Resistencia dos Materiais (APRESENTAÇÃO-13-16)

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ESTRUTURAS
Uma estrutura de engenharia é qualquer sistema de 
elementos conectados, construído para suportar ou 
transferir forcas e resistir de forma segura às cargas a 
ele aplicadas.
Há assim que determinar as reações externas para 
manter em equilíbrio estático a estrutura no seu 
conjunto, mas também as forças internas nos 
elementos da estrutura.
Para determinar estas forças internas deve-se 
desmembrar a estrutura e analisar diagramas de 
corpo livre dos elementos individuais, ou de 
combinações de elementos.
TRELIÇAS PLANAS
Uma treliça é constituída por barras rectilíneas ligadas nos 
nós através de pinos, formando uma estrutura rígida.
Nenhuma barra é contínua através dos nós.
No caso de ligações aparafusadas ou soldadas assume-
se que estão ligadas por pinos e portanto não existe 
transmissão de momentos.
Assim, todas as barras estão sujeitas exclusivamente a 
forças axiais de tração ou compressão.
Nas treliças, as forças são aplicadas exclusivamente nos 
nós.
Uma treliça base (triangulo) não colapsa (rígida) sob a
ação de uma força aplicada num nó.
Uma treliça simples é construída adicionando 
sucessivamente 2 barras e um nó de ligação à estrutura 
base.
• Nº de equações aplicáveis : 2 a cada nó (n)
• Nº de forças desconhecidas: 1 em cada barra (m)
• Cálculo das reações desconhecidas : 3 equações de 
equilíbrio da estática.
treliça estaticamente determinada (isostática)
treliça estaticamente indeterminada (hiperestática) 
treliça será instável - deformável (hipoestática) 
m = 2n - 3
m+3 > 2n
m+3 < 2n
(mais barras que o necessário)
(menos barras que o necessário)
Determinação das forças internas nas barras
Método dos nós
1. Calculam-se as reações nos apoios
2. Separemos as barras e os nós e representemos os 
respectivos diagramas de corpo livre.
0Fx =∑ 0Fy =∑
3. As condições de equilíbrio para os nós permitem 
escrever, 2n equações para 2n forças desconhecidas.
Para cada nó: 
4. O cálculo das forças terá de ser iniciado em um nó
onde só concorram 2 barras, e prossegue-se a partir 
daí.
As duas forças exercidas em cada barra são iguais, têm 
a mesma linha de ação e sentidos opostos.
As forças exercidas por uma barra nos nós, nas suas 
extremidades, têm a direção da barra, são iguais e 
opostas.
Nó A
0Fx =∑ 0 F osc F ADAC =+α−
0Fy =∑ 0Rsen F yAAC =−α
α
=α
 sen
R
sen F yAAC α= osc F F ACAD
Nó C
0Fx =∑ 0 cos F osc F BCAC =β−α
0Fy =∑ 0 sen FFen s F BCCDAC =β+−α
β
α
=
 cos
 oscF F ACBC β+α= sen Fen s F F BCACCD
Nó B
0Fx =∑ 0 F cos F BDBC =−β
0Fy =∑ 0 Rsen F BBC =+β−
ADBD F F =
Nó D
0Fx =∑
0Fy =∑
0 F F BDAD =+−
0 P FCD =+− P FCD =
Como todas as forças calculadas têm sinal positivo isto quer
dizer que os sentidos arbitrados inicialmente são os 
verdadeiros. 
Barras à tração: AD ; BD ; CD
Barras à compressão: AC ; BC
Método das Secções
Quando se pretende calcular apenas as forças num 
pequeno número de barras, o Método das Secções é
normalmente preferido.
Adota-se uma das partes para verificar o equilíbrio. Ao 
cortar a treliça deve-se observar que o corte a intercepte 
de tal forma, que se apresentem no máximo 3 incógnitas, 
para que possa haver solução, através das equações de 
equilíbrio. 
É importante ressaltar que entrarão nos cálculos, somente 
as barras da treliça que forem cortadas, as forças ativas e 
reativas da parte adotada para a verificação de equilíbrio.
Por exemplo, para calcular a força na barra BD, faz-se 
passar uma secção através da estrutura como ilustrada 
na figura e desenha-se o diagrama de corpo livre apenas 
da parte esquerda da estrutura
Neste caso, apenas 3 barras são cortadas pela secção
considerada.
1. Calculam-se as reações nos apoio.
2. As equações de equilíbrio estático podem ser usadas 
para calcular 3 incógnitas, incluindo a força FBD.
Nó B
0Fx =∑ 0F F osc F CEBDBE =++α
0Fy =∑ 0PPsen F 21BE =++α
0MB =∑ ( ) ( ) 0 AB PCB F 1CE =+ BC
ABPF 1CE −=
α
−−
=
sen
PPF 21BE
( ) 121CEBEBD P
sen
cosPPF osc F F +
α
α
+=−α−=
Para PPPP 321 === e AB=BC, , vem:
PFCE −=
P 83.2
º45sen
P2FBE −=−=
P45º gcot P F 2BD ==
º45=α
O sinal negativo indica que a força tem sentido contrário 
ao arbitrado
Método de Cremona. Método gráfico
Este método baseia-se no método dos nós.
Sabemos que se o somatório das forças atuantes em um
nó em equilíbrio é nulo, logo o polígono das forças atuantes 
deverá ser fechado.
Exemplo de aplicação do Método de Cremona
1. Calculam-se as reações nos apoios.
2. Recorre-se à construção sucessiva dos polígonos de 
forças referentes a cada nó.
3. Notação de Bow. Consiste em identificar com letras (ou 
números) todas as regiões do plano (campos), limitadas 
por forças exteriores ou interiores.
As forças serão então identificadas pelas letras (ou 
números) que figuram nos regiões adjacentes.
4. Arbitra-se um sentido de rotação em torno de cada nó. 
O sentido para percorrer todos os campos será sempre o 
horário.
5. Adota-se a uma escala apropriada: por exemplo cada 
1,0 cm corresponderá a 5,0 kN.
Cálculo das reações nos apoios:
0M A =∑
10 x 300 + 45 x 200 – VD x 400 =0
VD = 15 kN
0Fx =∑
-10,0 + HA= 0 HA= 10 kN
0Fy =∑
VA + VD = 45 VA= 30 kN
Construção geométrica do CREMONA.
Começamos por considerar um nó com o máximo de duas
forças desconhecidas. 
Considere-se o nó D. Marca-se um ponto a na folha de 
desenho a letra e, correspondente ao campo e.
Percorrendo no sentido horário a treliça, para chegarmos 
ao campo a, passamos por e uma linha vertical de 3 cm
correspondente à força VD. 
Depois, passando por a, traçamos uma linha horizontal 
(barra AD é horizontal) para chegarmos ao campo g. 
Depois por g traçamos uma linha com a inclinação da
barra CD para chegarmos ao campo e (já obtido).
De seguida consideremos o nó A.
Passamos por a, uma linha vertical para cima, de 6 cm
(força VA) e obtemos o ponto b.
Por este ponto passamos uma linha horizontal para a 
direita, de 2 cm correspondente à força HA, e obtemos o 
ponto c.
Depois pelo ponto c passamos uma linha vertical (direção 
da barra AB) para passarmos ao campo f.
De seguida uma linha com a inclinação da barra AC, é
traçada para unir os pontos f e g (já conhecido).
De seguida consideremos o nó C.
Pelo ponto c passamos uma linha horizontal para a
esquerda, de 2 cm correspondente à força HC, e obtemos
o ponto d (coincide com o ponto b).
Depois pelo ponto d traçamos uma linha vertical (direção
da barra BC) que vai unir ao ponto f (já obtido).
Depois de percorrido todo o caminho até determinarmos 
todos os campos, obteremos a figura mostrada, a seguir.
compressão25.0geCD
tração12.5dfBC
tração20.0agAD
compressão37.5fgAC
compressão7.5cfAB
Tipo de 
força
Força (kN)
(à escala)
CamposBarra
Análise das forças nas barras
Tal como se fez no método dos nós, marcamos cada nó na 
folha de papel. 
De seguida marcamos as forças atuantes nos nós, sendo o 
seu sentido dado pela 1ª para a 2ª letra do campo. 
A força na barra na extremidade desse nó é de sentido 
contrário.