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Função Polinomial Prof.o Ricardo Reis Universidade Federal do Ceará Sistemas de Informação Quixadá-CE 2 de maio de 2013 1 Definições Uma função polinomial f(x) é definida como, f(x) = c0 + c1x+ c2x 2 + c3x 3 + · · ·+ cnxn (1) onde c0, c1, c2, c3, · · · , cn são constantes denominadas co- eficientes polinomiais. Refere-se ao i-ésimo termo da equação-(1), com i ∈ {0, 1, 2, 3, · · · , n}, como cixi. Estes termos são denominados monômios. Utilizando a notação de monômios a equação-(1) pode ser reescrita na forma de somatório, f(x) = n∑ i=0 cix i (2) O valor de i de um monômio é denominado grau do monô- mio. Os graus dos monômios da equação-(1) na ordem em que aparecem são então 0, 1, 2, 3, · · · , n. O maior grau entre os monômios de uma função polinomial, ou seja, n, é denominado grau da função (ou grau do polinômio). As funções de primeiro e segundo grau recebem estas deno- minações por se tratarem de casos particulares de funções polinomiais respectivamente de graus iguais a 1 e 2. Todas as funções polinomiais possuem como domínio os reais, ou seja, D(f) = {∀x ∈ R}. Já a imagem va- ria fortemente com o grau n da função de forma que não trataremos aqui da determinação da imagem de funções polinomiais quando n ≥ 3 (isso será estudado num curso de cálculo). 2 Raízes As raízes de um polinômio são todos os valores de x que satisfazem a equação, n∑ i=0 cix i = 0 Uma função polinomial de grau n possui até n raízes reais distintas. Quando a quantidade de raízes reais distintas é menor que n diz-se que as demais raízes (para completar o total n) são complexas (não reais). Raízes complexas ocor- rem sempre aos pares, ou seja, se um polinômio possui grau 5 então pode ter 0, 2 ou 4 raízes complexas e con- sequentemente 5, 3 ou 1 raiz(es) reai(s). Focaremos aqui apenas as raízes reais pois as funções polinomiais abor- dadas são reais (f : R→ R). ILUSTRAÇÃO -1. A função f(x) = x3−4x2−25x+28 possui grau 3 e três raízes reais, [−4, 1, 7]. Verificando, f(−4) = (−4)3 − 4(−4)2 − 25(−4) + 28 = −64− 64 + 100 + 28 = 0 f(1) = (1)3 − 4(1)2 − 25(1) + 28 = 1− 4− 25 + 28 = 0 f(7) = (7)3 − 4(7)2 − 25(7) + 28 = 343− 196− 175 + 28 = 0 ILUSTRAÇÃO -2. A função f(x) = x3 + 3x2 + x + 3 possui grau 3 e apenas uma raiz real, [−3]. Verificando, f(−3) = (−3)3 + 3(−3)2 + (−3) + 3 = −27 + 27− 5 + 3 = 0 ILUSTRAÇÃO -3. A função f(x) = x5 + 2x4 − 10x3 − 2x2 − 171x − 180 possui grau 5, duas raízes complexas e três raízes reais, [−1,−5, 4]. Verificando, f(−1) = (−1)5 + 2(−1)4 − 10(−1)3 − 2(−1)2 − 171(−1)− 180 = −1 + 2 + 10− 2 + 171− 180 = 0 f(−5) = (−5)5 + 2(−5)4 − 10(−5)3 − 2(−5)2 − 171(−5)− 180 = −3125 + 1250 + 1250− 50 + 855− 180 = 0 f(4) = (4)5 + 2(4)4 − 10(4)3 − 2(4)2 − 171(4)− 180 = 1024 + 512− 640− 32− 684− 180 = 0 ILUSTRAÇÃO -4. A função f(x) = 9x4+6x3+43x2+14x+49 não possui raízes reais. 2.1 Fatoração Fatorar um polinômio P (x) significa reescrevê-lo como um produto de polinômios de graus menores que o de P (x). Matematicamente, P (x) = Q1(x) ·Q2(x) · · ·Qm(x) (3) 1 onde P (x) é um polinômio de grau n e Q1, Q2, Q3, · · · , Qm são polinômios cujos graus são inferiores a n. O conjunto das raízes do polinômio P (x), equação-3, é formado pelas raízes dos polinômios Q1, Q2, Q3, · · · , Qm. Dessa forma se P (x) puder ser fatorado em polinômios de fácil resolução então suas raízes poderão ser determina- das resolvendo-se cada um destes fatores. A fatoração de polinômios (e consequentemente das funções polinomiais) não possui regra. O que em geral se faz é tentar determinar isolar fatores comuns e depois colocá-los em evidência o que naturalmente converte o polinômio em um produto de polinômios. Este procedi- mento, e a determinação de raízes que ele proporciona, são ilustrados nos exemplos a seguir. ILUSTRAÇÃO -5. Determinar raízes da função polinomial f(x) = x3 − 5x2 + 6x. Podemos fatorar f(x) como, f(x) = x(x2 − 5x+ 6) De onde os fatores são, Q1(x) = x Q2(x) = x 2 − 5x+ 6 O fator Q1 é de primeiro grau e tem raiz 0 e o fator Q2 é de segundo grau e suas raízes são, ∆ = (−5)2 − 4(1)(6) = 1 x = −(−5)±√1 2(1) x = 2 x = 3 Assim as raízes de f(x) são x ∈ {0, 2, 3} ILUSTRAÇÃO -6. Determinar raízes da função polinomial f(x) = x3 + 2x2 − 9x− 18. Rearranjando e fatorando obtemos, f(x) = x3 − 9x+ 2x2 − 18 = x(x2 − 9) + 2(x2 − 9) = (x2 − 9)(x+ 2) de onde identificamos os fatores Q1(x) = x2 − 9 e Q2(x) = x+ 2. Como as raízes de Q1 são {−3, 3} e de Q2 é −2 então as raízes de f(x) são x ∈ {−3,−2, 3}. ILUSTRAÇÃO -7. Determinar raízes da função polinomial f(x) = x4 − 3x3 + x2 − 3x. Fatorando obtemos, f(x) = x3(x− 3) + x(x− 3) = (x− 3)(x3 + x) = (x− 3)(x)(x2 + 1) O primeiro fator é de primeiro grau e tem raiz 3, o segundo fator é também de primeiro grau e possui raiz 0 e o terceiro fator é de segundo grau e não possui raízes (∆ = −4 < 0). Assim as raízes de f(x) são x ∈ {0, 3}. 2.2 Redução de Ordem Se uma raiz x0 do polinômio P (x) for conhecida então o polinômio Q(x), tal que Q(x) = P (x) x− x0 é denominado redução de P (x) com respeito a x0. E ainda, o conjunto das raízes de P (x) é formado por x0 e pelas raízes de Q(x). ILUSTRAÇÃO -8. Dado a função polinomial f(x) = x3 − 18x2 − 67x − 110 que possui uma raiz x = 11, determinar as demais raízes. Dividindo a função por x− 11 obtemos, f(x) x− 11 = x3 − 18x2 − 67x− 110 x− 11 = x2 − 7x+ 10 O resultado do quociente é um polinômio de segundo grau e suas raízes são, ∆ = (−7)2 − 4(1)(10) = 9 x = −(−7)±√9 2(1) x = 2 x = 5 Assim as raízes de f(x) são x ∈ {2, 5, 11} ILUSTRAÇÃO -9. A função f(x) = x4 − 7x3 + 9x2 + 7x − 10 possui raízes {−1, 2}. Determine as demais raízes, se existirem. O quociente de redução neste caso é, f(x) (x− (−1))(x− 2) = −10x4 + 7x3 + 9x2 − 7x+ 1 (x+ 1)(x− 2) = x4 − 7x3 + 9x2 + 7x− 10 x2 − x− 2 = x2 − 6x+ 5 O resultado do quociente é um polinômio de segundo grau cujas raízes são, ∆ = (−6)2 − 4(1)(5) = 16 x = −(−6)±√16 2(1) x = 5 x = 1 Assim as raí de f(x) são x ∈ {−1, 1, 2, 5} ILUSTRAÇÃO -10. A função polinomial f(x) = x3 − x2 − 4x + 4 possui três raízes reais onde duas delas possuem mesmo módulo. Determine as raízes de f(x). Se duas das três raízes possuem mesmo módulo po- demos dizer que as raízes são {a,−a, b}. Então podemos fazer, f(x) = (x− (a))(x− (−a))(x− b) = (x2 − a2)(x− b) = x3 − bx2 − a2x+ a2b Igualando este resultado a definição de f(x) obtemos, x3 − bx2 − a2x+ a2b = x3 − x2 − 4x+ 4 de onde deduzimos que, −b = −1⇒ b = 1 −a2 = −4⇒ a = ±2 a2b = 4 E logo a = ±2 e b = 1 e naturalmente as raízes de f(x) ficam x ∈ {−2, 1, 2} ILUSTRAÇÃO -11. Determine a e b na função polinomial f(x) = x3 + 9x2 + ax + b de forma a possuir três raízes inteiras e consecutivas. Que raízes são essas? Se são inteiras e consecutivas então podemos representá-las por {n, n + 1, n + 2}, onde n ∈ Z. Rees- crevendo f(x) como produto de fatores obtemos, f(x) = (x− n)(x− (n+ 1))(x− (n+ 2)) = (x2 − (2n+ 1)x+ n(n+ 1))(x− (n+ 2)) = x3 − (3n+ 3)x2 + (3n2 + 6n+ 2)x − (n3 + 3n2 + 2n) Usando o coeficiente do segundo monômio deste produto de fatores obtemos n, −(3n+ 3) = 9 n = −4 Uma vez conhecido o valor de n então os valores de a e b podem ser determinados respectivamente pelos terceiro e quarto coeficientes do produto de fatores anterior, a = 3n2 + 6n+ 2 = 3(−4)2 + 6(−4) + 2 = 48− 24 + 2 = 26 b = −(n3 + 3n2 + 2n) = −((−4)3 + 3(−4)2 + 2(−4)) = −(−64 + 48− 8) = 24 Além disso as raízes de f(x) são {−4,−3,−2}. 3 Estudo de Sinal Para construir o estudo de sinal de uma função polino- mial é necessário primeiramente fatorar o polinômio em fatores de até no máximo grau dois. Os fatores devem en- tão ser estudados com respeito ao sinal. Finalmente deve- se parear os estudos de sinais dos fatorese cruzar seus sinais. As ilustrações seguintes apresentam o processo. ILUSTRAÇÃO -12. Efetuar estudo de sinal da função f(x) = x3 − 2x2 − x+ 2. Fatorando f(x) obtemos, f(x) = x3 − 2x2 − x+ 2 = x2(x− 2) + (−1)(x− 2) = (x− 2)(x2 − 1) Os fatores x − 2 e x2 − 1, por serem respectivamente de primeiro e segundo grau, podem ter o sinal diretamente analisado. Procederemos então da seguinte forma: efetu- aremos os estudos de sinais dos fatores obtidos e marca- remos seus resultados em eixos independentes, mas ver- ticalmente alinhados de forma que valores de x equivalen- tes fiquem sobre a mesma linha vertical. Obtemos assim o diagrama a seguir, f(x) x2 − 1 x− 2 −1 1 2 − − − + + − + + − + − + Os sinais indicam resultados dos estudos de sinais. Nas duas primeiras linhas são dispostos os estudos dos sinais dos fatores e na terceira são projetados os cruzamentos de sinais das duas primeiras. Note que as raízes dos fato- res, marcadas por linhas verticais tracejadas, compõem o estudo de sinal de f(x). Do diagrama anterior obtemos, y < 0⇒ x < −1 ∪ 1 < x < 2 y = 0⇒ x ∈ {−1, 1, 2} y > 0⇒ −1 < x < 1 ∪ x > 2 ILUSTRAÇÃO -13. Efetuar o estudo de sinal da função f(x) = x4 − 2x3 − 13x2 + 38x − 24 sabendo que x = −4 e x = 1 são raízes. Dado que {−4, 1} são raízes então podemos reduzir f dividindo-a pelo produto (x + 4)(x − 1) = x2 + 3x − 4. O quociente x4 − 2x3 − 13x2 + 38x− 24 x2 + 3x− 4 revela o polinômio de segundo grau x2 − 5x + 6 cujas raízes são x = 2 e x = 3 completando assim as raízes de f . Reescrevendo f em fatores temos, f(x) = (x2 + 3x− 4) · (x2 − 5x+ 6) Efetuando os estudos de sinal destes dois fatores e construindo o diagrama de cruzamentos de sinais obte- mos, f(x) x2 + 3x− 4 x2 − 5x+ 6 −4 1 2 3 + + + − + + − + + + + − + − + Logo o estudo de sinal de f fica, y < 0⇒ −4 < x < 1 ∪ 2 < x < 3 y = 0⇒ x ∈ {−4, 1, 2, 3} y > 0⇒ x < −4 ∪ 1 < x < 2 ∪ x > 3 4 Função Quadrática A função quadrática é a função polinomial de grau qua- tro cujos coeficientes dos monômios de grau 1 e 3 são nu- los. Esquematicamente a função quadrática tem forma, f(x) = ax4 + bx2 + c (4) As raízes de um polinômio quadrático podem ser de- terminadas por um procedimento semelhante àquele uti- lizado na solução da equação de segundo grau conforme etapas descritas a seguir, 1. Determinar o parâmetro ∆, ∆ = b2 − 4ac (5) onde a, b e c são os coeficientes da equação-4 com a 6= 0. 2. Se ∆ ≥ 0 então determinam-se os parâmetros χ1 e χ2 conforme equações, χ1 = −b+√∆ 2a (6) χ2 = −b−√∆ 2a (7) 3. Se χ1 ≥ 0 então ±√χ1 são raízes da função quadrá- tica. 4. De forma similar se χ2 ≥ 0 então ±√χ2 são raízes da função quadrática. ILUSTRAÇÃO -14. Determinar raízes da função f(x) = x4 − 58x2 + 441. Resolução, ∆ = (−58)2 − 4(1)(441) = 1600 χ1 = −(−58) +√1600 2(1) = 49 χ2 = −(−58) +√1600 2(1) = 9 x = {± √ 49,± √ 9} x = {−7,−3, 3, 7} ILUSTRAÇÃO -15. Determinar raízes da função f(x) = x4 − 165x2 − 676. Resolução, ∆ = (−165)2 − 4(1)(−676) = 1732 χ1 = −(−165) + 173 2(1) = 169 χ2 = −(−165)− 173 2(1) = −4 ≤ 0 x = {± √ 169} x = {−13, 13} 5 Função f(x) = (x+ a)n A função polinomial f(x) = (x+ a)n, com x ∈ R e n ∈ N, é conhecida como binômio de Newton. A expansão deste binômio resulta, f(x) = xn + nxn−1a+ n(n− 1) 2 xn−2a2 + · · ·+ an (8) cuja forma geral é, f(x) = n∑ k=0 n! (n− k)!k!x n−kak (9) Funções polinomiais nesta forma possuem apenas uma raiz real de valor −a. Os casos mais comuns ocorrem quando n = 2 e n = 3 conhecidos respectivamente como quadrado perfeito e cubo perfeito. O quadrado perfeito tem forma, f(x) = (x− a)2 = x2 + 2ax+ a2 (10) Logo para que se trate de um quadrado perfeito então os coeficientes devem seguir o padrão {1, 2a, a2}. Já o cubo perfeito tem forma, f(x) = (x− a)2 = x3 + 3x2a+ 3xa2 + a3 (11) Logo para que se trate de um cubo perfeito então os coe- ficientes devem seguir o padrão {1, 3a, 3a2, a3}. ILUSTRAÇÃO -16. Determinar raízes do polinômio f(x) = x2 + 30x+ 225. Testando o padrão, {1, 2a, a2} = {1, 30, 255} 2a = 30⇒ a = 15 a2 = 255⇒ a = ±15 Como o valor de a = 15 satisfaz os dois últimos coeficientes e o primeiro coeficiente é 1 então f(x) possui raiz única x = −15 ILUSTRAÇÃO -17. Determinar raízes da função f(x) = −3x4 + 18x3 − 36x2 + 24x. Colocando −3x em evidência em f(x) obtemos, f(x) = (−3x)(x3 − 6x2 + 12x− 8) cujo segundo fator é um cubo perfeito como se verifica no teste seguinte, {1, 3a, 3a2, a3} = {1,−6, 12,−8} 3a = −6⇒ a = −2 3a2 = 12⇒ a = ±2 a3 = −8⇒ a = −2 Logo f(x) pode ainda ser reescrita como, f(x) = (−3x)(x− 2)3 Destes fatores temos que as raízes de f(x) são x ∈ {0, 2}. 6 Função f(x) = xn − an A função polinomial f(x) = xn − an possui as seguintes propriedades, • Ela é divisível pelo binômio x− a. • Se n for ímpar a função possui apenas uma raiz real x = a. • Se n for par a função possui duas raízes reais x = ±a. ILUSTRAÇÃO -18. Fatorar a função f(x) = x3 − 8 e deter- minar suas raízes. Resolução, f(x) x− a = x3 − 23 x− 2 = x2 + 2x+ 4 Logo, f(x) = (x− 2)(x2 + 2x+ 4) Como n = 3 então f(x) possui apenas a raiz x = 2. ILUSTRAÇÃO -19. Determinar raízes da função polino- mial f(n) = x3 + 3x2 − 6x− 8. Resolução, f(n) = x3 + 3x2 − 6x− 8 = (x3 − 8) + (3x2 − 6x) = (x− 2)(x2 + 2x+ 4) + 3x(x− 2) = (x− 2)(x2 + 5x+ 4) o primeiro fator é de primeiro grau e possui raiz x = 2. O segundo fator é de segundo grau podem ser determinados pelo procedimento tradicional, ∆ = (5)2 − 4(1)(4) = 9 x = −5±√9 2(1) x = −4 x = −1 No total as raízes são x ∈ {−4,−1, 2} 7 Interpolação Polinomial Sejam os pontos, (x0, y0), (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3), · · · , (xn, yn) um conjunto de n+ 1 pontos no plano e f(x) a função po- linomial de grau n (mínima) que passa por esses pontos. O processo de determinação de f(x) é conhecido como in- terpolação polinomial. Seja a função polinomial, f(x) = c0 + c1x+ c2x 2 + · · ·+ cnxn (12) representada pelo polinômio de grau n que interpola os n − 1 pontos (xi, yi), com i ∈ {0, 1, 2, 3, · · · , n}. Então podemos construir um sistema linear de n − 1 equações substituindo-se cada ponto dado na equação-12. c0 + c1x0 + c2x 2 0 + · · ·+ cnxn0 = y0 c0 + c1x1 + c2x 2 1 + · · ·+ cnxn1 = y1 c0 + c1x2 + c2x 2 2 + · · ·+ cnxn2 = y2 c0 + c1x3 + c2x 2 3 + · · ·+ cnxn3 = y3 · · · c0 + c1xn + c2x 2 n + · · ·+ cnxnn = yn Cuja forma matricial é, 1 x0 x 2 0 · · · xn0 1 x1 x 2 1 · · · xn1 1 x2 x 2 2 · · · xn2 ... ... ... ... ... 1 xn x 2 n · · · xnn · c0 c1 c2 ... cn = y0 y2 y3 ... yn Uma forma alternativa ao uso de sistemas lineares ou matrizes é conhecida como interpolação de Lagrange. O polinômio de Lagrange, P (x), que interpola os pontoa (xi, yi), com 0 ≤ i ≤ n, é dado por, P (x) = n∑ i=0 Ai(x) Di · yi (13) onde, Ai(x) =(x− x0)(x− x1)(x− x2) · · · (x− xi−1)(x− xi+1) · · · (x− xn) (14) = ∏ 0≤j≤n,j 6=i (x− xj) (15) Di =(xi − x0)(xi − x1)(xi − x2) · · · (xi − xi−1)(xi − xi+1) · · · (xi − xn) (16) = ∏ 0≤j≤n,j 6=i (xi − xj) (17) ILUSTRAÇÃO -20. Determinar polinômio que passe pelos pontos a seguir, x y −2 98 −1 20 0 4 1 −4 2 −34 Da equação-14, A0(x) = (x+ 1)(x)(x− 1)(x− 2) = x4 − 2x3 − x2 + 2x A1(x) = (x+ 2)(x)(x− 1)(x− 2) = x4 − x3 − 4x2 + 4x A2(x) = (x+ 2)(x+ 1)(x− 1)(x− 2) = x4 − 5x2 + 4 A3(x) = (x+ 2)(x+ 1)(x)(x− 2) = x4 + x3 − 4x2 − 4x A4(x) = (x+ 2)(x+ 1)(x)(x− 1) = x4 + 2x3 − x2 − 2x da equação-16, D0 = (−2 + 1)(−2)(−2− 1)(−2− 2) = 24 D1 = (−1 + 2)(−1)(−1− 1)(−1− 2) = −6 D2 = (1)(2)(−1)(−2) = 4 D3 = (1 + 1)(1 + 2)(1)(1− 2) = −6 D4 = (2 + 1)(2 + 2)(2)(2− 1)= 24 Por fim, da equação-13, o polinômio de Lagrange é, P (x) = x4 − 2x3 − x2 + 2x 24 98+ x4 − x3 − 4x2 + 4x −6 20+ x4 − 5x2 + 4 4 4+ x4 + x3 − 4x2 − 4x −6 (−4)+ x4 + 2x3 − x2 − 2x 24 (−34) P (x) =x4 − 7x3 + 3x2 − 5x+ 4 8 Exercícios Determine funções polinomiais que possuam o seguinte grupo de raízes, 1. x ∈ {1, 8} 2. x ∈ {−9, 9, 11} 3. x ∈ {0, 3, 4, 5} 4. x ∈ {−1,−1/2,−1/4} 5. x ∈ {−√2, 0,√2} Para as funções polinomiais a seguir determine as raízes e efetue estudo de sinal, 6. f(x) = x3 − 2 7. f(x) = x3 − 14x2 − 274x 8. f(x) = (x2 − 16x+ 63)(x2 − 12x− 35) 9. f(x) = 3x3 + 12x2 − x− 4 10. f(x) = x3 − 5x2 + 5x− 1 11. f(x) = 2x5 − 32x3 − 3x2 + 48 12. f(x) = x4 − 10x3 − 7x2 + 160x− 144 13. f(x) = x4 − 52x2 + 576 14. f(x) = x3 + 3x2 + 3x+ 1 15. f(x) = 5x3 − x2 + 15x− 3 Resolva os problemas a seguir, 16. Se 2 é uma raiz da função f(x) = x3 − 8x2 − 43x+ 110 então determine as demais raízes, se existirem. 17. Determine os valores de A e B de forma que a função f(x) = x3 − 24x2 + Ax + B possua três raízes inteiras pares e consecutivas. Quais os valores dessas raízes? 18. Determine os valores de A, B e C de forma que a fun- ção f(x) = x4 +Ax3 + 70x2 +Bx+C possua três raízes inteiras em progressão geométrica de razão 2 (ou seja, a segunda é o dobro da primeira e a terceira é o dobro da segunda). Quais os valores dessas raízes? Interpole polinomialmente os conjuntos de pontos a seguir, 19. (3 4) (-4, 8) 20. (0,0) (1,3) (7, 1) 21. (1,1) (2, -1) (6, 7) (11, 23) 22. (-3,0) (0, 5) (7,1) (8, 2) (11, 0)
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