A maior rede de estudos do Brasil

Grátis
140 pág.
APOSTILA CDI 1 FUNCOES CAP1 DONIZETTI 06marco2012

Pré-visualização | Página 4 de 33

possível quando precisar. A recompensa de aprender cálculo é muito gratificante, tanto intelectual como profissionalmente.
�
TÚNEL DO TEMPO DO CÁLCULO
Fonte: http://www.cepa.if.usp.br/e-calculo/menu
Obs.: Neste site encontramos um resumo da obra dos mais importantes autores do cálculo.
NOTAS HISTÓRICAS
Um dos ramos da Matemática que mais auxiliaram na resolução de problemas das mais variadas ciências, como Física, Engenharia, Astronomia, Biologia, etc., foi o cálculo diferencial. Podemos dizer que ele nasceu na época de Galileu Galilei (1564-1642) e Johannes Kepler (1571-1630) e foi sistematizado mais tarde, de modo independente um do outro, por Isaac Newton (1642-1727) e Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716). Posteriormente, o cálculo diferencial recebeu contribuições valiosas de Augustin Louis Cauchy (1789-1857) e de G. F. B. Riemann (1826-1866). Hoje, o cálculo diferencial é a ferramenta, por excelência, de praticamente todas as ciências.
O desenvolvimento do cálculo diferencial se deu a partir de dois problemas concretos:
Como encontrar a reta tangente a uma curva em um ponto dessa curva?
Como obter a velocidade e a aceleração de um móvel, em um dado instante, conhecendo a sua equação horária?
Pré-requisitos: Conhecimentos de álgebra e Geometria do ensino fundamental e médio.
�
NEWTON (1642-1727)
Físico, astrônomo e matemático inglês, Sir lsaac Newton nasceu em Woolsthorpe, Lincolnshire, a 25 de dezembro de 1642 e morreu em Kensington, Middlesex, a 20 de março de 1727. Formou-se pelo Trinity College de Cambridge (1665).
Seus conhecimentos matemáticos e o poder do seu raciocínio impressionam fundamente o matemático lsaac Barrow; mas o próprio Newton colocava a matemática em uma posição secundária, instrumental, a merecer-lhe a atenção na medida em que se revelasse fecundada para a solução de problemas levantados pelas mecânica celeste: donde já ter sido chamado pragmatista anterior ao pragmatismo. Nesse sentido, somente pesquisa novos métodos na medida em que os já conhecidos se revelam insuficientes. Mas, mesmo assim, é profunda a revolução que introduz no campo da matemática. Basta lembrar que antes dele não se tinha conhecimento do cálculo integral. É, ainda, com Newton que assume feição precisa o cálculo diferencial, embora não se possa deixar de referir a valiosa contribuição de FERMAT e DESCARTES.
Newton retira o caráter de mero pressentimento às relações entre o cálculo diferencial e o cálculo integral, fazendo surgir o cálculo infinitesimal. Em sua obra, o cálculo infinitesimal surge sob duas formas, uma das quais, o método dos fluxos, decorrente da outra – o método das primeiras e últimas razões. Em torno da prioridade da descoberta do cálculo infinitesimal levantar-se-ia, mais tarde, acirrada polêmica entre Newton e Leibniz, ou, mais precisamente, entre os adeptos de um e outro.
Está historicamente provado ter havido coincidência de conclusões, alcançadas simultaneamente e independentemente, pelos dois cientistas. Se, cronologicamente, Newton pode ter chegado àquele resultado em primeiro lugar, também é certo que Leibniz se mostra mais feliz no capítulo das notações, criando símbolos que, por comodidade de emprego, ainda hoje são utilizados.
�
LEIBNIZ (1646-1716)
Filósofo e matemático alemão, Gottfriend Wilhelm Leibniz nasceu em Leipzig a 1o de julho de 1646 e morreu em Hannover a 14 de novembro de 1716.
Descobridor dos princípios de cálculo diferencial, ao mesmo tempo que Newton, Leibniz julgava possível a criação de uma linguagem científica universal (characteristica universalis), que, complementada por um sistema dedutivo e simbólico (ars combinatoria), pudesse substituir a argumentação discursiva pelo cálculo, em todos os campos do saber. Seu método seria o da análise do infinito, a partir do princípio de continuidade, pelo qual só pode algo passar de um estado a outro mediante um número infinito de intermediários, e toda a realidade é plenamente relacionada em suas partes.
As ideias de continuidade e de plenitude (impossibilidade do vazio) estão relacionadas no mecanismo dinâmico de Leibniz, em que se destacam a noção de força e a noção de conatus, criada por Hobbes e entendida como movimento infinitamente pequeno. No entanto, a concepção do universo como um plenum contínuo baseia-se nos dois princípios fundamentais do racionalismo leibniziano: o princípio da razão suficiente e o princípio de perfeição.
Referência: Fotos e textos reproduzidos da Encyclopaedia Britannica, respectivamente, páginas 8069 e 6719, edição 1976. Encyclopaedia Britannica do Brasil Ltda.
	GEOMETRIA ANALÍTICA
Muitos matemáticos devem ter ficado surpresos quando viram pela primeira vez a ideia de um jovem filósofo e matemático francês, René descartes (1596-1650), de representar um par de números por um ponto no plano.
Que ideia tão simples e brilhante!
Mas não foi apenas pensando na Matemática que Descartes teve essa ideia. Descartes viveu em uma época agitada com a colonização do Novo Mundo e, alguns dos novos mapas que deve ter visto, provavelmente lhe sugeriam o método de construir gráficos.
Antes disso, no terceiro século a.C., os matemáticos gregos Apolônio de Perga (250-175 a.C.) e Arquimedes (287-212 a.C.) tinham usado latitude, longitude e altura para determinar a posição de um ponto.
Descartes, em latim Cartesius, estabeleceu uma ponte entre a Geometria e a Álgebra, embora seu objetivo principal fosse criar novos métodos para construções geométricas, mais do que encontrar métodos algébricos para a geometria. 
�
O NÚMERO DE OURO (
): 
Um Pouco de História do cálculo
Algumas ideias do Cálculo podem ser encontradas nos trabalhos dos matemáticos gregos da Antiguidade, da época de Arquimedes (287-212 A.C.) e em trabalhos do início do século dezessete por René Descartes (1596-1650), Pierre de Fermat (1601-1665), John Wallis (1616-1703) e Isaac Barrow (1630-1677). Entretanto, a invenção do Cálculo é frequentemente atribuída a Sir Isaac Newton (1642-1727) e Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) pois eles começaram a efetuar a generalização e unificação do assunto. Havia outros matemáticos do século dezessete e dezoito que contribuíram para o desenvolvimento do Cálculo; alguns deles foram Jakob Bernoulli (1654-1705), Johann Bernoulli (1667-1748), Leonhard Euler (1707-1783) e Joseph L. Lagrange (1736-1813). No entanto, não foi antes do século dezenove que os processos do Cálculo receberam fundamentação sólida por parte de matemáticos como Bernhard Bolzano (1781-1848), Augustin L. Cauchy (1789-1857), Karl Weierstrass (1815-1897) e Richard Dedekind (183 1-1916).
Axioma: a palavra axioma é usada para indicar uma afirmação formal considerada verdadeira, dispensando provas (demonstrações).
Teorema: as propriedades que podem ser obtidas como consequências lógicas dos axiomas são os teoremas. No enunciado da maioria dos teoremas existem duas partes: a parte do “se”, chamada de hipótese e a parte do “então”, chamada de conclusão. A argumentação que verifica a veracidade de um teorema é uma demonstração (ou prova), a qual consiste em mostrar que a conclusão é consequência de se admitir a hipótese como verdadeira.
Conjunto: é uma coleção de objetos e os objetos de um conjunto são chamados elementos.
Variável: Uma variável é um símbolo usado para representar qualquer elemento de um conjunto dado.
�
Teorema de Pitágoras – uma demonstração
Adaptado de: MUNOZ RIVERA, J.E. Cálculo Diferencial e Integral I. Textos de Graduação. Universidade Federal do Rio de Janeiro. Departamento de Matemática Aplicada e Computacional. Laboratório Nacional de Computação Científica. Petrópolis, Rio de Janeiro – Brasil, 2007. 
Teorema: A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.
	
	
Demonstração: Temos então que encontrar uma identidade. Para isto é necessário expressar de duas formas diferentes uma mesma expressão. Por exemplo