PUCGO-SL-2013-1 Slides2-SLITs

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Análise Temporal de Análise Temporal de 
Sistemas LinearesSistemas Lineares
50 Slides Prof. Cláudio A. Fleury
Sistemas LinearesSistemas Lineares
Módulo 2Módulo 2
Sistemas Lineares Invariantes no Tempo Contínuo Sistemas Lineares Invariantes no Tempo Contínuo 
(SLITC)(SLITC)
ConteúdoConteúdo
�� Introdução ao SLITCIntrodução ao SLITC
�� Resposta ao Impulso UnitárioResposta ao Impulso Unitário
�� A Operação de ConvoluçãoA Operação de Convolução
�� Características e Propriedades de um SLITCCaracterísticas e Propriedades de um SLITC
Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury FevFev--20092009 22
�� Características e Propriedades de um SLITCCaracterísticas e Propriedades de um SLITC
�� Autofunções de um SLITCAutofunções de um SLITC
�� Descrição de SLITC por Equações DiferenciaisDescrição de SLITC por Equações Diferenciais
�� Respostas de Respostas de Entrada Nula Entrada Nula e de e de Estado NuloEstado Nulo
Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury FevFev--20092009 33
IntroduçãoIntrodução
�� Formas de Representação de Formas de Representação de SLITC’sSLITC’s
�� AnalíticaAnalítica
�� No domínio do TempoNo domínio do Tempo
�� Resposta ao Impulso UnitárioResposta ao Impulso Unitário h(t)h(t)
�� Equações Diferencias de Coeficentes ConstantesEquações Diferencias de Coeficentes Constantes
�� No domínio da Freqüência RealNo domínio da Freqüência Real
Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury FevFev--20092009 44
�� No domínio da Freqüência RealNo domínio da Freqüência Real
�� Resposta em FreqüênciaResposta em Freqüência H(e H(e jj ω ω))
�� No domínio da Freqüência ComplexaNo domínio da Freqüência Complexa
�� Função de Transferência:Função de Transferência: H(s)H(s)
�� AlgébricaAlgébrica
�� Espaço de EstadosEspaço de Estados
�� GráficaGráfica
�� Diagrama de BlocosDiagrama de Blocos
IntroduçãoIntrodução
�� Características de um SLITCCaracterísticas de um SLITC
�� Linearidade (Princípio da Superposição)Linearidade (Princípio da Superposição)
�� Propriedade da AditividadePropriedade da Aditividade
�� Propriedade da HomogeneidadePropriedade da Homogeneidade
�� Invariância no TempoInvariância no Tempo
Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury FevFev--20092009 55
�� Invariância no TempoInvariância no Tempo
Entrada Saída
IntroduçãoIntrodução
�� Formas de Descrição de um SLITCFormas de Descrição de um SLITC
�� Resposta ImpulsivaResposta Impulsiva, , hh((tt))
�� Resposta do SLITC à entrada do sinal Impulso Unitário, Resposta do SLITC à entrada do sinal Impulso Unitário, δδ((tt))
�� Caracteriza completamente o comportamento dinâmico do Caracteriza completamente o comportamento dinâmico do 
Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury FevFev--20092009 66
�� Caracteriza completamente o comportamento dinâmico do Caracteriza completamente o comportamento dinâmico do 
SLITCSLITC
�� Equações DiferenciaisEquações Diferenciais
)()()(6)(5)(2
2
tx
dt
tdx
ty
dt
tdy
dt
tyd
+=++
IntroduçãoIntrodução
�� Convolução Convolução yy((tt) = ) = xx((tt) ) ∗∗∗∗∗∗∗∗ hh((tt))
�� OperaçãoOperação que calcula a que calcula a SaídaSaída11 de um SLITC a partir de um SLITC a partir 
da da EntradaEntrada e de sua e de sua Resposta ImpulsivaResposta Impulsiva
�� Calcula a Resposta de um SLITC a qualquer EntradaCalcula a Resposta de um SLITC a qualquer Entrada
Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury FevFev--20092009 77
�� Calcula a Resposta de um SLITC a qualquer EntradaCalcula a Resposta de um SLITC a qualquer Entrada
1 Saída de Estado Nulo (sistema em repouso, condições iniciais nulas)
x(t) y(t) 
h(t) 
Sistema LinearSistema Linear
�� Todo Sistema Linear possui as propriedades:Todo Sistema Linear possui as propriedades:
�� AditividadeAditividade
)()()}()({ )()}({
)()}({
2121
22
11 tytytxtx
tytx
tytx
+=+→
=
=
T
T
T
Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury FevFev--20092009 88
�� HomogeneidadeHomogeneidade
constanteuma é onde 
)(.)}(.{ )()}({
a
tyatxatytx =→= TT
Sistema Invariante no TempoSistema Invariante no Tempo
�� Exemplos:Exemplos:
)()}({ )()}({ 00 ttyttxtytx −=−→= TT
Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury FevFev--20092009 99
�� invariante: invariante: yy((tt)) = x= x(t(t--2)2)
�� variante: variante: yy((tt)) = x= x(2.(2.tt))
�� invariante: invariante: yy((tt)) = = sensen((xx((tt))))
�� variante: variante: yy((tt)) = t.x= t.x((tt))
Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury FevFev--20092009 1010
Resposta de um SLITC Resposta de um SLITC 
a uma Entrada Externaa uma Entrada Externa
�� Tipos de respostas de um SLITCTipos de respostas de um SLITC
Resposta Total Resposta Total do SLITC do SLITC 
Resposta de Entrada Nula
+
Condições Iniciais
Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury FevFev--20092009
Com condições iniciais nulas: y(t) = dy(t)/dt = d2y(t)/dt2 =... = 0
+
Resposta de Estado Nulo
Entrada Externa
Resposta Total Resposta Total do SLITC = do SLITC = Resposta de Estado NuloResposta de Estado Nulo
Resposta de um SLITC Resposta de um SLITC 
a uma Entrada Externaa uma Entrada Externa
�� Conhecido a Conhecido a Resposta ao Impulso Resposta ao Impulso hh((tt)) de um SLITC de um SLITC 
podepode--se determinar a se determinar a Resposta de Estado NuloResposta de Estado Nulo11 de um de um 
SLITC a uma SLITC a uma Entrada Externa Arbitrária Entrada Externa Arbitrária xx((tt))
x(t) y(t)h(t)
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�� A saída A saída yy((tt) ) é obtida pela é obtida pela Operação da Convolução Operação da Convolução entre entre 
a Entrada Externa a Entrada Externa xx((tt) ) e a Resposta ao Impulso e a Resposta ao Impulso hh((tt) ) ..
�� A Resposta ao Impulso é formada pelos Modos A Resposta ao Impulso é formada pelos Modos 
Característicos do SLITCCaracterísticos do SLITC
)()()( thtxty ∗=
1
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Resposta de um SLITC Resposta de um SLITC 
a uma Entrada Externaa uma Entrada Externa
�� Resposta ao Impulso Resposta ao Impulso hh((tt)) de um SLITC representado por de um SLITC representado por T{T{⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅}}
�� Resposta de estado nulo (condições iniciais nulas) de um Resposta de estado nulo (condições iniciais nulas) de um 
SLITC a uma entrada externa SLITC a uma entrada externa xx((tt))
δδδδ (t) h(t)T{·} )}({)( tth δT=
Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury FevFev--20092009 1313
{ }
∫
∫
∫
∫
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
−=
−=
−==
−=
τττ
ττδτ
ττδτ
ττδτ
dthxty
dtx
dtxtxty
dtxtx
)()()(
)()(
})()({)}({)(
)()()(
T
TT
x(t) y(t)h(t)
Um SLITC é completamente
caracterizado por sua
Resposta ImpulsivaResposta Impulsiva
Decomposição em 
Impulsos Unitários
Operação da
Convolução
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A Operação de ConvoluçãoA Operação de Convolução
�� A convolução de dois sinais de tempo contínuoA convolução de dois sinais de tempo contínuo
xx((tt)) e e hh((tt)) é dada pela integralé dada pela integral
)()()()()( thtxdthxty ∗=−= ∫
∞
∞−
τττ
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A saída de qualquer SLITC
é a convolução da entrada x(t) com a sua
Resposta ao Impulso Unitário h(t)
x(t) y(t) = x(t) ∗∗∗∗ h(t)SLITC
A Operação de ConvoluçãoA Operação de Convolução
�� Propriedades:Propriedades:
�� ComutativaComutativa
)()()()( thtxtxth ∗=∗
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)()()()( thtxtxth ∗=∗
h(t)x(t) y(t) x(t)h(t) y(t)A Operação de ConvoluçãoA Operação de Convolução
�� Propriedades:Propriedades:
�� AssociativaAssociativa
)}()({)()()}()({ 2121 ththtxththtx ∗∗=∗∗
Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury FevFev--20092009 1717
)}()({)()()}()({ 2121 ththtxththtx ∗∗=∗∗
h1(t)x(t) y(t)h2(t) h2(t)x(t) y(t)h1(t)
h1(t)∗∗∗∗h2(t)x(t) y(t)
Associação em Série (ou Cascata)Associação em Série (ou Cascata)
A Operação de ConvoluçãoA Operação de Convolução
�� Propriedades:Propriedades:
�� DistributivaDistributiva
)()()()()}()({)( 2121 thtxthtxththtx ∗+∗=+∗
h (t)
Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury FevFev--20092009 1818
h1(t)+h2(t)x(t) y(t)
h1(t)
x(t) y(t)
h2(t)
+
Associação em ParaleloAssociação em Paralelo
A Operação de ConvoluçãoA Operação de Convolução
�� Propriedades:Propriedades:
�� DeslocamentoDeslocamento
)()()( :então 
)()()( :Se
TtyTthtx
thtxty
−−=−∗−
−=−∗
∗=
Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury FevFev--20092009 1919
�� Elemento Neutro: Impulso UnitárioElemento Neutro: Impulso Unitário
)()()( :e 2121 TTtyTthTtx −−=−∗−
)()()( txttx =∗δ
A Operação de ConvoluçãoA Operação de Convolução
�� Propriedades:Propriedades:
�� LarguraLargura
Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury FevFev--20092009 2020
�� CausalidadeCausalidade
�� Se Se xx((tt)) e e hh((tt)) são sinais causais então são sinais causais então xx((tt) ) ӿӿ hh((tt))
também será causaltambém será causal
A Operação de ConvoluçãoA Operação de Convolução
�� Cálculo passo a passoCálculo passo a passo
1.1. ReversãoReversão11 temporal da Resposta Impulsiva temporal da Resposta Impulsiva hh((ττ))
para se obter para se obter hh((--ττ))
2.2. Multiplicação dos sinais Multiplicação dos sinais xx((ττ)) ee hh((tt00 -- ττ)) para todos para todos 
os valores deos valores de ττ,, comcom t = tt = t
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Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury FevFev--20092009 2121
os valores deos valores de ττ,, comcom t = tt = t00
3.3. Integração do produto Integração do produto xx((ττ)).h.h((t t -- ττ)) para todos os para todos os 
valores devalores de ττ,, obtendoobtendo--se um valor único para se um valor único para yy((tt00))
4.4. Repetição dos passos anteriores paraRepetição dos passos anteriores para --∞∞∞∞∞∞∞∞ < t < < t < ∞∞∞∞∞∞∞∞
para produzir a saída para todos os instantes de para produzir a saída para todos os instantes de 
tempo, tempo, yy((tt))
1
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A Operação de ConvoluçãoA Operação de Convolução
�� Exemplo 1Exemplo 1
�� Sabendo que um circuito RC, como o mostrado abaixo, tem resposta Sabendo que um circuito RC, como o mostrado abaixo, tem resposta 
impulsiva impulsiva hh((tt)) = e = e ––t t uu((tt)) e constante de tempo e constante de tempo RC = 1sRC = 1s, , 
determine a tensão no capacitor determine a tensão no capacitor yy((tt)),, resultante de uma resultante de uma 
tensão de entrada tensão de entrada xx((tt)) = e = e –– 3t3t [[uu((tt)) –– uu((tt--22)])]
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A Operação de ConvoluçãoA Operação de Convolução
�� Exemplo 1Exemplo 1
�� Por se tratar de um SLITC, temos:Por se tratar de um SLITC, temos:
yy((tt)) = h= h((tt)) ∗∗∗∗∗∗∗∗ xx((tt)) = = {{ e e ––t t uu((tt)) } } ∗∗∗∗∗∗∗∗ { { e e –– 3t 3t [[uu((tt)) –– uu((tt--22))] }] }
�� Traçar Traçar xx((ττττττττ )) e e hh((t t –– ττττττττ )) em função da variável independente em função da variável independente ττττττττ ..
Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury FevFev--20092009 2323
�� Inicie a constante Inicie a constante tt muito grande negativamente, e façamuito grande negativamente, e faça--a crescer a crescer 
até valores muito grandes positivamente, identificando os intervalos até valores muito grandes positivamente, identificando os intervalos 
nos quais a multiplicação dos sinais seja nula, e os intervalos nos nos quais a multiplicação dos sinais seja nula, e os intervalos nos 
quais o produto não se anulequais o produto não se anule
A Operação de ConvoluçãoA Operação de Convolução
�� Exemplo 1Exemplo 1
�� Para Para t < 0 t < 0 os sinais não se sobrepõem, resultando em produto nulo, e os sinais não se sobrepõem, resultando em produto nulo, e 
conseqüentementeconseqüentemente a integral de convolução também se anulará.a integral de convolução também se anulará.
�� Para Para t > 0 t > 0 os sinais os sinais xx((ττττττττ )) e e hh(( t t –– ττττττττ )) sobrepõemsobrepõem--se para se para 0 < t < 20 < t < 2::
xx((ττττττττ )) . h. h(( t t –– ττττττττ )) = e = e –– t t –– 22ττττττττ
�� Para Para 0 ≤ t < 2 0 ≤ t < 2 os sinais os sinais xx((ττττττττ )) e e hh(( t t –– ττττττττ )) sobrepõemsobrepõem--se, se, 
de forma a ter um produto resultante crescente, dado por:de forma a ter um produto resultante crescente, dado por:
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de forma a ter um produto resultante crescente, dado por:de forma a ter um produto resultante crescente, dado por:
�� Para Para t ≥ 2 t ≥ 2 os sinais os sinais xx((ττττττττ )) e e hh(( t t –– ττττττττ )) continuam continuam 
sobrepondosobrepondo--se, mas agora de forma a ter um se, mas agora de forma a ter um 
produto resultante decrescente, dado por:produto resultante decrescente, dado por:
�� Daí temos o resultado da convolução Daí temos o resultado da convolução 
através da junção de todos os intervalos:através da junção de todos os intervalos:
Exemplo 2Exemplo 2
�� Sejam Sejam xx((tt)) ee hh((tt)) de um SLITC, dados a seguir, de um SLITC, dados a seguir, 
calcule a saídacalcule a saída yy((tt))::
0 ,)()( e )()( atuethtutx at >==
∞
−
∫
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)(1)(
ou 0 para 1)(
)1(1)(
)()()()()(
00
)(
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∞
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∫∫
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ττ
τττ
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Exemplo 2Exemplo 2
)()( e 0 ,)()( tutxatueth at =>= −
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τ
x(τ)
1
0τ
h(τ)
1
0
h(t-τ)h(-τ)
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τ
h(t-τ)
1
0
t < 0
tτ
h(-τ)
1
0
∫
∞
∞−
−=∗= τττ dthxthtxty )()()()()(
τ
h(t-τ)
1
0
t > 0
t
Exemplo 2Exemplo 2
0 ,)()( e )()( >== − atuethtutx at
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x(τ)
1
0 τ
h(τ)
1
0
x(t-τ)x(-τ)
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τ
x(t-τ)
1
0t
t < 0
τ
x(t-τ)
1
0 t
t > 0
∫
∞
∞−
−=∗= τττ dtxhtxthty )()()()()(
τ
x(-τ)
1
0
Exemplo 3Exemplo 3
0 ,)()( e )()( >=−= − atuethtuetx atat
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τ
h(τ)
1
0τ
x(τ)
1
0
h(t-τ)
Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A.Fleury FevFev--20092009 2828
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τ
h(t-τ)
1
0
t < 0
tt
τ
h(t-τ)
1
0
t > 0
t
τ
y(t)
0
1/2a
Tabela de ConvoluçãoTabela de Convolução
Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury FevFev--20092009 2929
Tabela de ConvoluçãoTabela de Convolução
Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury FevFev--20092009 3030
Exercício 1Exercício 1
�� Calcule analiticamente, a convolução entre:Calcule analiticamente, a convolução entre:
0 ,)()( e )()( >=−= − atuethtuetx atat
∞
∫
Para Para t < 0 t < 0 : : xx((ττ)) e e hh((tt--ττ)) sobrepõemsobrepõem--se em se em ττ == --∞∞ a a ττ = t= t
Para Para t > 0t > 0 : : xx((ττ)) e e hh((tt--ττ)) sobrepõemsobrepõem--se em se em ττ == --∞∞ a a ττ = 0= 0
Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury FevFev--20092009 3131
0 ,
2
1)(
2
1)( :0 Para
2
1)( :0 Para
)()()()()(
0 20 )(
2)(
>=
===>
===<
−=∗=
−
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∞−
−
∞−
−−
∞−
−
∞−
−−
∞
∞−
∫∫
∫∫
∫
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deedeetyt
e
a
deedeetyt
dthxthtxty
ta
ataattaa
att aatt taa
ττ
ττ
τττ
τττ
τττ
Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury FevFev--20092009 3232
Características de um SLITCCaracterísticas de um SLITC
�� Sem MemóriaSem Memória
�� A saída A saída yy((tt)) depende apenas da entrada depende apenas da entrada xx((tt)) correntecorrente
�� Para um SLITC:Para um SLITC: yy((tt)) = K.x= K.x((tt))
Resposta Impulsiva:Resposta Impulsiva: hh((tt)) = K= K..δδδδδδδδ((tt))
Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury FevFev--20092009 3333
Resposta Impulsiva:Resposta Impulsiva: hh((tt)) = K= K..δδδδδδδδ((tt))
�� Com MemóriaCom Memória
�� A saída A saída yy((tt)) depende de entradas ou saídas em depende de entradas ou saídas em 
tempos diferentes do correntetempos diferentes do corrente
�� Para um SLITC:Para um SLITC: hh((tt00)) ≠ ≠ 00 para para tt00 ≠ ≠ 00
Características de um SLITCCaracterísticas de um SLITC
�� CausalidadeCausalidade
�� Sistema causal não responde a um estímulo antes Sistema causal não responde a um estímulo antes 
que ele ocorraque ele ocorra
�� Para um SLITC:Para um SLITC: hh((tt)) = = 00 t < t < 00
�� Para entradas causais, a integral da convolução é Para entradas causais, a integral da convolução é 
dada pordada por
Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury FevFev--20092009 3434
dada pordada por
∫
∞
−=∗=
0
)()()()()( τττ dtxhtxthty
∞<∫
∞
∞−
ττ dh )(
�� EstabilidadeEstabilidade
�� Um SLITC é considerado estável Um SLITC é considerado estável 
(BIBO) se sua resposta impulsiva (BIBO) se sua resposta impulsiva 
for integrável em módulofor integrável em módulo
Propriedades de um SLITCPropriedades de um SLITC
�� ComutatividadeComutatividade )()()()()( thtxtxthty ∗=∗=
h1[t] h2[t]x[t] y[t]
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)
Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury FevFev--20092009 3535
h2[t] h1[t]x[t] y[t]
h1[t] * h2[t]x[t] y[t]
S
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Propriedades de um SLITCPropriedades de um SLITC
�� DistributividadeDistributividade
)]()([)()()()()()( 2121 ththtxthtxthtxty +∗=∗+∗=
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h1[t]
Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury FevFev--20092009 3636
h1[t] + h2[t]x[t] y[t]
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h2[t]
+x[t] y[t]
Propriedades de um SLITCPropriedades de um SLITC
�� Resposta ao Resposta ao Degrau UnitárioDegrau Unitário: : ss((tt))
�� Diz como um SLITC responde às mudanças Diz como um SLITC responde às mudanças 
repentinas no sinal de entradarepentinas no sinal de entrada
�� PodePode--se expressar essa resposta em função da se expressar essa resposta em função da 
resposta impulsivaresposta impulsiva
Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury FevFev--20092009 3737
resposta impulsivaresposta impulsiva
�� De modo análogo, expressaDe modo análogo, expressa--se se hh((tt)) em função de em função de ss((tt))
∫
∞−
=∗=
t
dhtuthts ττ )()()()(
)()( ts
dt
d
th =
Propriedades de um SLITCPropriedades de um SLITC
�� ExemploExemplo: Encontre a resposta ao degrau unitário : Encontre a resposta ao degrau unitário ss((tt))
do circuito RC que tem resposta ao impulsodo circuito RC que tem resposta ao impulso
�� Usando a propriedade anterior:Usando a propriedade anterior:
)(1)( / tue
RC
th RCt−=
Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury FevFev--20092009 3838
�� Usando a propriedade anterior:Usando a propriedade anterior:



>−
≤
=
==
−
−
∞−
−
∫∫
0 para,1
0 para,0)(
1)(1)(
/
0
//
te
t
ts
de
RC
due
RC
ts
RCt
t RCt RC τττ ττ
Função Própria de um SistemaFunção Própria de um Sistema
Recordando...Recordando...
�� pp((tt)) será uma função própria (será uma função própria (autofunçãoautofunção) de um ) de um 
sistema caracterizado pela transformação linear sistema caracterizado pela transformação linear TT{{··}}
se:se:
TT{ { pp((tt)})} = = P.pP.p((tt))
Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury FevFev--20092009 3939
TT{ { pp((tt)})} = = P.pP.p((tt))
�� A transformação linear da função resulta na própria A transformação linear da função resulta na própria 
funçãofunção
�� Neste caso, Neste caso, P P é o valor próprio (é o valor próprio (autovalorautovalor) associado à ) associado à 
função própria função própria pp((tt))
Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury FevFev--20092009 4040
Funções PrópriasFunções Próprias** dos SLITCsdos SLITCs
�� As sequências As sequências Exponenciais Complexas Exponenciais Complexas são são 
funções próprias dos funções próprias dos SLITC’sSLITC’s
stst ee .}{ λ=T
*
 
R
e
s
p
o
s
t
a
 
s
e
n
o
i
d
a
l
 
e
m
 
e
s
t
a
d
o
 
e
s
t
a
c
i
o
n
á
r
i
o
Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury FevFev--20092009 4141
λλ é o é o valor próprio valor próprio (autovalor) de (autovalor) de TT
associado à associado à função própria função própria e e s.ts.t
*
 
R
e
s
p
o
s
t
a
 
s
e
n
o
i
d
a
l
 
e
m
 
e
s
t
a
d
o
 
e
s
t
a
c
i
o
n
á
r
i
o
Funções PrópriasFunções Próprias** dos SLITCsdos SLITCs
�� Usando Usando e e s.ts.t como sinal de entrada em um SLITCcomo sinal de entrada em um SLITC
em que em que HH((ss)) é o valor próprio de é o valor próprio de TT associado à função associado à função ee ss tt
stst
ssttsst
eesHty
dehedehety
.).()(
)()(}{)( )(
λ
ττττ ττ
==
=== ∫∫
∞
∞−
−
∞
∞−
−T
*
 
R
e
s
p
o
s
t
a
 
s
e
n
o
i
d
a
l
 
e
m
 
e
s
t
a
d
o
 
e
s
t
a
c
i
o
n
á
r
i
o
Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury FevFev--20092009 4242
em que em que HH((ss)) é o valor próprio de é o valor próprio de TT associado à função associado à função ee ss tt
(uma constante complexa) (uma constante complexa) �� Transformada de Transformada de LaplaceLaplace
�� HH((ss)) é chamada de é chamada de Função de TransferênciaFunção de Transferência do SLITCdo SLITC
*
 
R
e
s
p
o
s
t
a
 
s
e
n
o
i
d
a
l
 
e
m
 
e
s
t
a
d
o
 
e
s
t
a
c
i
o
n
á
r
i
o
{ }
{ } {} Laplacede a transf. é onde ,)(
)(
)(
)()( ⋅== L
txL
tyL
sX
sY
sH
Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury FevFev--20092009 4343
Descrição de Sistemas por Descrição de Sistemas por 
Equações DiferenciaisEquações Diferenciais
�� Equações Diferenciais Lineares com Equações Diferenciais Lineares com 
Coeficientes ConstantesCoeficientes Constantes
�� Uma importante subUma importante sub--classe dos classe dos SLITC’sSLITC’s é a dos é a dos 
sistemas cujos sinais de entrada e saída satisfazem sistemas cujos sinais de entrada e saída satisfazem 
a uma equação diferencial com a forma geral:a uma equação diferencial com a forma geral:
)()( M kN k txdtyd
Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury FevFev--20092009 4444
�� Exemplo:Exemplo:
reais. constantes são e escoeficient os onde
)()(
00
kk
M
k
k
k
k
N
k
k
k
k
ba
dt
txdb
dt
tyd
a ∑∑
==
=
capacitor. o sobre tensãoa é (t) saída a e elétrico, circuito
 do oalimentaçã de fonte da tensãoa é (t) entrada a onde
)(1)(1)(
y
x
tx
RC
ty
RCdt
tdy
=+
�� Equações Diferenciais Lineares com Equações Diferenciais Lineares com 
Coeficientes Constantes Coeficientes Constantes -- EDLCC’sEDLCC’s
Descrição de Sistemas por Descrição de Sistemas por 
Equações DiferenciaisEquações Diferenciais
)()()()(
)()()()(
01
1
1
011
1
1
txbtdxbtxdbtxdb
tya
dt
tdy
a
dt
tyd
a
dt
tyd
a
M
M
M
M
N
N
NN
N
N
++++
=++++
−
−
−
−
−
−
L
L
Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury FevFev--20092009 4545
Usando operador D para representar Usando operador D para representar dd//dtdt::
M e N podem assumir qualquer valor (na prática deve-se ter M ≤ N)
)(0111 txbdtbdtbdtb MMMM ++++ −− L
)().()().(
1 com ),()(
)()(
01
1
1
01
1
1
txDPtyDQ
atxbDbDbDb
tyaDaDaD
N
M
M
M
M
N
N
N
=
=++++=
=++++
−
−
−
−
L
L
Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury FevFev--20092009 4646
�� Sistemas descritos por Sistemas descritos por EDLCC’sEDLCC’s são linearessão lineares
Resposta Total Resposta Total do SLITC = do SLITC = 
Descrição de Sistemas por Descrição de Sistemas por 
Equações DiferenciaisEquações Diferenciais
Resposta de Entrada Nula
+
Resposta de Estado Nulo
Condições Iniciais
Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury FevFev--20092009 4747
Resposta de Estado Nulo
Entrada Externa
Modos característicos (raízes distintas)
�� Sistemas descritos por Sistemas descritos por EDLCC’sEDLCC’s são linearessão lineares
Descrição de Sistemas por Descrição de Sistemas por 
Equações DiferenciaisEquações Diferenciais
0)()(
0)()(
1
=++++
=
− tyaDaDaD
tyDQ
NN
L
Entrada nula: x(t) = 0
Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury FevFev--20092009 4848
0)()( 111 =++++ −− tyaDaDaD NNNN L
Solução (heurística): y0(t) = c.e λ.t
�� Resposta de Entrada NulaResposta de Entrada Nula
�� Substituindo a solução propostaSubstituindo a solução proposta
Descrição de Sistemas por Descrição de Sistemas por 
Equações DiferenciaisEquações Diferenciais
t
t
ec
dt
tyd
tyD
ec
dt
tdy
tDy
λ
λ
λ
λ
==
==
)()(
)()(
2
2
0
2
0
2
0
0
Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury FevFev--20092009 4949
tN
N
N
N
ec
dt
tyd
tyD λλ== )()( 00
M
)())(()(
0)(
0
0)(
21
1
1
1
1
1
1
N
NN
NN
t
NN
NN
Q
Q
aaa
eaaac
λλλλλλλ
λ
λλλ
λλλ λ
−−−=
=
=++++
=++++
−
−
−
−
L
L
L
Polinômio Característico do Polinômio Característico do 
SLITCSLITC
Raízes Características distintas Polinômio Característico 
na forma fatorada
�� Solução de EDLCC’sSolução de EDLCC’s
�� A resposta natural de um SLITC tem a formaA resposta natural de um SLITC tem a forma
∑
=
=
N
i
tr
ih
iecty
1
)(
Descrição de Sistemas por Descrição de Sistemas por 
Equações DiferenciaisEquações Diferenciais
Combinação
Linear de
Autofunções
Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury FevFev--20092009 5050
em que rem que rii são as N raízes da são as N raízes da Equação Característica Equação Característica 
do sistemado sistema
0
0
=∑
=
N
k
k
kra
�� Solução de Solução de EDLCC’sEDLCC’s
�� Exemplo: Seja um SLITC descrito por sua EDLCC. Determine o Exemplo: Seja um SLITC descrito por sua EDLCC. Determine o 
polinômio característico, as raízes e os modos característicos do polinômio característico, as raízes e os modos característicos do 
sistema. Determine também a resposta de entrada nula quando sistema. Determine também a resposta de entrada nula quando yy00(0)=2 (0)=2 e e 
dydy00(0)/(0)/dtdt = = --11 )()()(6)(5)(2
2
tx
dt
tdx
ty
dt
tdy
dt
tyd
+=++
Descrição de Sistemas por Descrição de Sistemas por 
Equações DiferenciaisEquações Diferenciais
( ) ( ) txDtyDD
dt
dD 2 )(1)(65 :como a EDLCCescrever podemos operador o Usando +=++=
Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury FevFev--20092009 5151
( ) ( )
tt
tt
tt
eety
cc
ecec-
dt
dy
ececy
-
dt
dy
 y
ecectyty
ee
a
acbb
D
txDtyDD
dt
D
.3.2
0
210.3
2
0.2
1
0
0.3
2
0.2
10
0
0
3
2
2
100
32
2
1
2
1,2
2
35)( :Logo
3 e 5
321)0(
2)0(
 ,1)0( e 2)0(
:SLITC do iniciais condições daspartir a calculados são escoeficient Os
)( :sm.c.' doslinear combinaçãoa será )(nula entrada a resposta A
 e :serão SLITC do ticoscaracterís modos os Logo
32/)15(
22/)15(
2
6.1.4255
2
4
 :raízes As
065 :ticocaracterís polinômio oencontrar para doSubstituin
)(1)(65 :como a EDLCCescrever podemos operador o Usando
−−
−−
−−
−−
−−
−=
−==⇒




−−==
+==
==
+=



−=−−=
−=+−=
=
−±−
=
−±−
=
=++=
λ
λλ
λλλ
�� Solução de Solução de EDLCC’sEDLCC’s
�� Exemplo: Seja um SLITC descrito por sua EDLCC. Determine o Exemplo: Seja um SLITC descrito por sua EDLCC. Determine o 
polinômio característico, as raízes e os modos característicos do polinômio característico, as raízes e os modos característicos do 
sistema. Determine também a resposta de entrada nula quando sistema. Determine também a resposta de entrada nula quando yy00(0)=2 (0)=2 e e 
dydy00(0)/(0)/dtdt = = --11 )(2)()(4)(4)(2
2
tx
dt
tdx
ty
dt
tdy
dt
tyd
−=+−
Descrição de Sistemas por Descrição de Sistemas por 
Equações DiferenciaisEquações Diferenciais
12 2204.1.416044 
=
==⇒=−=∆⇒=+−
λλλλ
Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury FevFev--20092009 5252
tt
ttt
tt
teety
c
ccy
cy
teececty
ttececty
22
0
2
210
10
22
2
2
10
2
2
2
10
2
1
2,1
2
52)(
 :seránula entrada a resposta a Assim,
541
21)0( (II)
2)0( (I) 
)2(2)(
 ;0para )(
2
2
204.1.416044
−=
−==−−



+=−=
==
++=
≥+=



=
=
==⇒=−=∆⇒=+−
−
&
&
λ
λλλλ
�� Resposta ao Impulso de SLITC descrito por EDLCCResposta ao Impulso de SLITC descrito por EDLCC
Descrição de Sistemas por Descrição de Sistemas por 
Equações DiferenciaisEquações Diferenciais
. geral, maisforma de ou ,tica caracterísa terãopráticos sistemas Portanto,
s.frequência altas de ruído amplificar de além ,ilimitada) (amplitude unitário
impulsosaída produz degrauentrada para que )(instáveisdoresdiferencia sistemas temos Com
)()()()()()()()()( 11
1
1011
1
1
NMNM
NM
txb
dt
tdxb
dt
txdb
dt
txdbtyaty
dt
tdy
a
dt
tyd
a
dt
tyd
MMM
M
M
M
nNN
N
N
N
=
=≤
>
++++=++++
−
−
−
−
−
−
LL
Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury FevFev--20092009 5353
)()()()( 
)()()()( :spolinomiai termosEm
1
1
101
1
1 txbDbDbDbtyaDaDaD
txDPtyDQ
NN
NN
NN
NN ++++=++++
=
−
−
−
−
LL
)}0( ticoscaracterís {modos )()( 0 >+= ttbth δ
)0( ticoscaracterís modos)( 
 :impulso aoresposta a e ,0 temos Se 0
>=
=<
tth
bNM
�� Resposta ao Impulso de SLITC descrito por EDLCCResposta ao Impulso de SLITC descrito por EDLCC
Descrição de Sistemas por Descrição de Sistemas por 
Equações DiferenciaisEquações Diferenciais
1)0( e 0)0()0()0()0(
 :sc.i.' às sujeito SLIT o e 
ticoscaracterís modos doslinear combinaçãoa é )( :onde
)()}()({ )()(
)()1(
0
=====
+=
− NN
n
n
yyyyy
ty
tutyDPtbth
&&&
δ
Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury FevFev--20092009 5454
�� Resposta ao ImpulsoResposta ao Impulso
�� Exemplo: Seja um SLITC descrito por sua EDLCC. Determine a resposta Exemplo: Seja um SLITC descrito por sua EDLCC. Determine a resposta 
ao impulso quando ao impulso quando yy00(0)=0 (0)=0 e e dydy00(0)/(0)/dtdt = 1= 1
dt
tdx
ty
dt
tdy
dt
tyd )()(2)(3)(2
2
=++
Descrição de Sistemas por Descrição de Sistemas por 
Equações DiferenciaisEquações Diferenciais
2
1
12.1.49023 12,12 

−=
−=
=⇒=−=∆⇒=++ λ
λλλλ
Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury FevFev--20092009 5555
)()2()(
)()2()()()(.0)(
 se )()]()([)()(
)( :Assim
1 ,1
21)0( (II)
0)0( (I) 
2)( : temoslogo, ;0para )(
2
12.1.49023
2
22
0
2
12
21
21
2
21
2
21
2
2,1
tueeth
tueetueeDtth
NMtutyDPtbth
eety
cc
ccy
ccy
ecectytececty
tt
tttt
n
tt
n
n
n
tt
n
tt
n
−−
−−−−
−−
−−−−
−=
+−=−+=
=+=
−=
=−=



−−==
+==
−−=>+=


−=
=⇒=−=∆⇒=++
δ
δ
λλλλ
&
&