Aula 3 R2 R3

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CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
AULA 3: Representação de Vetores no R² e no R³
REPRESENTAÇÃO DE VETORES NO R² E NO R³-AULA 3
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
REPRESENTAÇÃO DE VETORES NO R² E NO R³-AULA 3
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
Conteúdo Programático desta aula
. Decomposição de Vetores em R².
. Combinação Linear de Vetores em R².
. Base Ortonormal.Base Canônica.
. Expressão Analítica de um vetor representado na Base
Canônica.
. Vetores em R³
. Operações com Vetores em R³. Propriedades.
. Paralelismo de Vetores.
. Exercícios. 
REPRESENTAÇÃO DE VETORES NO R² E NO R³-AULA 3
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Sejam dois vetores u = (x1, y1) e v = (x2, y2), não
colineares. Qualquer vetor w coplanar aos dois vetores,
pode se escrito através da decomposição de u e v.
Isto significa que podemos escolher dois escalares k1
e k2 de tal forma que:
w = k1.u + k2.v
DECOMPOSIÇÃO DE VETORES EM R2
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VISÃO GEOMÉTRICA: w = k1.u + k2.v
DECOMPOSIÇÃO DE VETORES EM R2
u
v
k1.u
k2.v
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VISÃO GEOMÉTRICA: w = k1.u + k2.v
k1>0 e k2>0
DECOMPOSIÇÃO DE VETORES EM R2
W
u
k1.u
k2.u
v

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Quando w for representado por : w = k1.u + k2.v,
dizemos que w é uma COMBINAÇÃO LINEAR de u e v.
Neste caso, o par u e v (não colineares) é denominado
BASE DO PLANO.
Assim sendo, qualquer par de vetores não colineares
{u,v} podem constituir uma base no plano.
COMBINAÇÃO LINEAR DE VETORES EM R2
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VISÃO GEOMÉTRICA: w = k1.u + k2.v
COMBINAÇÃO LINEAR DE VETORES EM R2
u
v
k1.u k2.u
{u, v} é uma base - geram 
qualquer vetor do plano
W

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Observações
As bases mais utilizadas são as chamadas BASES
ORTONORMAIS.
Uma base {e1, e2} é denominada ORTONORMAL
quando e1 for ortogonal a e2, e1⊥e2, sendo |e1| =1 e
|e2| =1.
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e2
e1
k1.e1
k2.e2
VISÃO GEOMÉTRICA: {e1, e2} base ortonormal
COMBINAÇÃO LINEAR VETORES EM R2
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Dentre todas as bases ortonormais no plano a mais
usada é a base canônica representada pelos vetores {i, j}
onde i=(1,0) e j= (0,1).
Assim sendo a base canônica no plano é {(1,0) ,
(0,1)}.
BASE CANÔNICA
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i =(1,0)
j = (0,1)
x.i
y.j
VISÃO GEOMÉTRICA: { i, j } base canônica.
BASE CANÔNICA
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Dada a base canônica representada pelos vetores {i, j}
onde i=(1,0) e j = (0,1) podemos estabelecer uma
correspondência biunívoca entre os vetores do plano e as
ordenadas (x,y).
Podemos assim escrever:
u = (x,y)
como
u = x.i + y.j = x.(1,0) + y.(0,1) = (x.1+y.0,x.0+y.1) = (x,y)
EXPRESSÃO ANALÍTICA DE UM VETOR REPRESENTADO NA BASE 
CANÔNICA
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EXEMPLOS:
1. u = 3i + 2j = 3.(1,0) + 2.(0,1) = (3,2)
2.v = -5i - 0j = -5.(1,0) - 0.(0,1) = (-5,0)
3.w = i + j = 1.(1,0) + 1.(0,1) = (1,1)
4.v = - i + 2j = -1.(1,0) + 2(0,1) = (-1,2)
5. w =-7j = 0.(1,0) -7.(0,1) = (0,-7)
6. u =(1/3)i = 1/3.(1,0) + 0.(0,1) = (1/3, 0)
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A maior parte dos conceitos estudados em R2 para
vetores são válidos em R3.
O conjunto R3 = {(x,y,z) | x,y,z  R}
No R2, dois pontos determinam um segmento orientado.
O conjunto destes segmentos equipolentes é
representado por um vetor v = (x,y,z).
VETORES EM R3
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EXEMPLO
Dados dois pontos A(-1,4,2) e B(0,-2,1). Temos os
vetores:
• AB = B – A = (0, -2, 1) – (-1,4,2) = (1,-6,-1)
• BA = A – B = (-1,4,2) – (0,-2,1) = (-1,6,1)
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Dados dois vetores u = (x1, y1,z1) e v = (x2, y2, z2). Temos
as seguintes propriedade:
1.Comutatividade: u + v = v + u
2.Associatividade: (u+v)+w=u+(v+w)
3.Elemento neutro: u+0 = 0+u = u
4.Dado um escalar k não nulo,
temos k.u = k (x1, y1,z1) =(k.x1, k.y1 , k.z1) 
OPERAÇÕES COM VETORES EM R3
PROPRIEDADES
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A BASE CANÔNICA EM R3 É 
FORMADA PELOS VETORES: 
i = (1 , 0, 0)
j = (0, 1, 0)
k = (0, 0, 1)
v = x.i + y.j + z.k = (x,y,z)
(EXPRESSÃO ANALÍTICA)
Base canônica em R3 : {i, j, k}
Y
X
Z
i
j
k
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Exemplos de Vetores no R³
1. v = 2 i – 3 j + 5 k
2. w = -4 j – 2 k
3. u = - k
4. (2 , -1 , 3)
5. (0 , 2 , 6)
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PARALELISMO DE VETORES EM R3
Exemplo: Seja o vetor v igual a:
• v = (2,3,4) e u =(6,9,12).Temos v = 3 .u. Logo, v // u;
• v = (1,1,1) e u =(7,7,7). Temos v = 7.u. Logo, v // u;
•v = (8,-6,12) e u =(4,-3,6). Temos v = (1/2). u. Logo,
v // u; 
•v = (0,0,0) e u =(4,7,-1). Temos v = 0.u. Logo, v // u;
CONDIÇÃO DE PARALELISMO DE VETORES EM R³: v = k. u
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Resumindo:
Na aula de hoje estudamos:
. A decomposição e a combinação linear de vetores em R².
. As bases ortonormal e canônica.
. A expressão analítica de um vetor na base canônica.
. Os vetores no R³ e suas propriedades.
. O paralelismo de vetores no R³
. Exercícios.