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Função Exponencial Prof.o Ricardo Reis Universidade Federal do Ceará Campus de Quixadá 30 de maio de 2013 1 Potências Denota-se ab como a potência de base a e de expoente b. Se b ∈ Z+ e a ∈ R então, ab = a · a · a · · · a︸ ︷︷ ︸ b termos a ∈ R b ∈ Z+ (1) Outras propriedades, a−b = 1 ab (2) ab+c = ab · ac (3) ab−c = ab · a−c = a b ac (4) abc = (ab)c = (ac)b (5) a0 = 1 (6) a1 = a (7) a b c = c √ ab = ( c √ a)b (8) onde a, b, c ∈ R. ILUSTRAÇÃO 1 Simplificar a expressão 0.253− 7 2 . SOLUÇÃO Fazemos, 0.253− 7 2 = 0, 25 6−7 2 = 0.25− 1 2 = 1 0.25 1 2 = 1√ 0.25 = 1 0.5 = 2 2 Séries de Potências Uma série de potências é uma soma cujos termos são potências de uma mesma base real e expoentes inteiros. Uma série de po- tência de expoentes consecutivos pode ser expressa em forma de somatório como se- gue, b∑ k=a ck = ca + ca+1 + ca+2 + · · ·+ cb−1 + cb (9) onde c ∈ R representa a base comum aos termos da série e a...b (a, b ∈ Z | a ≤ b) o inter- valo de expoentes consecutivos. A equação- (9) possui solução exata e igual a, b∑ k=a ck = cb+1 − ca c− 1 (10) ILUSTRAÇÃO 2 Determinar o valor da soma- tória, 1 + 3 + 32 + 33 + · · ·+ 310 SOLUÇÃO A forma reduzida do somatório anterior é, 10∑ j=0 3j De onde temos que a = 0, b = 10 e c = 3. Logo, da equação-(10), temos, cb+1 − ca c− 1 = 311 − 30 3− 1 = 177147− 1 2 = 88573 1 3 Equações Exponenciais Equações exponenciais são aquelas cujas variáveis surgem como parte do expoente de um ou mais termos da equação. Para resolver uma equação exponencial de uma variável real x devem-se dispor em ambos lados da equação potências de mesma base preferencialmente constantes, e expoentes que sejam funções de x, em seguida igua- lar estes expoentes e resolver a nova equa- ção encontrada. As ilustrações seguintes demostram o processo descrito. ILUSTRAÇÃO 3 Resolver a equação, 22x − 16 = 0 SOLUÇÃO Fazemos, 22x − 16 = 0 22x = 16 22x = 24 ⇒ 2x = 4 x = 2 ILUSTRAÇÃO 4 Resolver a equação, 1 31−2x = 27x SOLUÇÃO No intuito de gerar potências de mesma base em ambos lados da equação fazemos, 1 31−2x = 27x 3−1+2x = (33)x 32x−1 = 33x ⇒ 2x− 1 = 3x x = −1 4 Definição A função exponencial mais simples é de- finida como, f(x) = ex (11) onde e é um número irracional conhecido como número de Euler e cujo valor é aproxi- madamente 2.718281828459045. A gene- ralização da função da equação-(11) é dada por, f(x) = k × amx+b (12) onde k, a,m, b ∈ R são constantes e ainda a > 0 e a 6= 1. O expoente da equação-(12) é um polinômio de primeiro grau. A equação- (11) é um caso particular da equação-(12) quando k = m = 1, b = 0 e a = e. ILUSTRAÇÃO 5 Dada a função f(x) = 21−x determine f(0), f(1) e f(2). SOLUÇÃO f(0) = 21−0 = 21 = 2 f(1) = 21−1 = 20 = 1 f(2) = 21−2 = 2−1 = 1 2 = 0.5 5 Domínio e Imagem Os domínios da função da equação 12 corresponde ao conjunto dos números re- ais, ou seja, D(f) = R (13) A potência de números positivos gera ou- tros números positivos de forma que a ima- gem da função da equação-(12) ou é com- pletamente positiva ou completamente ne- gativa dependendo do sinal de k. Matema- ticamente, Im(f) = { R+ k > 0 R− k < 0 (14) Note que zero não pertence a imagem. 6 Gráfico O gráfico da função exponencial, equação-(11), é crescente e possui as- pecto, 2 f(x) = ex 1 Note que a curva gerada nunca toca o eixo x mas que tende a aproximar-se dele a pro- porção que os valores de domínio se afas- tam de zero por valores negativos (da direita para esquerda no gráfico). Se o contrário ocorre, ou seja, se os valores de domínio se afastam da origem por valores positivos (da esquerda para a direita no gráfico) então os valores da imagem tendem a valores posi- tivos elevados. Esta forma de crescimento da imagem não proporcional ao domínio é conhecida como crescimento exponencial. Consideremos o crescimento da função da equação-(12) quando k > 0. Quando m > 0 e a > 1 ou m < 0 e 0 < a < 1 a curva da função possui comportamento crescente (quando x aumenta, f(x) também aumenta) exatamente como no caso de f(x) = ex. En- tretanto quando m < 0 e a > 1 ou m > 0 e 0 < a < 1 a curva da função passa a ser decrescente (quando x aumenta, f(x) dimi- nui). Veja Tabela-1. O gráfico a seguir ilustra o comporta- mento das funções f(x) = 2x, f(x) = 2−x, f(x) = 0.8x e f(x) = 0.8−x. f(x) = 2x f(x) = 2−x f(x) = 0.8x f(x) = 0.8−x Em funções exponenciais decrescentes a aproximação da curva do eixo x inverte de lado em relação às crescentes, ou seja, a imagem se aproxima de zero quando os va- lores de domínio se afastam da origem por valores positivos. De forma similar quando os valores de domínio se afastam da origem por valores negativos então os valores de imagem tendem a valores elevados. Este comportamento é conhecido como decresci- mento exponencial. A função da equação-(12) não possui raí- zes, mas cruza o eixo y em um ponto. No caso de f(x) = ex o ponto é (0, 1) pois f(0) = e0 = 1. No caso geral fazemos f(0) = k × am 0+b = k × ab e logo o ponto de intersecção com y fica sendo (0, kab). ILUSTRAÇÃO 6 Determine em que ponto a função f(x) = 34−x cruza o eixo y e se a fun- ção é crescente ou decrescente. SOLUÇÃO Como k = 1, a = 3 > 1 e m = −1 < 0 então a curva de f é decrescente e ainda como b = 4 então o ponto de intersecção com o eixo y é (0, (1)34) = (0, 81). Consideremos o comportamento da fun- ção da equação-(12) quando k < 0. Tais funções são intrinsecamente negativas, seus gráficos ficam abaixo do eixo x e es- pelham, em relação a este eixo, a função f(x) = |k| × amx+b. No gráfico a seguir são plotadas as curvas das funções f(x) = −[2x] e seu respectivo reflexo f(x) = 2x (trace- jado). f(x) = 2x f(x) = −[2x] 1 Note que quando k < 0 a forma de cres- cimento da função exponencial é inversa a da função |k|amx+b. Neste exemplo 2x é cres- cente, mas −[2x] é decrescente. 3 m > 0 m < 0 0 < a < 1 decrescente crescente a > 1 crescente decrescente Tabela 1: Crescimento da função f(x) = k × amx+b quando k > 0. 7 Aplicação, Juros Compostos 7.1 Taxa de Juros Denomina-se taxa de juros ao percentual de correção aplicado a um determinado va- lor monetário definido para intervalos regu- lares de tempo em geral medidos em dias, meses ou anos. Se C0 é um capital inicial a ser corrigido por ação de uma taxa de juros j regular 1 que incide regularmente sobre o montante (o que se deve até o momento) por um total de n períodos (dias, meses, anos e etc) então o custo final final C será, C = C0 · ( 1 + j 100 )n (15) Denomina-se juros a diferença entre o ca- pital final e inicial, ou seja, C − C0 (Depen- dendo do contexto os juros podem repre- sentar lucro ou prejuízo!). ILUSTRAÇÃO 7 Uma fatura de cartão acusa 750 R$ de valor a pagar. Depois do ven- cimento a multa diária é de 0.3 % ao dia. Qual será o prejuízo dado por esta conta se paga 30 dias após o vencimento? SOLUÇÃO Da equação-(15), C = C0 · ( 1 + j 100 )n = 750 · ( 1 + 0.3 100 )30 = 820.52 Assim o valor final a pagar será 820.52 R$. Para calcular o prejuízo fazemos, C − C0 = 820.52− 750 = 70.52 1Em geral a taxa de juros está no intervalo 0 ≤ j ≤ 1 ou 0 ≤ j ≤ 100 quando expressa em percentual. Por fim o prejuízo será de 70.52 R$. 7.2 Calculando Parcelas Fixas Seja C0 o preço de a vista de um produto que pode ser pago em n parcelas de valor P constante calculadas com base numa taxa de juros j. Para diminuir os juros finais ainda poderá ser dado um valor de entrada E (E < C0). Mostraremos a seguir como de- terminar o valor de P como função de C0, j, n e E. Seja qk a fatia do capital em dívida, C0−E (custo original menoso valor de entrada), que ao final de k meses, por correção men- sal e progressiva da taxa de juros j, se torna a parcela de valor P do k-ésimo mês. Notoriamente, C0 − E = n∑ i=1 qk (16) Como cada fatia qk é corrigida para um valor de parcela constante P então, da equação-(15), pode-se escrever que, P = qk · ( 1 + j 100 )k (17) Isolando qk na equação-(17) e substi- tuindo na equação-(16) obtemos, C0 − E = n∑ k=1 P( 1 + j 100 )k C0 − E = P · n∑ k=1 1( 1 + j 100 )k P = C0 − E n∑ k=1 1 1 + j 100 k 4 Por questões de simplificação definimos a constante A como segue, A = 1 + j 100 (18) Com a qual reescrevemos a equação de P como, P = C0 − E n∑ k=1 ( 1 A )k Usando a equação-(10) podemos eliminar a somatória desta última equação obtendo assim, P = C0 − E( 1 A )n+1 − ( 1 A ) ( 1 A ) − 1 P = (C0 − E) (( 1 A ) − 1 ) ( 1 A )n+1 − ( 1 A ) Multiplicando numerador e denominador nesta última equação por −An+1 obtemos, P = (C0 − E)(An+1 − An) An − 1 (19) Uma vez determinado P o valor total pago, Q, é facilmente calculado por, Q = E + n · P (20) E consequentemente os juros pagos, J, se calculam por, J = Q− C0 (21) A listagem a seguir implementa em lin- guagem C o cálculo de parcelas fixas uti- lizando a equação-(19), a equação-(20) e a equação-(21), #include <stdio.h> #include <math.h> int main() { int n; float C0, E, j, A, P, Q, J; printf("Informe o custo original: "); scanf("%f", &C0); printf("Informe valor de entrada: "); scanf("%f", &E); printf("Informe taxa de juros: "); scanf("%f", &j); printf("Informe numero de parcelas: "); scanf("%d", &n); A = 1.0 + j/100; P = (C0-E)*(pow(A,n+1) - pow(A,n))/(pow(A,n)-1); Q = E + n * P; J = Q - C0; printf("Valor da parcela: R$ %.2f \n", P); printf("Total pago: R$ %.2f\n", Q); printf("Juros: R$ %.2f\n", J); return 0; } ILUSTRAÇÃO 8 Um produto custa R$ 450.00 e será pago em 1 ano com juros mensais de 0.3 %. Se não for paga ne- nhuma entrada qual deverá ser o valor da prestação? Qual será o valor total pago? Quanto em juros será pago? SOLUÇÃO Utilizando equações 18, 19, 20 e 21, A = 1 + 0.3 100 = 1.003 P = (450.0− 0)(1.00313 − 1.00312) 1.00312 − 1 = 38.24 Q = E + n · P = 0 + 12(38.24) = 458.82 J = 458.82− 450.00 = 8.82 Assim a parcela a pagar será R$ 38.24, o total pago será R$ 458.82 e os juros pagos serão de R$ 8.82. 8 Exercícios Simplifique as expressões seguintes, 1. (−3)2 2. −32 3. ( −1 3 )4 5 4. − ( −3 2 )3 5. (−5)0 6. 53 · 52 7. (−2)6 8. ( 2 3 )−1 9. (0.1)−2 10. ( −3 2 )−3 11. −3−2 12. (−5)−2 13. (−0.5)−3 14. 1 (−3)−3 15. 1 (0.01)−2 16. 2−1 − (−2)2 + (−2)−1 z2 + 2−2 17. (a3 · b−2)−2 (a−4 · b3)3 Determine x nas equações seguintes, 18. 100x = 0.001 19. ( 1 125 )x = 25 20. 82x−1 = 0.25 21. 3x2−6 = 27 22. 2x2+8 = 43x 23. 1 3x = 91−x 24. 2x = 1 8x+1 25. 62x − 3 x 144 = 0 26. 53x−1 = ( 1 25 )2x+3 27. (√ 2 )3x−1 = ( 3 √ 16 )2x−1 28. 8x2−x = 4x+1 29. 32x+1 · 93x+4 = 27x+1 30. √ 5x−2 · x√252x−5 − 2x√53x−2 = 0 31. 3x 2+ 1 x2 = 81 3x+ 1 x Determine o valor das somatórias a seguir, 32. 1 + 5 + 52 + 53 + · · ·+ 510 33. 42 + 43 + · · ·+ 48 34. 1 23 + 1 24 + 1 25 + · · ·+ 1 210 35. 1− 2 + 22 − 23 + 24 − 25 + · · · − 219 + 220 36. 2 + 23 + 25 + 27 + 29 + · · ·+ 219 Para cada função exponencial seguinte de- termine se é crescente ou decrescente, o ponto de intersecção com o eixo y e um es- boço do gráfico, 37. f(x) = 21−x 38. f(x) = 3 x+1 2 39. f(x) = ( 1 2 )2x+1 40. f(x) = 2x − 3 41. f(x) = 2− 3x 42. f(x) = ( 1 3 )x + 1 43. f(x) = 3 · 2x−1 44. f(x) = 1 5 32x−1 45. f(x) = 2x + 2−x 46. f(x) = 2x − 2−x Nas equações a seguir determine valores de m ∈ R de forma a admitirem pelo menos uma raiz real, 6 47. 4x − (m− 2) · 2x + 2m+ 1 = 0 48. 32x − (2m+ 3) · 3x + (m+ 3) = 0 49. 22x+1 − (2m− 3) · 2x+1 + (7− 2m) = 0 Nos casos a seguir determinar a parcela fixa a ser paga na compra de um produto de va- lor a vista C0, entrada E, parcelado em n ve- zes com taxa de juros j, 50. C0 = 550.00 E = 0.00 n = 28 j = 0.25 51. C0 = 1248.00 E = 400.00 n = 10 j = 0.3 52. C0 = 200.00 E = 20.00 n = 12 j = 1.0 Resolva os problemas a seguir, 53. Reimplemente o problema da compra com parcelas fixas de forma que o cli- ente escolha o valor da parcela P a pa- gar. Neste caso serão dados como en- trada o valor de a vista C0, o valor de entrada E, a taxa de juros j e o valor da parcela P . Como saída deverão ser calculados o total de períodos n, o total pago Q e os juros decorridos J do pro- cesso. Implemente um programa para agilizar o uso das equações obtidas. 54. Consideremos agora o problema das parcelas amortizadas no pagamento de um produto de custo a vista C0. Nesta forma de pagamento é dada uma en- trada E e as parcelas correspondem a valores decrescentes de uma quantia fixa T . Ao final de n períodos (dias, me- ses, anos e etc) sobre uma taxa de ju- ros invariante j (diária, mensal, anual e etc) o valor da parcela atinge um valor menor ou igual a T momento este em que a dívida deve ser quitada. Deduza equações que, dadas como entrada C0, E, j e T , calculem o total de meses n que decorrerão para quitação e ainda os valores de cada uma das parcelas a serem pagas. Implemente um pro- grama que agilize o uso destas equa- ções. 7
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