Derivadas e outras aplicacoes

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Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro
Instituto de Cieˆncias Exatas
Departamento de Matema´tica
Professor Wilian Santos
Lista 8 de Matema´tica 1 - Derivadas: outras aplicac¸o˜es
Exerc´ıcio 1 Determine os pontos cr´ıticos da func¸a˜o dada e classifique cada ponto cr´ıtico como ma´ximo
relativo, mı´nimo relativo ou ponto ordina´rio.
(a) f(x) = 324x− 72x2 + 4x3 (b) f(t) = t√9− t (c) S(t) = (t2 − 1)4
(d) h(t) =
t2
t2 + t− 2 (e) g(x) =
t
t2 + 3
(f) F (x) =
x2
x− 1
(g) P (x) =
100
√
x
0, 04x2 + 12
(h) P (r) =
5(3r + 1)
r2 + r + 2
(i) V (N) =
(
3N + 430
N + 1
) 2
3
Exerc´ıcio 2 Encontre os valores ma´ximo e mı´nimo absolutos de f no intervalos dado.
(a) f(x) = 3x2 − 12x+ 5, [0, 3]
(b) f(x) = x3 − 3x+ 1, [0, 3]
(c) f(x) = 2x3 − 3x2 − 12x+ 1, [−2, 3]
(d) f(x) = 3x4 − 4x3 − 12x2 + 1, [−2, 3]
(e) f(x) = x+ 1x , [0, 2; 4]
(f) f(x) = x
x2−x+1 , [0, 3]
(g) f(x) = x− 3√x, [−1, 4]
(h) f(x) = x−2 ln(x), [12 , 4]
(i) f(x) = x ex/2, [0, 3]
Exerc´ıcio 3 Entre 0 oC e 30 oC, o volume V (em cent´ımetros cu´bicos) de 1 kg de a´gua a uma temperatura
T e´ aproximadamente dado pela fo´rmula
V = 999, 87− 0, 06426T + 0, 0085043T 2 − 0, 0000679T 3
Encontre a temperatura na qual a a´gua tem sua densidade ma´xima.
Exerc´ıcio 4 Um modelo para o prec¸o me´dio norte-americano para o ac¸ucar refinado entre 1993 e 2003
e´ dado pela func¸a˜o
S(t) = −0, 00003237 t5 + 0, 0009037 t4 − 0, 008956 t3 + 0, 03629 t2 − 0, 04458 t+ 0, 4074
onde t e´ medido em anos desde agosto de 1993. Estime os instantes nos uais o ac¸ucar esteve mais barato
e mais caro entre 1993 e 2003.
Exerc´ıcio 5 (i) - Encontre os intervalos nos quais f e´ crescente ou descrescente. (ii) - Encontre os
valores ma´ximo e mı´nimo locais de f . (iii) - Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de
inflexa˜o.
(a) f(x) = x3 − 3x2 − 9x+ 4
(b) f(x) = 2x3 − 9x2 + 12x− 3
(c) f(x) = x4 − 2x2 + 3
(d) f(x) = x
2
x2+3
(e) f(x) = e2x + e−x
(f) f(x) = x2 − x− ln(x)
Exerc´ıcio 6 Uma epidemiologista observa que uma certa doenc¸a se dissemina de tal forma que, t sema-
nas apo´s o in´ıcio de um surto, N centenas de casos novos sa˜o relatados, onde
N(t) =
5t
12 + t2
(a). Determine N ′(t) e N ′′(t).
(b). Em que semana o nu´mero de casos da doenc¸a e´ ma´ximo? Qual e´ o nu´mero ma´ximo de casos?
Exerc´ıcio 7 Encontre os valores ma´ximo e mı´nimo locais de f usando os Testes da primeira e da segunda
derivadas. Qual me´todo voceˆ prefere?
(a) f(x) = x5 − 5x+ 3
(b) f(x) =
√
x− 4√x
Exerc´ıcio 8 Suponha que a derivada da func¸a˜o f seja f ′(x) = (x + 1)2 (x − 3)5 (x − 6)4. Em qual
intervalo f e´ crescente?
Exerc´ıcio 9 Seguindo o roteiro abaixo:
(i). Determine todos os pontos de intersec¸a˜o com os eixos x e y,
(ii). Determine os intervalos de crescimento e decrescimento,
(iii). Determine todos os pontos de ma´ximo e mı´nimo locais,
(iv). Determine os intervalos com concavidade para cima e para baixo.
Esboce o gra´fico de cada uma das func¸o˜es abaixo:
(a) y = x3 + 3x2
(b) y = 2− 15x+ 9x2 − x3
(c) y = x(x− 4)3
(d) y = x
x2−4
(e) y = x−1
x2
(f) y = 1x + ln(x)
(g) y = x e−1/x
Exerc´ıcio 10 Determine em que intervalos a func¸a˜o dada e´ crescente e decrescente e em que intervalos
a concavidade da func¸a˜o e´ para cima e para baixo. Encontre os extremos relativos e pontos de inflexa˜o e
fac¸a um esboc¸o da curva da func¸a˜o.
(a) f(x) = 324x− 72x2 + 4x3 (b) f(t) = t√9− t (c) S(t) = (t2 − 1)4
(d) h(t) =
1
x2 + x+ 1
(e) g(x) =
t
t2 + 3
(f) F (x) =
x3
3
− 9x+ 2
(g) P (x) =
√
x2 + 1 (h) P (r) = 2r(r + 4)3 (i) V (N) = (N − 2)4
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Exerc´ıcio 11 Detemine os intervalos cujo gra´fico possui concavidade para cima e para baixo de:
(a). f(x) =
1
x2 + 1
, sabendo que f ′′(x) =
2(3x2 − 1)
(1 + x2)3
;
(b). f(x) =
2x
x2 + 1
, sabendo que f ′′(x) =
4x(x2 − 3)
(x2 + 1)3
;
(c). f(x) = e−x2, sabendo que f ′′(x) = 2(2x2 − 1)e−x2.
Exerc´ıcio 12 Seguindo as etapas abaixo:
(i). Determine todos os pontos de intersec¸a˜o com os eixos x e y,
(ii). Determine os intervalos de crescimento e decrescimento,
(iii). Determine todos os pontos de ma´ximo e mı´nimo locais,
(iv). Determine os intervalos com concavidade para cima e para baixo.
Esboce o gra´fico de cada uma das func¸o˜es abaixo:
(a) f(x) =
1 + x2
1− x2 (b) g(x) =
(x− 1)ex
x2
(c) h(x) =
x
(x− 1)2
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