8 LAJES PROTENDIDAS

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Emil de Souza Sánchez filho D. Sc.
ALVENARIA ESTRUTURAL 
CONCRETO PROTENDIDO
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Concreto Protendido
LAJES LISAS
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As lajes planas de concreto armado são executadas sem vigas como elementos estruturais de suporte da laje e de distribuição de forças e momentos nos pilares. 
A laje por si só resiste e transmite as solicitações diretamente aos pilares ou paredes das caixas de escada e dos elevadores. 
No projeto estrutural tem-se um aumento da espessura da laje e da taxa de armação. 
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Concreto Protendido
As lajes planas protendidas tem menor espessura de concreto e de taxa de armação, e os volumes de concreto e aço são praticamente iguais às soluções convencionais com estruturas que adotam vigas, acrescentando-se apenas as cordoalhas engraxadas usadas para a protensão.
As deformações são menores do que no concreto armado e na estrutura metálica equivalente. 
O emprego de aços de alta resistência conduz a estruturas mais econômicas.
Na laje protendida as deformações oriundas do peso próprio podem ser completamente eliminadas. 
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Concreto Protendido
Como na laje protendida atuam tensões relativamente baixas, é possível uma retirada antecipada do escoramento e das formas.
Há um melhor comportamento da estrutura com relação às fissuras.
A ausência de vigas oferece vantagens evidentes para a execução da obra quanto à economia, tanto de material como de tempo.
Os vãos maiores e a grande esbeltez diminuem o peso próprio, a força sobre os pilares e fundações e a altura total do edifício, permitindo por vezes o acréscimo de um pavimento.
A laje plana lisa protendida oferece maior resistência à punção do que a laje plana de concreto armado.
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Concreto Protendido
Os gastos com formas num pavimento tipo tradicional (lajes, vigas e pilares) é de cerca de 12 m2 a 14 m2 por 1 m3 de concreto.
O consumo de aço é de cerca de 65 kg por 1 m3 de concreto.
Pavimento tipo convencional
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Concreto Protendido
Pavimento tipo em lajes planas de concreto armado
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Concreto Protendido
As lajes protendidas maciças podem ser planas, com vigas numa direção ou com vigas nas duas direções.
Os vão economicamente e tecnicamente ideais das lajes protendidas planas se situam ente 7 m e 12 m, para carregamentos inferiores a 5 kN/m2 .
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Concreto Protendido
A adoção de capitéis sobre os pilares permite aumentar os vãos das lajes protendidas até 14 m para carregamentos superiores a 5 kN/ m2.
Outro tipo de laje protendida é a laje nervurada, com capitel externo ou com vigamento cuja altura é igual à altura da laje.
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Concreto Protendido
O uso de capitéis permite aumentar o vão livre da laje sem grande acréscimo na altura da laje.
A principal desvantagem do capitel é o aspecto estético.
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Concreto Protendido
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Lajes lisas e cogumelos
A espessura da laje depende do seu comportamento em ralação ao ELU:
a) L/h≤48 cm para lajes de cobertura;
b) L/h≤40 cm para lajes de piso com p<3 kN/m2. 
OBS.: h≥16 cm para lajes protendidas lisas.
Concreto Protendido
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Lajes lisas e cogumelos
Para esbelteza L/h>40 é obrigatória a verificação da segurança em relação aos ELS de deformação e de vibrações excessivas.
O aço de protensão deve ter cobrimento de acordo com as prescrições da NBR 6118:2014, sendo no mínimo de 7,5 cm em relação às faces de aberturas.
Concreto Protendido
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Lajes lisas e cogumelos
qu<5kN/m2
qu=5kN/m2
qu>5kN/m2
7,00 m a 12,00 m
Concreto Protendido
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Lajes lisas e cogumelos
Vão até14,00 m, qu>5kN/m2
Concreto Protendido
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As lajes protendidas podem ser com protensão total (mais caras), ou com protensão parcial.
Nos dois casos se usa também uma armadura de aço convencional (armadura passiva).
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Lajes lisas e cogumelos
Arranjos dos cabos de protensão
Concreto Protendido
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Lajes lisas e cogumelos
No caso de concreto armado com os pilares dispostos em filas ortogonais, e maneira regula e com vãos pouco diferentes, as solicitações podem ser calculadas por processo elástico aproximado, considerando-se pórticos múltiplos, com redistribuição das solicitações.
Concreto Protendido
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Lajes lisas e cogumelos
Faixas nas direções X e Y
Concreto Protendido
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Lajes lisas e cogumelos
Larguras das faixas nas direções X e Y
Concreto Protendido
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Lajes lisas e cogumelos
Para cada pórtico se considera a carga total na laje, e a redistribuição de momentos obtida em cada direção, segundo as faixas, deve atender à:
a) 45% dos momentos positivos para as duas faixas internas;
b) 27,5% dos momentos positivos para cada uma das faixas externas;
c) 25% dos momentos negativos para duas faixas internas;
d) 37,5% dos momentos negativos para cada uma das faixas externas.
Concreto Protendido
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Lajes lisas e cogumelos
Exemplo
Calcular uma laje de piso, lisa, com as seguintes características:
a) C25;
b) CA 50;
c) pé-direito=4,50 m (altura livre);
d) espessura da laje=24 cm; 
e) carregamento p=10kN/m2.
Concreto Protendido
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Lajes lisas e cogumelos
Exemplo
Concreto Protendido
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Lajes lisas e cogumelos
Exemplo
Método dos pórticos equivalentes
Cargas nas faixas:
carga que atua na direção com largura Lx
px=p. Lx=10,00X6,50=65,00 kN/m
2) carga que atua na direção com largura Ly
py=p. Ly=10,00X7,25=72,50 kN/m
Concreto Protendido
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Lajes lisas e cogumelos
Exemplo
Pórtico equivalente: momentos na direção X
Concreto Protendido
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Decomposição dos momentos, pórtico X
Lajes lisas e cogumelos
Exemplo
Método dos pórticos equivalentes
− faixa externa
− faixa interna
Concreto Protendido
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Decomposição dos momentos, pórtico X
Lajes lisas e cogumelos
Exemplo
Método dos pórticos equivalentes
− faixa externa
− faixa interna
Concreto Protendido
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Decomposição dos momentos, pórtico X
Lajes lisas e cogumelos
Exemplo
Método dos pórticos equivalentes
− faixa externa
− faixa interna
Concreto Protendido
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Decomposição dos momentos, pórtico X
Lajes lisas e cogumelos
Exemplo
Método dos pórticos equivalentes
− faixa externa
− faixa interna
Concreto Protendido
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Lajes lisas e cogumelos
Exemplo
Pórtico equivalente: momentos na direção Y
Concreto Protendido
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Decomposição dos momentos, pórtico Y
Lajes lisas e cogumelos
Exemplo
Método dos pórticos equivalentes
− faixa externa
− faixa interna
Concreto Protendido
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Decomposição dos momentos, pórtico Y
Lajes lisas e cogumelos
Exemplo
Método dos pórticos equivalentes
− faixa externa
− faixa interna
Concreto Protendido
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Decomposição dos momentos, pórtico Y
Lajes lisas e cogumelos
Exemplo
Método dos pórticos equivalentes
− faixa externa
− faixa interna
Concreto Protendido
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Lajes lisas e cogumelos
Método dos Elementos Finitos: SAP200
A laje foi modelada com elementos de placa e os pilares foram modelados como molas (com translação e rotação).
Concreto Protendido
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Lajes lisas e cogumelos
MEF: momentos na direção X
Concreto Protendido
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Lajes lisas e cogumelos
MEF: momentos na direção Y
Concreto Protendido
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Lajes lisas e cogumelos
MEF
Momentos das faixas internas e externas na direção X
Concreto Protendido
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Lajes lisas e cogumelos
MEF
Momentos das faixas internas e externas na direção Y
Concreto Protendido
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Lajes lisas e cogumelos
Comparação momentos na direção X
Concreto Protendido
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Lajes lisas e cogumelos
Comparação momentos na direção Y
Concreto Protendido
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Lajes lisas e cogumelos
Exemplo
Configuração deformada: SAP2000
Concreto Protendido
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Lajes lisas e cogumelos
Sequência de cálculo
1) Escolha do tipo de protensão: com aderência ou sem aderência.
2) Planta dos pilares em função da arquitetura.
3) Calcular a espessura da laje e o cobrimento a ser adotado.
4) Adotar as resistências dos materiais: concreto , aço de CA e de CP.
5) Calcular as cargas eas solicitações.
Concreto Protendido
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Lajes lisas e cogumelos
Sequência de cálculo
6) Escolha da protensão em função da carga a ser equilibrada e determinar os arranjos dos cabos.
7) Cálculo dos hiperestáticos de protensão (momentos secundários).
8) Cálculo à flexão no ELU incluindo-se a armadura passiva.
9) Verificação à punção no ELU.
10) Verificação dos ELS: limitação de fissuras, deformações, vibração, resistência ao fogo.
11) Detalhamento das armaduras.
Concreto Protendido
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Lajes lisas e cogumelos
Dimensionamento à flexão
Para lajes protendidas somente numa direção e apoiadas em linhas de apoio o dimensionamento é realizado para faixas com largura unitária (vigas chatas) por meio do Método das Cargas Equilibradas.
Para lajes protendidas em duas direções o dimensionamento é realizado como os das lajes em concreto armado.
Concreto Protendido
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Lajes lisas e cogumelos
Dimensionamento à flexão
Protensão necessária para equilibrar a carga permanente.
Essas expressões só podem ser aplicadas a vãos aproximadamente iguais, caso contrário é preciso verificar a influência do vão maior ou do balanço sobre os vãos adjacentes.
Concreto Protendido
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Lajes lisas e cogumelos
Dimensionamento à flexão
Protensão necessária para equilibrar a carga permanente.
Essas expressões só podem ser aplicadas a vãos aproximadamente iguais, caso contrário é preciso verificar a influência do vão maior ou do balanço sobre os vãos adjacentes.
Concreto Protendido
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Lajes lisas e cogumelos
Dimensionamento à flexão
A força de protensão é calculada para faixas de 1,00 m de largura, e como nas lajes contínuas os cabos de uma direção descarregam nas faixas da outra direção (sobre os cabos dessa direção), daí as faixas de ambas direções devem ser admitidas com a carga total.
Concreto Protendido
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Lajes lisas e cogumelos
Dimensionamento à flexão
Distribuição de momentos devidos à carga uniformemente distribuída.
Concreto Protendido
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Lajes lisas e cogumelos
Dimensionamento à flexão
Distribuição de momentos devidos à carga uniformemente distribuída.
Concreto Protendido
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Dimensionamento à flexão
O dimensionamento é realizado nos Domínios 2 e 3 da NBR 6118:2014.
Lajes lisas e cogumelos
Concreto Protendido
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Dimensionamento à flexão
Lajes lisas e cogumelos
Com cabos aderentes.
Concreto Protendido
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Dimensionamento à flexão
Lajes lisas e cogumelos
Hipótese de Bernouille-Navier: seções planas.
Domínios 2 ou 3 da NBR 6118:2014
a) Ruptura por esmagamento do concreto (Domínio 3)
Concreto Protendido
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Dimensionamento à flexão
Lajes lisas e cogumelos
b) Ruptura por deformação específica excessiva da armadura (Domínio 2b)
Aço CP 190RB
Momento de cálculo
Concreto Protendido
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Dimensionamento à flexão
Lajes lisas e cogumelos
Na ruptura os aços das armaduras deverão ter:
− pré-alongamento devido à força de protensão
− alongamento devido á flexão da peça até o ELU (depende da posição da linha neutra, que por sua vez depende do equilíbrio da seção)
Deformação específica total da armadura no ELU:
Concreto Protendido
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Dimensionamento à flexão
Lajes lisas e cogumelos
Com a deformação específica total do aço de protensão, é inicialmente incógnita, pois não se tem εPx. 
A sistemática de cálculo é arbitrar fpyd e por meio das equações de equilíbrio ∑Fx=0 e ∑M=0, e com aproximações sucessivas obter o valor real de fpyd.
Os gráficos σXε dos aços de protensão fornecem os valores das tensões.
Concreto Protendido
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Com cabos não aderentes
A transferência da protensão para o concreto se dá pelas ancoragens e se distribui quase uniformemente na largura da seção em toda região distante das ancoragens.
O acréscimo de tensão ΔσP na armadura ativa depende da geometria, flecha, do comprimento do cabo entre as ancoragens, da razão hp/L em painéis extremos (livres).
Dimensionamento à flexão
Lajes lisas e cogumelos
Concreto Protendido
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Com cabos não aderentes
O acréscimo de tensão no ELU pode ser calculado considerando-se:
para os momentos nos vãos usar o respectivo vão; 
para os momentos nos apoios os vãos adjacentes se têm flechas f=L/50.
Dimensionamento à flexão
Lajes lisas e cogumelos
Concreto Protendido
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Concreto Protendido
Dimensionamento à força cortante
Lajes lisas e cogumelos
As lajes maciças ou nervuradas podem prescindir de armadura transversal para resistir à força cortante quando numa distância d do apoio se verifica a condição: 
NSd=força longitudinal na seção devido à protensão ou carregamento (compressão com sinal positivo).
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Dimensionamento à força cortante
As lajes maciças ou nervuradas podem prescindir de armadura transversal para resistir à força cortante quando numa distância d do apoio se verifica a condição: 
k=1 para elementos onde 50% da armadura não chega ao apoio;
k= │1,6-d│≥1 para os demais casos, com d em metros.
 
Lajes lisas e cogumelos
Concreto Protendido
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Dimensionamento à força cortante
As tensões nos estribos devem ser no máximo iguais à: 
250 MPa para lajes com espessura até 15 cm;
435 MPa para lajes com espessura maior que 35 cm;
admite-se interpolação linear para casos intermediários.
Lajes lisas e cogumelos
Comprimento de ancoragem
Concreto Protendido
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Concreto Protendido
Lajes lisas e cogumelos
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Concreto Protendido
Lajes lisas e cogumelos
Os momentos de flexão são distribuídos nos pórticos equivalentes, sendo M1 e M2 os valores negativos correspondentes à tração nas fibras superiores e momentos M3 e M4 são positivos gerando tração nas fibras inferiores.
Mapoio=máximo negativo;
 Mvão=máximo negativo.
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Concreto Protendido
Lajes lisas e cogumelos
Calculados os momentos máximos do pórtico faz-se uma distribuição na direção ao pórtico considerado.
As faixas internas e externas podem ter diferentes larguras nos pavimentos, o que afeta os momentos distribuídos.
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Concreto Protendido
Lajes lisas e cogumelos
Os cabos parabólicos visam equilibrar o carregamento
externo distribuído.
A excentricidade máxima dos cabos deve respeitar os cobrimentos prescritos pela NBR 6118:2014, em função da agressividade do meio ambiente.
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Concreto Protendido
Lajes lisas e cogumelos
Por hipótese adota-se a força de protensão constante a ao longo dos cabos.
Essa força, pra os casos usuais, é dada por:
Balanço.
Vão
interno.
Vão
externo.
No cálculo costuma-se desprezar o efeito da inversão da curvatura dos cabos sobre os pilares.
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Concreto Protendido
Lajes lisas e cogumelos
Efeitos dos cabos adicionais.
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Concreto Protendido
Lajes lisas e cogumelos
Em lajes com vãos muito desiguais é apropriado aplicar a mesma força de protensão em todos os cabos.
Esse procedimento leva a um número maior de cabos em alguns vãos.
A ancoragem no vão introduz uma carga vertical de baixo para cima: F=P. sen α.
Essa força não é considerada no cálculo da punção.
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Concreto Protendido
Lajes lisas e cogumelos
Para as flechas tem-se:
no vão mais crítico adotar um traçado que utilize as excentricidades máximas (respeitar os cobrimentos) e calcular a força de protensão necessária;
 para os demais vãos calcular as excentricidades necessárias de modo a se obter o mesmo valor de protensão;
adotar as excentricidades máximas para todos os vãos e calcular a protensão para o vão mais crítico.
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Concreto Protendido
Lajes lisas e cogumelos
Vão de extremidade
Para um cabo parabólico os pontos de inflexão ficam definidos pelos coeficientes α , α1 e β.
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Concreto Protendido
Lajes lisas e cogumelos
Vão de extremidade
Atentar que no vão interno o traçado do cabo gera um carregamento de cima para baixo, inverso do restante do carregamento. 
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Concreto Protendido
Lajes lisas e cogumelos
Vão internos
O carregamento vertical em cima dos apoios é de cimapara baixo, e diminui as reações dos pilares sobre a laje.
No vão o carregamento equivalente diminui as solicitações totais na laje.
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Concreto Protendido
Lajes lisas e cogumelos
Vão internos
Para lajes protendidas:
α1=0,05;
α2=0,15;
α=0,5 no meio do vão;
β=0 o cabo é ancorado no centro de gravidade da laje.
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Concreto Protendido
Lajes lisas e cogumelos
Balanços
Lajes protendidas:
α1=0,05 a 0,20
dependendo do vão do balanço.
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Concreto Protendido
Lajes lisas e cogumelos
Punção
Superfícies de ruptura à punção.
Superfícies crítica.
Superfícies crítica.
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Concreto Protendido
Lajes lisas e cogumelos
Punção
Modelo de dimensionamento
Deve-se realizar verificações da resistência ao cisalhamento em duas ou mais superfícies definidas no entorno de forças concentradas.
Na superfície crítica C faz-se uma verificação no entorno do pilar ou da carga concentrada de modo indireto, averiguando se a tensão de compressão diagonal do concreto resiste a uma dada tensão.
Essa verificação é realizada em lajes com ou sem armadura de punção.
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Concreto Protendido
Lajes lisas e cogumelos
Punção
Modelo de dimensionamento
A seção crítica para a segunda verificação, entorno C´ é afastada de uma distância 2d da face do pilar ou carga concentrada.
Nessa verificação busca-se constatar a efetividade da ligação à punção associada à resistência à tração diagonal.
Adota-se também um tensão para comparação com a tensão de cisalhamento no entorno C´, e caso necessário adota-se uma armadura transversal de punção.
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Concreto Protendido
Lajes lisas e cogumelos
Punção
Modelo de dimensionamento
A terceira seção crítica é o contorno C´´.
Essa seção deve ser verificada apenas quando for necessário colocar armadura transversal de punção. 
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Concreto Protendido
Lajes lisas e cogumelos
Punção
Modelo de dimensionamento
Perímetro crítico em pilares internos.
Para lajes de grandes vãos deve-se ter atenção com a punção, que é uma solicitação que ocasiona ruptura brusca sem aviso prévio.
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Concreto Protendido
Lajes lisas e cogumelos
Punção
Modelo de dimensionamento
Para pilares internos com carregamentos simétricos a tensão no contorno C´ é:
d= altura útil da laje no contorno C´;
dx, dy= altura útil da laje nas direções X e Y;
u= perímetro do contorno C´;
FSd= força ou reação concentrada de cálculo.
A força de punção FSd pode ser reduzida da força aplicada na face oposta da laje, dentro do contorno considerado na verificação, C´ ou C´´.
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Concreto Protendido
Armaduras de punção
Armaduras constituída por estribos.
Studs.
Lajes lisas e cogumelos
Punção
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Perfis de topo (shearhead).
Lajes lisas e cogumelos
Punção
Conectores.
Concreto Protendido
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Armaduras de punção
Lajes lisas e cogumelos
Punção
Estribos de vergalhão.
Concreto Protendido
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Concreto Protendido
Punção
Exemplo
Verificar a resistência à punção da laje lisa h=15 cm, sobrecarga de 3,0 kN/m2, apoiada sobre pilares quadrados com igual a 20 cm, submetida a um carregamento de serviço centrado de 81,0 kN.
Dados: C20; CA 50; d´=3 cm; As, laje =1ϕ8c10 cm (nas duas direções).
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Concreto Protendido
Punção
Exemplo
Perímetro crítico no contorno C junto ao pilar:
Perímetro crítico no contorno C`:
Tensão de cisalhamento no contorno C :
Tensão de cisalhamento no contorno C`:
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Concreto Protendido
Punção
Exemplo
Tensão resistente no contorno C:
Tensão resistente no contorno C` (sem armadura de punção):
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Concreto Protendido
Punção
Exemplo
Calcular a laje quadra com espessura de 15 cm apoiada sobre um pilar com diâmetro de 30 cm, submetida a um carregamento acidental de 2,0 kN/m2 .
Dados: C20; CA 50; d´=3 cm; As, laje=1ϕ8c10 cm (nas duas direções).
Carga no pilar:
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Concreto Protendido
Punção
Exemplo
Perímetro crítico no contorno C junto ao pilar:
Perímetro crítico no contorno C`:
Tensão de cisalhamento no contorno C :
Tensão de cisalhamento no contorno C`:
85
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Concreto Protendido
Punção
Exemplo
Tensão resistente no contorno C:
Tensão resistente no contorno C` (sem armadura de punção):
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Concreto Protendido
Punção
Exemplo
Contorno crítico C´´:
Distância:
Distância entre barras
Disposição da armadura de punção:
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Concreto Protendido
Punção
Exemplo
Disposição da armadura de punção:
Pelo menos três linhas radiais.
As armaduras de punção serão dispostas em cinco linhas radiais:
Armadura de punção:
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Concreto Protendido
Punção
Exemplo
Armadura de punção:
Adotar 1ϕ5,0c24 cm
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