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APOSTILA CDI 1 FUNCOES CAP1 DONIZETTI 06marco2012

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dias trabalhados.
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EQUAÇÃO DE SEGUNDO GRAU
Como resolver equações do segundo grau?
Qual é a quantidade necessária de aço para que se construa um tanque esférico com capacidade de 500 mil litros? Há cerca de 2000 anos as sociedades humanas já sabiam expressar sentenças matemáticas com a utilização de variáveis. Mas para tratar de problemas que envolviam, fundamentalmente, cálculo de áreas, como é o caso na questão acima, os homens se viram frente a novos tipos de equações, nas quais a variável aparece elevada ao quadrado. A presença de situações práticas que envolviam este tipo de equações fez com que se desenvolvessem métodos cada vez mais rápidos para sua resolução. Um importante passo neste sentido foi dado por Al-Khowarizmi, grande matemático árabe do século IX que, para tanto, utilizou um método geométrico: a formação de quadrados. Com base no Método de Al-Khowarizmi, o hindu Bhaskara desenvolveu uma fórmula que imortalizou seu nome.
Desigualdades e Inequações
Como encontrar todas as soluções possíveis de um problema?
A velocidade máxima permitida aos automóveis nas ruas da cidade de é 60 km/h. Isto significa que eles podem se deslocar com velocidades que variam em um intervalo entre 0 e 60 km/h. Como nesse exemplo, são muitas as situações na vida quantificadas por um intervalo numérico e não por um número apenas. Estas situações podem ter várias alternativas. Responder com apenas um número não está errado, mas também não é totalmente correto. Para encontrar todas as soluções possíveis – o intervalo numérico (ou intervalos numéricos) – os matemáticos criaram as inequações.
Graficamente, um dado número a é maior do que b quando, na reta numérica (reta real), a ficar a direita de b, como ilustra a figura a seguir.
 EXERCÍCIO 
O gráfico a seguir representa as temperaturas registradas ao longo de um dia em um laboratório metereológico.
Pergunta-se:
a) Qual é a temperatura máxima? Resposta: 14º 
b) Qual é a temperatura mínima? Resposta: -6º 
c) A que horas se produzem a temperatura máxima e a mínima? Resposta: Às 14 horas e às 4 horas 
d) Quais são os períodos em que a temperatura aumenta? Resposta: [4, 8], [10, 14].
e) Em que período diminui? Resposta: [0, 4], [8, 10], [14, 24]
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FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
Noções básicas de funções de uma variável real
As funções reais de uma variável real aparecem naturalmente em problemas práticos.
Motivação: Função – circuito elétrico: Construa o gráfico da relação entre a tensão (V) e a intensidade de corrente (I), variando a tensão aplicada a uma resistência (R) de 2(.
Solução: Utilizando a Lei de Ohm: V = R.I, no nosso exemplo, teremos: I = V/2, que nos permite estabelecer as seguintes relações entre as grandezas:
 
No gráfico acima, podemos observar que para cada valor atribuído à variável tensão, corresponde um e um só valor para a variável corrente. Isto é, a corrente, está em função da tensão.
Podemos citar outros exemplos, como:
A quantidade de peças produzidas por um torno mecânico automático é função do tempo e da porção de material a ele fornecido.
O volume de concreto produzido por uma betoneira é função da quantidade de cimento nela colocado.
A rotação de uma fresadora é dada em função da qualidade do aço a ser trabalhado na mesma.
O fio que compõe um determinado circuito é dimensionado em função da carga a ser suportada por ela.
As correspondências envolvendo variáveis, conforme os exemplos apresentados anteriores, nos fornecem a ideia de função.
 
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É possível estar em dois lugares ao mesmo tempo?
Não, não é possível A ideia de função originou-se exatamente na resposta matemática a esta pergunta e se desenvolveu com os estudos do italiano Galileo Galilie, no final do século XVI, a respeito do movimento dos corpos Em qualquer movimento — seja de uma pedra que cai, de uma nave espacial, de um cavalo no campo — ocorre uma relação especial entre dois conjuntos numéricos: os de tempo e os de espaço.
A cada instante do primeiro conjunto vai corresponder uma, e somente uma, posição de um determinado corpo em movimento A partir desta ideia, o conceito de função foi sendo aplicado a todos os movimentos numéricos em que esta relação especial acontece.
Definição
Dados dois conjuntos A e B, função é a relação de A em B, em que a todo elemento de A está associado um único elemento de B. Esta relação especial é indicada pela notação: f: A(B.
Exemplo: Um atleta que corre 7 metros por segundo tem o seu movimento representado algebricamente por f (x) = 7x. Assim, 4 segundos (x = 4) corresponderia à posição f (4) = 7x4 = 28 metros.
Esta forma f (x) = 7x é a mais utilizada para representar algebricamente uma função, mas existem outras: 
y = 6x + 3
f: A(B
x( 6x + 3
Se f é uma função e f(x) = y, diremos que x é o domínio e y é a sua imagem ou contra domínio pela função.
Em toda função entre dois conjuntos A(B, o conjunto A é o domínio e o conjunto B é a imagem da função.
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DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO
Dados dois conjuntos A e B, não vazios, chama-se função à lei que associa a cada elemento x de A um único elemento y de B.
Para denotar que y está em função de x, mediante uma lei f, escrevemos: y = f(x).
Lê-se: y é a imagem de x segundo uma lei f.
O conjunto A é chamado DOMÍNIO DA FUNÇÃO e o conjunto B, CONTRADOMÍNIO.
O conjunto formado pelos elementos y, tal que: y = f(x) é chamado conjunto IMAGEM da função.
Diz-se que, quando y = f(x), x é variável independente e y variável dependente.
Através de diagrama, temos:
Notação:
f: A(B; x(A ( y = f(x)(B
Lê-se: uma lei f definida de A em B que associa cada elemento x pertencente a A um único elemento y pertencente a B.
Exemplo:
Dados os conjuntos A = { 1; 2; 3}, B = {3; 4; 5; 6; 7} e a lei definida por y = x + 2 ou f(x) = x + 2, construa o diagrama e destaque os conjuntos domínio, contradomínio e imagem da função de A em B.
Solução: Através do diagrama, temos:
Notemos que:
A = {1; 2; 3} é o domínio de f, notado por Dom(f);
B = {3; 4; 5; 6; 7} é o contradomínio de f, notado por CD(f).
O conjunto: {3; 4; 5} é o conjunto imagem de f, notado por Im(f).
Temos que:
f(1) = 3; isto é, 3 é a imagem de 1 pela função f, e ainda f(2) = 4 e f(3) = 5.
Observação: f(1) = 3, f(2) = 4 e f(3) = 5 podem ser designados como um par ordenado: 
 (1; 3); (2; 4); (3; 5).
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FUNÇÕES LINEARES E AFINS
Como desenhar geometricamente os números de um movimento?
Quando o homem percebeu que na natureza tudo se transforma e se move, a representação matemática do movimento se tornou um problema para ser resolvido pelos matemáticos. Enquanto alguns procuraram desenvolver representação numérica e algébrica, outros buscaram a representação geométrica. Entre os últimos se destacam o monge francês Oresme (1323 a 1382), René Descartes (1596 a 1650) e Pierre de Fermat (1601 a 1665). Esses estudiosos concluíram que uma função linear ou polinomial do primeiro grau é a correspondência entre conjuntos numéricos. Com essas funções formam-se pares ordenados que atendem ao critério de pertencer a uma reta. Quando tomamos qualquer par (x, y), este pertence à reta: x é parte do eixo horizontal e y pertence ao eixo vertical. Com isto se estabelece a representação gráfica de um movimento muito simples, aquele que apresenta uma variação constante. Com as funções lineares, resolvem-se facilmente muitos problemas da Matemática e da Física, que podem ser visualizados graficamente.
Variação do sinal da função linear ou afim (polinomial do 1o grau)
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DEFINIÇÕES:
Em nosso estudo, 
 e 
 representam o conjunto dos números reais, ou algum intervalo de 
, no qual a função está definida.
Um gráfico representará uma função de 
 em 
 se, e somente se, qualquer reta paralela ao eixo das ordenadas (eixo 
), passando por um ponto qualquer de abscissa

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