Apostila Cálculo 1

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Cálculo I
Estudo da Derivada
SUMÁRIO:
REVISÃO
Conjuntos numéricos ................................................................................................................
Exercícios ...........................................................................................................................................
CAPÍTULO 1
Funções .......................................................................................................................................
Função polinomial do 1º grau ...................................................................................................
Função polinomial do 2º grau ...................................................................................................
Função do tipo y = xn ................................................................................................................
Função definida por partes .......................................................................................................
Exercícios ............................................................................................................................................
CAPÍTULO 2
Limites .........................................................................................................................................
Exercícios ............................................................................................................................................
CAPÍTULO 3
Continuidade ..............................................................................................................................
Exercícios ............................................................................................................................................
CAPÍTULO 4
Derivada ......................................................................................................................................
Exercícios ............................................................................................................................................
CAPÍTULO 5
Taxas relacionadas .....................................................................................................................
Exercícios ............................................................................................................................................
CAPÍTULO 6
Funções crescentes e decrescentes ............................................................................................
Concavidade ...............................................................................................................................
Exercícios ...........................................................................................................................................
CAPÍTULO 7
Extremos relativos .....................................................................................................................
Extremos absolutos ....................................................................................................................
Exercícios ............................................................................................................................................
CAPÍTULO 8
Problemas de otimização ..........................................................................................................
Exercícios ...........................................................................................................................................
Anexo A: Lista extra – Exercícios de Taxas Relacionadas ...........................................................
Anexo B: Formulário de Geometria ...............................................................................................
Respostas dos exercícios ...................................................................................................................
Referências bibliográficas ................................................................................................................
REVISÃO
CONJUNTOS NUMÉRICOS
Conjunto dos números naturais ()
O conjunto dos números naturais é representado por:
 = {0, 1, 2, 3, 4, ...}.
Um subconjunto importante de é o conjunto , do qual extraímos o zero,
 = {1, 2, 3, 4, ...}
Conjunto dos números inteiros ()
O conjunto dos números inteiros é representado por,
Destacamos os seguintes subconjuntos de :
, pois .
Conjunto dos números racionais ()
A designação racional surgiu porque pode ser vista como uma razão entre os inteiros e . A letra , que representa o conjunto dos números racionais é a primeira letra da palavra quociente. Assim, podemos escrever, 
 
Se , temos , o que implica que é subconjunto de . Assim,
Conjunto dos números reais ()
Se todos os números racionais fossem listados em uma reta, essa reta não ficaria totalmente preenchida. Os pontos dessa reta que não são números racionais foram chamados de números irracionais.
São exemplos de números irracionais: 
, 
, 
, 
.
O conjunto dos números reais fica definido, portanto, como as abcissas dos pontos (todos) de uma reta. 
Relação de ordem no conjunto 
Dados dois números quaisquer a e b, somente uma das três opções é possível:
a = b	 ou a > b ou a < b
A desigualdade representada por a < b significa que o número real a é menor que o número real b.
Geometricamente, se a < b, então a está situado à esquerda de b na reta real.
		
A desigualdade representada por a > b significa que o número real a é maior que o número real b.
Geometricamente, se a > b, então a está situado à direita de b na reta real.
	
Podemos escrever também a 
 b (lê-se: a é menor ou igual a b) ou a 
 b (lê-se: a é maior ou igual a b). 
Um número real c está entre a e b se, e somente se, a < c e c < b. Podemos representar isso com uma dupla desigualdade: a < c < b.
Intervalos
Denominamos intervalo a qualquer subconjunto dos números reais. Assim, dados dois números reais a e b, com a < b, temos:
intervalo aberto
			 						
		
		
A bolinha ( indica que os extremos a e b não pertencem ao intervalo. Esse intervalo contém todos os números reais compreendidos entre a e b, excluindo os extremos.
intervalo fechado 
 
										
A bolinha ( indica que os extremos a e b pertencem ao intervalo. Esse intervalo contém todos os números reais compreendidos entre a e b, incluindo os extremos.
intervalo semi-aberto à direita	 
 
								
intervalo semi-aberto à esquerda
 
 
			
	Podemos ter ainda intervalos com as seguintes características:
	
 ou (a, + () 
 
	
 ou [a, + ()
	
 ou (-(, a)
			 
	
 ou (-(, a]				 
Operações com conjuntos
União de conjuntos
A união de dois conjuntos A e B é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A ou a B.
Designamos a união de A e B por A
B (lê-se: A união B)
Exemplos:
A = {0, 1, 2, 3, 4}		 b) A = {0, 1, 2}		c) A = [0, 2)
B = {1, 3, 5, 7}		 	 B = {0, 1, 2, 3, 4}	 B = (1, 5]
A
B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 7}	 A
B = {0, 1, 2, 3, 4}	 A
B = [0, 5]
Intersecção de conjuntos
A intersecção de dois conjuntos A e B é o conjunto formadopelos elementos que são comuns a A e a B, isto é, pelos elementos que pertencem a A e também pertencem a B.
Designamos a intersecção de A e B por A
B (lê-se: A intersecção B)
Exemplos:
A = {-1, 1, 3, 4, 6}		b) A = {0, 1, 2}		 c) A = (0, 4]
B = {1, 3, 5, 7}		 	B = {-2, 0, 1, 2, 3, 4, 5}	 	 B = (1, 5)
A
B = {1, 3}		 	A
B = {0, 1, 2}		 A
B = (1, 4]
Diferença de conjuntos
A diferença de dois conjuntos A e B é um conjunto dos elementos que pertencem a A mas que não pertencem a B.
Designamos a diferença de A e B por A – B (lê-se: A menos B)
Exemplos:
A = {0, 1, 2, 3, 4}			b) A = {0, 1, 2}		c) A = [0, 2[
B = {1, 3, 5, 7}			 	B = {0, 1, 2, 3, 4}		 B = (1, 5)
A – B = {0, 2, 4}			A – B = (			 A – B = [0, 1]
B – A = {5, 7}			 	B – A = {3, 4}		 B – A = [2, 5)
Exercícios:
Escreva os conjuntos representados abaixo na forma de intervalo.
�
�
Represente os conjuntos abaixo na reta real.
�
(-1, 2) ( [3, +∞)
{1, 2} ( (3, 4)
(-∞, 3] ( 
�
Considere os números 
; 
; 
; 
; 
. Posicione adequadamente cada um deles na reta real abaixo.
CAPÍTULO 1
FUNÇÕES
O conceito de função é um dos mais importantes da Matemática. É muito comum expressar fenômenos físicos, biológicos, químicos, sociais, etc por meio de funções, daí a importância de seu estudo. A idéia de função está presente quando relacionamos duas grandezas variáveis, uma delas chamada dependente e a outra chamada independente. 
	
Observe esses exemplos:
Complete a tabela abaixo que relaciona a medida  do lado do quadrado e o seu respectivo perímetro (P). Em seguida, dê a lei matemática que relaciona o perímetro em função do lado. Perceba que o perímetro depende da medida do lado do quadrado, portanto, nessa situação, o lado é a variável independente e o perímetro a variável dependente.
	lado ()
	perímetro (P)
	1
	
	2
	
	2,5
	
	4
	
	
	
	
	
Complete a tabela abaixo que relaciona o tempo t de duração de uma viagem de 360 km em função da velocidade média (v) desenvolvida ao longo do trajeto. Em seguida, dê a lei matemática que relaciona o tempo em função da velocidade. Perceba que o tempo depende da velocidade, portanto, nessa situação, a velocidade é a variável independente e o tempo a variável dependente.
	velocidade média (km/h)
	tempo (h)
	10
	
	40
	
	60
	
	120
	
	
	
	v
	
	
Definição:
Considere dois conjuntos: o conjunto A com elementos x e o conjunto B com elementos y. Diz-se que temos uma função de A em B (f: A ( B) quando existe uma relação entre os elementos desses dois conjuntos tais que para cada elemento de A há um, e apenas um, correspondente em B.
Seja f: A ( B, y = f(x) uma função. Nesse esquema, A é o conjunto domínio da função, ou seja, o conjunto que contém todos os elementos x para os quais a função é definida; B é o contra-domínio da função, ou seja, o conjunto que contém os elementos y que podem estar relacionados aos elementos x; e y = f(x) é a lei da função, ou seja, a regra que associa os elementos x e y.
Nem toda relação entre 2 variáveis é chamada de função. Numa função, para todo valor atribuído à variável independente (x) há em correspondência APENAS UM valor da variável dependente (y). É fácil perceber que na relação x2 + y2 = 25, por exemplo, se x = 3 podemos ter y = 4 ou y = -4. Observe no gráfico. Tal relação, portanto, NÃO é uma função.
Domínio e imagem de uma função
Domínio (D) de uma função é o (maior) conjunto de valores que a variável independente pode assumir, enquanto que imagem (Im) é o conjunto de valores que a variável dependente assume, considerando a regra que associa as duas variáveis. Geralmente não é possível listar todos esses valores de modo explícito, o que torna necessário o uso da representação por conjunto ou intervalos numéricos. Normalmente, o domínio de uma função é determinado diretamente pela lei da função.
Exemplo:
Qual o domínio das funções representadas pelas leis abaixo?
f(x) = x2
Gráfico de uma função
Além da lei matemática, a associação entre as duas variáveis de uma função pode ser representada por uma tabela, um diagrama ou um gráfico.
Considere a primeira situação apresentada na introdução do capítulo. A função que relaciona o lado de um quadrado com seu perímetro é P = 4. O gráfico que representa essa lei matemática pode ser construído a partir de uma tabela. Observe:
	Lado (cm)
	Perímetro (cm)
	1
	
	2
	
	3
	
	4
	
O domínio dessa função é representado pelo intervalo (0, +∞). Perceba que na representação gráfica há uma “bola vazada” no ponto (0, 0), o que significa que esse ponto não faz parte da função. No contexto, é fácil compreender, pois não conseguimos desenhar um quadrado de lado zero.
Valor numérico da função
Valor numérico de uma função é o valor que a variável dependente () assume quando é atribuído algum valor à variável independente ().
Este valor pode ser determinado a partir da lei da função, ou de seu gráfico, como nos exemplos a seguir.
Exemplos:
Se 
, determine o que se pede abaixo:
f(2) = 
f(4) =
f(10) =
D(f) = 
Dada a função y = f(x) representada pelo gráfico abaixo, determine o que se pede:
Raízes (ou zeros) de uma função
Chama-se raiz de uma função y = f(x) o valor de x que anula a função. Graficamente, as raízes indicam o ponto de intersecção com o eixo x. O gráfico abaixo mostra as raízes em destaque.
FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU (Função afim)
Característica: o gráfico é uma reta.
Lei geral: y = mx + b, com m ≠ 0
O coeficiente m indica a taxa de variação da função ou inclinação da reta e é numericamente igual à tangente do ângulo que a reta faz com o eixo , isto é, . 
O coeficiente b indica onde a função intercepta o eixo y.
Em toda função do 1º grau as variações dos valores de y são diretamente proporcionais às correspondentes variações dos valores de x. O gráfico abaixo representa a função y = 2x – 1. 
Exemplos:
Represente graficamente as funções abaixo:
y = 3x – 1					b) f(x) = -2x + 3
Determine a lei da função do 1º grau cujo gráfico contém os pontos A(1, -2) e B(3, -1).
Escalas de temperatura
Três escalas são comumente usadas para medir a temperatura – Celsius, Kelvin e Fahrenheit. No Brasil adota-se a escala em graus Celsius, mas em países de língua inglesa a escala em graus Fahrenheit é utilizada. A escala Celsius aponta como temperatura de fusão da água 0º e de ebulição 100º enquanto que esses pontos na escala Fahrenheit são 32º e 212º, respectivamente. Já a escala Kelvin é utilizada no meio científico. Nela a ausência completa de vibração das moléculas é denotada como 0 K, o ponto de fusão da água ocorre em 273 K e o de ebulição em 373 K. Tomadas duas a duas, há uma correspondência afim entre as três escalas. Vamos determinar a função que relaciona as escalas Celsius e Fahrenheit.
 
FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU (Função quadrática)
Característica: o gráfico é uma parábola.
Lei geral: y = ax2 + bx + c, com a ≠ 0
a ( indica se a concavidade da parábola é voltada para cima ou para baixo.
	a > 0: concavidade voltada para cima
	a < 0: concavidade voltada para baixo
b ( indica se a parábola está “subindo” ou “descendo”, quando intercepta o eixo y.
 	b > 0: a parte crescente da parábola intercepta o eixo y
	b < 0: a parte decrescente da parábola intercepta o eixo y
	
c ( termo independente: como todos os termos independentes de funções polinomiais, o “c” indica o ponto de intersecção do gráfico com o eixo y.
	c > 0: corta o eixo y acima da origemc = 0: corta o eixo y na origem
	c < 0: corta o eixo y abaixo da origem
Os gráficos das funções quadráticas são parábolas cujas posições dependem dos coeficientes a, b e c.
Vértice
	Vértice de uma parábola é o ponto de máximo quando a concavidade é voltada para baixo e ponto de mínimo quando a concavidade é voltada para cima.
	Sendo o vértice um ponto, é localizado no plano por um par de números. Chamando esse ponto de V, temos V(xv; yv), onde 
 (x’ e x” são as raízes da função) ou 
. A ordenada do vértice (yv) pode ser determinada substituindo xv na função.
Raízes da função quadrática
 	Sabemos já que as raízes, ou zeros, de uma função são os valores de x que anulam a função. Sendo
, determinamos as raízes x1 e x2 fazendo ax2 + bx + c = 0. Para calcular, usa-se a fórmula de Bhaskara.
, onde ( = b2 – 4ac
	
O sinal de ( determina as características das raízes:
> 0 
 2 raízes reais e diferentes
= 0 
 2 raízes reais e iguais
< 0 
 não existem raízes reais 
Conhecendo-se as raízes 
 e 
 da função, a expressão 
 é equivalente a 
, ou seja, 
.
Exemplos:
Dada a função y = 2x2 – 8x + 6, determine as coordenadas do vértice, as raízes, domínio, imagem e faça o esboço do gráfico.
A porcentagem p de bactérias em uma certa cultura sempre decresce em função do número t de segundos em que ela fica exposta à radiação, segundo a relação p(t) = 100 – 15t + 0,5t2.
Após 5s de exposição, qual é o percentual de bactérias existentes na cultura?
Após quantos segundos de exposição ocorre a eliminação de toda a cultura?
Os termos Custo, Receita e Lucro são próprios da área econômica. Nesse contexto, relacionamos Custo às despesas, fixas e variáveis, de um indivíduo ou empresa; a Receita está ligada ao faturamento bruto da entidade e Lucro é a diferença entre Receita e Custo, ou seja:
Lucro = Receita – Custo
Considere que uma forma líquida de penicilina fabricada por uma firma farmacêutica é vendida a um preço de R$ 200,00 por unidade (ampola). Se o custo total de produção (em reais) para x unidades for
C(x) = 500.000 + 80x + 0,003x2
quantas unidades de penicilina devem ser fabricadas e vendidas naquele tempo para o lucro ser máximo?
Um canil retangular será construído aproveitando-se o muro do quintal e um total de 8m de cerca que sobraram de uma reforma. Nessas condições, qual a área máxima que esse canil pode ter?
FUNÇÃO DO TIPO y = xn
Abaixo serão mostradas algumas funções do tipo y = xn que terão importância no nosso estudo posterior. Fica a cargo do leitor um aprofundamento desse conteúdo.
Função Identidade 
A função afim do tipo 
, com 
, é chamada de linear. Particularmente a função 
 é chamada de função identidade. Abaixo o gráfico dessa função.
Função 
A função 
 é um caso particular da função quadrática. Abaixo seu gráfico.
Função 
Funções do tipo 
 são chamadas de cúbicas. Assim, 
 é um caso particular da função cúbica. Abaixo é mostrado seu gráfico.
Função Raiz quadrada 
A função raiz quadrada tem por domínio o intervalo [0, +∞), pois no conjunto dos números reais não estão definidas as raízes quadradas de números negativos . Abaixo é mostrado o gráfico dessa função.
Função Raiz cúbica 
A função raiz cúbica tem por domínio o conjunto dos reais (). Abaixo é mostrado o gráfico dessa função.
Função 
O domínio dessa função exclui o zero (), pois a divisão por zero não está definida. Abaixo é mostrado o gráfico.
FUNÇÃO DEFINIDA POR PARTES
Existem funções cuja lei de formação é dada por uma sentença composta por duas ou mais partes. Observe o exemplo a seguir:
Os clientes das companhias telefônicas Tchau® têm a disposição o Plano 50, que consiste num limite preestabelecido de 50min em ligações ao custo mensal de R$ 30,00. Se esse limite é ultrapassado, cada minuto excedente tem um custo de R$ 1,20.
Qual será o valor da conta de um cliente que usou 20min em ligações?
Qual será o valor da conta de um cliente que usou 60min em ligações?
Expresse essa função em forma de uma lei matemática.
Outro exemplo:
Dada a função definida por 
, pede-se:
f(4) =
f(1) = 
f(0) =
f(-3) =
f(-10) =
Esboce o gráfico dessa função.
Função Modular
	Considere a reta real de origem O e um ponto P de abcissa x.
	Chamamos módulo, ou valor absoluto, de x, e indicamos por |x|, a distância entre os pontos P e O na reta real. Note que como módulo é uma distância, ele será sempre positivo ou nulo. Assim, define-se módulo do número x como:
Exemplos:
=		 b) 
= c) 
= d) 
=
A função modular pode ser apresentada como 
.
Exemplo:
Faça o gráfico da função y = |x + 2| e indique domínio e imagem da função.
Exercícios:
Dada a função representada pelo gráfico ao lado,
	determine:
f(-2) =
f(5) =
f(-3) =
D(f) =
Im(f) =
os valores de x em que f(x) > 0
os valores de x em que f(x) < 0
Determine f(0), f(2), f(-2), f(3), f(
) e f(5) nas funções abaixo:
(a) f(x) = 3x2 – 2
(b) 
Encontre o domínio das seguintes funções:
f(x) =
h(x) = 3 +
g(x) = x3 + 2
Para encher uma caixa d’água cilíndrica são abertas duas torneiras que despejam água à razão constante. Represente um esboço do gráfico que pode representar a altura (h) do nível de água na caixa em função do tempo (t) em que as torneiras ficam abertas.
Dada a função f(x) = x3 – 1, determine seu domínio e faça o gráfico.
Dada a função real de variável real, definida por 
, determine:
D(f) =
f(1) =
o valor de x em que f(x) = 4
Faça o gráfico das seguintes funções:
y = 2x – 3
y = -x + 2
Determine a lei da função polinomial do 1º grau cujo gráfico passa pelos pontos A(-2, 3) e B(2, 0).
Atualmente as escalas de temperatura em uso são Celsius, Fahrenheit e Kelvin. Em 1731, o físico e inventor francês, René-Antoine Ferchault de Réaumur desenvoleu a escala Réaumur (ºR). É possível estabelecer uma relação entre as escalas Celsius e Réaumur, mostrada no gráfico abaixo. (a) Qual a lei matemática que relaciona R em função de C? (b) Se as escalas Celsius e Fahrenheit se relacionam segundo a lei 
, qual função relaciona as escalas F e R?
Em um dia de inverno, a temperatura T de uma região do Rio Grande do Sul, em graus Celsius, em função do horário x, no período das 5h às 11h, pôde ser descrita pelo gráfico abaixo. Qual a lei matemática que expressa a função descrita pelo gráfico nesse intervalo de tempo?
Durante um passeio noturno de barco, diversão preferida de um grupo de jovens, surgiu uma situação de perigo, em que houve necessidade de disparar um sinalizador para avisar o restante do grupo que ficara no acampamento. A função que descreve o movimento do sinal luminoso é dada pela expressão 
, onde h é a altura do sinal em metros e t, o tempo decorrido em segundos, desde o disparo até o momento em que o sinalizador cai na água. (a) Qual a altura máxima atingida pelo sinalizador? (b) Após quantos segundos o sinalizador cai na água?
Um projétil é lançado do solo, verticalmente para cima. A função que relaciona a altura h, em metros, e o tempo t, em segundos, é representada por 
. Nessas condições, após quanto tempo o projétil atinge a altura máxima?
Uma pequena empresa de reciclagem tem seu lucro mensal dado por 
, onde x representa a massa de produto reciclado, em dezenas de quilogramas, e L representa o lucro, em milhares de reais. Qual o lucro máximo mensal possívelnessa empresa, segundo essa função?
Faça o gráfico das seguintes funções, determinando as coordenadas do vértice e as raízes, caso existam.
y = x2 – 5x + 6
y = 4x – x2
y = -x2 + 4x – 5
O programa de computador de uma empresa de transporte indica o preço P, em reais, dos fretes de acordo com a lei matemática 
, onde d é a distância, em km. A partir disso, pergunta-se:
Qual preço do frete para uma distância de 120km.
Se o custo foi de R$ 500,00, qual foi a distância do frete?
Uma empresa pública de fornecimento de água cobra R$ 60,00 a título de taxa fixa, que dá direito ao usuário consumir mensalmente até 15m3 de água. Além desse volume, é cobrado um acréscimo de R$ 5,00 por m3 de excesso. (a) Se um usuário teve que pagar R$ 80,00, qual foi seu consumo mensal de água? (b) Crie uma lei matemática que forneça o preço mensal P a pagar pela conta de água em função do número x de m3 de água consumidos.
Represente graficamente a função 
.
A quantidade q de unidades vendidas diariamente de um certo produto varia conforme o preço unitário p (em reais), segundo a função q = 80 – 2p (com p > 0 e q > 0). A receita total diária é obtida multiplicando-se a quantidade de unidades vendidas pelo preço unitário cobrado 
. De acordo com essa lei, qual o preço do produto que provoca a receita máxima?
Faça o gráfico da função 
.
Resolva as equações abaixo:
|x + 1| = 3
|2x – 1| = 5
O valor V, em reais, da conta mensal de energia elétrica é calculado a partir do consumo C, em kWh. Para consumos inferiores ou iguais a 200 kWh, o valor do kWh é de R$ 0,30. No entanto, para consumos superiores, o valor do kWh é acrescido de 50% para a parcela que exceder a 200 kWh. Escreva a lei matemática que relaciona o valor V a pagar em função do consumo C.
�
Dadas as funções a seguir, construir seus gráficos, determinar seus domínios e imagens:
 
�
CAPÍTULO 2
LIMITES
	O conceito de limite é fundamental no estudo que desenvolveremos a partir desse capítulo: taxas de variação. Em várias situações do cotidiano usamos o conceito de limite sem nos darmos conta. Por exemplo, um fio de náilon preso numa das pontas ao teto de uma casa; há um limite máximo de massa que esse fio consegue suportar. A partir de um determinado “peso”, o fio não resiste e se parte.
	O mesmo ocorre num balão. A borracha se expande até um determinado limite. Ultrapassando esse ponto, o balão estoura.
	
Considere o seguinte exemplo:
	O reservatório de água de uma cidade foi contaminado num acidente químico com um composto cancerígeno. A empresa contratada para a descontaminação apresentou como custo do processo uma lei matemática que leva em consideração o percentual do agente tóxico que deverá ser removido. Tal custo é expresso pela lei
	Onde x representa o percentual do composto a ser removido e C(x) representa o custo, em centenas de milhares de reais.
Determine o custo da remoção para 50%, 80% e 90% do agente tóxico.
Se a prefeitura dispuser de R$ 1.000.000,00 para o processo, qual percentual do agente tóxico consegue ser eliminado?
O que ocorre à medida que o percentual a eliminar do agente cancerígeno se aproxima de 100%?
	O uso mais básico de limites consiste em determinar como uma função se comporta à medida que aproximamos a variável independente dessa função de um determinado valor.
Vamos começar por exemplos simples:
Considere a função f(x) = x2 – x + 1.
Vejamos o que ocorre quando fazemos se aproximar de 2.
	x
	1
	1,5
	1,9
	1,99
	1,999
	f(x)
	1
	1,75
	2,71
	2,9701
	2,997001
Aqui, percebemos que à medida que x se aproxima de 2, por valores menores do que 2, a função se aproxima de _____.
Dizemos que esse número é o limite da função quando x tende a 2 pela esquerda e denotamos
	x
	3
	2,5
	2,1
	2,01
	2,001
	f(x)
	7
	4,75
	3,31
	3,0301
	3,003001
Aqui, percebemos que à medida que x se aproxima de 2, por valores maiores do que 2, a função se aproxima de _____.
Dizemos que esse número é o limite da função quando x tende a 2 pela direita e denotamos
Observe o gráfico:
		Como tanto pela direita como pela esquerda do 2, nos aproximamos do mesmo valor da função, dizemos que o limite (limite bilateral) da função quando x se aproxima do 2 é _____.
Outro exemplo:
Considere a função 
.
Vejamos o que ocorre quando fazemos x se aproximar de 4.
	x
	3
	3,5
	3,9
	3,99
	3,999
	f(x)
	7
	7,5
	7,9
	7,99
	7,999
	x
	5
	4,5
	4,1
	4,01
	4,001
	f(x)
	9
	8,5
	8,1
	8,01
	8,001
	Note que a função não está definida para x = 4, mas à medida que x se aproxima de 4 a função f(x) se aproxima de _____.
	Denotamos 
Observe o gráfico:
 
Finalmente, analisemos a função 
.
	x
	1
	1,5
	1,9
	1,99
	1,999
	f(x)
	0
	0,5
	0,9
	0,99
	0,999
	x
	3
	2,5
	2,1
	2,01
	2,001
	f(x)
	2
	2,5
	2,9
	2,99
	2,999
	
	
	A função está definida para x = 2?
	O que ocorre, nesse caso, à medida que x se aproxima de 2?
Observe o gráfico:
	Nesse caso, dizemos que 
NÃO EXISTE, pois os limites laterais são diferentes.
 existe e é igual a L se, e somente se, 
Mais um exemplo:
Considere a função
.
	
	1
	10
	100
	1000
	10000
	
	1
	0,1
	0,01
	0,001
	0,0001
	
	-1
	-10
	-100
	-1000
	-10000
	
	-1
	-0,1
	-0,01
	-0,001
	-0,0001
	Perceba que nesse caso, à medida que aumentamos indefinidamente o valor de x, tanto positivo como negativo, o valor resultante na função se aproxima cada vez mais de zero.
Quando x tende a ou , f(x) tende a ______.
Graficamente:
Limites infinitos
Às vezes os limites laterais ou bilaterais não existem porque os valores da função crescem ou decrescem indefinidamente.
Considere novamente a função 
.
	x
	1
	0,1
	0,01
	0,001
	0,0001
	f(x)
	1
	10
	100
	1000
	10000
	x
	-1
	-0,1
	-0,01
	-0,001
	-0,0001
	f(x)
	-1
	-10
	-100
	-1000
	-10000
	Nessa situação, escreveremos:
	É importante uma distinção. Nos três casos acima o limite NÃO EXISTE, mas no primeiro e no segundo damos como resposta +∞ e -∞ para diferenciar do terceiro, que escrevemos textualmente “não existe” devido ao fato de os limites laterais serem diferentes.
Exemplos:
Dado o gráfico da função f abaixo, determine o que se pede:
Esboce um gráfico de uma função f com as seguintes propriedades:
o domínio de f é (-∞, 3]
f(-2) = f(3) = 1
	
�
�
Esboce dois gráficos de funções com as seguintes características:
o domínio de cada função é 
.
.
 QUOTE �
� não existe.
 se 
.
Limites – técnicas para calcular
Na seção anterior, o cálculo de limites foi feito por aproximação. No entanto essa técnica é insuficiente para o cálculo de limites em algumas funções. Considere 
, cujo gráfico está representado abaixo. Ao lado é mostrada uma tabela com valores que faz o leitor chegar à conclusão errada de que à medida que x se aproxima de zero a função também se aproxima de zero. Nota-se, pelo gráfico, que a função oscila cada vez mais rapidamente entre -1 e 1 à medida que x tende a zero, portanto não se aproxima de nenhum limite.
	Por isso, nessa seção aprenderemos técnicas algébricas para o cálculo de limites de funções. Começamos explorando os resultados em algumas funções, cujos gráficos são mostrados.
1) 	
		
		
	2)3)	
		
		
		
		Agora vamos considerar a função f(x) = x e a função g(x) = 3. Se fazemos h(x) = f(x) + g(x) , temos que h(x) = x + 3. Calculando o limite de cada uma dessas função quando x tende a 2, por exemplo, temos:
 (limite de uma constante é a própria constante)
Obs.:
1) Essas afirmações também valem para os limites laterais quando 
 ou 
.
2) Ainda que os resultados (a) e (c) tenham sido formulados para duas funções f e g, esses resultados são válidos para um número qualquer finito de funções.
	
	No caso especial da parte (c) em que f(x) = k é uma função constante, temos
	
	Ou seja, um fator constante pode ser removido do limite.
Limites de polinômios e funções racionais quando 
		Um polinômio de grau é uma função da forma 
onde 
 ( e 
0. 
Para qualquer polinômio 
e qualquer número real a, temos que
ou seja, para calcular o limite de um polinômio quando QUOTE �
�, podemos apenas substituir x por a.
		Em relação às funções racionais 
, em que P(x) e Q(x) são polinômios, para calcular 
 temos três casos dependendo dos valores de P(a) e Q(a).
O limite do denominador não é zero
		Nesse caso, o limite pode ser obtido apenas substituindo a variável independente, pois numerador e denominador são polinômios.
Exemplo:
O limite do numerador e denominador são nulos
		Em matemática, a fração 
, quando a e b tendem a zero, é chamada de indeterminação do tipo 
. Como a e b se aproximam de zero, o resultado é indeterminado. No cálculo desse tipo de limite, lançamos mão de algumas técnicas algébricas.
Exemplos: 
Somente o limite do denominador é nulo
		Nesse caso, o denominador se aproxima de zero enquanto o numerador não. Com isso, o limite não existe e ocorre uma das três situação a seguir:
o resultado cresce indefinidamente (limite tende a +∞)
o resultado decresce indefinidamente (limite tende a -∞)
o resultado cresce e decresce indefinidamente dependendo do lado da aproximação feita. Nesse caso, dizemos textualmente que o limite não existe.
Os gráficos abaixo mostram cada uma dessas situações.
		No cálculo desse tipo de limite, o que precisa ser feito é uma aproximação pela direita e pela esquerda do número que queremos investigar.
Exemplos:
1) 
				
2) 
Logo, 
Limites de (n natural) quando 
 ou 
		Os gráficos abaixo mostram claramente o comportamento no infinito dos polinômios do tipo 
.
	
				
				
	
				
				
	A multiplicação de um número por 
 não afeta o limite se esse número for positivo, mas inverte o sinal se o número for negativo.
Exemplos:
1) 
2) 
Limites de polinômios e funções racionais quando 
 ou 
		Devemos estar atentos ao termo de maior grau, pois o comportamento da função está diretamente relacionado ao seu comportamento quando 
 ou QUOTE �
�.
Exemplo:
1) 
	
	
	
	
	Valor da função
	x = 1
	
	
	
	
	x = 10
	
	
	
	
	x = 100
	
	
	
	
	x = 1000
	
	
	
	
		É fácil perceber que o termo 
 define o comportamento da função no infinito. Assim, para o cálculo de limites no infinito de um polinômio precisamos considerar apenas o termo de maior grau.
		Por exemplo�, 
.
		No caso de funções racionais, como se trata de uma razão entre polinômios, procedemos do mesmo modo, apenas considerando o termo de maior grau tanto no numerador quanto no denominador.
Exemplos:
O custo médio, em reais, de um produto é dado pela função 
, em que representa a quantidade de produtos fabricados. Calcule 
 e interprete o resultado obtido.
Limites envolvendo radicais
		No cálculo de limites envolvendo radicais, a propriedade 
nos permite o uso da mesma estratégia anterior para limites no infinito envolvendo polinômios.
Exemplos:
1) 
2) 
Limites de funções definidas por partes
		O cálculo de limites em funções definidas por mais de uma sentença depende exclusivamente do local onde se quer investigar o limite. O ponto mais importante é aquele em que a função muda de sentença. 
Exemplos:
Determine 
 para 
.
Determine 
 para 
.
Assíntotas 
	Do grego asymptotos, que significa “que não pode atingir”. Nesse tópico estudaremos apenas as assíntotas verticais e horizontais, deixando a cargo do leitor o aprofundamento em outros tipos de assíntotas.
Assíntotas verticais
	Diz-se que a reta QUOTE �
� é uma assíntota (vertical) quando 
 ou 
. Assim, à medida que x se aproxima de k o valor da função cresce ou decresce indefinidamente, nunca atingindo a reta QUOTE �
�. Os gráficos abaixo mostram exemplos de assíntotas verticais.
	É importante ressaltar no terceiro gráfico acima que, mesmo se QUOTE �
�, a reta 
 continuaria a ser uma assíntota vertical do gráfico, isto é, a assíntota vertical pode atingir o gráfico em um dos semi-planos definidos por ela.
Assíntotas horizontais
Uma reta é uma assíntota horizontal do gráfico de uma função f se f(x) tende a L quando x tende a +∞ ou -∞. O gráfico abaixo mostra que 
 e portanto y = L é uma assíntota horizontal.
Exemplos:
Determine as assíntotas da função 
, caso existam.
Determine as assíntotas da função 
, caso existam.
Determine as assíntotas da função 
, caso existam.
Exercícios:
Obs.: As questões 1 a 8 têm como fonte:
ANTON, Howard. Cálculo, um novo horizonte. Porto Alegre: Bookman, 2000. v.1. p.124.
Para a função f (gráfico abaixo), determine:
a) 
b) 
c) 
d) f(3)
e) 
f) 
Para a função f (gráfico abaixo), determine:
a) 
b) 
c) 
d) f(2)
e) 
f) 
Para a função f (gráfico abaixo), determine:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
Para a função f (gráfico abaixo), determine:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
Para a função f (gráfico abaixo), determine:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
Para a função f (gráfico abaixo), determine:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
Para a função f (gráfico abaixo), determine:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
Para a função f (gráfico abaixo), determine:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
Resolva os limites abaixo:
Faça o esboço de um gráfico em que:
 não existe
Faça o esboço de um gráfico em que:
é uma assíntota
 não existe
 é raiz
Um estudo dos níveis de formaldeído em 900 casas indicou que a emissão de vários produtos químicos pode diminuir com o passar do tempo. Os níveis médios de formaldeído (em partes por milhão) em uma casa são dados por
	onde 
 representa a idade da casa em anos.
	
Quando a casa é nova, qual é o nível médio emitido de formaldeído?
A longo prazo, qual o nível de formol numa casa?
O número de bactérias numa cultura exposta a certas condições varia de acordo com a lei 
 em que 
 indica o tempo, em minutos. 
a) Qual é o número inicial de bactérias nessa cultura?
b) Qual é a população limite segundo essa lei matemática?
Faça o esboço de um gráfico em que:
�� EMBED Equation.3 
 é uma assíntota
Determine o valor dos limites pedidos. Se não existir, diga que não existe, justificando. Se o limite tender a +∞ ou -∞, indique essa resposta.
Um padeiro assa um pão num forno a umatemperatura de 250 ºC. Seja T = f(t) a temperatura do pão assado minutos depois de retirado do forno. A figura abaixo mostra a temperatura T do pão em função do tempo t desde que foi retirado do forno, onde r denota a temperatura ambiente.
Dada a função 
, determine 
ou diga que não existe, justificando sua resposta.
Dada a função 
, determine 
.
Determine, se houver, as assíntotas das funções:
CAPÍTULO 3
CONTINUIDADE
	Nas funções, as descontinuidades sinalizam, muitas vezes, fenômenos físicos. Num gráfico, por exemplo, do volume de combustível no tanque em função da distância percorrida, uma possível representação aparece abaixo:
	Note que as retas tracejadas indicam as paradas que o condutor fez para o reabastecimento do veículo. Nesse momento ocorre uma interrupção no traçado da função. Essa interrupção é chamada de descontinuidade.
	Intuitivamente, o gráfico de uma função pode ser descrito como uma curva contínua se não apresentar quebras ou buracos. Para tornar essa ideia mais precisa, precisamos entender quais propriedades de uma função podem causar quebras ou buracos.
Em I, ocorre uma descontinuidade do tipo “bola”. Note que a função não está definida em c. 
Em II, ocorre uma descontinuidade do tipo “salto”. Perceba que 
 não existe.
Em III, ocorre uma descontinuidade do tipo “fenda”. Nesse caso 
.
Em IV, o limite em c é definido assim como f(c), mas 
.
Dizemos que uma função é contínua em x = c se as seguintes condições estiverem satisfeitas:
f(c) está definida
 existe, ou seja, 
Se uma ou mais das condições dessa definição falhar, então dizemos que a função tem uma descontinuidade em x = c.
Exemplos:
Determine se as seguintes funções são contínuas. Se ocorrer descontinuidade, indique onde.
a) 
b) 
c) 
Determine os valores de x QUOTE �nos quais a função 
 é contínua.
Verifique se a função 
 é contínua em toda parte. Se não for, indique os valores de x onde há descontinuidade.
Encontre um valor constante , se possível, que faça a função 
 ficar contínua em toda parte.
Descontinuidade removível
	Diz-se que uma função f tem uma descontinuidade removível em x = c se 
 existe, ou seja, 
, mas f não é contínua em x = c, ou porque f não está definida em c ou porque f(c) difere do valor do limite.
Exemplos:
A função 
 possui uma descontinuidade removível?
A função 
 possui uma descontinuidade removível?
Exercícios:
Nas funções abaixo, determine os pontos de descontinuidade, se houver:
Considere a seguinte situação: Uma caixa d’água abastece uma residência ao longo de uma semana. Nesse tempo, diversas vezes uma bomba é acionada, levando água do poço à caixa. O gráfico que representa o nível h de água na caixa em função do tempo t, ao longo dessa semana representa uma função contínua? Justifique.
Determine o valor de k, se possível, que torne a função contínua.
(a) 
(b)
(a) Esboce o gráfico de uma função de descontinuidade removível em x = c para a qual f(c) está indefinida. (b) Esboce o gráfico de uma função de descontinuidade removível em x = c para a qual f(c) está definida.
Verifique se a função 
 apresenta ou não descontinuidade. Se sim, é uma descontinuidade removível?
CAPÍTULO 4
DERIVADA
	A derivada é um dos conceitos mais importantes do cálculo e está intimamente relacionado à taxa de variação instantânea de uma função. Pode ser utilizada para a determinação da velocidade ou aceleração de um móvel, para determinar a taxa de eliminação de um fármaco do organismo, para calcular pontos de máximo e de mínimo numa aplicação, para estimar o ritmo de propagação de uma epidemia ou crescimento de uma população.
Iniciaremos esse capítulo explorando melhor a ideia de taxa de variação média e instantânea para desenvolver o conceito de derivada.
Taxas de variação
	Considere a situação de um aluno que vem de uma cidade distante para cursar a disciplina de Cálculo I aqui na Unisinos. Após a aula, ele embarca no ônibus e pergunta ao motorista qual a quilometragem que o odômetro está registrando – 63440km. Ao chegar no seu ponto de descida, questiona novamente o motorista – 63560km. Se ele anotou que o ônibus começou seu deslocamento às 22h 40min e chegou ao seu destino às 0h 40min, a velocidade média nesse trajeto é fácil de ser obtida. Sabemos que a velocidade média é obtida fazendo a razão entre o deslocamento ((S) e o tempo gasto para realizá-lo ((t), ou seja:
	No exemplo em questão, temos:
	Agora, prestemos atenção em outra situação: o gráfico abaixo mostra um exame corriqueiro para muitos indivíduos – a curva glicêmica. Às 10h da manhã, ao coletar sangue em jejum, o resultado apontou 77mg/dL de glicose. O paciente toma solução com 75g de açúcar e após 1h e 2h, são coletadas novas amostras para o acompanhamento da evolução glicêmica. Os índices são mostrados no gráfico.
	Podemos obter a taxa de variação média do índice glicêmico, fazendo:
	Essa informação, a taxa média de variação, é muito limitada. No 1º caso, o ônibus em muitos momentos teve uma velocidade muito diferente da média de 60km/h. No 2º, o crescimento de 18mg/dL a cada hora também é uma informação que não leva a conclusões importantes. Em ambas as situações, mais significativo seria a taxa de variação instantânea, a qual pode trazer informações muito mais relevantes.
	No caso da velocidade instantânea num veículo, isso pode ser conseguido após uma espiada no velocímetro do carro ou no momento do registro da velocidade na lombada eletrônica. Matematicamente, conseguimos a velocidade instantânea quando reduzimos a um instante a variação de tempo. Ou seja:
	Observe os gráficos abaixo que mostram a redução do intervalo de tempo até um único instante. Note que a reta que une o ponto inicial e final do trajeto considerado tem sua taxa de variação calculada fazendo, genericamente, 
, conforme visto anteriormente. Nos cinco primeiros gráficos, a reta é secante ao gráfico d x t. Conforme o intervalo de tempo considerado diminui, a inclinação da reta se modifica até que, quanto a variação de tempo tende a zero, a reta fica tangente ao ponto onde se quer determinar a velocidade. Portanto, a velocidade instantânea, ou mais genericamente, a taxa de variação instantânea, é dada pela declividade� da reta tangente ao instante considerado.
	A figura abaixo� nos ajuda a compreender melhor o conceito de taxas de variação. A taxa de variação média é dada pela declividade da reta secante, enquanto que a taxa de variação instantânea é dada pela declividade da reta tangente ao ponto onde se quer determinar a taxa.
 
	Com isso, estamos dizendo também que a declividade (m) de uma reta tangente num ponto 
 qualquer a uma curva pode ser calculada fazendo:
	
	Em situações-problema, as taxas de variação média e instantânea estão contextualizadas. Assim, as respostas devem vir acompanhadas das respectivas unidades. Por exemplo:
se y estiver em ºC e x em horas, então a unidade da taxa de variação deve ser ºC/h.
se y estiver em m/s e x em segundos, então a unidade da taxa de variação deve ser m/s2.
	O estudo das taxas de variação está presente em muitas áreas: um engenheiro pode necessitar saber com que taxa um fio se dilata em função da temperatura; um médico pode estar interessado na taxa com que o raio de uma artéria muda em função da quantidade de álcool na corrente sanguínea; um farmacêutico pode necessitar saber com que rapidez um antibiótico é eliminado do organismo.A derivada
	O limite que usamos para determinar a taxa de variação instantânea ou a inclinação da reta tangente também é usado para definir uma das operações fundamentais do Cálculo – a diferenciação.
A função 
 definida pela fórmula
é denominada derivada de f em relação a x. O domínio de 
 consiste em todos os valores de x do domínio de f para os quais existe este limite. O termo “derivada” é usado porque a função 
 deriva da função f por meio de um limite.
	Quando a variável independente for x, a operação de derivação pode ser denotada por
 ou 
.
	
Quando tivermos y = f(x), a derivada costuma ser denotada por
 ou 
.
	
	Se quisermos determinar o valor da derivada num ponto x0, podemos indicar
ou 
 ou 
 ou 
.
Duas interpretações da derivada
1- A derivada 
de uma função f é a função cujo valor em x é a inclinação da reta tangente ao gráfico de y = f(x) em x.
2- A derivada 
de uma função f é a função cujo valor em x é a taxa de variação instantânea de y = f(x) em relação a x.
Exemplos:
Um projétil é lançado verticalmente a partir do solo. Desprezando-se a resistência do ar e o cano da arma, e admitindo-se conhecida a aceleração da gravidade, calculou-se a função que relaciona o espaço (altura), em metros, e o tempo, em segundos, representada pela igualdade f(t) = 80t – 4t2. Nessas condições, determine:
A velocidade do projétil num instante t qualquer.
A velocidade do projétil após 5s do seu lançamento.
A velocidade no exato instante que o projétil toca o solo.
Dado que f(2) = 1 e que 
, encontre uma equação para a reta tangente ao gráfico de 
 no ponto x = 2.
Diferenciabilidade
	Como a derivada é definida por um limite, esse limite pode existir ou não em determinados pontos da função. Isso significa que uma função pode não ser diferenciável em toda a parte. Basicamente são três os casos em que uma função não é diferenciável num ponto.
1º caso: se uma função não for contínua num ponto
	O gráfico abaixo mostra uma função que é descontínua em x = 2. Logo, a função não é diferenciável nesse ponto visto que não há uma mesma reta tangente à esquerda e à direita de x = 2.
2º caso: a função possui um “bico” num ponto
	O gráfico abaixo mostra a função 
. Note que em x = 2 a inclinação pela esquerda e pela direita do ponto não coincide, o que implica que a função não é diferenciável em x = 2.
3º caso: a função tem um ponto de tangência vertical
	A derivada é a declividade (m) da reta tangente no ponto. Vimos anteriormente que 
 o que implica que m não é definido, visto que (x = 0.
Técnicas de diferenciação
	Todas as técnicas de diferenciação serão aqui apresentadas sem prova, mas decorrem da definição de derivada já estudada. Para visualizar tais demonstrações, consulte a bibliografia recomendada.
Derivada de uma constante
Derivada de uma função potência
	Se n é qualquer número real, então 
.
Exemplos:
Se f(x) = x8, então 
 =
Se 
, então 
 =
Se 
, então 
 =
Se 
, então 
 =
Se 
, então 
 =
Se f(x) = x0,6, então 
 =
Se 
, então 
 =
Derivada de uma constante vezes uma função
	Se f é uma função diferenciável e c é uma constante, então 
, ou de maneira simplificada
Exemplos:
Se g(x) = 3x4, então 
 =
Se 
, então 
 =
Se 
, então 
Derivada da soma ou diferença de 2 funções
A derivada de uma soma (ou diferença) de duas funções diferenciáveis é a soma (ou diferença) de suas derivadas, ou seja, 
Exemplos:
Se f(s) = s3 – 4s + 5, então 
Se 
, então 
Se 
, 
 =
Em quais pontos o gráfico de y = x3 – 3x + 4 tem uma reta tangente horizontal?
Se y = (3x – 2x2)(5 + 4x), determine 
.
Derivada do produto de 2 funções
	O produto de duas funções diferenciáveis f e g é diferenciável. Além disso, a derivada do produto pode ser calculada pela expressão 
.
Exemplo:
	Encontre a derivada de y = (3x – 2x2)(5 + 4x).
Derivada do quociente de 2 funções
O quociente 
 de duas funções diferenciáveis f e g é diferenciável em todos os pontos x para os quais g(x) ( 0. Além disso, a derivada de f/g é dada por
.
Exemplos:
Encontre a derivada de 
.
Se 
, determine 
.
Derivadas de ordem superior
		A derivada de uma função é novamente uma função, que pode ter sua própria derivada. Se 
 for diferenciável, então sua derivada é denotada po 
 e é chamada derivada segunda de f. Enquanto tivermos diferenciabilidade, podemos continuar o processo de derivação para obter as derivadas terceira, quarta, quinta, etc.
Notação:
Derivada segunda: 
Derivada terceira: 
Derivada quarta: 
Derivada n-ésima: 
	E qual o significado de uma derivada segunda, por exemplo? Para entender isso mais claramente, observe os gráficos:
	O gráfico acima representa a função posição de um móvel. Sabemos que a velocidade em um ponto é determinada pelo valor da derivada naquele ponto, ou 
, cuja unidade, nesse caso, é m/s. Ou seja, se determinarmos a velocidade em diferentes pontos, podemos esboçar a curva v x t, que é o gráfico da derivada da função posição, mostrado abaixo.
	Fazendo idêntico raciocínio, derivando a função v(t) em diferentes pontos, obtemos a segunda derivada da função S(t). Como unidade, temos m/s2, que fisicamente traduz a aceleração de um corpo. Ou seja, a aceleração é obtida pela derivada segunda da função posição!
	E podemos ir além. Qual é a aceleração da gravidade no planeta? Lembre que é de 9,8m/s2, o que significa que um corpo em queda livre, no vácuo, aumenta a velocidade de 9,8m/s a cada segundo. Pois bem, chamando a aceleração de a, temos a = 9,8. Mas a = v’(t) = 9,8; logo v(t) = 9,8t. Sabemos também que v(t) = S’(t), então S(t) = 4,9t2. Essa é a equação da queda livre dos corpos, a qual podemos utilizar para determinar a distância percorrida por um corpo em queda. Apesar de ela valer apenas no vácuo, sem interferência da resistência do ar, portanto, para pequenas distâncias o comportamento em corpos densos é muito semelhante.
Exemplo:
Um vaso é largado do alto de um edifício de 100m. Após quanto tempo e com qual velocidade o vaso toca o solo?
Funções trigonométricas
As funções trigonométricas modelam fenômenos cíclicos, como, por exemplo, a subida das marés, o movimento de um pêndulo, os batimentos cardíacos, entre outros. Para compreender com mais clareza as características desse tipo de função, faremos uma breve revisão da trigonometria no círculo.
Arcos e ângulos
	Existem três sistemas para medida de ângulo, sendo a mais conhecida o grau (º), que ficou definido como o ângulo central de uma circunferência que foi dividida em 360 partes. Ainda há o grado (g), que foi uma tentativa de dividir a circunferência em 400 partes e que atualmente não é utilizado. A última é o radiano (rad) que é a medida de um arco cujo comprimento é o próprio raio da circunferência que contém esse arco.
	Sendo o comprimento da circunferência de raio R igual a C = 2(R, temos que “cabem” na circunferência 2( arcos de comprimento igual ao raio, o que equivale dizer que 2( rad correspondem a 360º. Estabelecendo a correspondência, 1 rad ( 57,3º.
	
Ciclo trigonométrico
Consideremos um círculo de raio unitário (R = 1) centrado na origem do sistema cartesiano. O ponto A(1, 0) é a origem de todos os arcos (ângulos) e a circunferência ( é orientada com sentido positivo anti-horário.
A função de Euler
Vamos definir a função E: ( ( que associa a cada número real um ponto P na circunferência (, conforme ilustrado abaixo. A função E é chamada função de Euler em homenagem ao seu criador, Leonhard Euler (1707-1783).
se 
, então 
, ou seja, os pontos P e Asão coincidentes.
Se 
, percorremos o ciclo no sentido anti-horário (positivo), a partir de A, e marcamos o ponto P, extremidade do arco 
, de comprimento t.
Se 
, percorremos o ciclo no sentido horário (negativo), a partir de A, e marcamos o ponto P, extremidade do arco AP, de comprimento | t |.
	Na prática, a função de Euler consiste em “enrolar” a reta real sobre a circunferência de modo que o zero da reta coincida com o ponto A(1, 0) e que o sentido positivo seja o anti-horário.
	
Função seno
No ciclo trigonométrico, se P é a extremidade de um arco correspondente ao número x, conforme definido na função de Euler, definimos seno de x, e escrevemos sen (x), como a ordenada do ponto P.
	Portanto:
	A função seno é a função f: ( que associa cada número real x a um sen (x). Denotamos a função seno como 
. 
	A figura abaixo mostra o gráfico da função seno.
Função cosseno
No ciclo trigonométrico, se P é a extremidade de um arco correspondente ao número x, conforme definido na função de Euler, definimos cosseno de x, e escrevemos cos (x), como a abcissa do ponto P.
	Portanto:
	A função cosseno é a função f: ( que associa cada número real x a um sen (x). Denotamos a função cosseno como 
. 
	A figura abaixo mostra o gráfico da função cosseno.
	As demais funções trigonométricas podem ser definidas em termos das funções sen x e cos x. São elas:
Função tangente (tan ou tg)
Função cossecante (csc ou cossec)
Função secante (sec)
Função cotangente
Derivadas de funções trigonométricas
Consideremos a variável independente x das funções trigonométricas, quando se refere a ângulo, medida em radianos. As fórmulas de derivação são apresentadas abaixo.
Exemplos:
Se f(x) = x2 + 2 cos x, determine 
.
Se 
, determine 
.
Sendo 
, determine 
.
Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de y = sen (x) no ponto x = 0.
Regra da cadeia
Já vimos regras de derivação para alguns tipos de funções. No entanto, a derivada da função 
 pode ser bem trabalhosa de ser obtida pelos métodos vistos. Um modo de resolver esse problema seria fazer a expansão de (x2 + x)10, o que é inviável pela extensão dos cálculos a fazer. Nessa seção, nossa estratégia será escrever f(x) como uma composta de funções mais simples que já sabemos derivar.
Na função y = (x2 + x)10, podemos fazer u = x2 + x, o que permite escrever y = u10. O que queremos é o resultado 
, que podemos obter fazendo 
. As derivadas envolvidas que nos fazem resolver o problema inicial são simples. Se y = u10, então 
 e se u = x2 + x, então 
. Resolvemos o problema inicial fazendo 
.
Teorema:
		Se y = f(u) é uma função diferenciável de u e u = g(x) é uma função diferenciável de x, então 
 é uma função diferenciável de x e 
.
	Dizemos “regra da cadeia” porque a derivada que queremos calcular é obtida pelo encadeamento de duas ou mais funções como visto acima. Informalmente, a regra acima pode ser expressa em palavras como sendo “a derivada da função externa multiplicada pela derivada da função interna”.
OBS: A regra da cadeia pode ser aplicada mais de uma vez na mesma função, se necessário.
Exemplos:
Determine a derivada das funções abaixo:
f(t) = (t3 + 2t)5
y = cos (x3)
f(x) = tan2 (4x)
Fórmulas generalizadas de derivação
	Se usamos u e v como uma função de x, então as regras de derivação anteriormente vistas podem ser expressas como mostradas abaixo:
Exemplos:
Se 
, determine 
.
Se 
, determine 
.
Um estudo realizado pela câmara de comércio de uma cidade projetou que a população da cidade nos próximos três anos crescerá de acordo com a lei 
 onde P(t) denota a população daqui a t meses.
Em 2 anos, qual será a população da cidade?
Em 16 meses, com que rapidez a população dessa cidade estará crescendo?
Entre o 1º e o 2º ano, qual foi a taxa média de crescimento populacional nessa cidade?
O percentual de jovens obesos entre 12 e 19 anos nos Estados Unidos cresceu drasticamente nos últimos anos. O percentual de jovens obesos entre 1980 e 2000 é aproximado pela função
 (
)
	onde t é medido em anos, com t = 0 correspondendo ao início de 1980.
Qual era o percentual de jovens obesos entre 12 e 19 anos no início de 1990?
Com que rapidez o percentual de crianças obesas estava mudando no início de 1985?
Em que ano o percentual de jovens obesos atingiu 10%?
O número de pessoas entre 18 e 64 anos recebendo benefícios do sistema de seguridade social entre 1990 e 2000 é aproximado pela função N(t) = 0,00037t3 – 0,0242t2 + 0,52t + 5,3 
, onde N é dado em milhões de habitantes e t é medido em anos, com t = 0 correspondendo a 1990. Com que rapidez o número de beneficiários está aumentando em 1996?
A quantidade Q de nicotina, em mg, no corpo, t minutos depois de fumado um cigarro, é dada por 
.
Interprete a afirmação f(20) = 0,36.
Interprete a afirmação 
.
O número de bactérias em uma cultura no instante t, em minutos, após a aplicação de um bactericida experimental segue a regra
a) Qual é o número inicial de bactérias?
b) Com que rapidez a população da colônia está decrescendo após 3min?
Um estudo de impacto ambiental conduzido por um orgão governamental numa determinada cidade indicou que o nível de monóxido de carbono (CO), em partes por milhão, presente no ar devido à poluição por emissão de automóveis daqui a t anos será 
. Determine a taxa com que a concentração de CO estará mudando daqui a cinco anos.
Exercícios:
Dada a função y = x2 – 1,
encontre a taxa de variação média de y em relação a x no intervalo [1; 3].
encontre a taxa de variação instantânea de y em relação a x num ponto genérico 
.
Usando a definição de derivada 
, determine a derivada da função 
.
Obs.: As questões 3 a 5 têm como fonte:
ANTON, Howard. Cálculo, um novo horizonte. Porto Alegre: Bookman, 2000. v.1. p.176.
A figura em anexo mostra a curva de posição versus tempo para um elevador que se move para cima até 60m e, então, descarrega seus passageiros .
Estime a velocidade instantânea do elevador quando t = 10s.
Esboce uma curva de velocidade versus tempo para o movimento do elevador no intervalo 
.
A figura em anexo mostra a curva de posição versus tempo para certa partícula movendo-se em linha reta.
Onde a partícula se move mais rapidamente, em t0 ou t2 ? Explique.
Na origem, a tangente é horizontal. Que informação sobre a velocidade inicial da partícula isso nos dá?
A partícula está aumentando ou diminuindo sua rapidez em [t0, t1] ? Explique.
E no intervalo [t1, t2] sua rapidez está aumentando ou diminuindo ? Explique.
 
Um para-quedista cai verticalmente de um avião. A figura mostra o gráfico da distância s caída pelo para-quedista versus o tempo t desde o salto do avião.
Use o segmento de reta que acompanha o gráfico para estimar a velocidade escalar instantânea do para-quedista no instante t = 5s.
Estime a velocidade escalar instantânea do para-quedista no instante t = 17,5s. O que parece estar ocorrendo com a velocidade escalar do para-quedista ao longo do tempo?
	
A partir das funções abaixo, determine 
.
y = 3x3 – 2x-2 + 4x – 2
A partir das funções abaixo,determine 
.
f(x) = (x3 + 7x2 – 8)(2x-3 + x-4)
A partir das funções abaixo, determine 
.
y = (4x2 – 3x)(6x3 + 1)
A partir das funções abaixo, determine 
.
Encontre as derivadas das funções abaixo:
y = cos (2x)
y = x3 sen (3x)
y = cos3 (sen 2x)
Obs.: As questões 11 a 14 têm como fonte:
ANTON, Howard. Cálculo. v.1. Porto Alegre: Bookmann, 2007. 8.ed. p.187.
Ache 
dado que f(4) = 3 e 
.
	(a) 
(b) 
Ache uma equação para a reta tangente ao gráfico de y = f(x) no ponto onde x = -3 se f(-3) = 2 e f’(-3) = 5.
Esboce o gráfico de uma função f para a qual f(0) = -1, f’(0) = 0, f’(x) < 0 se x < 0 e f’(x) > 0 se x > 0.
Use o gráfico abaixo de y = f(x) na figura abaixo para estimar o valor de 
, 
 e 
.
	
A população de uma espécie de tartaruga estava ameaçada de extinção porque traficantes estavam recolhendo ovos de tartarugas para serem revendidos como afrodisíacos. Após a implementação de medidas severas de conservação, espera-se que a população de tartarugas comporte-se de acordo com a lei
 (
)
onde N(t) denota a população no ano t. No 3º ano, com que velocidade a população de tartarugas estava crescendo?
Um estudo dos níveis de formaldeído em 900 casas indicou que a emissão de vários produtos químicos pode diminuir com o passar do tempo. Os níveis médios de formaldeído (em partes por milhão) em uma casa são dados por
	
	onde t representa a idade da casa em anos. Quando a casa está no início de seu 4º ano, com que rapidez o nível médio de formaldeído estará decrescendo?
O percentual de famílias constituídas por casais com filhos entre 1970 e 2000 é aproximadamente
 	(
)
onde t é medido em décadas, com t = 1 correspondendo à década de 1970, t = 2 à década de 1980, e assim por diante.
Qual é o percentual de famílias que eram constituídas por casais com crianças na década de 1990?
Com que rapidez o percentual de famílias que eram constituídas por casais com crianças estava variando em 1980?
A velocidade média de um veículo em um trecho de uma rodovia entre 6h e 10h da manhã em um típico dia de semana é dada aproximadamente pela função 
, 
, onde f(t) é medido em km por hora e t é medido em horas, com t = 0 correspondendo às 6h da manhã. As 10h da manhã, qual é a velocidade média dos carros que estão trafegando por essa rodovia?
Projeta-se que a porcentagem da população dos Estados Unidos com telefones celulares é dada pela equação 
, 
, onde t é medido em anos, com t = 1 correspondendo ao ano de 1998. Com que rapidez se espera que a porcentagem da população dos Estados Unidos com telefones celulares esteja variando em 2006?
Encontre uma equação para a reta tangente à parábola y = x2 no ponto (1, 1).
A parábola de equação y = x2 – 4x + 3 tem uma reta tangente cujo coeficiente angular é 6. Determine o ponto (x, y) da curva no qual a reta a tangencia.
Lista extra:
OBS: Nos exercícios de 22-31, utilize a definição de derivada, pelo limite, quando for o caso.
Um ciclista viaja 21 quilômetros em 1h45min. Qual é a velocidade média desse ciclista neste intervalo de tempo?
Um automóvel viaja 540 quilômetros em 4h30min. Qual a velocidade média desse automóvel neste intervalo de tempo?
Utilize a definição para determinar a inclinação da reta tangente aos gráficos das funções a seguir nos pontos indicados:
 .
 .
 . 
Nos itens a seguir, a posição de um objeto no tempo (em segundos) é dada por (em metros), encontre a velocidade instantânea no valor indicado de :
.
Encontre a inclinação da reta tangente à curva da função no ponto no qual . Em seguida, determine as equações das retas tangentes nos pontos (1, 5) e (2,3).
Encontre a inclinação da reta tangente à curva da função no ponto no qual . Em seguida, determine as equações das retas tangentes nos pontos (1,1) e (4, ½).
Se uma bola for atirada ao ar com velocidade de 10 m/s, sua altura (em metros) depois de segundos é dada por . Encontre a velocidade quando .
Se uma pedra for lançada para cima no planeta Marte com velocidade de 10 m/s, sua altura (em metros) após segundos é dada por .
Encontre a velocidade da pedra após 1 segundo.
Encontre a velocidade da pedra quando .
Quando a pedra atinge a superfície?
Com que velocidade a pedra atinge a superfície?
 
O deslocamento (em metros) de uma partícula movendo-se ao longo de uma reta é dado pela equação do movimento , onde é medido em segundos. Encontre a velocidade da partícula nos instantes e .
O deslocamento (em metros) de uma partícula movendo-se ao longo de uma reta é dado pela equação , onde é medido em segundos.
Encontre as velocidades médias nos seguintes intervalos de tempo:
[3, 4] ii. [3,5; 4] iii. [4, 5] iv. [4, 4,5]
Encontre a velocidade instantânea quando .
Determine as derivadas das funções a seguir:
�
 ( é uma constante)
�
Calcule as derivadas das funções a seguir nos valores indicados:
Encontre a derivada de de duas formas: usando a Regra do Produto e efetuando primeiro a multiplicação. 
Encontre a derivada da função de duas formas: usando a Regra do Quociente e simplificando antes. Mostre que as respostas são equivalentes.
Determine as derivadas das funções a seguir:
�
�
Encontre uma equação para a reta tangente à curva da função no ponto (1,0).
A curva é chamada bruxa de Maria Agnesi. Encontre uma equação para a reta tangente a essa curva no ponto (-1, ½).
A curva é chamada Serpentina. Encontre uma equação para a reta tangente a essa curva no ponto (3; 0,3).
Suponha que e . Determine para:
Suponha que e . Encontre :
Se e , calcule .
Se , onde e , encontre uma equação para a reta tangente ao gráfico de no ponto no qual .
Encontre as equações das retas tangentes à curva da função que sejam paralelas à reta .
Determine a medida, em radianos, dos ângulos:
60° b. 45° c. 100° d. 17°
Converta o ângulo para radianos:
a. 150° b. 120° c. -270° d. ° 
Converta o ângulo dado, em radianos, para graus:
a. b. c. 90 d. 2 e. 45
Um ângulo medindo radianos corresponde a um ponto, sobre a circunferência unitária, no primeiro quadrante. Indique os quadrantes correspondentes a ângulos com as seguintes medidas em radianos:
�
1 radiano
2 radianos
5 radianos
6 radianos
9 radianos
10 radianos
�
Nos exercícios a seguir, calcule o seno, o cosseno e a tangente dos ângulos indicados:
Sem calculadora, determine o sinal de cada um dos seguintes números:
a) b) c) d) 
CAPÍTULO 5
TAXAS RELACIONADAS
	O estudo da derivada é importante na resolução de uma quantidade muito grande de problemas de diversas áreas de conhecimento. Particularmente, a seção de taxas relacionadas utiliza a regra da cadeia recentemente vista na resolução de problemas. Considere os exemplos abaixo:
Um navio petroleiro sofre um acidente e o óleo derramado através de uma ruptura no casco se espalha em uma forma circular cujo raio cresce a uma taxa constante de 2 m/s. Com que velocidade a área do derramamento estará crescendo quando seu raio for de 60m?Um balão esférico é inflado de modo que seu volume cresce a uma taxa de 3cm3/s. Com que rapidez o raio do balão estará crescendo quando o raio for de 1cm?
Uma escada de 3m de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Se a base desliza, afastando-se da parede a uma taxa de 10cm/s, quão rápido o topo da escada está escorregando para baixo quando a base da escada está a 1m da parede?
A areia que vaza de um depósito forma uma pilha cônica cuja altura é sempre igual ao raio da base. Se a altura da pilha aumenta à razão de 15cm/min, determine a taxa com a qual a areia está se escoando quando a altura da pilha é de 25cm.
Um míssil é lançado verticalmente para cima de um ponto que está a 8km de uma estação de rastreamento, e à mesma altura desta. Durante os primeiros 20 segundos de voo, seu ângulo de elevação θ varia à razão constante de 2 graus por segundo. Determine a velocidade do míssil quando o ângulo de elevação for de 30 graus.
Exercícios:
Uma bola de plástico cai num roseiral e um espinho a perfura de forma que o volume da bola decresce a uma taxa de 100cm3 por segundo. No exato instante que o raio da bola atinge 20cm, com que rapidez o raio estará decrescendo?
Um petroleiro sofre um acidente em alto mar e começa a perder óleo por uma abertura no casco. Se o combustível se espalha de forma circular de modo que o raio da mancha cresce a uma taxa constante de 4m/s, com que velocidade a área do derramamento está crescendo quando o raio da mancha for de 100m?
Um balão esférico é esvaziado de tal forma que seu raio decresce a uma taxa constante de 10cm/min. Com que taxa o ar está sendo removido quando o raio for de 12cm?
Uma escada de 1,3m está apoiada em uma parede. Se seu topo desliza sobre a parede para baixo a uma taxa de 0,2m/s, com que rapidez a base da escada estará se afastando da parede quando o topo estiver a 0,5m acima do solo?
Uma pedra jogada em um lago emite ondas circulares, cujo raio cresce a uma taxa constante de 3m/s. Com que rapidez estará variando a área englobada pela onda crescente ao final de 10 segundos? 
Pela ruptura de um tanque, uma mancha de óleo espalha-se em forma de um círculo, cuja área cresce a uma taxa constante de 6km2/h. Com que rapidez estará variando o raio da mancha crescente quando a área for de 9( km2?
Um balão esférico é inflado de tal forma que o volume cresce a taxa de 3m3/min. Com que rapidez o raio do balão estará crescendo quando o diâmetro for de 2m?
Um foguete subindo verticalmente é acompanhado por uma estação de radar no solo a 3km da rampa de lançamento. Com que rapidez o foguete estará subindo quando a sua altura for 4km e a sua distância à estação do radar estiver crescendo a uma taxa de 2000km/h?
Grãos caem de uma calha de escoamento a uma taxa de 8m3/min, formando uma pilha cônica cuja altura é sempre o dobro do seu raio. Com que rapidez a altura da pilha está crescendo no momento em que a altura é de 6m?
Às 8h o navio A está a 25km ao sul do navio B. Se o navio A está navegando para o oeste à 16km/h e o navio B está navegando para o sul a 20km/h então determine a razão em que a distância entre os navios está variando às 8h30min.
CAPÍTULO 6
FUNÇÕES CRESCENTES E DECRESCENTES
	Os termos crescente, decrescente e constante são usados para descrever o comportamento de uma função em um intervalo à medida que percorremos seu gráfico da esquerda para a direita. 
Definição: Seja f definida em um intervalo I e sejam x1 e x2 dois pontos do intervalo.
f é crescente no intervalo I se f(x1) é menor do que f(x2) para x1 < x2.
f é decrescente no intervalo I se f(x1) é maior do que f(x2) para x1 < x2.
f é constante no intervalo I se f(x1) é igual a f(x2) para todos os pontos x1 e x2.
O gráfico abaixo mostra intervalos onde a função é crescente, decrescente e constante.
	Perceba que qualquer reta tangente traçada no intervalo (-(, a) ou (b, c) tem declividade positiva; se pegarmos qualquer ponto no intervalo (a, b), a reta tangente a esse ponto tem declividade negativa e no intervalo (c, +() qualquer reta tantenge tem declividade nula. Isso nos leva ao seguinte resultado:
Teorema:
Seja f uma função contínua e diferenciável num intervalo I.
Se 
 para todo valor de x em I, então f é crescente nesse intervalo.
Se 
 para todo valor de x em I, então f é decrescente nesse intervalo.
Se 
 para todo valor de x em I, então f é constante nesse intervalo.
Exemplos:
Determine os intervalos nos quais a função f(x) = 4 – 3x – x2 é crescente ou decrescente.
Determine os intervalos nos quais a função f(x) = x3 é crescente ou decrescente.
A massa de uma cultura de bactérias tem seu crescimento representado pela função 
, com t medido em horas e M medido em cm3. Para que valores de t temos que 
 e 
. O que estaria ocorrendo com a massa bacteriana?
Determine os intervalos onde o gráfico da função 
 é crescente ou decrescente.
CONCAVIDADE
	Vamos primeiramente tornar mais claro o conceito de concavidade. Podemos definir uma função em côncava ou convexa dependendo do tipo de curvatura que seu gráfico mostra.
	O gráfico abaixo mostra uma função côncava. Perceba que se pegarmos dois pontos quaisquer do gráfico de f, esse segmento de reta (corda) está sempre acima do gráfico nesse intervalo.
	O gráfico abaixo mostra uma função convexa. Perceba que a corda agora fica sempre abaixo do gráfico no intervalo escolhido.
	No entanto é comum nos referirmos à concavidade da função usando côncava para cima ou côncava para baixo. Assim, na Figura 1, dizemos que a função é côncava ou côncava para cima e, na Figura 2, dizemos que a função é convexa ou côncava para baixo.
	A figura abaixo� indica o que ocorre com as inclinações das retas tangentes em cada tipo de concavidade. Perceba que as derivadas, vistas da esquerda para a direita, são crescentes quando a função é côncava para cima e decrescentes quando a função é côncava para baixo.
 
	Portanto:
	Se f é diferenciável em um intervalo I, então dizemos que f é côncava para cima em I se 
 é crescente em I, e côncava para baixo em I se 
 é decrescente em I. Usando este fato e o teorema que caracteriza crescimento e decrescimento (aplicado a 
 no lugar de f), temos o seguinte resultado:
Teorema:
	Seja f duas vezes diferenciável em um intervalo aberto I.
Se 
 para cada valor de x em I, então f é côncava para cima em I.
Se 
 para cada valor de x em I, então f é côncava para baixo em I.
Exemplos:
Determine os intervalos abertos nos quais as funções abaixo são crescente, decrescentes, côncavas para cima e côncavas para baixo.
f(x) = x2 – 4x + 3
y = x3
y = x3 – 4x
Ponto de inflexão
	Um ponto do gráfico em que a concavidade muda recebe denominação própria. 
Definição: Se f é contínua em um intervalo aberto contendo o ponto x e muda de concavidade no ponto (x, f(x)), então dizemos que o ponto x do domínio, ou o ponto (x, f(x)) do gráfico, é um ponto de inflexão de f.
	O gráfico abaixo mostra o ponto de inflexão da função em destaque.
	Um ponto de inflexão sempre ocorre onde 
 ou quando f”(x) não está determinada, mas nem sempre quando f”(x) = 0 ou f”(x) é indeterminada temos um ponto de inflexão. Tome como exemplo a função y = x4, analisando a existência ou não do ponto de inflexão.
Exemplo:
Determine os intervalos abertos nos quais a função f(x) = x3 – 3x2 + 1 é crescente, decrescente, côncava para cima e côncava para baixo.Em seguida, verifique a existência de pontos de inflexão, indicado as coordenadas (x, y) em caso afirmativo.
O gráfico abaixo representa a derivada de uma função f. Assim, (a) para qual intervalo de x a função f é crescente? (b) Para qual intervalo de x a função é côncava para cima?
		Há um outro modo de perceber o significado do ponto de inflexão. Já sabemos que eles indicam o ponto do gráfico onde as inclinações das retas tangentes (derivadas) mudam de crescente para decrescente, ou vice-versa. Podemos compreender melhor o seu significado abaixo. 
Exemplo:
		Num determinado país, a desvalorização de sua moeda foi mais acentuada no 1º semestre de 2010 do que no segundo. Isso fez com que o preço do dólar aumentasse mais no primeiro período do ano, ao passo que no 2º semestre esse aumento foi menor.
		O gráfico abaixo mostra essa evolução. O ponto assinalado (ponto de inflexão) mostra justamente o momento que as taxas de variação do preço do dólar começaram a decrescer. Num contexto assim, talvez seja mais significativo o conceito de ponto de inflexão.
Exercícios:
Indique o sinal de 
 e 
em cada um dos pontos destacados na função abaixo:
	
	y'
	y"
	A
	
	
	B
	
	
	C
	
	
Considere o gráfico abaixo em que y = f’(x). Em relação à função f, indique os intervalos para os quais ela é crescente, decrescente, côncava para cima e côncava para baixo.
Obs.: As questões abaixo têm como fonte:
ANTON, Howard. Cálculo. v.1. Porto Alegre: Bookmann, 2007. 8.ed. p.276.
Use o gráfico da equação y = f(x) na figura abaixo para encontrar os sinais de dy/dx e d2y/dx2 nos pontos A, B e C.
 
Use o gráfico de y = f”(x) na figura abaixo para determinar as coordenadas x de todos os pontos de inflexão de f.
 
Em cada parte, use o gráfico y = f(x) abaixo para encontrar a informação requisitada.
 
Encontre os intervalos nos quais f é crescente.
Encontre os intervalos nos quais f é decrescente.
Encontre os intervalos abertos nos quais f é côncava para cima.
Encontre os intervalos abertos nos quais f é côncava para baixo.
Encontre todos os valores de x nos quais f tem um ponto de inflexão.
Encontre: (a) os intervalos nos quais f é crescente, (b) os intervalos nos quais f é decrescente, (c) os intervalos abertos nos quais f é côncava para cima, (d) os intervalos abertos nos quais f é côncava para baixo e (e) as coordenadas de todos os pontos de inflexão.
f(x) = x2 – 6x + 8
f(x) = 3x4 – 4x3
CAPÍTULO 7
EXTREMOS RELATIVOS
Observe o gráfico da função f contínua no intervalo [a, +().
	Para definir melhor o que são extremos relativos, antes vamos a algumas definições importantes:
Definição: Sendo x a variável independente da função f, denominamos ponto crítico o ponto do domínio de f em que f’(x) = 0 ou f não é diferenciável. Em particular, se o ponto crítico x é tal que 
, dizemos que x é um ponto estacionário de f.
Note que no gráfico acima os pontos de abcissas b, d, e, f, g, h, i e j são críticos. Desses, apenas os pontos de abcissas e e i não são estacionários. 
Nosso primeiro objetivo é encontrar máximos e mínimos relativos. Estes são pontos mais altos e mais baixos relativos à sua vizinhança. Por exemplo, em b, e, g e i ocorrem máximos relativos e em d, f, h e j ocorrem mínimos relativos. Estas ideias estão relacionadas na seguinte definição.
Definição: Dizemos que uma função f tem um máximo relativo em x0 se houver um intervalo aberto I contendo x0 no qual f(x0) é o maior valor, isto é, f(x0) ≥ f(x) para todo x em I. Analogamente, dizemos que f tem um mínimo relativo em x0 se houver um intervalo aberto I contendo x0 no qual f(x0) é o menor valor, isto é, f(x0) ≤ f(x) para todo x em I. Quando f tiver um máximo ou mínimo relativo em x0, se diz que f possui um extremo relativo em x0.
Importante:
	Observe que os extremos relativos (máximos e mínimos relativos) ocorrem em pontos críticos. Se quisermos encontrar extremos relativos de f, precisamos primeiramente conhecer os pontos críticos desta função, uma vez que estes são os candidatos a ocorrer extremos relativos. 
	Note que falamos em candidatos, pois extremos relativos ocorrem em pontos críticos, mas em um ponto crítico pode não ocorrer um extremo relativo. Isto pode ser visualizado na função f(x) = x3 (gráfico abaixo), onde x = 0 é um ponto crítico, mas não é um extremo relativo.
Exemplos:
Determine os extremos relativos da função f(x) = x3 – x definida no intervalo [-2, 2].
Encontre todos os pontos críticos de f(x) = x3 – 3x + 1.
	Depois de todos os pontos críticos encontrados, precisamos analisar se nestes pontos ocorrem extremos relativos. Para isto, fazemos uso de dois testes que utilizam as derivadas da função f.
Teste da derivada primeira
	Suponha f contínua em um ponto crítico x = c.
Se o sinal de 
 muda no ponto x = c, passando de negativo a positivo, f(c) é um mínimo relativo de f.
Se o sinal de 
 muda no ponto x = c, passando de positivo a negativo, f(c) é um máximo relativo de f.
Se 
 não muda de sinal no ponto x = c, então f(c) não é máximo relativo nem mínimo relativo.
Teste da derivada segunda
	Suponha que f seja duas vezes diferenciável em um ponto x = c.
Se 
 e 
, então f tem um mínimo relativo em x = c.
Se 
 e 
, então f tem um máximo relativo em x = c.
Se 
 e 
, então o teste é inconclusivo.
Exemplo:
Verifique se a função 
 tem extremos relativos. Se sim, indique para qual(is) valor(es) de x eles ocorrem.
Esboce o gráfico da função y = x4 – 4x3, destacando suas raízes, extremos relativos e ponto de inflexão.
�
Analise a afirmação abaixo e se posicione sobre sua veracidade.
Se uma função é contínua num intervalo aberto (a, b), então essa função apresenta extremos relativos nesse intervalo.
EXTREMOS ABSOLUTOS
Definição: Seja I um intervalo no domínio de uma função f. Dizemos que f tem um máximo absoluto em I em um ponto x0 se f(x) ≤ f(x0) para todo x em I. Analogamente, dizemos que f tem um mínimo absoluto em x0 se f(x) ≥ f(x0) para todo x em I. Se f tiver em x0 qualquer um dos dois, máximo absoluto ou mínimo absoluto, dizemos que f tem em x0 um extremo absoluto.
	Para tornar mais clara a definição, vamos analisar o gráfico de f, definido no intervalo [a, e], mostrado abaixo:
	Perceba que f(x) 
 f(a) para qualquer x pertencente ao domínio da função. Conclui-se, portanto que a função tem um máximo absoluto em x = a. Do mesmo modo, f(x) 
 f(b) para qualquer x pertencente ao domínio de f, o que leva à conclusão que a função tem um mínimo absoluto em x = b.
Teorema: Se uma função f for contínua num intervalo fechado [a, b], então f tem um máximo e um mínimo absolutos em [a, b]. 
	Em se tratando de funções definidas em um intervalo aberto (a, b) ou num intervalo infinito, não há qualquer garantia de que haja extremos absolutos. 
As conclusões sobre a existência de extremos absolutos de uma função contínua neste tipo de intervalo podem ser observadas pelo comportamento de f(x), analisando os limites nos extremos do intervalo. Caso exista o máximo absoluto, este será o maior dos máximos relativos, e caso exista o mínimo absoluto, este será o menor dos mínimos relativos.
Teorema:
	Se f tiver um extremo absoluto em um intervalo aberto (a, b), então ele deve ocorrer em um ponto crítico de f.
Exemplos:
Determine os extremos absolutos da função y = x3 definida no intervalo [-2, 2].
Dada a função f(x) = 3x4 – 4x3 definida no intervalo [-1, 2], determine:
(a) Os intervalos do domínio onde f é crescente ou decrescente. 
(b) Os intervalos do domínio onde f é côncavapara baixo e côncava para cima. 
(c) As coordenadas (x, y) do(s) ponto(s) de inflexão, caso existam. 
(d) Os valores de x onde ocorrem os extremos relativos, se houver. 
(e) Os extremos absolutos da função. 
(f) O esboço de f.
Considere a função 
 no intervalo [-2, 4). Determine para quais valores de x a função é crescente ou decrescente, côncava para cima e côncava para baixo; quais as coordenadas 
 do(s) ponto(s) de inflexão, para qual(is) valor(es) de x ocorrem extremos relativos (máximo e mínimo, se houver) e quais os extremos absolutos (máximo e mínimo, se houver). Caso não haja, diga. Para concluir, faça o esboço do gráfico de f.
Analise a seguinte afirmação:
Toda função contínua de domínio R não possui nem mínimo nem máximo absolutos.
�
Exercícios:
Obs.: As questões abaixo têm como fonte:
ANTON, Howard. Cálculo. v.1. Porto Alegre: Bookmann, 2007. 8.ed. p.287.
Para cada alternativa abaixo, esboce o gráfico de uma função contínua com as propriedades indicadas, onde I = ((, +().
	(a) f é côncava para cima no intervalo I e tem exatamente um extremo relativo.
	(b) f é côncava para cima no intervalo I e não tem extremos relativos.
	(c) A função f tem exatamente dois extremos relativos no intervalo I e f(x) 
 +( quando x 
 +(.
	(d) A função f tem exatamente dois extremos relativos no intervalo I e f(x) 
 -( quando x 
 +(.
Localize todos os pontos críticos e identifique quais deles são pontos estacionários:
f(x) = 4x4 – 16x2 + 17
(a) Mostre que as funções f(x) = (x – 1)4 e g(x) = x3 – 3x2 + 3x – 2 têm pontos estacionários em x = 1.
Considere a função y = x3 – 0,5x2 – 4x em que x ( [-2, 3). Determine os intervalos de x onde a função é crescente e decrescente, côncava para cima e para baixo, as coordenadas (x, y) do ponto de inflexão, o máximo absoluto e o mínimo absoluto da função, caso existam, e os valores de x onde ocorrem os extremos relativos (máximo e mínimo). Por fim, esboce o gráfico.
Faça o gráfico de uma função f com as 
	características abaixo:
D(f) = [-4, 4]
f tem máximo relativo em x = -2
f tem mínimo relativo em x = 0
f tem mínimo absoluto em x = -4
f tem máximo absoluto em x = 2
f tem máximo relativo em x = 3
Considere a função 
 no intervalo [-2, 6). Determine os intervalos de x onde a função é crescente e decrescente, côncava para cima e para baixo, as coordenadas (x, y) do ponto de inflexão e os valores de x onde ocorrem os extremos relativos e absolutos (máximos e mínimos).
Dada a função 
 com domínio no intervalo (-2, 2], determine o intervalo de x onde a função é crescente e decrescente, o intervalo de x onde a concavidade é voltada para cima e para baixo, o valor de x onde ocorrem os extremos relativos (se houver), dizendo qual é de máximo e qual é de mínimo, o valor do máximo e do mínimo absoluto, quando houver, especificando cada um deles, e as coordenadas (x, y) do(s) ponto(s) de inflexão, caso haja(m). Quando não houver algum dos itens pedidos, diga que não há. Por fim, esboce o gráfico.
CAPÍTULO 8
PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO
	Nesse curso de Cálculo já tivemos oportunidade de conhecer muitos problemas cuja resolução passou pelo uso da derivada. Nesse último capítulo, trabalharemos em contextos cujo objetivo é analisar numa função o valor de máximo ou o valor de mínimo.
Exemplos:
A partir de uma folha de papelão medindo 12cm por 12cm será construída uma caixa aberta recortando-se pequenos quadrados iguais dos 4 cantos da folha. Pede-se:
o intervalo de variação da medida do lado do quadrado a ser recortado.
o volume V da caixa em função do lado x do quadrado a ser recortado.
o volume máximo que a caixa pode comportar.
Um canil retangular será construído a partir de 6m de cerca que sobraram de uma reforma. Se será aproveitado o muro da residência na construção como um dos lados, quais as dimensões do canil para que a área seja máxima?
Um sitiante quer cercar, com tela de arame, uma região retangular R dentro de uma grande área de pastagem. Ele também quer subdividir essa região R em três áreas retangulares equivalentes, puxando duas telas de arame paralelas a uma das suas fronteiras. Para tudo isso, ele dispõe de 80m de tela de arame.
Faça um esboço de uma possível planta da região R, com a subdivisão.
Sendo x o comprimento, em metros, de cada uma das cercas que subdividem R, obtenha a área A(x) da região R em função de x e dê o domínio dessa função.
Para que valor de x a área de R é máxima?
Pretende-se estender um cabo de uma usina de força à margem de um rio de 900 m de largura até uma fábrica situada do outro lado do rio, 3000 m rio abaixo. O custo para estender um cabo pelo rio é de R$ 5,00 o metro, enquanto que para estendê-lo por terra custa R$ 4,00 o metro. Qual é o percurso mais econômico para o cabo?
Um departamento de estradas de rodagem está planejando fazer uma área de descanso para motoristas, à beira de uma rodovia movimentada. O terreno deve ser retangular, com uma área de 5.000 m2 e deve ser cercado nos três lados que não dão para a rodovia. Qual o menor comprimento da cerca necessária para a obra?
Cinquenta animais ameaçados de extinção são colocados em uma reserva. Decorridos t anos, a população x desses animais é estimada por 
. Em que instante essa população animal atinge seu máximo?
Uma lata cilíndrica de óleo tem capacidade para 1 litro (1000cm³). Encontre as dimenções (raio da base e altura) que minimizam o custo com metal para fabricar a lata.
Exercícios:
Um terreno retangular deve ser cercado de duas formas. Dois lados opostos devem receber uma cerca reforçada que custa R$ 3,00 o metro, enquanto que os dois lados restantes recebem uma cerca padrão de R$ 2,00 o metro. Quais são as dimensões do terreno de maior área que pode ser cercado com R$ 6000,00?
Uma caixa aberta deve ser feita com uma folha de metal de 3dm por 8dm, cortando-se quadrados iguais dos quatro cantos e dobrando-se os lados. Ache o volume máximo que uma caixa dessas pode ter.
Um recipiente em forma de paralelepípedo com base quadrada deve ter um volume de 2250 cm3. O material para a base e a tampa do recipiente custa R$ 2,00 por cm2 e o dos lados R$ 3,00 por cm2. Ache as dimensões do recipiente de menor custo.
Um recipiente em forma de paralelepípedo com base quadrada deve ter um volume de 2000 cm3. O material da base e da tampa é o dobro do custo dos lados. Ache as dimensões do recipiente de menor custo.
Uma lata cilíndrica aberta no topo deve conter 500 cm3 de líquido. Ache a altura e o raio que minimizam a quantidade de material necessário para confeccionar a lata.
Uma indústria química vende ácido sulfúrico a granel a R$ 100,00 o galão. Se o custo de produção total diário em reais para x unidades for 
, quantos galões de ácido sulfúrico devem ser fabricadas para maximizar o lucro?
Um fazendeiro tem 2400 m de cerca e quer cercar um campo retangular que está na margem de um rio reto. Ele não precisa de cerca ao longo do rio. Quais são as dimensões do campo que tem maior área?
As margens de cima e de baixo de um pôster têm 6cm, e as margens laterais medem 4cm. Se a área do materialimpresso sobre o pôster estiver fixa em 384cm2, encontre as dimensões do pôster com a menor área.
Uma rede de água potável ligará uma central de abastecimento situada à margem de um rio de 500m de largura a um conjunto habitacional situado na outra margem do rio, 2.000m a oeste da central. O custo da obra através do rio é de R$640,00 por metro, enquanto que em terra custa R$312,00 por metro. Qual o custo mínimo para se instalar a rede de água potável?
ANEXO A: Lista extra – Taxas relacionadas:
Uma partícula move-se ao longo da curva
.
Quando ela atinge o ponto , a coordenada y está crescendo a uma taxa de . Quão rápido está variando a coordenada x do ponto naquele instante?
Duas variáveis x e y são funções de uma variável t e estão relacionadas pela equação:
Se a taxa de variação de x em relação a t é igual a 1cm/s quando então determine qual a taxa de variação de y em relação a t neste mesmo instante.
Um navio petroleiro sofre um acidente e o óleo derramado através de uma ruptura no casco se espalha em uma forma circular cujo raio cresce a uma taxa constante de 2m/s. Com que velocidade a área do derramamento estará crescendo quando seu raio for de 60m?
Ao ser aquecida uma chapa circular de metal, seu diâmetro varia à razão de 0,01cm/min. Determine a taxa à qual a área de uma das faces varia quando o diâmetro é 30cm. 
Suponha que uma bola de neve esteja derretendo com raio decrescendo à razão constante, passando de 30cm para 20cm em 45min. Qual a variação do volume quando o raio está com 25cm.
Uma escada de 6m de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Se a base da escada começa a escorregar horizontalmente à taxa constante de 0,6m/s, com que velocidade o topo da escada percorre a parede quando ele está a 4m do solo.
Um míssil é lançado verticalmente para cima de um ponto que está a 8km de uma estação de rastreamento, e à mesma altura desta. Durante os primeiros 20s de voo, seu ângulo de elevação varia à razão constante de 2 graus por segundo. Determine a velocidade do míssil quando o ângulo de elevação for 30 graus. 
Às 8h o navio A está a 25km ao sul do navio B. Se o navio A está navegando para o oeste à 16km/h e o navio B está navegando para o sul a 20km/h então determine a razão em que a distância entre os navios está variando às 8h30min.
Uma luz está no alto de um poste de 5m. Uma criança de 1,6m se afasta do poste em linha reta à razão de 1,2m/s. A que taxa aumenta o comprimento de sua sombra? A que taxa se move a ponta de sua sombra quando ela está a 6m do poste? 
A areia que vaza de um depósito forma uma pilha cônica cuja altura é sempre igual ao raio da base. Se a altura da pilha aumenta à razão de 15cm/min determine a taxa à qual a areia está se escoando quando a altura da pilha é 25cm.
Um tanque tem a forma de um cone circular reto invertido, com 4m de altura e raio da base 2m. Se a água entra no tanque à razão de 0,01m³/min, calcule a razão em que o nível de água está subindo quando a altura é 1m.
Um farol giratório completa uma volta a cada 15s. O farol está a 60m de P, o ponto mais próximo em uma praia retilínea. Determine a razão em que um raio de luz do farol está se movendo ao longo da praia em um ponto, Q, a 150m de P.
Um ladrão foge sobre uma muralha reta a uma velocidade de 4m/s. Um holofote localizado a 20m de distância da muralha, e mesma altura que esta, focaliza o ladrão em fuga. A que taxa o holofote está girando quando o ladrão se encontra a 15m do ponto da muralha que está mais próximo do holofote?
Dicas de resolução:
1. Levando em conta que y = y(t) e x = x(t) deixe ‘ representar a derivada destas funções em relação a variável independente t. Derive ambos os lados da expressão inicial em relação a variável t. Você obterá uma nova relação envolvendo: x, x’, y’. Agora precisamos descobrir o valor de x’ quando x=2 e y’= 6 cm/s. Agora é só substituir estes valores na expressão obtida após a derivação, encontrando:
e consequentemente a resposta.
2. Levando em conta que y = y(t) e x = x(t) deixe ‘ representar a derivada destas funções em relação a variável independente t. Derive ambos os lados da expressão inicial em relação a variável t. Você obterá uma nova relação envolvendo: x, y, x’, y’. Agora precisamos descobrir o valor de y’ quando x=0 e x’= 1 cm/s. O valor de y quando x = 0 pode ser facilmente encontrada da relação inicial e vale: y = ±5. O valor exato de y não importará aqui, somente o fato de que será importante. Agora é só substituir estes valores na expressão obtida após a derivação, encontrando 2yy’ – 3y = 0 e consequentemente a resposta, visto que .
3. Usando que a relação entre a área A=A(t) e o raio r=r(t) de um círculo é dada por
Derivando ambos os lados em relação à t, temos uma equação envolvendo A’, r, r’. Por fim substituímos os valores de r e r’ dados no problema.
4. Usando a relação do item anterior, entre Área e raio no círculo, e a relação entre raio e diâmetro no circulo, podemos encontrar uma equação entre a Área A=A(t) e o diâmetro d=d(t) no círculo tal que
Derivando ambos os lados em relação à t, temos uma equação envolvendo A’, d, d’. Por fim substituímos os valores de d e d’ dados no problema.
5. Usando que a relação entre o Volume V=V(t) e o raio r=r(t) de uma esfera é dada por
Derivando ambos os lados em relação à t, temos uma equação envolvendo V’, r, r’. O detalhe desse problema é calcular r’ usando que 
já que essa taxa é constante.
6. Um rápido esboço do problema nos serve para relacionar a altura do topo da escada y=y(t) à distância da base da escada até a parede x=x(t).
Essa relação é dada pelo teorema de Pitágoras 
Derivando ambos os lados em relação à t, temos uma equação envolvendo x,x’,y,y’. O detalhe desse problema é calcular x usando que y=4.
7. Um rápido esboço do problema nos serve para relacionar a altura do míssil y=y(t) ao ângulo de elevação .
Essa relação é dada pela função tangente
Derivando ambos os lados em relação à t, temos uma equação envolvendo y’,,. O detalhe desse problema é lembrar que a equação derivada deve ser calculada em radianos.
8. Um esboço do problema nos serve para vermos a evolução do problema, onde temos três variáveis evoluindo ao mesmo tempo. São elas: a distância do navio B ao ponto de referência O dado por y=y(t), a distância do navio A ao ponto de referência O dado por x=x(t) e a distância entre A e B dado por d=d(t).
Essa relação entre x,y,d é dada pelo teorema de Pitágoras 
Derivando ambos os lados em relação à t, temos uma equação envolvendo x,x’,y,y’,d,d’. Podemos calcular x,y diretamente usando a velocidade de cada navio e d usando Pitágoras.
9. Um esboço do problema nos serve para relacionar a distância da criança ao poste x=x(t) e o tamanho da sombra s=s(t).
Essa relação é dada por semelhança de triângulos 
Derivando ambos os lados em relação à t, temos uma equação envolvendo s’,x’. Isolando s’, podemos calcular diretamente a variação do tamanho da sombra. Para a segunda parte basta observar que a distância da ponta da sombra é dada por d=s+x.
10. Usando a expressão para o volume do cone circular reto e que r=h (nesse problema), relacionamos as quantidades V=V(t) e h=h(t) por 
.
 Derivando-se em relação a t obtém-se uma relação entre as taxas destas funções. A substituição direta dos valores de h e h’ fornecidos pelo problema nos leva direto ao resultado.
11. Essencialmente igual ao item anterior, exceto pelo fato que agora a relação entre h=h(t) e r=r(t) 
é dada por uma semelhança de triângulos tal que
12. Um esboço do problema nos serve para relacionar o ângulo subentendido entre P e um ponto Q e a distância y=y(t) de Q ao ponto P 
Da geometria do problema obtém-se a relação 
.
Derivando ambos os lados em relação à t, temos uma equação envolvendo y’,,. Podemos calcular diretamenteusando a relação dada pela tangente e o valor de usando o tempo que o farol usa para completar uma volta.
13. Muito similar ao problema ao anterior. Repare que nesse problema, o objetivo é determinar sabendo o valor de y’.
Anexo B – Formulário de Geometria
Geometria Plana
Retângulo				 		Quadrado		
Triângulo						Paralelogramo
Triângulo							Losango	
Trapézio					 		 Circunferência
Geometria Espacial
Prisma Quadrangular Regular
Volume: 
Área lateral: 
Área da base/topo: 
Área total: 
Paralelepípedo
Volume: 
Área lateral: 
Área base/topo: 
Área total: 
Cilindro
Volume: 
Área base: 
Área lateral: 
Área total: 
Cone
Volume: 
Área lateral: 
Área da base: 
Área total: 
Esfera
Volume: 
Área da superfície: 
Respostas dos exercícios do capítulo de revisão:
1. 	a) (-1, 4)
	b) [1, 2) ( [3, 5]
	c) (-∞, -1] ( (2, 4)
	d) (0, 5]
2.	a)
	b) 
	c) 
	d) 
3) 
Respostas dos exercícios do capítulo 1:
1. 	a) f(-2) = -2
	b) f(5) = -1
	c) f(-3) = -2
	d) D(f) = (-(, 5]
	e) Im(f) = {-2, -1} ( (0, +()
	f) (-(, -3) ( (0, 5)
	g) [-3, 0] ( {5}
2.a)	f(0) = -2 f(2) = 10 f(-2) = 10 f(3) = 25 f(
) = 4 f(5) = 73
	b) f(0) = 0 f(2) = 6 f(-2) = 4 f(3) = 9 f(
) = 3
 f(5) = 15
3. 	a) D(f) = – {3}
		b) D(f) = 
		c) D(f) = (-(, 3]
		d) D(g) = – {-5, 5}
		e) D(h) = [0, +()
		f) D(g) = 
4. 
 
5. D(f) = 
 
a) - {0}
	b) f(1) = 8
	c) x = -3
a)							b) 
(a) R = 0,8C
	(b) F = 2,25R + 32
T = 2x – 12
(a) 75m
	(b) 10s
10s
R$ 4500,00
(a) R$ 340,00
	(b) 200 km
(a) 19m3
	(b) 
R$ 20,00
a) x' = 2	x” = -4
	b) x’ = 3	x” = -2
�
 
Respostas dos exercícios do capítulo 2:
	1)
	(a) -1
	(b) 3
	(c) NE
	(d) 1
	(e) -1
	(f) 3
	2)
	(a) 2
	(b) 0
	(c) NE
	(d) 2
	(e) 0
	(f) 2
	3)
	(a) 1
	(b) 1
	(c) 1
	(d) 1
	(e) -∞
	(f) +∞
	4)
	(a) 0
	(b) 0
	(c) 0
	(d) 3
	(e) +∞
	(f) +∞
	5)
	(a) -∞
	(b) +∞
	(c) NE
	(d) 1
	(e) 2
	(f) 0
	6)
	(a) +∞ 
	(b) +∞
	(c) +∞
	(d) NE
	(e) 0
	(f) -1
	7)
	(a) 1
	(b) -∞
	(c) NE
	(d) -2
	(e) +∞
	(f) +∞
	8)
	(a) 3
	(b) 3
	(c) 3
	(d) 3
	(e) NE
	(f) 0
(a) 0
(b) -(
(a) 0,13 ppm
(b) 0,055 ppm
(a) 100 bactérias
(b) 2100 bactérias
(a) 0 (b) 8 (c) -2 (d) 2 (e) +( (f) 0 (g) -3 (h) 6 (i) 
 
(j) 
 (k) 16 (l) -2 (m) não existe (n) +( (o) +( (p) 
 (q) 4
(a) Significa que no momento que sai do forno o pão está a 250ºC
(b) Significa que com o passar do tempo a temperatura do pão tenderá a ambiente
Não existe, pois os limites laterais são diferentes.
Não existe, pois os limites laterais são diferentes.
(a) São assíntotas: x = 2 e y = 6
(b) É assíntota: x = 1
(c) São assíntotas: x = -2 e y = 0
Respostas dos exercícios do capítulo 3:
�
(a) É descontínua em x = 0
(b) É descontínua em x = 
(c) Não há
(d) É descontínua em x = 
(e) É descontínua em x = 0 e x = 1
(f) É descontínua em x = 0 e x = 3
�
É contínua (justifique)
(a) k = 1
(b) k = 2
Não apresenta descontinuidade.
Respostas dos exercícios do capítulo 4:
(a) tx med = 4
(b) tx inst = 2x0
y = 2x + 1
(a) 4m/s
	(b)
	
(a) t0, pois a inclinação da reta tangente é maior.
	(b) velocidade inicial = 0
	(c) aumentando a rapidez, pois nesse intervalo as inclinações das retas tangentes estão aumentando.
	(d) diminuindo a rapidez, pois nesse intervalo as inclinações das retas tangentes estão diminuindo.
(a) 33,33m/s
	(b) 60m/s (A velocidade parece se estabilizar em cerca de 60m/s)
�
(a) y’ = 9x2 + 4x-3 + 4
(b) y’ = 21x5
(c) y’ = 
(d) y’ = 6x2 + 2x – 3
(e) 
(f) 
(g) 
(h) 
(i) 
(j) 
�
(a) f’(x) = -15x-2 – 14x-3 + 48x-4 + 32x-5	f’(2) = -3/2
(b) f’(x) = -2x-3 – 12x-5			f’(2) = -5/8
(c) 
			f’(2) = 2
(d) f’(x) = -12x-7 – 15x-6 – 2x-2		f’(2) = -53/64
(a) y” = 480x3 – 216x2 + 8
(b)
(a) f’(x) = 
4 sen (x) + 2 cos (x)
(b) f’(x) = 4x2 sen (x) – 8x cos (x)
(c) 
(d) 
(e) 
(a) y’ = 3(x3 – 2x2)2(3x2 – 4x)
(b) y’ = (3x – 1)-2/3
(c) y’ = -2sen(2x) 
(d) y’ = 3x3cos(3x) + 3x2sen(3x)
(e) 
(f) 
(g) 
(h) 
(i) 
(j) 
(k) 
(a) -37/4
(b) -23/16
y = 5x + 17
f'(1) = 2,5 f’(3) = 0 f’(6) = -1
68 tartarugas/ano
-0,00417 ppm/ano
(a) 36,87 %
(b) -5,55 % por década
50 km/h
1,946% ao ano
y = 2x – 1
P(5, 8)
12 km/h
120km/h
(i) -4 (ii) 1 (iii) -2 
(a) v = 3 m/s (b) v = 1 m/s (c) v = -2 m/s
, , 
, , 
-9,6 m/s
(a) 6,28 m/s (b) 10-3,72a (c) 5,38 s (d) -10, 01 m/s
, , , 
(a) i. -1 m/s ii. -0,5 m/s iii. 1 m/s iv. 0,5 m/s (b) 0 m/s
(a) 0 (b) 2 (c) -1 (d) 2/3 (e) ½ (f) (g) 
	(h) (i) (j) 
	(k) (l) 
	(m) 
(a) (b) (c) (d) (e) 
(a) (b) (c) 
(d) (e) (f) 
 (g) (h) (i) 
37. 
38. 
39. 
(a) -16 (b) -20/9 (c) 20
(a) -38 (b) 13/16 (c) -29 (d) -3/2 
-5/2
 e 
(a) (b) (c) (d) 
(a) (b) (c) (d) 
(a) 630° (b) 900° (c) 5.156,6° (d) 114,6° (e) 2.578,3°
(a) 1° (b) 2° (c) 4° (d) 4° (e) 2° (f) 3°
(a) (b) 
(a) negativo (b) negativo (c) positivo (d) positivo
Respostas dos exercícios do capítulo 5:
0,02 cm/s
800( m2/s
5760( cm3/min
8,3 cm/s
180( m2/s
0,32 km/h
23,9 cm/min
2500 km/h
28,3 cm/min
10,12 km/h
Respostas dos exercícios do capítulo 6:
	
	y'
	y"
	A
	+
	–
	B
	–
	–
	C
	+
	+
Crescente: (-1, 1)
Decrescente: (-∞, -1) ( (1, +∞)
Côncava para cima: (-∞, 0)
Côncava para baixo: (0, +∞)
 
	
	
	
	A
	–
	+
	B
	+
	–
	C
	–
	–
x = -1, 0, 1, 2
(a) (4, 6) (b) (1, 4) ( (6, 7) (c) (1, 2) ( (3, 5) (d) (2, 3) ( (5, 7) (e) x = 2, 3, 5
 (a) Intervalo: (3, +()
	(b) Intervalo: (-(, 3)
	(c) Intervalo: (-(, +()
	(d) não há
	(e) não há
7)	(a) Intervalo: (-(, +()
	(b) não há
	(c) Intervalo: (-1, +()
	(d) Intervalo: (-(, -1)
	(e) Ponto de inflexão: (-1, 0)
8)	(a) Intervalo: (1, +()
	(b) Intervalo: (-(, 1)
	(c) Intervalo: (-(, 0) ( (2/3, +()
	(d) Intervalo: (0, 2/3)
	(e) Pontos de inflexão: (0, 0); (2/3, -16/27)
Respostas dos exercícios do capítulo 7:
1. (a)						(b)
 
	(c)					(d) 
 
Críticos: 0, 
; estacionários: 0, 
Críticos: -3 e 1; estacionários: -3 e 1
Críticos: 0, 
; estacionários: 0
Para mostrar, derive e verifique que x = 1 torna a derivada nula.
f crescente: [-2, -1) ( (4/3, 3)
f decrescente: (-1, 4/3)
f côncava para cima: (1/6, 3)
f côncava para baixo: [-2, 1/6)
Ponto de inflexão: (1/6; -0,676)
Máximo relativo: x = -1
Mínimo relativo: x = 4/3
Máximo absoluto: Não há
Mínimo absoluto: -3,85
f crescente: [-2, -4/3) ( (3, 6)
f decrescente: (-4/3, 3)
f côncava para cima: (5/6, 6)
f côncava para baixo: [-2, 5/6)
Ponto de inflexão: (5/6; -7,16)
Máximo relativo: x = -4/3
Mínimo relativo: x = 3
Máximo absoluto: Não há
Mínimo absoluto: -27,5
f crescente: (-2; -0,72) ( (1,39; 2]
f decrescente: (-0,72; 1,39)
f côncava para cima: (0,33; 2)
f côncava para baixo: (-2; 0,33)Ponto de inflexão: (1/3; -3,07)
Máximo relativo: x = -0,72
Mínimo relativo: x = 1,39
Máximo absoluto: -0,73
Mínimo absoluto: Não há
Respostas dos exercícios do capítulo 8:
x = 750m		y = 500m
V = 7,4 dm3
x = 15cm		y = 10cm
x = 10cm		y = 20cm
R = 5,42cm	H = 5,42 cm
7000 galões
x = 600m		y = 1200m
x = 24cm		y = 36cm
R$ 903.399,35
Respostas da lista extra de taxas relacionadas:
.
.
.
a) b) 
.
.
Referências bibliográficas:
ANTON, Howard. Cálculo. 8. ed. Porto Alegre: Bookman, 2007. v. 1.
DANTE, Luiz R. Matemática: contexto & aplicações. Vol. 1. São Paulo: Ed. Ática, 2007.
LIMA, Elon Lages et alli. A Matemática no Ensino Médio. Vol. 1. Rio de Janeiro: SBM, 2012.
PAIVA, Manoel. Matemática. Vol. 1. São Paulo: Moderna, 2010.
THOMAS, George B. Cálculo. São Paulo: Addison Wesley, 2009. v.1.
 03
 06
 07
 10
 11
 15
 17
 19
 26
 40
 46
 49
 51
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 86
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 91
 93
 96
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102
105
108
112
115
126
OBS: A letra � QUOTE � ��� é a inicial da palavra Zahl, que significa número em alemão.
� EMBED PBrush ���
Representação algébrica:
� EMBED Equation.3 ��� ou (a, b) ou ]a, b[
Representação algébrica:
� EMBED Equation.3 ��� ou [a, b]
� EMBED PBrush ���
Representação algébrica:
� EMBED Equation.3 ��� ou [a, b) ou [a, b[
� EMBED PBrush ���
Representação algébrica:
� EMBED Equation.3 ��� ou (a, b] ou ]a, b]
� EMBED PBrush ���
� EMBED PBrush ���
� EMBED PBrush ���
� EMBED PBrush ���
� EMBED PBrush ���
� EMBED PBrush ���
� EMBED PBrush ���
�
� EMBED PBrush ���
Dica! Para verificar, graficamente, se uma curva no plano representa o gráfico de uma função, utiliza-se o “Teste da Reta Vertical”. Este teste consiste em traçar uma reta vertical sobre a curva e se esta interceptá-la em mais de um ponto, então a curva não representa o gráfico de uma função.
�
f(4) =
f(0) =
f(-3) =
f(1) =
D(f) =
Im(f) =
�
Note que para cada variação de 2 unidades no eixo y há uma variação de 1 unidade no eixo x. A taxa de variação é dada, portanto, por � EMBED Equation.3 ��� e corresponde ao coeficiente m da função. 
Ou seja, � QUOTE � ���.
Como consequência, se essa taxa é positiva, a função é crescente, se for negativa, é decrescente.
Por outro lado, perceba que a função intercepta o eixo y na ordenada -1. Nesse ponto, x = 0. Temos, portanto, y = m.0 + b, o que implica que y = b quando x = 0. No caso, b = -1.
�
�
� EMBED PBrush ���
�
Definição (Informal): Se f(x) está definida no intervalo I e não necessariamente em k ( I. Então�� EMBED Equation.3 ����pode ser lido como “o limite (limite bilateral) de f(x) quando x tende a k é L” e significa que podemos fazer os valores de f(x) ficam infinitesimalmente próximos a L conforme x toma valores inifinitesimalmente próximos a k.
�
�
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
�
Definição (Informal): Se f(x) está definida no intervalo � QUOTE � ��� e não necessariamente em k ( I. Então�� EMBED Equation.3 ����significa que podemos fazer os valores de f(x) ficarem arbitrariamente grandes (tanto quanto quisermos) por meio de uma escolha adequada de x� QUOTE � QUOTE � ��� � nas proximidades de k.
�
a) � QUOTE � QUOTE � ��� �f(0) =�			e) � EMBED Equation.3 ���
b)� EMBED Equation.3 ���			f) � EMBED Equation.3 ���
c) � EMBED Equation.3 ���			g) � EMBED Equation.3 ���
d) � EMBED Equation.3 ���			h) � EMBED Equation.3 ���
�
� EMBED Equation.3 ����
�
x�
y�
�
1�
0�
�
0,1�
0�
�
0,01�
0�
�
0,001�
0�
�
0,0001�
0�
�
�
�
�
Teorema: Seja a um número real e suponha que � EMBED Equation.3 ��� e � EMBED Equation.3 ���,
	então:	(a) � EMBED Equation.3 ���
			(b) � EMBED Equation.3 ���
			(c) � EMBED Equation.3 ���
			(d)� EMBED Equation.3 ���, (se L2 ≠ 0)
			(e) � EMBED Equation.3 ��� (se � QUOTE � ��� for par, � QUOTE � ���).
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
	(a) Qual é o significado de � EMBED Equation.3 ���?
	(b) Qual é o significado de � EMBED Equation.3 ���?
II
I
�
�
IV
III
�
�
�
Uma função constante tem o gráfico representado por uma reta horizontal. Em qualquer ponto do gráfico, a declividade da reta tangente é zero, o que nos leva à conclusão que
� EMBED Equation.3 ���.
Exemplos:
Se y = 3, então y’ = 
Se f(x) = -2, então f’(x) = 
�
�
Figura 1
Figura 2
�
�
�
�
�
�
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�
�
�
�
�
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�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
b. � QUOTE � ���
�
�
� QUOTE � ��� � QUOTE � ���
c. � QUOTE � ���
�
�
�
e. � QUOTE � ���
d. � QUOTE � ���
f. � QUOTE � ���
�
�
h. � QUOTE � ���
g. � QUOTE � ���
�
�
�
�
� Essa equivalência é justificada matematicamente pela propriedade (c) dos limites. Tente desenvolver esse raciocínio.
� A declividade de uma reta determina o ângulo ( dessa reta em relação ao eixo x, medido no sentido anti-horário do eixo para a reta. Na equação y = mx + b, declividade é o coeficiente m da reta, chamado coeficiente angular, onde m = tan (.
� Fonte: ANTON, Howard; BIVENS, Irl; DAVIS, Stephen. Cálculo. Porto Alegre: Bookman, 2007.
� Fonte: ANTON, Howard; BIVENS, Irl; DAVIS, Stephen. Cálculo. 8.ed. Porto Alegre: Bookman, 2007.
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