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Análise Temporal de Análise Temporal de Sistemas LinearesSistemas Lineares 50 Slides Prof. Cláudio A. Fleury Sistemas LinearesSistemas Lineares Módulo 2Módulo 2 Sistemas Lineares Invariantes no Tempo Contínuo Sistemas Lineares Invariantes no Tempo Contínuo (SLITC)(SLITC) ConteúdoConteúdo �� Introdução ao SLITCIntrodução ao SLITC �� Resposta ao Impulso UnitárioResposta ao Impulso Unitário �� A Operação de ConvoluçãoA Operação de Convolução �� Características e Propriedades de um SLITCCaracterísticas e Propriedades de um SLITC Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury FevFev--20092009 22 �� Características e Propriedades de um SLITCCaracterísticas e Propriedades de um SLITC �� Autofunções de um SLITCAutofunções de um SLITC �� Descrição de SLITC por Equações DiferenciaisDescrição de SLITC por Equações Diferenciais �� Respostas de Respostas de Entrada Nula Entrada Nula e de e de Estado NuloEstado Nulo Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury FevFev--20092009 33 IntroduçãoIntrodução �� Formas de Representação de Formas de Representação de SLITC’sSLITC’s �� AnalíticaAnalítica �� No domínio do TempoNo domínio do Tempo �� Resposta ao Impulso UnitárioResposta ao Impulso Unitário h(t)h(t) �� Equações Diferencias de Coeficentes ConstantesEquações Diferencias de Coeficentes Constantes �� No domínio da Freqüência RealNo domínio da Freqüência Real Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury FevFev--20092009 44 �� No domínio da Freqüência RealNo domínio da Freqüência Real �� Resposta em FreqüênciaResposta em Freqüência H(e H(e jj ω ω)) �� No domínio da Freqüência ComplexaNo domínio da Freqüência Complexa �� Função de Transferência:Função de Transferência: H(s)H(s) �� AlgébricaAlgébrica �� Espaço de EstadosEspaço de Estados �� GráficaGráfica �� Diagrama de BlocosDiagrama de Blocos IntroduçãoIntrodução �� Características de um SLITCCaracterísticas de um SLITC �� Linearidade (Princípio da Superposição)Linearidade (Princípio da Superposição) �� Propriedade da AditividadePropriedade da Aditividade �� Propriedade da HomogeneidadePropriedade da Homogeneidade �� Invariância no TempoInvariância no Tempo Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury FevFev--20092009 55 �� Invariância no TempoInvariância no Tempo Entrada Saída IntroduçãoIntrodução �� Formas de Descrição de um SLITCFormas de Descrição de um SLITC �� Resposta ImpulsivaResposta Impulsiva, , hh((tt)) �� Resposta do SLITC à entrada do sinal Impulso Unitário, Resposta do SLITC à entrada do sinal Impulso Unitário, δδ((tt)) �� Caracteriza completamente o comportamento dinâmico do Caracteriza completamente o comportamento dinâmico do Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury FevFev--20092009 66 �� Caracteriza completamente o comportamento dinâmico do Caracteriza completamente o comportamento dinâmico do SLITCSLITC �� Equações DiferenciaisEquações Diferenciais )()()(6)(5)(2 2 tx dt tdx ty dt tdy dt tyd +=++ IntroduçãoIntrodução �� Convolução Convolução yy((tt) = ) = xx((tt) ) ∗∗∗∗∗∗∗∗ hh((tt)) �� OperaçãoOperação que calcula a que calcula a SaídaSaída11 de um SLITC a partir de um SLITC a partir da da EntradaEntrada e de sua e de sua Resposta ImpulsivaResposta Impulsiva �� Calcula a Resposta de um SLITC a qualquer EntradaCalcula a Resposta de um SLITC a qualquer Entrada Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury FevFev--20092009 77 �� Calcula a Resposta de um SLITC a qualquer EntradaCalcula a Resposta de um SLITC a qualquer Entrada 1 Saída de Estado Nulo (sistema em repouso, condições iniciais nulas) x(t) y(t) h(t) Sistema LinearSistema Linear �� Todo Sistema Linear possui as propriedades:Todo Sistema Linear possui as propriedades: �� AditividadeAditividade )()()}()({ )()}({ )()}({ 2121 22 11 tytytxtx tytx tytx +=+→ = = T T T Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury FevFev--20092009 88 �� HomogeneidadeHomogeneidade constanteuma é onde )(.)}(.{ )()}({ a tyatxatytx =→= TT Sistema Invariante no TempoSistema Invariante no Tempo �� Exemplos:Exemplos: )()}({ )()}({ 00 ttyttxtytx −=−→= TT Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury FevFev--20092009 99 �� invariante: invariante: yy((tt)) = x= x(t(t--2)2) �� variante: variante: yy((tt)) = x= x(2.(2.tt)) �� invariante: invariante: yy((tt)) = = sensen((xx((tt)))) �� variante: variante: yy((tt)) = t.x= t.x((tt)) Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury FevFev--20092009 1010 Resposta de um SLITC Resposta de um SLITC a uma Entrada Externaa uma Entrada Externa �� Tipos de respostas de um SLITCTipos de respostas de um SLITC Resposta Total Resposta Total do SLITC do SLITC Resposta de Entrada Nula + Condições Iniciais Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury FevFev--20092009 Com condições iniciais nulas: y(t) = dy(t)/dt = d2y(t)/dt2 =... = 0 + Resposta de Estado Nulo Entrada Externa Resposta Total Resposta Total do SLITC = do SLITC = Resposta de Estado NuloResposta de Estado Nulo Resposta de um SLITC Resposta de um SLITC a uma Entrada Externaa uma Entrada Externa �� Conhecido a Conhecido a Resposta ao Impulso Resposta ao Impulso hh((tt)) de um SLITC de um SLITC podepode--se determinar a se determinar a Resposta de Estado NuloResposta de Estado Nulo11 de um de um SLITC a uma SLITC a uma Entrada Externa Arbitrária Entrada Externa Arbitrária xx((tt)) x(t) y(t)h(t) Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury FevFev--20092009 1212 �� A saída A saída yy((tt) ) é obtida pela é obtida pela Operação da Convolução Operação da Convolução entre entre a Entrada Externa a Entrada Externa xx((tt) ) e a Resposta ao Impulso e a Resposta ao Impulso hh((tt) ) .. �� A Resposta ao Impulso é formada pelos Modos A Resposta ao Impulso é formada pelos Modos Característicos do SLITCCaracterísticos do SLITC )()()( thtxty ∗= 1 c o n d i ç õ e s i n i c i a i s n u l a s Resposta de um SLITC Resposta de um SLITC a uma Entrada Externaa uma Entrada Externa �� Resposta ao Impulso Resposta ao Impulso hh((tt)) de um SLITC representado por de um SLITC representado por T{T{⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅}} �� Resposta de estado nulo (condições iniciais nulas) de um Resposta de estado nulo (condições iniciais nulas) de um SLITC a uma entrada externa SLITC a uma entrada externa xx((tt)) δδδδ (t) h(t)T{·} )}({)( tth δT= Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury FevFev--20092009 1313 { } ∫ ∫ ∫ ∫ ∞ ∞− ∞ ∞− ∞ ∞− ∞ ∞− −= −= −== −= τττ ττδτ ττδτ ττδτ dthxty dtx dtxtxty dtxtx )()()( )()( })()({)}({)( )()()( T TT x(t) y(t)h(t) Um SLITC é completamente caracterizado por sua Resposta ImpulsivaResposta Impulsiva Decomposição em Impulsos Unitários Operação da Convolução Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury FevFev--20092009 1414 A Operação de ConvoluçãoA Operação de Convolução �� A convolução de dois sinais de tempo contínuoA convolução de dois sinais de tempo contínuo xx((tt)) e e hh((tt)) é dada pela integralé dada pela integral )()()()()( thtxdthxty ∗=−= ∫ ∞ ∞− τττ Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury FevFev--20092009 1515 A saída de qualquer SLITC é a convolução da entrada x(t) com a sua Resposta ao Impulso Unitário h(t) x(t) y(t) = x(t) ∗∗∗∗ h(t)SLITC A Operação de ConvoluçãoA Operação de Convolução �� Propriedades:Propriedades: �� ComutativaComutativa )()()()( thtxtxth ∗=∗ Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury FevFev--20092009 1616 )()()()( thtxtxth ∗=∗ h(t)x(t) y(t) x(t)h(t) y(t)A Operação de ConvoluçãoA Operação de Convolução �� Propriedades:Propriedades: �� AssociativaAssociativa )}()({)()()}()({ 2121 ththtxththtx ∗∗=∗∗ Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury FevFev--20092009 1717 )}()({)()()}()({ 2121 ththtxththtx ∗∗=∗∗ h1(t)x(t) y(t)h2(t) h2(t)x(t) y(t)h1(t) h1(t)∗∗∗∗h2(t)x(t) y(t) Associação em Série (ou Cascata)Associação em Série (ou Cascata) A Operação de ConvoluçãoA Operação de Convolução �� Propriedades:Propriedades: �� DistributivaDistributiva )()()()()}()({)( 2121 thtxthtxththtx ∗+∗=+∗ h (t) Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury FevFev--20092009 1818 h1(t)+h2(t)x(t) y(t) h1(t) x(t) y(t) h2(t) + Associação em ParaleloAssociação em Paralelo A Operação de ConvoluçãoA Operação de Convolução �� Propriedades:Propriedades: �� DeslocamentoDeslocamento )()()( :então )()()( :Se TtyTthtx thtxty −−=−∗− −=−∗ ∗= Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury FevFev--20092009 1919 �� Elemento Neutro: Impulso UnitárioElemento Neutro: Impulso Unitário )()()( :e 2121 TTtyTthTtx −−=−∗− )()()( txttx =∗δ A Operação de ConvoluçãoA Operação de Convolução �� Propriedades:Propriedades: �� LarguraLargura Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury FevFev--20092009 2020 �� CausalidadeCausalidade �� Se Se xx((tt)) e e hh((tt)) são sinais causais então são sinais causais então xx((tt) ) ӿӿ hh((tt)) também será causaltambém será causal A Operação de ConvoluçãoA Operação de Convolução �� Cálculo passo a passoCálculo passo a passo 1.1. ReversãoReversão11 temporal da Resposta Impulsiva temporal da Resposta Impulsiva hh((ττ)) para se obter para se obter hh((--ττ)) 2.2. Multiplicação dos sinais Multiplicação dos sinais xx((ττ)) ee hh((tt00 -- ττ)) para todos para todos os valores deos valores de ττ,, comcom t = tt = t r e b a t i m e n t o e m r e l a ç ã o a o e i x o v e r t i c a l Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury FevFev--20092009 2121 os valores deos valores de ττ,, comcom t = tt = t00 3.3. Integração do produto Integração do produto xx((ττ)).h.h((t t -- ττ)) para todos os para todos os valores devalores de ττ,, obtendoobtendo--se um valor único para se um valor único para yy((tt00)) 4.4. Repetição dos passos anteriores paraRepetição dos passos anteriores para --∞∞∞∞∞∞∞∞ < t < < t < ∞∞∞∞∞∞∞∞ para produzir a saída para todos os instantes de para produzir a saída para todos os instantes de tempo, tempo, yy((tt)) 1 r e b a t i m e n t o e m r e l a ç ã o a o e i x o v e r t i c a l A Operação de ConvoluçãoA Operação de Convolução �� Exemplo 1Exemplo 1 �� Sabendo que um circuito RC, como o mostrado abaixo, tem resposta Sabendo que um circuito RC, como o mostrado abaixo, tem resposta impulsiva impulsiva hh((tt)) = e = e ––t t uu((tt)) e constante de tempo e constante de tempo RC = 1sRC = 1s, , determine a tensão no capacitor determine a tensão no capacitor yy((tt)),, resultante de uma resultante de uma tensão de entrada tensão de entrada xx((tt)) = e = e –– 3t3t [[uu((tt)) –– uu((tt--22)])] Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury FevFev--20092009 2222 A Operação de ConvoluçãoA Operação de Convolução �� Exemplo 1Exemplo 1 �� Por se tratar de um SLITC, temos:Por se tratar de um SLITC, temos: yy((tt)) = h= h((tt)) ∗∗∗∗∗∗∗∗ xx((tt)) = = {{ e e ––t t uu((tt)) } } ∗∗∗∗∗∗∗∗ { { e e –– 3t 3t [[uu((tt)) –– uu((tt--22))] }] } �� Traçar Traçar xx((ττττττττ )) e e hh((t t –– ττττττττ )) em função da variável independente em função da variável independente ττττττττ .. Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury FevFev--20092009 2323 �� Inicie a constante Inicie a constante tt muito grande negativamente, e façamuito grande negativamente, e faça--a crescer a crescer até valores muito grandes positivamente, identificando os intervalos até valores muito grandes positivamente, identificando os intervalos nos quais a multiplicação dos sinais seja nula, e os intervalos nos nos quais a multiplicação dos sinais seja nula, e os intervalos nos quais o produto não se anulequais o produto não se anule A Operação de ConvoluçãoA Operação de Convolução �� Exemplo 1Exemplo 1 �� Para Para t < 0 t < 0 os sinais não se sobrepõem, resultando em produto nulo, e os sinais não se sobrepõem, resultando em produto nulo, e conseqüentementeconseqüentemente a integral de convolução também se anulará.a integral de convolução também se anulará. �� Para Para t > 0 t > 0 os sinais os sinais xx((ττττττττ )) e e hh(( t t –– ττττττττ )) sobrepõemsobrepõem--se para se para 0 < t < 20 < t < 2:: xx((ττττττττ )) . h. h(( t t –– ττττττττ )) = e = e –– t t –– 22ττττττττ �� Para Para 0 ≤ t < 2 0 ≤ t < 2 os sinais os sinais xx((ττττττττ )) e e hh(( t t –– ττττττττ )) sobrepõemsobrepõem--se, se, de forma a ter um produto resultante crescente, dado por:de forma a ter um produto resultante crescente, dado por: Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury FevFev--20092009 2424 de forma a ter um produto resultante crescente, dado por:de forma a ter um produto resultante crescente, dado por: �� Para Para t ≥ 2 t ≥ 2 os sinais os sinais xx((ττττττττ )) e e hh(( t t –– ττττττττ )) continuam continuam sobrepondosobrepondo--se, mas agora de forma a ter um se, mas agora de forma a ter um produto resultante decrescente, dado por:produto resultante decrescente, dado por: �� Daí temos o resultado da convolução Daí temos o resultado da convolução através da junção de todos os intervalos:através da junção de todos os intervalos: Exemplo 2Exemplo 2 �� Sejam Sejam xx((tt)) ee hh((tt)) de um SLITC, dados a seguir, de um SLITC, dados a seguir, calcule a saídacalcule a saída yy((tt)):: 0 ,)()( e )()( atuethtutx at >== ∞ − ∫ M a n i p u l a ç ã o A n a l í t i c a Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury FevFev--20092009 2525 )(1)( ou 0 para 1)( )1(1)( )()()()()( 00 )( tu a e ty t a e ty e a edeedety dthxthtxty at at atatt aatt ta − = ≥−= −=== −=∗= −−−− ∞ ∞− ∫∫ ∫ ττ τττ ττ M a n i p u l a ç ã o A n a l í t i c a Exemplo 2Exemplo 2 )()( e 0 ,)()( tutxatueth at =>= − M a n i p u l a ç ã o G r á f i c a τ x(τ) 1 0τ h(τ) 1 0 h(t-τ)h(-τ) Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury FevFev--20092009 2626 M a n i p u l a ç ã o G r á f i c a τ h(t-τ) 1 0 t < 0 tτ h(-τ) 1 0 ∫ ∞ ∞− −=∗= τττ dthxthtxty )()()()()( τ h(t-τ) 1 0 t > 0 t Exemplo 2Exemplo 2 0 ,)()( e )()( >== − atuethtutx at M a n i p u l a ç ã o G r á f i c a τ x(τ) 1 0 τ h(τ) 1 0 x(t-τ)x(-τ) Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury FevFev--20092009 2727 M a n i p u l a ç ã o G r á f i c a τ x(t-τ) 1 0t t < 0 τ x(t-τ) 1 0 t t > 0 ∫ ∞ ∞− −=∗= τττ dtxhtxthty )()()()()( τ x(-τ) 1 0 Exemplo 3Exemplo 3 0 ,)()( e )()( >=−= − atuethtuetx atat M a n i p u l a ç ã o G r á f i c a τ h(τ) 1 0τ x(τ) 1 0 h(t-τ) Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A.Fleury FevFev--20092009 2828 M a n i p u l a ç ã o G r á f i c a τ h(t-τ) 1 0 t < 0 tt τ h(t-τ) 1 0 t > 0 t τ y(t) 0 1/2a Tabela de ConvoluçãoTabela de Convolução Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury FevFev--20092009 2929 Tabela de ConvoluçãoTabela de Convolução Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury FevFev--20092009 3030 Exercício 1Exercício 1 �� Calcule analiticamente, a convolução entre:Calcule analiticamente, a convolução entre: 0 ,)()( e )()( >=−= − atuethtuetx atat ∞ ∫ Para Para t < 0 t < 0 : : xx((ττ)) e e hh((tt--ττ)) sobrepõemsobrepõem--se em se em ττ == --∞∞ a a ττ = t= t Para Para t > 0t > 0 : : xx((ττ)) e e hh((tt--ττ)) sobrepõemsobrepõem--se em se em ττ == --∞∞ a a ττ = 0= 0 Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury FevFev--20092009 3131 0 , 2 1)( 2 1)( :0 Para 2 1)( :0 Para )()()()()( 0 20 )( 2)( >= ===> ===< −=∗= − − ∞− − ∞− −− ∞− − ∞− −− ∞ ∞− ∫∫ ∫∫ ∫ ae a ty e a deedeetyt e a deedeetyt dthxthtxty ta ataattaa att aatt taa ττ ττ τττ τττ τττ Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury FevFev--20092009 3232 Características de um SLITCCaracterísticas de um SLITC �� Sem MemóriaSem Memória �� A saída A saída yy((tt)) depende apenas da entrada depende apenas da entrada xx((tt)) correntecorrente �� Para um SLITC:Para um SLITC: yy((tt)) = K.x= K.x((tt)) Resposta Impulsiva:Resposta Impulsiva: hh((tt)) = K= K..δδδδδδδδ((tt)) Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury FevFev--20092009 3333 Resposta Impulsiva:Resposta Impulsiva: hh((tt)) = K= K..δδδδδδδδ((tt)) �� Com MemóriaCom Memória �� A saída A saída yy((tt)) depende de entradas ou saídas em depende de entradas ou saídas em tempos diferentes do correntetempos diferentes do corrente �� Para um SLITC:Para um SLITC: hh((tt00)) ≠ ≠ 00 para para tt00 ≠ ≠ 00 Características de um SLITCCaracterísticas de um SLITC �� CausalidadeCausalidade �� Sistema causal não responde a um estímulo antes Sistema causal não responde a um estímulo antes que ele ocorraque ele ocorra �� Para um SLITC:Para um SLITC: hh((tt)) = = 00 t < t < 00 �� Para entradas causais, a integral da convolução é Para entradas causais, a integral da convolução é dada pordada por Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury FevFev--20092009 3434 dada pordada por ∫ ∞ −=∗= 0 )()()()()( τττ dtxhtxthty ∞<∫ ∞ ∞− ττ dh )( �� EstabilidadeEstabilidade �� Um SLITC é considerado estável Um SLITC é considerado estável (BIBO) se sua resposta impulsiva (BIBO) se sua resposta impulsiva for integrável em módulofor integrável em módulo Propriedades de um SLITCPropriedades de um SLITC �� ComutatividadeComutatividade )()()()()( thtxtxthty ∗=∗= h1[t] h2[t]x[t] y[t] S i s t e m a s e m S é r i e ( c a s c a t a ) Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury FevFev--20092009 3535 h2[t] h1[t]x[t] y[t] h1[t] * h2[t]x[t] y[t] S i s t e m a s e m S é r i e ( c a s c a t a ) S i s t e m a E q u i v a l e n t e Propriedades de um SLITCPropriedades de um SLITC �� DistributividadeDistributividade )]()([)()()()()()( 2121 ththtxthtxthtxty +∗=∗+∗= S i s t e m a s e m P a r a l e l o h1[t] Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury FevFev--20092009 3636 h1[t] + h2[t]x[t] y[t] S i s t e m a s e m P a r a l e l o S i s t e m a E q u i v a l e n t e h2[t] +x[t] y[t] Propriedades de um SLITCPropriedades de um SLITC �� Resposta ao Resposta ao Degrau UnitárioDegrau Unitário: : ss((tt)) �� Diz como um SLITC responde às mudanças Diz como um SLITC responde às mudanças repentinas no sinal de entradarepentinas no sinal de entrada �� PodePode--se expressar essa resposta em função da se expressar essa resposta em função da resposta impulsivaresposta impulsiva Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury FevFev--20092009 3737 resposta impulsivaresposta impulsiva �� De modo análogo, expressaDe modo análogo, expressa--se se hh((tt)) em função de em função de ss((tt)) ∫ ∞− =∗= t dhtuthts ττ )()()()( )()( ts dt d th = Propriedades de um SLITCPropriedades de um SLITC �� ExemploExemplo: Encontre a resposta ao degrau unitário : Encontre a resposta ao degrau unitário ss((tt)) do circuito RC que tem resposta ao impulsodo circuito RC que tem resposta ao impulso �� Usando a propriedade anterior:Usando a propriedade anterior: )(1)( / tue RC th RCt−= Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury FevFev--20092009 3838 �� Usando a propriedade anterior:Usando a propriedade anterior: >− ≤ = == − − ∞− − ∫∫ 0 para,1 0 para,0)( 1)(1)( / 0 // te t ts de RC due RC ts RCt t RCt RC τττ ττ Função Própria de um SistemaFunção Própria de um Sistema Recordando...Recordando... �� pp((tt)) será uma função própria (será uma função própria (autofunçãoautofunção) de um ) de um sistema caracterizado pela transformação linear sistema caracterizado pela transformação linear TT{{··}} se:se: TT{ { pp((tt)})} = = P.pP.p((tt)) Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury FevFev--20092009 3939 TT{ { pp((tt)})} = = P.pP.p((tt)) �� A transformação linear da função resulta na própria A transformação linear da função resulta na própria funçãofunção �� Neste caso, Neste caso, P P é o valor próprio (é o valor próprio (autovalorautovalor) associado à ) associado à função própria função própria pp((tt)) Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury FevFev--20092009 4040 Funções PrópriasFunções Próprias** dos SLITCsdos SLITCs �� As sequências As sequências Exponenciais Complexas Exponenciais Complexas são são funções próprias dos funções próprias dos SLITC’sSLITC’s stst ee .}{ λ=T * R e s p o s t a s e n o i d a l e m e s t a d o e s t a c i o n á r i o Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury FevFev--20092009 4141 λλ é o é o valor próprio valor próprio (autovalor) de (autovalor) de TT associado à associado à função própria função própria e e s.ts.t * R e s p o s t a s e n o i d a l e m e s t a d o e s t a c i o n á r i o Funções PrópriasFunções Próprias** dos SLITCsdos SLITCs �� Usando Usando e e s.ts.t como sinal de entrada em um SLITCcomo sinal de entrada em um SLITC em que em que HH((ss)) é o valor próprio de é o valor próprio de TT associado à função associado à função ee ss tt stst ssttsst eesHty dehedehety .).()( )()(}{)( )( λ ττττ ττ == === ∫∫ ∞ ∞− − ∞ ∞− −T * R e s p o s t a s e n o i d a l e m e s t a d o e s t a c i o n á r i o Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury FevFev--20092009 4242 em que em que HH((ss)) é o valor próprio de é o valor próprio de TT associado à função associado à função ee ss tt (uma constante complexa) (uma constante complexa) �� Transformada de Transformada de LaplaceLaplace �� HH((ss)) é chamada de é chamada de Função de TransferênciaFunção de Transferência do SLITCdo SLITC * R e s p o s t a s e n o i d a l e m e s t a d o e s t a c i o n á r i o { } { } {} Laplacede a transf. é onde ,)( )( )( )()( ⋅== L txL tyL sX sY sH Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury FevFev--20092009 4343 Descrição de Sistemas por Descrição de Sistemas por Equações DiferenciaisEquações Diferenciais �� Equações Diferenciais Lineares com Equações Diferenciais Lineares com Coeficientes ConstantesCoeficientes Constantes �� Uma importante subUma importante sub--classe dos classe dos SLITC’sSLITC’s é a dos é a dos sistemas cujos sinais de entrada e saída satisfazem sistemas cujos sinais de entrada e saída satisfazem a uma equação diferencial com a forma geral:a uma equação diferencial com a forma geral: )()( M kN k txdtyd Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury FevFev--20092009 4444 �� Exemplo:Exemplo: reais. constantes são e escoeficient os onde )()( 00 kk M k k k k N k k k k ba dt txdb dt tyd a ∑∑ == = capacitor. o sobre tensãoa é (t) saída a e elétrico, circuito do oalimentaçã de fonte da tensãoa é (t) entrada a onde )(1)(1)( y x tx RC ty RCdt tdy =+ �� Equações Diferenciais Lineares com Equações Diferenciais Lineares com Coeficientes Constantes Coeficientes Constantes -- EDLCC’sEDLCC’s Descrição de Sistemas por Descrição de Sistemas por Equações DiferenciaisEquações Diferenciais )()()()( )()()()( 01 1 1 011 1 1 txbtdxbtxdbtxdb tya dt tdy a dt tyd a dt tyd a M M M M N N NN N N ++++ =++++ − − − − − − L L Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury FevFev--20092009 4545 Usando operador D para representar Usando operador D para representar dd//dtdt:: M e N podem assumir qualquer valor (na prática deve-se ter M ≤ N) )(0111 txbdtbdtbdtb MMMM ++++ −− L )().()().( 1 com ),()( )()( 01 1 1 01 1 1 txDPtyDQ atxbDbDbDb tyaDaDaD N M M M M N N N = =++++= =++++ − − − − L L Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury FevFev--20092009 4646 �� Sistemas descritos por Sistemas descritos por EDLCC’sEDLCC’s são linearessão lineares Resposta Total Resposta Total do SLITC = do SLITC = Descrição de Sistemas por Descrição de Sistemas por Equações DiferenciaisEquações Diferenciais Resposta de Entrada Nula + Resposta de Estado Nulo Condições Iniciais Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury FevFev--20092009 4747 Resposta de Estado Nulo Entrada Externa Modos característicos (raízes distintas) �� Sistemas descritos por Sistemas descritos por EDLCC’sEDLCC’s são linearessão lineares Descrição de Sistemas por Descrição de Sistemas por Equações DiferenciaisEquações Diferenciais 0)()( 0)()( 1 =++++ = − tyaDaDaD tyDQ NN L Entrada nula: x(t) = 0 Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury FevFev--20092009 4848 0)()( 111 =++++ −− tyaDaDaD NNNN L Solução (heurística): y0(t) = c.e λ.t �� Resposta de Entrada NulaResposta de Entrada Nula �� Substituindo a solução propostaSubstituindo a solução proposta Descrição de Sistemas por Descrição de Sistemas por Equações DiferenciaisEquações Diferenciais t t ec dt tyd tyD ec dt tdy tDy λ λ λ λ == == )()( )()( 2 2 0 2 0 2 0 0 Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury FevFev--20092009 4949 tN N N N ec dt tyd tyD λλ== )()( 00 M )())(()( 0)( 0 0)( 21 1 1 1 1 1 1 N NN NN t NN NN Q Q aaa eaaac λλλλλλλ λ λλλ λλλ λ −−−= = =++++ =++++ − − − − L L L Polinômio Característico do Polinômio Característico do SLITCSLITC Raízes Características distintas Polinômio Característico na forma fatorada �� Solução de EDLCC’sSolução de EDLCC’s �� A resposta natural de um SLITC tem a formaA resposta natural de um SLITC tem a forma ∑ = = N i tr ih iecty 1 )( Descrição de Sistemas por Descrição de Sistemas por Equações DiferenciaisEquações Diferenciais Combinação Linear de Autofunções Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury FevFev--20092009 5050 em que rem que rii são as N raízes da são as N raízes da Equação Característica Equação Característica do sistemado sistema 0 0 =∑ = N k k kra �� Solução de Solução de EDLCC’sEDLCC’s �� Exemplo: Seja um SLITC descrito por sua EDLCC. Determine o Exemplo: Seja um SLITC descrito por sua EDLCC. Determine o polinômio característico, as raízes e os modos característicos do polinômio característico, as raízes e os modos característicos do sistema. Determine também a resposta de entrada nula quando sistema. Determine também a resposta de entrada nula quando yy00(0)=2 (0)=2 e e dydy00(0)/(0)/dtdt = = --11 )()()(6)(5)(2 2 tx dt tdx ty dt tdy dt tyd +=++ Descrição de Sistemas por Descrição de Sistemas por Equações DiferenciaisEquações Diferenciais ( ) ( ) txDtyDD dt dD 2 )(1)(65 :como a EDLCCescrever podemos operador o Usando +=++= Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury FevFev--20092009 5151 ( ) ( ) tt tt tt eety cc ecec- dt dy ececy - dt dy y ecectyty ee a acbb D txDtyDD dt D .3.2 0 210.3 2 0.2 1 0 0.3 2 0.2 10 0 0 3 2 2 100 32 2 1 2 1,2 2 35)( :Logo 3 e 5 321)0( 2)0( ,1)0( e 2)0( :SLITC do iniciais condições daspartir a calculados são escoeficient Os )( :sm.c.' doslinear combinaçãoa será )(nula entrada a resposta A e :serão SLITC do ticoscaracterís modos os Logo 32/)15( 22/)15( 2 6.1.4255 2 4 :raízes As 065 :ticocaracterís polinômio oencontrar para doSubstituin )(1)(65 :como a EDLCCescrever podemos operador o Usando −− −− −− −− −− −= −==⇒ −−== +== == += −=−−= −=+−= = −±− = −±− = =++= λ λλ λλλ �� Solução de Solução de EDLCC’sEDLCC’s �� Exemplo: Seja um SLITC descrito por sua EDLCC. Determine o Exemplo: Seja um SLITC descrito por sua EDLCC. Determine o polinômio característico, as raízes e os modos característicos do polinômio característico, as raízes e os modos característicos do sistema. Determine também a resposta de entrada nula quando sistema. Determine também a resposta de entrada nula quando yy00(0)=2 (0)=2 e e dydy00(0)/(0)/dtdt = = --11 )(2)()(4)(4)(2 2 tx dt tdx ty dt tdy dt tyd −=+− Descrição de Sistemas por Descrição de Sistemas por Equações DiferenciaisEquações Diferenciais 12 2204.1.416044 = ==⇒=−=∆⇒=+− λλλλ Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury FevFev--20092009 5252 tt ttt tt teety c ccy cy teececty ttececty 22 0 2 210 10 22 2 2 10 2 2 2 10 2 1 2,1 2 52)( :seránula entrada a resposta a Assim, 541 21)0( (II) 2)0( (I) )2(2)( ;0para )( 2 2 204.1.416044 −= −==−− +=−= == ++= ≥+= = = ==⇒=−=∆⇒=+− − & & λ λλλλ �� Resposta ao Impulso de SLITC descrito por EDLCCResposta ao Impulso de SLITC descrito por EDLCC Descrição de Sistemas por Descrição de Sistemas por Equações DiferenciaisEquações Diferenciais . geral, maisforma de ou ,tica caracterísa terãopráticos sistemas Portanto, s.frequência altas de ruído amplificar de além ,ilimitada) (amplitude unitário impulsosaída produz degrauentrada para que )(instáveisdoresdiferencia sistemas temos Com )()()()()()()()()( 11 1 1011 1 1 NMNM NM txb dt tdxb dt txdb dt txdbtyaty dt tdy a dt tyd a dt tyd MMM M M M nNN N N N = =≤ > ++++=++++ − − − − − − LL Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury FevFev--20092009 5353 )()()()( )()()()( :spolinomiai termosEm 1 1 101 1 1 txbDbDbDbtyaDaDaD txDPtyDQ NN NN NN NN ++++=++++ = − − − − LL )}0( ticoscaracterís {modos )()( 0 >+= ttbth δ )0( ticoscaracterís modos)( :impulso aoresposta a e ,0 temos Se 0 >= =< tth bNM �� Resposta ao Impulso de SLITC descrito por EDLCCResposta ao Impulso de SLITC descrito por EDLCC Descrição de Sistemas por Descrição de Sistemas por Equações DiferenciaisEquações Diferenciais 1)0( e 0)0()0()0()0( :sc.i.' às sujeito SLIT o e ticoscaracterís modos doslinear combinaçãoa é )( :onde )()}()({ )()( )()1( 0 ===== += − NN n n yyyyy ty tutyDPtbth &&& δ Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury FevFev--20092009 5454 �� Resposta ao ImpulsoResposta ao Impulso �� Exemplo: Seja um SLITC descrito por sua EDLCC. Determine a resposta Exemplo: Seja um SLITC descrito por sua EDLCC. Determine a resposta ao impulso quando ao impulso quando yy00(0)=0 (0)=0 e e dydy00(0)/(0)/dtdt = 1= 1 dt tdx ty dt tdy dt tyd )()(2)(3)(2 2 =++ Descrição de Sistemas por Descrição de Sistemas por Equações DiferenciaisEquações Diferenciais 2 1 12.1.49023 12,12 −= −= =⇒=−=∆⇒=++ λ λλλλ Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury FevFev--20092009 5555 )()2()( )()2()()()(.0)( se )()]()([)()( )( :Assim 1 ,1 21)0( (II) 0)0( (I) 2)( : temoslogo, ;0para )( 2 12.1.49023 2 22 0 2 12 21 21 2 21 2 21 2 2,1 tueeth tueetueeDtth NMtutyDPtbth eety cc ccy ccy ecectytececty tt tttt n tt n n n tt n tt n −− −−−− −− −−−− −= +−=−+= =+= −= =−= −−== +== −−=>+= −= =⇒=−=∆⇒=++ δ δ λλλλ & &
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