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APOSTILA CDI 1 FUNCOES CAP1 DONIZETTI 06marco2012

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relacionados a leis matemáticas que descrevem alguns importantes fenômenos naturais.
Definição: 
, onde: 
Condição de Existência: 
Consequência: 
Propriedades: Sejam b> 0 e c > 0, então:
			
				
Cologarítimo: 
	Antilogarítmo: 
�
Funções Logarítmicas
Definição: Chamamos função logarítmica de base a, a função 
 que associa a cada número real x o número 
, ou seja: 
 tal que 
, 
Com a > 0 e 
 e x > 0.
A função logarítmica é a inversa da função exponencial, pois: 
Características: 
D = 
 e Im = 
; 
f (x) é crescente para a > 1 e 
decrescente para 0 < a < 1.
	
quando a >1 a função é crescente
	
quando 0 < a <1 a função é decrescente
APLICAÇÕES EM ELETRICIDADE
Exemplos:
Um amplificador libera 100 Watts para uma potência de entrada de 100 miliwatts. Qual o ganho em decibéis?
Solução: 
db = decibéis
x db = 10 log Potência de saída
 
 Potência de entrada
x db = 10 log 
x db = 10 log 104 w
x db = 40 db.
�
Qual a voltagem de um atenuador que para 20 volts de entrada apresenta 20 milivolts na saída.Qual é o ganho tensão? Qual é a perda de tensão?
Solução:
v = tensão
x v = 20 log voltagem de saída
 voltagem de entrada
x v = 20 log 
x v = 20 log 10-3 
x v = -60 v. 
O ganho é de -60 v e a perda é de 60 v.
APLICAÇÃO EM QUÍMICA
Exemplos:
A desintegração de um determinado material radioativo é dada pela lei: 
. Se Q(10) = 200 gramas e Qo = 240 gramas, calcule o valor de k.
Solução: 
Utilizando a lei dada podemos resolver o problema: 
Q(10)= Qo.10- k.10
200 = 240.10-10.k
log 200/240 = log 10-10.k
log 200/240 = - 10k log 10
k= 7,9 x 10-3 
A constante de desintegração radioativa é 7,9x10-3 ou 0,79% ao ano.
O pH de uma solução é definido por pH= 
, onde H+ é a concentração de hidrogênio em íons-grama por litro de solução. Determine o pH de uma solução, tal que H+ = 1,0.10-8.
Solução: 
pH = 
 
 pH= 
�� EMBED Equation.2 pH=
 
 pH = 8
APLICAÇÃO EM GEOGRAFIA-CRESCIMENTO POPULACIONAL
Exemplo:
Estima-se que a população da Terra tenha atingido a cifra de 5 bilhões de habitantes há poucos meses atrás. Imagine um país com uma população de 100 milhões de habitantes e a uma taxa de crescimento populacional de 2,4% ao ano. Em quantos anos a população desse país atingiria a população da Terra hoje, isto é, 5 bilhões de habitantes? Considere log 2 = 0,301.
Solução: 
P=PO.e K.t
5.109=1,0.108.e 0,024t
ln 50 = 0,024 t.ln e
t = 163 anos
Este país atingirá a população da Terra em 163 anos. 
APLICAÇÃO EM FÍSICA
Exemplo:
A intensidade I de um terremoto, medida na escala Richter, é um número que varia de I = 0 até I =8,9 para o maior terremoto conhecido. I é dado pela fórmula:
onde E é a energia liberada no terremoto em quilowatt-hora e E0 = 7x10-3 kWh. Qual a energia liberada em um terremoto de intensidade 8 na escala Richter?
Solução: 
 
 
 
 
Kwh
A energia liberada por um terremoto de intensidade 8 na Escala Richter é de 
.
APLICAÇÃO EM QUÍMICA
Exemplo:
Uma amostra de uma substância radioativa desintegra-se segundo a lei M(t)=M0.e-kt, onde M(t) é a massa da amostra no instante t, Mo é a massa inicial e k é a constante de desintegração. Calcule a constante de desintegração de uma amostra de Thório, sabendo que após 3,4.104 anos, sua massa reduz-se ¾ da massa inicial.
Solução: M(t) =M0.e-kt
A constante de desintegração de uma amostra do Thório é 8,46.10-6.
Na desintegração radioativa, costuma-se chamar de “meia-vida” o tempo necessário para que a metade da massa de uma determinada substância se desintegre. Nestas condições, determinar a “meia-vida” de uma substância radioativa que se desintegra a uma taxa de 2% ao ano.
Solução: M(t) =M0.e-kt
1 = 2.e-0,02t => ln 0,5 = ln e-0,02t => ln 0,5 = -0,02.t.ln e => ln 0,5 = -0,02t => t =34,6 anos ou t = 34a 7m 26 d.
O tempo necessário para chegar a metade da massa dessa substância será aproximadamente 34 anos 7 meses 26 dias.
APLICAÇÃO EM MATEMÁTICA FINANCEIRA
Exemplo:
Chama-se montante (M) a quantia que uma pessoa deve receber após aplicar um capital C, a juros compostos, a uma taxa anual i durante um tempo t e que pode ser calculado pela fórmula 
 Supondo que o capital aplicado é de R$ 200.000,00 a uma taxa de 12% ao ano durante 3 anos, qual o montante no final da aplicação?
Solução:
O montante ao final de 3 anos de aplicação será de 280.985,60.
Em um país de terceiro Mundo, o ministro da Economia iniciou o ano declarando o seguinte: “Se a inflação anual atingir a cifra de 2000%, eu me demito”. Nesse ano, a taxa de inflação mensal manteve-se constante em 30%. O ministro permaneceu no cargo ou se demitiu? (Use 1,312=23,298)
Solução:
M = C.(1+i)t => M = 1.(1 +0,3)12 => M = 1,312 => M = 23,298
Se aplicarmos uma unidade monetária deste país receberemos ao final de um ano de aplicação o equivalente a 23,298 unidades monetárias,ou seja, uma inflação acumulada de 2.329,8%. Neste caso o Ministro da Economia se demitirá.
LISTA DE EXERCÍCIOS
Segundo uma pesquisa, após x meses da constatação da existência de uma epidemia, o número de pessoas por ela atingida é 
. Supondo log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48, daqui a quanto tempo, aproximadamente, o número de pessoas atingidas por essa epidemia será de 2000.
Solução:
A intensidade I de um terremoto, medida na escala Richter, é um número que varia de I = 0 até I = 8,9 para o maior terremoto conhecido. I é dado pela fórmula: 
. Onde E é a energia liberada no terremoto em quilowatt-hora e E0 =7x10-3 kWh. Qual a energia liberada em um terremoto de intensidade 8 na escala Richter? Resposta:7.109kWh. Aumentando de uma unidade a intensidade do terremoto, por quanto fica multiplicada a energia liberada? Resposta: A energia fica multiplicada por 
FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS
História dos logaritmos – uma introdução
A mão do homem é a primeira calculadora de todos os tempos. Há muito, mas muito tempo, o homem já usava o próprio corpo, como os dedos da mão, para fazer os cálculos que a vida diária exigia.
No entanto, a utilização do corpo humano para efetuar cálculos tem seus limites. Assim, o homem passou a usar pedras, paus entalhados e colares de contas para fazer os cálculos que os dedos da mão não conseguiam realizar.
Até mesmo uma mesa de contar, com fichas, foi inventada: o ábaco.
Mas quando dois homens trabalhando independentemente um do outro, o primeiro, um grande proprietário de terras, o outro, um fabricante de relógios, construíram uma extensa tabela para simplificar os cálculos matemáticos, os astrônomos, matemáticos, geógrafos deixaram definitivamente de lado as pesadas máquinas de contar e passaram a fazer todos os seus cálculos com pena, papel e a tabela dos números chamados logaritmos.
O escocês John Napier (1550-1617), um grande proprietário de terras e aficcionado da matemática, dizia que:
“Não há nada mais trabalhoso em matemática do que as multiplicações, divisões, extrações de raízes quadradas e cúbicas de grandes números, as quais envolvem um grande desperdício de tempo, assim como são sujeitas a erros não confiáveis”.
As tabelas de logaritmos de Napier apareceram em 1614 em um livro intitulado Descrição da maravilhosa lei dos logaritmos. Em um primeiro momento, o objetivo de Napier era facilitar os cálculos com seno e outras funções trigonométricas, necessários para o trabalho de astronomia.
Como senos eram calculados com sete ou oito algarismos decimais, os cálculos eram longos e muitos erros eram cometidos. Os astrônomos acreditavam que diminuiria o número de erros se alguém pudesse substituir multiplicações e divisões por adições e

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