NOÇÕES PRELIMINARES R2 e R3 - AULA 1 - 2015 1

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PRÓ-REITORIA DE ENSINO
CURSO: ENGENHARIA CIVIL e ENGENHARIA AMBIENTAL
GEOMETRIA ANALÍTICA – 1º PERÍODO
Prof. Hernani Oliveira Miranda
NOÇÕES PRELIMINARES
Admitimos pela geometria Euclidiana, como elementos primitivos os pontos, as retas e os planos. Estes conceitos são fundamentais por serem base para todo o estudo da Geometria Analítica.
Pontos: São entes primitivos da matemática. O ponto é uma entidade geométrica que não tem altura, comprimento ou largura, ou seja, é adimensional(sem dimensão). Um ponto é um elemento do espaço que indica uma posição. 
Representados por letras latinas maiúsculas – A, B, C, D... .
Ex.: A
B
C
D
Retas: É um objeto geométrico infinito a uma dimensão. Em sucessão contínua, os pontos constroem linhas. As linhas têm uma única dimensão; o comprimento. Na disciplina de Geometria, a reta é compreendida como um conjunto infinito de pontos.
Representadas por letras latinas minúsculas – a, b, c, d, e, ... .
r
a
s
t
Ex.:
Planos: Objeto geométrico que não apresenta desigualdades de nível nem ondulações. Em geometria normalmente consideramos como sendo uma superfície lisa gerada por uma reta que se move em torno de um eixo a ela perpendicular
Representados por letras gregas minúsculas - ∝, β, γ, θ,... .β
∝
γ
Ex.:
Projeções
Projeção de ponto sobre um eixo.
Dados um eixo “r” e uma reta concorrente “t”, chama-se projeção de um ponto P sobre o eixo r à interseção P’ da reta traçada por P e paralela à t com o eixo rProjeção Oblíqua
r
t
P
P’
Diretriz
Projetante
Projeção(Pé da projeção)
	A reta t é a diretriz e o segmento de reta PP’ é a projetante de P sobre o eixo r. Quando a diretriz é perpendicular ao eixo, a projeção se chama ortogonal, e como nesse caso a projetante é também perpendicular ao eixo de projeção, define-se a projeção ortogonal de um ponto sobre um eixo como o pé da perpendicular baixada do ponto ao eixo. Veja abaixo.
r
t
P
P’
Projetante
Projeção(Pé da projeção)
Diretriz
Projeção Ortogonal
Projeção ortogonal de um segmento sobre um eixo.
Obs. Todas projetantes são perpendiculares ao eixo “r”, isto é formam ângulo de 90º com “r”.r
B
A
C
E
D
I
J
K
L
F
G
H
K’
L’
I’≅ J’
H’
G’
F’
E’
D’
C’
B’
A’
A
B
D
C
E
G
F
H
I
J
I’
J’
H’
G’
E’ ≅ F’
C’
D’
B’
A’
r
COORDENADAS CARTESIANAS NO R2.
O Plano Cartesiano
O Plano Cartesiano foi criado pelo matemático René Descartes. Como ele associava a geometria à álgebra, esta foi a forma que ele criou para representar graficamente expressões algébricas.
O plano cartesiano ortogonal é constituído por dois eixos x e y perpendiculares entre si que se cruzam na origem. O eixo horizontal é o eixo das abscissas (eixo OX) e o eixo vertical é o eixo das ordenadas (eixo OY). Associando a cada um dos eixos o conjunto de todos os números reais, obtém-se o plano cartesiano ortogonal. 
O plano Cartesiano é dividido em 4 quadrantes como pode ser visto abaixo.
A interseção do eixo “x” com o eixo “y” nos fornece a origem(O) do sistema.
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
 4
 3
 2
 1
-1
-2
-3
-4
y
x
1º Quadrante
x < 0 e y > 0
1º Quadrante
x > 0 e y > 0
3º Quadrante
x < 0 e y < 0
4º Quadrante
x > 0 e y < 0
As Coordenadas no R2.
A expressão “R2”, nos informa que neste caso temos duas dimensões a considerar. No caso as dimensões do eixo “x” e as dimensões do eixo “y”.
Existe uma relação entre um ponto do plano e um par ordenado de números reais: a cada ponto P do plano cartesiano corresponde um par ordenado de números reais e, inversamente, a cada par tem como seu correspondente um ponto P do plano. 
Usa-se a notação (a, b) ou (x, y) para indicar o par ordenado em que a é o primeiro elemento e b é o segundo elemento. Veja o exemplo:y
x
P(x, y)
y
x
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
 4
 3
 2
 1
-1
-2
-3
-4
y
x
P(6, 3)
A(-5, 4)
B(-3, -4)
C(4, -2)
Ex.: Construir abaixo os pontos A(2, 4), B(-6, 3), C(2, 3), D(-3, -4) e F(8, -2)
y
 4
 3
 2
 1
-1
-2
-3
-4
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
x
Ex.: Construir abaixo os pontos A(6, 1), B( 0, 4), C(-1, 3), D(-5, 0), F(-1, -5), G(0, -3), H(1, -4) e I(5, 0).
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
 4
 3
 2
 1
-1
-2
-3
-4
y
x
COORDENADAS CARTESIANAS NO R3.
Como o próprio nome nos sugere a expressão “R3”, nos informa que neste caso temos três dimensões a considerar. No caso as dimensões do eixo “x”, as dimensões do eixo “y” e as dimensões em um terceiro eixo denominado “z”. 
Neste caso estaremos trabalhando com o Espaço Tridimensional.x
y
z
O
	
Assim como no Espaço Bidimensional R2, temos para qualquer ponto um “Par Ordenado” (x, y), aqui no Espaço Tridimensional R3, temos um “Terno Ordenado”, assim: P(x, y, z).
x
y
z
O
P(x, y, z)
x
B
z
C
y
A
x
B(3, 0, 5)
y
Z(0, 0, 5)
O
P(3, 4, 5)
X(3, 0, 0)
z
C(0, 4, 5) 
Y(0, 4, 0)
A(3, 4, 0)
A(3, 6, 4)
x
y
z
O
B(5, 3, 6)
C
D
E
F
G
H
J
I
K
L
M
N
x
y
z
O
Exercícios:
Escreva as coordenadas 
dos pontos C, D, E, F, G e H.
	
Escreva as coordenadas 
dos pontos I, J, K, L, M e N.
Ex.: No plano R3 abaixo, construa os pontos indicados A e B e todas as suas projeções:x
y
z
O
 A(2, 4, 5)
x
y
z
O
 B(6, 5, 2)
	
 DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS
Pontos no R2
A distância entre dois pontos A e B é a medida do menor caminho que liga esses pontos. É a medida do segmento de reta AB em uma determinada unidade. 0 1 2 3 4 5 6
 4
 3
 2
 1
-
y
x
A(2, 3)
B(6, 3)
d
AB é paralelo ao eixo y:
d = 4 - 1 = 3
AB é paralelo ao eixo x:
d = 6 - 2 = 4
 0 1 2 3 4 5 6
 4
 3
 2
 1
-
y
A(3, 1)
B(3, 4)
d
x
Caso o segmento AB não seja paralelo a um dos eixos, usaremos outro artifício matemático para determinar seu comprimento, ou a distância entre os pontos, veja:
Sejam os Pontos A(xA, yA) e B(xB, yB), plano bidimensional R2.
d2 = xB - xA2 + yB - yA2
xB - xA
yB - yA
0
yA
yB
xB
xA
B
A
d
y
x
	
Atividades de Fixação(Resolvidos)
1 – Determine o perímetro do triângulo cujos vértices são A(2, 6), B(4, 2) e C(0, 1).
	Solução:
	O perímetro do triangulo ABC é a soma de seus lados. Assim basta determinar o tamanho de cada lado e soma-los, veja com é fácil.
Calculando os lados:C(0, 1)
A(2, 6)
B(4, 2)
dAB
dAC
dBC
dAB2 = (4 – 2)2 + (2 – 6)2
dAB2 = 22 + (– 4)2
dAB2 = 4 + 16
dAB = dAC2 = (0 – 2)2 + (1 – 6)2
dAC2 = (-2)2 + (– 5)2
dAC2 = 4 + 25
dAC = 
dBC2 = (0 – 4)2 + (1 – 2)2
dBC2 = (-4)2 + (– 1)2
dBC2 = 16 + 1
dBC = 
Determinados os lados, basta soma-los, assim: 
P = dAB + dBC + dAC P = + + (Resposta)
2 – Prove que o triângulo de vértices A(1, 1), B(2, 3) e C(5, -1) é retângulo.
	Obs.: Um triângulo é retângulo se o quadrado da medida do maior lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados.
Solução: Basta determinar as distâncias entre os vértices e verificar se o quadrado da distância maior é igual à soma dos quadrados das duas outras distâncias.dAC2 = (5 – 1)2 + (-1 – 1)2
dAC2= 42 + (– 2)2
dAC2 = 16 + 4
dAC = 
B(2, 3)
A(1, 1)
C(5, -1)
dAC
dAB
dBC
dAB2 = (2 – 1)2 + (3 – 1)2
dAB2 = 12 + 22
dAB2 = 5
dAB = 
 dBC = 5 é o maior lado, assim verificamos se: dBC2 = dAB2 + dAC2dBC2 = (5 – 2)2 + (-1 – 3)2
dBC2 = 32 + (– 4)2
dBC2 = 9 + 16
dBC = dBC = 5
52 = 
25 = 5 + 20
25 = 25 O triângulo ABC é retângulo.
3 – Verifique se são isósceles os triângulos cujos vértices são os pontos:
A(2, 4), B(5, 1) e C(6, 5)
Solução: O triângulo é isósceles se dois lados são iguais, assim, basta determinar o valor dos lados e compará-los.dAC2 = (6 – 2)2 + (5 – 4)2
dAC2 = 42 + 12
dAC2 = 16 + 1
dAC = 
C(6, 5)
A(2, 4)
B(5, 1) 
dAB2 = (5 – 2)2 + (1 – 4)2 
dAB2 = 32 + (-3)2
dAB2 = 9 + 9
dAB = 
Desta forma, como dBC2 = (6 – 5)2 + (5 – 1)2
dBC2 = 42 + 12
dBC2 = 16 + 1
dBC = 
dAC = dBC ≠ dAB 
O Triângulo ABC é isósceles
A(-2, 2), B(6, 6) e C(2, -2) (Este é para você)
4 – Calcule as coordenadas do ponto P(x, x), sabendo que a distância de P até o ponto A(5, 3) é .P(x, x)
A(5, 3)
 d2 = (5 – x)2 + (3 – x)2 Lembrar para você: na equação x2 – 8x + 12 = 0
a = 1; b = -8 e c = 12
∆ = b2 – 4ac ∆ = (-8)2 – 4.1.12 ∆ = 16
Para o cálculo das raízes: 
Assim x = 2 ou x = 6
	= 25 – 10x + x2 + 9 – 6x + x2
	x2 – 8x + 12 = 0
	X = 2 ou x = 6, 
	assim P(2, 2) ou P(6, 6) (Resposta)
5 – Seja P(x, 2x) um ponto igualmente distante dos pontos A(1, 2) e B(5, 10). Calcule as coordenadas do ponto P.
Solução: dPA = dPB dPA2 = dPB2B(5, 10)
P(x, 2x)
A(1, 2)
(2x – 2)2 + (x – 1)2 = (x – 5)2 + (2x – 10)2
4x2 – 8x + 4 + x2 – 2x + 1 = x2 – 10x + 25 + 4x2 – 40x + 100
40x = 120
x = 3 P(3, 6)(Resposta)
			EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
Determinar o perímetro do quadrilátero de vértices A(4, 1), B(-2, 3), C(-3, -2) e D(5, -1). Desenhar o quadrilátero. Calcular os comprimentos das diagonais AC e BD. 
Resposta: P = 
 Diagonais: AC = , BD = 
Verificar se o triângulo ABC é retângulo, sabendo que A(2, 2), B(-1, 6) e C(-5, 3).
Resposta: Sim
Seja P um ponto do eixo das ordenadas. Quais as coordenadas de P se a distância de P ao Ponto Q(12, 2) é de 15 unidades?
Resposta: P(0, 11) ou P(0, -7)
Se a distância de P(x, -x) ao ponto A(0, 0) é o triplo da distância de P ao ponto B(8, -8), quais as coordenadas de P?
Resposta: P(12, -12) ou P(6, -6)
Os pontos A(10, -3) e B(-2, 13) são as extremidades de um diâmetro de uma circunferência. Quanto mede o raio da circunferência?
Resposta: R = 10
Determinar “y” de maneira que seja igual a a distância do ponto A(-1, 4) ao ponto B(3, y).
Resposta: y = 2 ou y = 6
Determinar o ponto P(x, y) equidistante de A(1, 7), B(8, 6) e C(7, -1).
Sugestão: dPA = dPB = dPC
Resposta: P(4, 3)
PROCURE TRABALHAR SEMPRE EM GRUPOS