EDO-2

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IFG
Matema´tica Data: 20 /03/2014 entrar ate´ 24/03/2014
Professor:Ms.: Alfredo de Oliveira Assis.
Engenharia - EDO.
1. A seguir determine a ordem, o grau,se a equac¸a˜o e´ linear, a resolva explicando o me´todo e quando a func¸a˜o puder
ser escrita de forma expl´ıcita esboce seu gra´fico para os diversos valores da constante ”c”.
• y′ = xy2
• y′ = y+xy−y2
x
• ty′ + y = 1
t2−1
• y′ = 2cos(x) + 3y
• y′ = x+2y
y−2x
• y′ = 3x2+4x+22(y−1)
• y′ = x+3y
x−y
• y′ = √xyx
• y′ = ysen(xy)−
y
2
√
x
+3
−ysen(xy)+√x
• y′ + y = e2t
• y′ = (−2x−ysen(xy))
xsen(xy)
• xy′ = y
√
xy+1√
xy−1 . sugesta˜o: substituic¸a˜o para transformar em Varia´veis Separa´veis.
2. Determine o tempo necessa´rio para esvaziar um tanque cil´ındrico de raio 2m e altura 5m, cheio de a´gua, admitindo
que a a´gua se escoe atrave´s de um orif´ıcio, situado na base do tanque, de raio 0,1m com uma velocidade v =
√
2gh,
sendo h a altura da a´gua no tanque e g = 10m/s2 a acelerac¸a˜o gravitacional.
3. Para todo ”a > 0”, o gra´fico de y = f(x) intercepta ortogonalmente a curva x2 +2y2 = a. Determine f sabendo que
f(1) = 2.
4. Prove que se a equac¸a˜o diferencial
M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0
satisfaz a condic¸a˜o
1
n
(My −Nx) = h(x)
temos que o fator integrante µ sera´
µ(x) = e
∫
h(x)dx.
5. Deduza as equac¸o˜es diferenciais que descrevem os problemas a baixo.
(a) Sabendo que um peso de 100N desliza para baixo por um plano, fazendo um aˆngulo de 60◦ com a horizontal.
Se o coeficiente de atrito do plano e´ µ, determine a equac¸a˜o diferencial para a velocidade v(t) do peso no
instante t.
(b) Se 50 gramas de sal sa˜o dissolvidos em um tanque contendo 300 litros de a´gua. Uma soluc¸a˜o salina e´ bombeada
para dentro d tanque a uma taxa de 3 litros por min, e a soluc¸a˜o bem misturada e´ enta˜o drenada na mesma
taxa. Se a concentrac¸a˜o de soluc¸a˜o que entra e´ 2 gramas por litro, determine a quantidade de sal no tanque
em qualquer instante. Quantos grama de sal esta˜o presentes apo´s 50 min? E depois de um longo tempo?
(c) Encontre as trajeto´rias ortogonais de
y =
c1x
x+ 1
.
(d) Circuitos me Se´rie.
Uma bateria de 12 volts e´ conectada a um circuito em se´rie no qual a indutaˆncia e´ de 0,5 henry e a resisteˆncia
e´ a metade do tempo decorrido em ohms. Determine a corrente i com o PVI i(0) = 0. O que acontece com a
corrente no tempo muito longo?
(e) encontre a soluc¸a˜o continua ”se existir”para a EDO:
y′ + y = f(x),
onde
f(x) =
{
x se 0 < x ≤ 2
1 se 2 < x
e y(0) = 2.
Ps: Boa sorte. ”Na˜o existe nada que uma boa pesquisa na˜o descubra.”