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FUNCAO POLINOMIAL - Prof. Ricardo Reis - UFC - Campus Quixadá

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Função Polinomial
Prof.o Ricardo Reis
Universidade Federal do Ceará
Sistemas de Informação
Quixadá-CE
2 de maio de 2013
1 Definições
Uma função polinomial f(x) é definida como,
f(x) = c0 + c1x+ c2x
2 + c3x
3 + · · ·+ cnxn (1)
onde c0, c1, c2, c3, · · · , cn são constantes denominadas co-
eficientes polinomiais. Refere-se ao i-ésimo termo da
equação-(1), com i ∈ {0, 1, 2, 3, · · · , n}, como cixi. Estes
termos são denominados monômios. Utilizando a notação
de monômios a equação-(1) pode ser reescrita na forma de
somatório,
f(x) =
n∑
i=0
cix
i (2)
O valor de i de um monômio é denominado grau do monô-
mio. Os graus dos monômios da equação-(1) na ordem
em que aparecem são então 0, 1, 2, 3, · · · , n. O maior grau
entre os monômios de uma função polinomial, ou seja, n,
é denominado grau da função (ou grau do polinômio). As
funções de primeiro e segundo grau recebem estas deno-
minações por se tratarem de casos particulares de funções
polinomiais respectivamente de graus iguais a 1 e 2.
Todas as funções polinomiais possuem como domínio
os reais, ou seja, D(f) = {∀x ∈ R}. Já a imagem va-
ria fortemente com o grau n da função de forma que não
trataremos aqui da determinação da imagem de funções
polinomiais quando n ≥ 3 (isso será estudado num curso
de cálculo).
2 Raízes
As raízes de um polinômio são todos os valores de x que
satisfazem a equação,
n∑
i=0
cix
i = 0
Uma função polinomial de grau n possui até n raízes reais
distintas. Quando a quantidade de raízes reais distintas é
menor que n diz-se que as demais raízes (para completar o
total n) são complexas (não reais). Raízes complexas ocor-
rem sempre aos pares, ou seja, se um polinômio possui
grau 5 então pode ter 0, 2 ou 4 raízes complexas e con-
sequentemente 5, 3 ou 1 raiz(es) reai(s). Focaremos aqui
apenas as raízes reais pois as funções polinomiais abor-
dadas são reais (f : R→ R).
ILUSTRAÇÃO -1. A função f(x) = x3−4x2−25x+28 possui
grau 3 e três raízes reais, [−4, 1, 7]. Verificando,
f(−4) = (−4)3 − 4(−4)2 − 25(−4) + 28
= −64− 64 + 100 + 28
= 0
f(1) = (1)3 − 4(1)2 − 25(1) + 28
= 1− 4− 25 + 28
= 0
f(7) = (7)3 − 4(7)2 − 25(7) + 28
= 343− 196− 175 + 28
= 0
ILUSTRAÇÃO -2. A função f(x) = x3 + 3x2 + x + 3 possui
grau 3 e apenas uma raiz real, [−3]. Verificando,
f(−3) = (−3)3 + 3(−3)2 + (−3) + 3
= −27 + 27− 5 + 3
= 0
ILUSTRAÇÃO -3. A função f(x) = x5 + 2x4 − 10x3 − 2x2 −
171x − 180 possui grau 5, duas raízes complexas e três
raízes reais, [−1,−5, 4]. Verificando,
f(−1) = (−1)5 + 2(−1)4 − 10(−1)3 − 2(−1)2 − 171(−1)− 180
= −1 + 2 + 10− 2 + 171− 180
= 0
f(−5) = (−5)5 + 2(−5)4 − 10(−5)3 − 2(−5)2 − 171(−5)− 180
= −3125 + 1250 + 1250− 50 + 855− 180
= 0
f(4) = (4)5 + 2(4)4 − 10(4)3 − 2(4)2 − 171(4)− 180
= 1024 + 512− 640− 32− 684− 180
= 0
ILUSTRAÇÃO -4. A função f(x) = 9x4+6x3+43x2+14x+49
não possui raízes reais.
2.1 Fatoração
Fatorar um polinômio P (x) significa reescrevê-lo como
um produto de polinômios de graus menores que o de
P (x). Matematicamente,
P (x) = Q1(x) ·Q2(x) · · ·Qm(x) (3)
1
onde P (x) é um polinômio de grau n e Q1, Q2, Q3, · · · , Qm
são polinômios cujos graus são inferiores a n.
O conjunto das raízes do polinômio P (x), equação-3,
é formado pelas raízes dos polinômios Q1, Q2, Q3, · · · , Qm.
Dessa forma se P (x) puder ser fatorado em polinômios de
fácil resolução então suas raízes poderão ser determina-
das resolvendo-se cada um destes fatores.
A fatoração de polinômios (e consequentemente das
funções polinomiais) não possui regra. O que em geral
se faz é tentar determinar isolar fatores comuns e depois
colocá-los em evidência o que naturalmente converte o
polinômio em um produto de polinômios. Este procedi-
mento, e a determinação de raízes que ele proporciona,
são ilustrados nos exemplos a seguir.
ILUSTRAÇÃO -5. Determinar raízes da função polinomial
f(x) = x3 − 5x2 + 6x.
Podemos fatorar f(x) como,
f(x) = x(x2 − 5x+ 6)
De onde os fatores são,
Q1(x) = x
Q2(x) = x
2 − 5x+ 6
O fator Q1 é de primeiro grau e tem raiz 0 e o fator Q2 é de
segundo grau e suas raízes são,
∆ = (−5)2 − 4(1)(6) = 1
x =
−(−5)±√1
2(1)
x = 2 x = 3
Assim as raízes de f(x) são x ∈ {0, 2, 3}
ILUSTRAÇÃO -6. Determinar raízes da função polinomial
f(x) = x3 + 2x2 − 9x− 18.
Rearranjando e fatorando obtemos,
f(x) = x3 − 9x+ 2x2 − 18
= x(x2 − 9) + 2(x2 − 9)
= (x2 − 9)(x+ 2)
de onde identificamos os fatores Q1(x) = x2 − 9 e Q2(x) =
x+ 2. Como as raízes de Q1 são {−3, 3} e de Q2 é −2 então
as raízes de f(x) são x ∈ {−3,−2, 3}.
ILUSTRAÇÃO -7. Determinar raízes da função polinomial
f(x) = x4 − 3x3 + x2 − 3x.
Fatorando obtemos,
f(x) = x3(x− 3) + x(x− 3)
= (x− 3)(x3 + x)
= (x− 3)(x)(x2 + 1)
O primeiro fator é de primeiro grau e tem raiz 3, o segundo
fator é também de primeiro grau e possui raiz 0 e o terceiro
fator é de segundo grau e não possui raízes (∆ = −4 < 0).
Assim as raízes de f(x) são x ∈ {0, 3}.
2.2 Redução de Ordem
Se uma raiz x0 do polinômio P (x) for conhecida então o
polinômio Q(x), tal que
Q(x) =
P (x)
x− x0
é denominado redução de P (x) com respeito a x0. E ainda,
o conjunto das raízes de P (x) é formado por x0 e pelas
raízes de Q(x).
ILUSTRAÇÃO -8. Dado a função polinomial f(x) = x3 −
18x2 − 67x − 110 que possui uma raiz x = 11, determinar
as demais raízes.
Dividindo a função por x− 11 obtemos,
f(x)
x− 11 =
x3 − 18x2 − 67x− 110
x− 11
= x2 − 7x+ 10
O resultado do quociente é um polinômio de segundo grau
e suas raízes são,
∆ = (−7)2 − 4(1)(10) = 9
x =
−(−7)±√9
2(1)
x = 2 x = 5
Assim as raízes de f(x) são x ∈ {2, 5, 11}
ILUSTRAÇÃO -9. A função f(x) = x4 − 7x3 + 9x2 + 7x −
10 possui raízes {−1, 2}. Determine as demais raízes, se
existirem.
O quociente de redução neste caso é,
f(x)
(x− (−1))(x− 2) =
−10x4 + 7x3 + 9x2 − 7x+ 1
(x+ 1)(x− 2)
=
x4 − 7x3 + 9x2 + 7x− 10
x2 − x− 2
= x2 − 6x+ 5
O resultado do quociente é um polinômio de segundo grau
cujas raízes são,
∆ = (−6)2 − 4(1)(5) = 16
x =
−(−6)±√16
2(1)
x = 5 x = 1
Assim as raí de f(x) são x ∈ {−1, 1, 2, 5}
ILUSTRAÇÃO -10. A função polinomial f(x) = x3 − x2 −
4x + 4 possui três raízes reais onde duas delas possuem
mesmo módulo. Determine as raízes de f(x).
Se duas das três raízes possuem mesmo módulo po-
demos dizer que as raízes são {a,−a, b}. Então podemos
fazer,
f(x) = (x− (a))(x− (−a))(x− b)
= (x2 − a2)(x− b)
= x3 − bx2 − a2x+ a2b
Igualando este resultado a definição de f(x) obtemos,
x3 − bx2 − a2x+ a2b = x3 − x2 − 4x+ 4
de onde deduzimos que,
−b = −1⇒ b = 1
−a2 = −4⇒ a = ±2
a2b = 4
E logo a = ±2 e b = 1 e naturalmente as raízes de f(x)
ficam x ∈ {−2, 1, 2}
ILUSTRAÇÃO -11. Determine a e b na função polinomial
f(x) = x3 + 9x2 + ax + b de forma a possuir três raízes
inteiras e consecutivas. Que raízes são essas?
Se são inteiras e consecutivas então podemos
representá-las por {n, n + 1, n + 2}, onde n ∈ Z. Rees-
crevendo f(x) como produto de fatores obtemos,
f(x) = (x− n)(x− (n+ 1))(x− (n+ 2))
= (x2 − (2n+ 1)x+ n(n+ 1))(x− (n+ 2))
= x3 − (3n+ 3)x2
+ (3n2 + 6n+ 2)x
− (n3 + 3n2 + 2n)
Usando o coeficiente do segundo monômio deste produto
de fatores obtemos n,
−(3n+ 3) = 9
n = −4
Uma vez conhecido o valor de n então os valores de a e b
podem ser determinados respectivamente pelos terceiro e
quarto coeficientes do produto de fatores anterior,
a = 3n2 + 6n+ 2
= 3(−4)2 + 6(−4) + 2
= 48− 24 + 2
= 26
b = −(n3 + 3n2 + 2n)
= −((−4)3 + 3(−4)2 + 2(−4))
= −(−64 + 48− 8)
= 24
Além disso as raízes de f(x) são {−4,−3,−2}.
3 Estudo de Sinal
Para construir o estudo de sinal de uma função polino-
mial é necessário primeiramente fatorar o polinômio em
fatores de até no máximo grau dois. Os fatores devem en-
tão ser estudados com respeito ao sinal. Finalmente deve-
se parear os estudos de sinais dos fatorese cruzar seus
sinais. As ilustrações seguintes apresentam o processo.
ILUSTRAÇÃO -12. Efetuar estudo de sinal da função
f(x) = x3 − 2x2 − x+ 2.
Fatorando f(x) obtemos,
f(x) = x3 − 2x2 − x+ 2
= x2(x− 2) + (−1)(x− 2)
= (x− 2)(x2 − 1)
Os fatores x − 2 e x2 − 1, por serem respectivamente de
primeiro e segundo grau, podem ter o sinal diretamente
analisado. Procederemos então da seguinte forma: efetu-
aremos os estudos de sinais dos fatores obtidos e marca-
remos seus resultados em eixos independentes, mas ver-
ticalmente alinhados de forma que valores de x equivalen-
tes fiquem sobre a mesma linha vertical. Obtemos assim
o diagrama a seguir,
f(x)
x2 − 1
x− 2
−1 1 2
− − − +
+ − + +
− + − +
Os sinais indicam resultados dos estudos de sinais. Nas
duas primeiras linhas são dispostos os estudos dos sinais
dos fatores e na terceira são projetados os cruzamentos
de sinais das duas primeiras. Note que as raízes dos fato-
res, marcadas por linhas verticais tracejadas, compõem o
estudo de sinal de f(x).
Do diagrama anterior obtemos,
y < 0⇒ x < −1 ∪ 1 < x < 2
y = 0⇒ x ∈ {−1, 1, 2}
y > 0⇒ −1 < x < 1 ∪ x > 2
ILUSTRAÇÃO -13. Efetuar o estudo de sinal da função
f(x) = x4 − 2x3 − 13x2 + 38x − 24 sabendo que x = −4 e
x = 1 são raízes.
Dado que {−4, 1} são raízes então podemos reduzir f
dividindo-a pelo produto (x + 4)(x − 1) = x2 + 3x − 4. O
quociente
x4 − 2x3 − 13x2 + 38x− 24
x2 + 3x− 4 revela o polinômio de
segundo grau x2 − 5x + 6 cujas raízes são x = 2 e x = 3
completando assim as raízes de f .
Reescrevendo f em fatores temos,
f(x) = (x2 + 3x− 4) · (x2 − 5x+ 6)
Efetuando os estudos de sinal destes dois fatores e
construindo o diagrama de cruzamentos de sinais obte-
mos,
f(x)
x2 + 3x− 4
x2 − 5x+ 6
−4 1 2 3
+ + + − +
+ − + + +
+ − + − +
Logo o estudo de sinal de f fica,
y < 0⇒ −4 < x < 1 ∪ 2 < x < 3
y = 0⇒ x ∈ {−4, 1, 2, 3}
y > 0⇒ x < −4 ∪ 1 < x < 2 ∪ x > 3
4 Função Quadrática
A função quadrática é a função polinomial de grau qua-
tro cujos coeficientes dos monômios de grau 1 e 3 são nu-
los. Esquematicamente a função quadrática tem forma,
f(x) = ax4 + bx2 + c (4)
As raízes de um polinômio quadrático podem ser de-
terminadas por um procedimento semelhante àquele uti-
lizado na solução da equação de segundo grau conforme
etapas descritas a seguir,
1. Determinar o parâmetro ∆,
∆ = b2 − 4ac (5)
onde a, b e c são os coeficientes da equação-4 com
a 6= 0.
2. Se ∆ ≥ 0 então determinam-se os parâmetros χ1 e χ2
conforme equações,
χ1 =
−b+√∆
2a
(6)
χ2 =
−b−√∆
2a
(7)
3. Se χ1 ≥ 0 então ±√χ1 são raízes da função quadrá-
tica.
4. De forma similar se χ2 ≥ 0 então ±√χ2 são raízes da
função quadrática.
ILUSTRAÇÃO -14. Determinar raízes da função f(x) =
x4 − 58x2 + 441.
Resolução,
∆ = (−58)2 − 4(1)(441) = 1600
χ1 =
−(−58) +√1600
2(1)
= 49
χ2 =
−(−58) +√1600
2(1)
= 9
x = {±
√
49,±
√
9}
x = {−7,−3, 3, 7}
ILUSTRAÇÃO -15. Determinar raízes da função f(x) =
x4 − 165x2 − 676.
Resolução,
∆ = (−165)2 − 4(1)(−676) = 1732
χ1 =
−(−165) + 173
2(1)
= 169
χ2 =
−(−165)− 173
2(1)
= −4 ≤ 0
x = {±
√
169}
x = {−13, 13}
5 Função f(x) = (x+ a)n
A função polinomial f(x) = (x+ a)n, com x ∈ R e n ∈ N,
é conhecida como binômio de Newton. A expansão deste
binômio resulta,
f(x) = xn + nxn−1a+
n(n− 1)
2
xn−2a2 + · · ·+ an (8)
cuja forma geral é,
f(x) =
n∑
k=0
n!
(n− k)!k!x
n−kak (9)
Funções polinomiais nesta forma possuem apenas uma
raiz real de valor −a. Os casos mais comuns ocorrem
quando n = 2 e n = 3 conhecidos respectivamente como
quadrado perfeito e cubo perfeito. O quadrado perfeito tem
forma,
f(x) = (x− a)2 = x2 + 2ax+ a2 (10)
Logo para que se trate de um quadrado perfeito então os
coeficientes devem seguir o padrão {1, 2a, a2}.
Já o cubo perfeito tem forma,
f(x) = (x− a)2 = x3 + 3x2a+ 3xa2 + a3 (11)
Logo para que se trate de um cubo perfeito então os coe-
ficientes devem seguir o padrão {1, 3a, 3a2, a3}.
ILUSTRAÇÃO -16. Determinar raízes do polinômio f(x) =
x2 + 30x+ 225.
Testando o padrão,
{1, 2a, a2} = {1, 30, 255}
2a = 30⇒ a = 15
a2 = 255⇒ a = ±15
Como o valor de a = 15 satisfaz os dois últimos coeficientes
e o primeiro coeficiente é 1 então f(x) possui raiz única
x = −15
ILUSTRAÇÃO -17. Determinar raízes da função f(x) =
−3x4 + 18x3 − 36x2 + 24x.
Colocando −3x em evidência em f(x) obtemos,
f(x) = (−3x)(x3 − 6x2 + 12x− 8)
cujo segundo fator é um cubo perfeito como se verifica no
teste seguinte,
{1, 3a, 3a2, a3} = {1,−6, 12,−8}
3a = −6⇒ a = −2
3a2 = 12⇒ a = ±2
a3 = −8⇒ a = −2
Logo f(x) pode ainda ser reescrita como,
f(x) = (−3x)(x− 2)3
Destes fatores temos que as raízes de f(x) são x ∈ {0, 2}.
6 Função f(x) = xn − an
A função polinomial f(x) = xn − an possui as seguintes
propriedades,
• Ela é divisível pelo binômio x− a.
• Se n for ímpar a função possui apenas uma raiz real
x = a.
• Se n for par a função possui duas raízes reais x = ±a.
ILUSTRAÇÃO -18. Fatorar a função f(x) = x3 − 8 e deter-
minar suas raízes.
Resolução,
f(x)
x− a =
x3 − 23
x− 2
= x2 + 2x+ 4
Logo,
f(x) = (x− 2)(x2 + 2x+ 4)
Como n = 3 então f(x) possui apenas a raiz x = 2.
ILUSTRAÇÃO -19. Determinar raízes da função polino-
mial f(n) = x3 + 3x2 − 6x− 8.
Resolução,
f(n) = x3 + 3x2 − 6x− 8
= (x3 − 8) + (3x2 − 6x)
= (x− 2)(x2 + 2x+ 4) + 3x(x− 2)
= (x− 2)(x2 + 5x+ 4)
o primeiro fator é de primeiro grau e possui raiz x = 2. O
segundo fator é de segundo grau podem ser determinados
pelo procedimento tradicional,
∆ = (5)2 − 4(1)(4) = 9
x =
−5±√9
2(1)
x = −4 x = −1
No total as raízes são x ∈ {−4,−1, 2}
7 Interpolação Polinomial
Sejam os pontos,
(x0, y0), (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3), · · · , (xn, yn)
um conjunto de n+ 1 pontos no plano e f(x) a função po-
linomial de grau n (mínima) que passa por esses pontos.
O processo de determinação de f(x) é conhecido como in-
terpolação polinomial.
Seja a função polinomial,
f(x) = c0 + c1x+ c2x
2 + · · ·+ cnxn (12)
representada pelo polinômio de grau n que interpola os
n − 1 pontos (xi, yi), com i ∈ {0, 1, 2, 3, · · · , n}. Então
podemos construir um sistema linear de n − 1 equações
substituindo-se cada ponto dado na equação-12.
c0 + c1x0 + c2x
2
0 + · · ·+ cnxn0 = y0
c0 + c1x1 + c2x
2
1 + · · ·+ cnxn1 = y1
c0 + c1x2 + c2x
2
2 + · · ·+ cnxn2 = y2
c0 + c1x3 + c2x
2
3 + · · ·+ cnxn3 = y3
· · ·
c0 + c1xn + c2x
2
n + · · ·+ cnxnn = yn
Cuja forma matricial é,

1 x0 x
2
0 · · · xn0
1 x1 x
2
1 · · · xn1
1 x2 x
2
2 · · · xn2
...
...
...
...
...
1 xn x
2
n · · · xnn
 ·

c0
c1
c2
...
cn
 =

y0
y2
y3
...
yn

Uma forma alternativa ao uso de sistemas lineares ou
matrizes é conhecida como interpolação de Lagrange. O
polinômio de Lagrange, P (x), que interpola os pontoa
(xi, yi), com 0 ≤ i ≤ n, é dado por,
P (x) =
n∑
i=0
Ai(x)
Di
· yi (13)
onde,
Ai(x) =(x− x0)(x− x1)(x− x2) · · ·
(x− xi−1)(x− xi+1) · · ·
(x− xn) (14)
=
∏
0≤j≤n,j 6=i
(x− xj) (15)
Di =(xi − x0)(xi − x1)(xi − x2) · · ·
(xi − xi−1)(xi − xi+1) · · ·
(xi − xn) (16)
=
∏
0≤j≤n,j 6=i
(xi − xj) (17)
ILUSTRAÇÃO -20. Determinar polinômio que passe pelos
pontos a seguir,
x y
−2 98
−1 20
0 4
1 −4
2 −34
Da equação-14,
A0(x) = (x+ 1)(x)(x− 1)(x− 2)
= x4 − 2x3 − x2 + 2x
A1(x) = (x+ 2)(x)(x− 1)(x− 2)
= x4 − x3 − 4x2 + 4x
A2(x) = (x+ 2)(x+ 1)(x− 1)(x− 2)
= x4 − 5x2 + 4
A3(x) = (x+ 2)(x+ 1)(x)(x− 2)
= x4 + x3 − 4x2 − 4x
A4(x) = (x+ 2)(x+ 1)(x)(x− 1)
= x4 + 2x3 − x2 − 2x
da equação-16,
D0 = (−2 + 1)(−2)(−2− 1)(−2− 2) = 24
D1 = (−1 + 2)(−1)(−1− 1)(−1− 2) = −6
D2 = (1)(2)(−1)(−2) = 4
D3 = (1 + 1)(1 + 2)(1)(1− 2) = −6
D4 = (2 + 1)(2 + 2)(2)(2− 1)= 24
Por fim, da equação-13, o polinômio de Lagrange é,
P (x) =
x4 − 2x3 − x2 + 2x
24
98+
x4 − x3 − 4x2 + 4x
−6 20+
x4 − 5x2 + 4
4
4+
x4 + x3 − 4x2 − 4x
−6 (−4)+
x4 + 2x3 − x2 − 2x
24
(−34)
P (x) =x4 − 7x3 + 3x2 − 5x+ 4
8 Exercícios
Determine funções polinomiais que possuam o seguinte
grupo de raízes,
1. x ∈ {1, 8}
2. x ∈ {−9, 9, 11}
3. x ∈ {0, 3, 4, 5}
4. x ∈ {−1,−1/2,−1/4}
5. x ∈ {−√2, 0,√2}
Para as funções polinomiais a seguir determine as raízes e
efetue estudo de sinal,
6. f(x) = x3 − 2
7. f(x) = x3 − 14x2 − 274x
8. f(x) = (x2 − 16x+ 63)(x2 − 12x− 35)
9. f(x) = 3x3 + 12x2 − x− 4
10. f(x) = x3 − 5x2 + 5x− 1
11. f(x) = 2x5 − 32x3 − 3x2 + 48
12. f(x) = x4 − 10x3 − 7x2 + 160x− 144
13. f(x) = x4 − 52x2 + 576
14. f(x) = x3 + 3x2 + 3x+ 1
15. f(x) = 5x3 − x2 + 15x− 3
Resolva os problemas a seguir,
16. Se 2 é uma raiz da função f(x) = x3 − 8x2 − 43x+ 110
então determine as demais raízes, se existirem.
17. Determine os valores de A e B de forma que a função
f(x) = x3 − 24x2 + Ax + B possua três raízes inteiras
pares e consecutivas. Quais os valores dessas raízes?
18. Determine os valores de A, B e C de forma que a fun-
ção f(x) = x4 +Ax3 + 70x2 +Bx+C possua três raízes
inteiras em progressão geométrica de razão 2 (ou seja,
a segunda é o dobro da primeira e a terceira é o dobro
da segunda). Quais os valores dessas raízes?
Interpole polinomialmente os conjuntos de pontos a seguir,
19. (3 4) (-4, 8)
20. (0,0) (1,3) (7, 1)
21. (1,1) (2, -1) (6, 7) (11, 23)
22. (-3,0) (0, 5) (7,1) (8, 2) (11, 0)

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