª ed. 2009) 
 
Como queremos estabelecer uma equação geral indicaremos Hm a carga 
manométrica da máquina e escreveremos as Eq. (1) e (2) de forma única: 
 
2m1 HHH 
 (3) 
Consideraremos Hm=HB se a máquina for uma bomba e Hm=-HT se a máquina for 
uma turbina. 
A eq.(3) é a equação que leva em conta a presença de uma máquina no 
escoamento entre as seções (1) e (2) que estão sendo estudadas. Dessa forma, a equação 
de Bernoulli com a presença de máquina fica modificada, como mostra a equação (4) 
 
 3 
 z 
2g
v
γ
P
 H z 
2g
v
 
γ
P
2
2
22
m1
2
11 
 (4) 
ou 
g
vv
z
P
Hm
2
)z- ( 
P 21
2
2
12
12 

 
 (5) 
A eq. 5 mostra que a presença de uma máquina pode acarretar variações de carga 
de pressão, da carga potencial e da carga cinética. 
 
 
 
EXEMPLOS 
 
1. O reservatório de grandes dimensões da figura descarrega água pelo tubo a uma vazão 
de 10 L/s. Considerando o fluido ideal, determinar se a máquina instalada é bomba ou 
turbina e determinar sua potência se o rendimento for de 75%. A área da seção do tubo é 
10 cm2. 
 
Resolução 
A velocidade na saída do tubo pode ser determinada pela equação da vazão 
sm
m
sm
Q /10 v
 )1010(
)/(1010
 v Av 224
33
222 




 
A equação de Bernoulli entre as seções (1) e (2) fornece o tipo de máquina, 
baseado no valor da energia da máquina. 
m
sm
sm
5
/81,92
)/10(
0H20m00
 z 
2g
v
γ
P
 H z 
2g
v
 
γ
P
2
2
m
2
2
22
m1
2
11




 
m9,9Hm 
  Como o sinal ficou negativo então a máquina é uma turbina. 
 
A potência da turbina considerando seu rendimento de 75% será: 
 
 4 
 
727,6Watts W 9,9)(/(1010
m
N
8009,750 W
QH W
T
33
3T
TT








 msm

 
 
2) Um Engenheiro precisa desenvolver um projeto solicitado por um cliente, no qual 
é necessário elevar água do reservatório A para o reservatório B. Sabe-se que a 
vazão é igual a 4 litros/s. Para tal, o projeto prevê o uso de uma bomba que opera 
com rendimento de 70%. Determine (a) velocidade da água na tubulação de 
sucção, (b) velocidade da água na tubulação 
de recalque, (c) potência da bomba, (d) tempo 
necessário para se encher o reservatório B. 
Dados: H2O=10000N/m³, g=10m/s², ds=10cm, 
dr=5cm, vB=10m/s 
 
Resolução 
a) Cálculo da velocidade de sucção (vs) 
 /51,0 v 
)1,0(
)/104(44
4
Q
v s2
33
22s
sm
m
sm
d
Q
d
Q
A sss





 
b) Cálculo da velocidade de recalque (vr) 
 /031,2 v 
)05,0(
)/104(44
4
Q
v r2
33
22r
sm
m
sm
d
Q
d
Q
A rrr





 
c) Potência da bomba 
mm
sm
sm
2,22H 22
/81,92
)/03,2(
0H000
 z 
2g
v
γ
P
 H z 
2g
v
 
γ
P
B2
2
B
3
2
33
B1
2
11




 
Watts6,2681 W 
0,7
2,22)(/(104
m
N
10000
 W
QH
 W
B
33
3
T
B
B










 msm


 
d) tempo necessário para se encher o reservatório B 
min7,41
60
2500s
 t 
4
10000V
 t 
V
Q 
Qt