4 Determinantes Sarrus Laplace

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Notas de aula – Geometria Analítica e Álgebra Linear 
Profa. Angelita Minetto Araújo – UTFPR /DAMAT 2018
 
n. 4 – DETERMINANTES: SARRUS E LAPLACE 
A toda matriz quadrada está associado um número ao qual damos o 
nome de determinante. 
Determinante é uma função matricial que associa a cada matriz 
quadrada um escalar, e transforma essa matriz em um número real. 
Esta função permite saber se a matriz tem ou não inversa, pois as que 
não têm, são precisamente aquelas cujo determinante é igual a 0. 
 
Dentre as várias aplicações dos determinantes temos: 
 
 resolução de sistemas de equações, por meio da simplificação de 
matrizes de ordem maior que 3; 
 servem para sintetizar expressões matemáticas mais 
sofisticadas; 
 indispensável na investigação e obtenção das propriedades de 
um operador linear; 
 cálculo da área de um triângulo, situado no plano cartesiano, 
quando conhecidas as coordenadas dos seus vértices; 
 para achar uma equação da reta quando temos dois pontos 
dados, basta aplicar o determinante pensando na condição de 
alinhamento de três pontos (isto é, igualando a zero). 
 
 
 
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 Definição: dados dois vetores, o det (A) é a área (com sinal +) do 
paralelogramo P, determinado pelos dois vetores, u e v. 
Matriz 2 x 2. 
 
A área do paralelogramo é o valor absoluto do determinante da 
matriz formada pelos vetores que representam seus lados. 
 
 Definição: dados três vetores, o det (A) é o volume (com sinal +) 
do paralelepípedo P, de arestas u, v e w. Matriz 3 x 3. 
 
 
 
 
 
 
 o cálculo do volume de um paralelepípedo pode ser escrito na 
forma de um determinante: 
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 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 𝑚𝑖𝑠𝑡𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑣𝑒𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠: (�⃗� , 𝑣 , �⃗⃗� ) = |
𝑥1 𝑦1 𝑧1 
𝑥2 𝑦2 𝑧2
𝑥3 𝑦3 𝑧3
| 
 
Obs.: quando nos referirmos ao volume consideramos o módulo: 
(�⃗� , 𝑣 , �⃗⃗� ) ⩾ 0 
 
A maneira mais eficiente de cálculo do determinante, utilizada nos 
algoritmos numéricos, é a eliminação de Gauss, reduzindo a matriz à 
forma de diagonal superior (ou inferior). 
 
 
Propriedades dos determinantes 
 
i) TAA detdet  
𝐴 = [
1 2 3
2 1 2
2 4 3
]→ det 𝐴 = [
1 2 3
2 1 2
2 4 3
] = 9 → det 𝐴𝑇 = [
1 2 2
2 1 4
3 2 3
] = 9 
 
ii) Se multiplicarmos uma linha ou coluna de uma matriz por α ∈ 
R, o determinante fica multiplicado por α . 
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 det 𝐴 = [
1 2 3
2 1 −1
3 2 1
] = −4 multiplicando a coluna 1 por 2 temos: 
 det 𝐴 = [
2 2 3
4 1 −1
6 2 1
] = 2 . (−4) = −8 
 
iii) Se multiplicarmos todos os elementos de uma matriz de ordem 
n por α ∈ R, o determinante será multiplicado por 𝛼𝑛 . 
det ( 𝛼 𝐴) = 𝛼𝑛 det(𝐴) 
Seja α = 2 e 𝐴 = [
1 2 3
2 1 −1
3 2 1
] então 𝛼 𝐴 = [
2 4 6
4 2 −2
6 4 2
] 
 
det(𝐴) = −4 e 𝛼𝑛 = 23 = 8 
portanto, det ( 𝛼 𝐴) = 𝛼𝑛 det(𝐴) 
 − 32 = 8 (−4) 
 
 
iv) Uma vez permutadas duas linhas ou colunas de uma matriz, o 
determinante da mesma troca de sinal. O sinal se altera tantas 
vezes quantas forem as trocas. 
det 𝐴 = [
1 2 3
2 1 −1
3 2 1
] = −4 
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Trocando as posições de L1 e L2 
det 𝐴 = [
2 1 −1
1 2 3
3 2 1
] = +4 
 
v) O determinante de uma matriz que tem duas linhas (ou colunas) 
iguais, é igual a zero. 
det 𝐴 = [
1 4 2
2 1 4
1 4 2
] = 0 
 
vi) Teorema de Jacobi: O determinante não se altera se somarmos 
aos elementos de uma linha ou coluna, os elementos 
correspondentes de outra linha multiplicados por uma 
constante. 
 
 
Carl Gustav Jakob – Jacobi (1804-1851) foi um 
matemático alemão, que fez contribuições 
fundamentais para funções elípticas, dinâmica, 
equações diferenciais e teoria dos números. 
 
 
 
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Exemplo: det 𝐴 = [
1 2 3
2 1 2
2 4 3
] = 9 
Fazendo a primeira coluna como a soma dos elementos dessa coluna 
com o dobro dos elementos da segunda coluna temos: 
det 𝐴 = [
1 + 2 . 2 2 3
2 + 2 . 1 1 2
2 + 2 . 4 4 3
] = [
5 2 3
4 1 2
10 4 3
] = 9 
 
vii) 
  BABA detdetdet 
 
Seja 𝐴 = [
2 1
3 4
] e 𝐵 = [
1 0
2 2
] 𝐴. 𝐵 = [
4 2
11 8
] 
 
Logo, 5 . 2 = 10 
Portanto, det A . det B = det A.B 
 
viii) O determinante de uma matriz que tem todos os elementos de 
uma fila (linha ou coluna) iguais à zero, tem o determinante 
igual a zero. 
det 𝐴 = [
3 0 15
2 0 −3
−1 0 7
] = 0 
 
ix) Se os elementos de uma fila (linha ou coluna) da matriz forem 
combinações lineares dos elementos correspondentes de filas 
paralelas, então o determinante é nulo. 
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 det 𝐴 = [
1 3 4
2 4 6
3 2 5
] = 0 
 Observando as colunas temos: C3 = C1 + C2 
 
x) Se duas filas paralelas de uma matriz são proporcionais, então 
seu determinante é nulo. 
 det 𝐴 = [
1 4 2
2 1 4
3 2 6
] = 0 
 Observando as colunas C1 e C3 temos: C3 = 2 C1 
 
xi) Quando temos uma matriz triangular superior ou inferior o 
determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal. 
 triangular superior: det 𝐴 = [
1 4 2
0 1 4
0 0 6
] = 6 
 
 triangular inferior: det A = [
1 0 0
2 1 0
3 2 6
] = 6 
 
xii) Quando em uma matriz os elementos acima ou abaixo da 
diagonal secundária são todos nulos, o determinante é igual ao 
produto dos elementos dessa diagonal multiplicado por (-1). 
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det 𝐴 = [
0 0 2
0 1 4
3 2 6
] = −6 
 
xiii) Se A é invertível, então det(A−1) =
1
𝑑𝑒𝑡(𝐴)
 , de onde resulta que 
se A é invertível então det(A) ≠ 0; 
 
CÁLCULO DE DETERMINANTES 
 
Determinante de uma matriz de ordem 1 
O determinante da matriz 𝐴 de ordem 𝑛 = 1 é o próprio número que 
origina a matriz. Dada uma matriz quadrada de 1ª ordem 𝑀 = [𝑎11] 
temos que o determinante é o número real 𝑎11: det(𝑀) =𝑎11 
 
Por exemplo: A = (3) então det (A) =3 
 
Determinante de matriz de ordem 2 
Se a matriz é de ordem 2, o determinante será o produto dos 
elemento da diagonal principal subtraído do produto dos elementos 
da diagonal secundária. 
 
 𝐴 = |
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
| → 𝑑𝑒𝑡(𝐴) = 𝑎11. 𝑎22 − 𝑎12. 𝑎21 
 
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𝐴 = |
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
| → det(𝐴) = 𝑎. 𝑑 − 𝑏. 𝑐 
 
Por exemplo, o determinante da matriz 𝐵 = |
0 2
1 −1
| é dado por: 
 
det(𝐵) = 0 . (−1) − 2 .1 = 0 − 2 = −2 
 
Determinante de matriz de terceira ordem 
 Para cálculo de matrizes de ordem 3, aplicamos a regra de Sarrus. 
 
 
Pierre Frédéric Sarrus (1789-1861), nascido em 
Saint-Affrique (França), foi responsável pela 
regra prática de resolução de determinantes de 
ordem 3. 
 
Regra de Sarrus: O determinante de uma matriz 3x3 é calculado 
através de suas diagonais. 
Repetimos as duas primeiras linhas ou as duas primeiras colunas, de 
tal forma que: 
𝑆 = (
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
 | 
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
𝑎31 𝑎32
) 
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det A = a11 . a22 . a33 + a12 . a23 . a31 + a13 . a21 . a32 – a13 . a22 . a31 – a11 . a23 . a32 – a12 . a21 . a33 
 
Ou: 
 
 
 
 Por exemplo: 
𝐴 = |
1 3 10 
−1 1 10
0 2 10
| 
 
 det (A) = [ (1. 1. 10) + (3. 10. 0) + (10 . (-1). 2)] – [ (10. 1. 0) + (1. 10. 2) + (3. (-1). 10)] 
det (A) = (10 + 0 – 20) – ( 0 + 20 – 30) 
det (A) = – 10 + 10 
det (A) = 0 
 
 
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Determinantes por uma linha ou por uma coluna 
 
É possível calcular o determinante desenvolvendo-o a partir de 
qualquer linha ou qualquer coluna, entretanto, é fundamental ter 
cuidado com a alternância dos sinais, que precedem os produtos 
formados. 
Para um determinante de 4ª ordem temos: 
 
+ - + - 
- + - + 
+ - + - 
- + - + 
 
Para um determinante de 3ª ordem temos: 
 
+ - + 
- + - 
+ - + 
 
Exemplo: 
 
a. 𝐴 = [
3 1 −2
−5 4 −6
0 2 7
] 
 
Calculando o determinante pela primeira linha temos: 
 
𝑑𝑒𝑡 𝐴 = 3. [
4 −6
2 7
] − (1). [
−5 −6
0 7
] + (−2). [
−5 4
0 2
] 
𝑑𝑒𝑡 𝐴 = 3. (28 + 12) − (1). (−35 + 0) + (−2). (−10 − 0) 
𝑑𝑒𝑡 𝐴 = 120 + 35 + 20 
𝑑𝑒𝑡 𝐴 = 175 
 
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b. A = [
1 2 −1
4 0 3
−2 3 −4
] 
 
Calculando o determinante pela primeira coluna temos: 
 
𝑑𝑒𝑡 𝐴 = 1. [
0 3
3 −4
] − (4). [
2 −1
3 −4
] + (−2). [
2 −1
0 3
] 
𝑑𝑒𝑡 𝐴 = 1. (0 − 9) − 4. (−8 + 3) − 2. (6 + 0) 
𝑑𝑒𝑡 𝐴 = −9 + 20 − 12 
𝑑𝑒𝑡 𝐴 = −1 
 
 
Determinantes de ordem igual ou maior que 4 
 
Para o cálculo de determinantes de matrizes quadradas de 
ordem superior a 3 utiliza-se o Teorema de Laplace. 
 
Pierre Simon Marquis de Laplace (1749-1827) 
foi um matemático, astrônomo e físico francês que 
organizou a Astronomia Matemática, resumindo e 
ampliando o trabalho de seus predecessores. Esta 
obra-prima traduziu o estudo geométrico 
da mecânica clássica usada por Isaac Newton para 
um estudo baseado em cálculo, conhecido como 
Mecânica Física. 
 
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Teorema de Laplace 
O teorema consiste em escolher uma das filas (linha ou coluna) 
da matriz e somar os produtos dos elementos dessa fila pelos seus 
respectivos cofatores, ou complementos algébricos. 
O Teorema de Laplace pode ser aplicado quantas vezes forem 
necessárias até obter matrizes de ordem 2 ou 3, cujo determinante é 
mais facilmente calculado através da regra de Sarrus. 
 
 O complemento algébrico ou cofator de um elemento aij de uma 
matriz é o número obtido fazendo-se: Aij = (-1)i+j . det (submatriz). 
 A submatriz é obtida eliminando-se da matriz original a linha i e a 
coluna j. 
 A escolha da linha ou coluna da matriz a que se aplica este 
processo é indiferente, contudo, para maior simplicidade dos 
cálculos, convém escolher a linha ou coluna que contiver mais 
zeros. 
 
Exemplo: 
 
Seja A = [
1 2 −1
4 0 3
−2 3 −4
] então: 
 
Para calcularmos o determinante dessa matriz utilizando o 
Teorema de Laplace: 
1. escolhemos qual a linha ou coluna que iremos utilizar. 
Fazendo para a coluna 1 temos: 
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𝐷𝑒𝑡 (𝐴) = 𝑎11. 𝐴11 + 𝑎21. 𝐴21 + 𝑎31. 𝐴31 
𝐷𝑒𝑡 (𝐴) = 1. 𝐴11 + 4. 𝐴21 + (−2). 𝐴31 
 
Matriz dada: 𝐴 = [
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
] 
 
Matriz Cofator: 𝐴′ = [
𝐴11 𝐴12 𝐴13
𝐴21 𝐴22 𝐴23
𝐴31 𝐴32 𝐴33
] 
 
2. encontramos os cofatores de cada submatriz: 
 
Definição de submatriz 
 
Seja A uma matriz quadrada 
nn
. 
Uma submatriz 
ijA
de A é uma matriz obtida de A eliminando a i-
ésima linha e a j-ésima coluna de A. 
 
 
Se 
 
 
Então, por exemplo: 𝐀𝟐𝟑 = |
1 2
−2 3
| e 𝐀𝟑𝟏 = |
2 −1
0 3
| , etc. 
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Voltando ao exemplo: 
Seja 𝑀 a matriz original, tal que: 𝑀 = [
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
] 
 
E, seja 𝑀′ a matriz dos cofatores, tal que: 𝑀′ = [
𝐴11 𝐴12 𝐴13
𝐴21 𝐴22 𝐴23
𝐴31 𝐴32 𝐴33
] 
 
Para encontrar os cofatores fazemos: 
 
 
A11 = (-1)
2
 |
𝑎22 𝑎23
𝑎32 𝑎33
| A12 = (-1)
3
 |
𝑎21 𝑎23
𝑎31 𝑎33
| A13 = (-1)
4
 |
𝑎21 𝑎22
𝑎31 𝑎32
| 
 
 
A21 = (-1)
3
 |
𝑎12 𝑎13
𝑎32 𝑎33
| A22 = (-1)
4
 |
𝑎11 𝑎13
𝑎31 𝑎33
| A23 = (-1)
5
 |
𝑎11 𝑎12
𝑎31 𝑎32
| 
 
 
A31 = (-1)
4
 |
𝑎12 𝑎13
𝑎22 𝑎23
| A32 = (-1)
5
 |
𝑎11 𝑎13
𝑎21 𝑎23
| A33 = (-1)
6
 |
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
| 
 
 
 Como escolhemos a primeira coluna para resolver o exemplo, 
encontramos os cofatores apenas dessa coluna. Assim, para a 
matriz 













432
304
121
A 
 
Determinante 
Determinante Determinante Determinante 
Determinante Determinante Determinante 
Determinante Determinante Determinante 
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A11 = (-1)
2
 |
0 3
3 −4
| A21 = (-1)
3
 |
2 −1
3 −4
| A31 = (-1)
4
 |
2 −1
0 3
| 
 
Logo, 𝐷𝑒𝑡 (𝐴) = 1. 𝐴11 + 4. 𝐴21 + (−2). 𝐴31 
𝐷𝑒𝑡 (𝐴) = 1. (−9) + 4. (5) + (−2). (6) 
𝐷𝑒𝑡 (𝐴) = −9 + 20 − 12 
𝐷𝑒𝑡 (𝐴) = −1 
 
 
Desenvolvimento de Laplace 
Generalizando: 
  ij
n
j
ijnnij
aa 


1
det
 para qualquer linha i. 
Observação: O desenvolvimento pode também ser feito na variável j: 
  ij
n
i
ijnnij
aa 


1
det
 para qualquer coluna j. 
Lembrando que:[
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
] 
Exemplo 
a. Se 













432
304
121
A então calcule det (A). 
Escolhendo, por exemplo, a segunda linha (i=2) 


2323222221212
3
1
2det aaaaA j
j
j
 
Determinante Determinante Determinante 
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  









43
12
det14
12 +   









42
11
det10
22   








32
21
det13
32 
    1736054 
 
 
Exercícios: 
1. Calcule o determinante de: 
 
a. 
[
 
 
 
 
5 4 2 1
2 3 1 −2
−5 −7 −3 9
1 −2 −1 4 ]
 
 
 
 
 R: det (A) = 38 
 
 
b. 
[
 
 
 
 
−2 3 1 7
0 −1 2 1
3 −4 5 1
1 0 −2 1]
 
 
 
 
 R: det (B) = 54 
 
 
c. [
𝑎 − 𝑏 𝑎
𝑎 𝑎 + 𝑏
] R: det (C) = - b2 
 
d. 
[
 
 
 
 
 
 
1 2 3 −4 2
0 1 0 0 0
0 4 0 2 1
0 −5 5 1 4
0 1 0 −1 2]
 
 
 
 
 
 
 R: det (D) = - 25 
 
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2. Determine os valores de k para os quais [
𝑘 𝑘
4 2 𝑘
] = 0. 
 
 R: k = 0 ou k = 2 
 
3. Encontre o cofator de 3 na matriz M: 
 
𝑀 =
[
 
 
 
 
2 4 1 0
6 −2 5 7
−1 7 2 4
0 3 −1 −10]
 
 
 
 
 R: cof (3)= - 19 
 
 
4. O determinante da matriz: 
 jiaA 
 de ordem 2, onde: 
jia ji  3
 , é 
igual a: 
(a) 2 (b) 3 (c) 4 (d) 5 (e) n.d.a. 
 
5. O determinante da matriz M = 
[
 
 
 
 
2 2 2 2
0 1 1 1
0 0 −2 3
0 0 0 −1]
 
 
 
 
 é: 
 
 
(a) -4 (b) -2 (c) 0 (d) 2 (e) 4 
 
5. Qual a relação entre os determinantes das matrizes A e B? 
 
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 𝐴 = [
7 14 49
3 5 2
0 2 7
] e 𝐵 = [
1 2 7
3 5 2
0 2 7
] 
 
R: det (A) = 7 det (B) 
 
Resolução dos exercícios 
 
1. Calcule o determinante de: 
 
a. 
[
 
 
 
 
5 4 2 1
2 3 1 −2
−5 −7 −3 9
1 −2 −1 4 ]
 
 
 
 
 R: det (A) = 38 
 
Usando Laplace (linha 4): 
det(A) = 1 (-1)4+1 . det (submatriz a41) + (-2) (-1)4+2 . det (submatriz a42) + (-1) (-1)4+3 . det (submatriz a43) + 4 (-1)4+4 . det (submatriz a44) 
det(A) = 1 (-1)5 . det ([
4 2 1
3 1 −2
−7 −3 9
]) + (-2) (-1)6 . det ([
5 2 1
2 1 −2
−5 −3 9
]) + (-1) (-1)7 . det ([
5 4 1
2 3 −2
−5 −7 9
]) + 4 (-1)8 . det ([
5 4 2
2 3 1
−5 −7 −3
]) 
det(A) = – 1 . (-16 ) - 2 . (-2 )+ 1 . ( 34) + 4 . (-4 ) 
det(A) = +16 + 4 + 34 – 16 
det(A) = 38 
 
b. 
[
 
 
 
 
−2 3 1 7
0 −1 2 1
3 −4 5 1
1 0 −2 1]
 
 
 
 
 R: det (B) = 54 
Usando Laplace (linha 4): 
det(A) = 1 (-1)4+1 . det (submatriz a41) + (0) (-1)4+2 . det (submatriz a42) + (-2) (-1)4+3 . det (submatriz a43) + 1 (-1)4+4 . det (submatriz a44) 
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det(A) = 1 (-1)5 . det ([
3 1 7
−1 2 1
−4 5 1
]) + 0 + (-2) (-1)7 . det ([
−2 3 7
0 −1 1
3 −4 1
]) + 1 (-1)8 . det ([
−2 3 1
0 −1 2
3 −4 5
]) 
det(A) = – 1 . (9) +2. (24)+ 1 . (15) 
det(A) = - 9 + 48 + 15 
det(A) = 54 
 
c. [
𝑎 − 𝑏 𝑎
𝑎 𝑎 + 𝑏
] R: det (C) = - b2 
𝑑𝑒𝑡(𝐶) = (𝑎 − 𝑏). (𝑎 + 𝑏) − 𝑎. 𝑎 
𝑑𝑒𝑡(𝐶) = 𝑎2 + 𝑎𝑏 − 𝑎𝑏 − 𝑏2 − 𝑎2 
𝑑𝑒𝑡(𝐶) = −𝑏2 
 
d. 
[
 
 
 
 
 
 
1 2 3 −4 2
0 1 0 0 0
0 4 0 2 1
0 −5 5 1 4
0 1 0 −1 2]
 
 
 
 
 
 
 R: det (C) = - 25 
 
Usando Laplace (coluna 1): 
det(A) = 1 (-1)1+1 . det (submatriz a11) + (0) (-1)2+1 . det (submatriz a21) + (0) (-1)3+1 . det (submatriz a31) + (0) (-1)4+1 . det (submatriz a41) + (0) (-1)5+1 . det (submatriz a51) 
det(A) = 1 (-1)2 . det [
1 0 0 0
4 0 2 1
−5 5 1 4
1 0 −1 2
] + 0 + 0 + 0 + 0 
det(A) = 1 . det [
1 0 0 0
4 0 2 1
−5 5 1 4
1 0 −1 2
] 
Aplicando Laplace novamente: 
Usando Laplace (linha 1): 
det(A) = 1 (-1)1+1 . det (submatriz a11) + (0) (-1)1+2 . det (submatriz a12) + (0) (-1)1+3 . det (submatriz a13) + (0) (-1)1+4 . det (submatriz a14) 
Notas de aula – Geometria Analítica e Álgebra Linear 
Profa. Angelita Minetto Araújo – UTFPR /DAMAT 2018
 
det(A) = 1 (-1)2 . det [
0 2 1
5 1 4
0 −1 2
] + 0 + 0 + 0 
det(A) = 1 . det [
0 2 1
5 1 4
0 −1 2
] 
det(A) = - 25 
 
2. Determine os valores de k para os quais [
𝑘 𝑘
4 2 𝑘
] = 0. 
 
 [
𝑘 𝑘
4 2 𝑘
] = 0 
 𝑘. 2𝑘 − 𝑘 .4 = 0 
2𝑘2 − 4𝑘 = 0 
2𝑘(𝑘 − 2) = 0 
Logo, k = 0 ou k = 2 
 
3. Encontre o cofator de 3 na matriz M: 
 
𝑀 =
[
 
 
 
 
2 4 1 0
6 −2 5 7
−1 7 2 4
0 3 −1 −10]
 
 
 
 
 R: cof (3)= - 19 
 
𝐴42 = (-1)4+2 . det (submatriz a42) 
𝐴42 = (-1)6 . det [
2 1 0
6 5 7
−1 2 4
] 
𝐴42 = 1 . (-19) 
𝐴42 = - 19 
 
 
Notas de aula – Geometria Analítica e Álgebra Linear 
Profa. Angelita Minetto Araújo – UTFPR /DAMAT 2018
 
 
Referências Bibliográficas 
 
BOLDRINI, J. L. et al. Álgebra linear. São Paulo: Harper & Row, 1980. 
 
BORGES, A. J. Notas de aula. Curitiba. Set. 2010. Universidade Tecnológica Federal do 
Paraná – UTFPR. 
 
CALLIOLI, C. A. et al. Álgebra linear e aplicações. São Paulo: Atual, 1990. 
 
ANTON, H.; BUSBY, R. C. Álgebra linear contemporânea. São Paulo: Bookman, 2008. 
 
KOLMAN, B.; HILL, R. Introdução à álgebra linear com aplicações. 6ª ed. Rio de Janeiro: 
Prentice-Hall, 1998. 
 
LIPSCHUTZ, S. Álgebra linear. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1972. 
 
NUNES, Luiz Fernando. Notas de aula: Matemática 1. Professor do Departamento de 
Matemática da Universidade Tecnológica Federal do Paraná – UTFPR. 
 
STEINBRUCH, A. e WINTERLE, P. Álgebra linear. São Paulo: Pearson-Makron Books, 2010.