EXERCICIOS CALCULO 1

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
CCEN–DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
Ca´lculo 1 - 4 a Lista de Exerc´ıcios
1 - Calcule y′ usando diferenciac¸a˜o impl´ıcita :
a) 15 x = 15 y + 5 y3 + 3 y5 . e) b2 x2 + a2 y2 = a2 b2 i) 3x6 + 2 x3 y − y7 x = 10
b) x =
√
y + y
1
3 f)
√
x+
√
y =
√
a j) y5 − cos(x y) + 3 = y2
c) y2 = 2 p x g) x
2
3 + y
2
3 = a
2
3 k) x+ 2
√
x y + y = a
d) x2 + y2 = r2 h) x3 − 3 a x y + y3 = 0 . l)
√
y
x
+
√
x
y
= 6
2- Calcule y′:
1) y = ln(a x+ b) 6) y = ln(x+
√
1 + x2) 11) y =
ex
x
2) y = ln(a x2 + b) 7) y = ln(
√
a+ b x
a− b x) 12) y =
ex − 1
ex + 1
3) y = ln(a x+ b)2 8) y = enx 12) y = ln(x2 ex)
4) y = ln3((a x+ b)2) 9) y = ex
2
14) y =
ex − e−x
ex + e−x
5) y = x ln(a x) 10) y = e
√
x 15) y = ln
(√
x2 − 1− x√
x2 − 1 + x
)
3- Resolva os seguintes problemas:
a) Mostrar que a circunfereˆncia x2 + y2 − 12 x − 6 y + 25 = 0 e´ tangente a circun-
fereˆncia x2 + y2 + 2 x+ y = 10 no ponto (2, 1) .
b) Qual o aˆngulo que a reta y = 2 x faz com a curva x2 − x y + 2 y2 = 28 ?
c) Em que pontos a reta tangente a curva y2 = 2 x3 e´ perpendicular a` reta 4 x −
3 y + 1 = 0 ?
d) Ache os valores de a e b para a curva x2 y+ a y2 = b se o ponto (1, 1) esta´ no seu
gra´fico e a reta tangente em (1, 1) tem a equac¸a˜o 4 x+ 3 y = 7 .
e) Ache as coordenadas do ponto no primeiro quadrante, no qual a reta a reta tan-
gente a´ curva x3 − x y + y3 = 0 e´ paralela ao eixo x.
f) Ache as equac¸o˜es para duas retas que passam pela origem e sa˜o tangentes a` curva
x2 − 4 x+ y2 + 3 = 0 .
g) Use a diferenciac¸a˜o impl´ıcita para mostrar que a equac¸a˜o da reta tangente a` curva
y2 = k x em (x0, y0) e´
y0 y =
1
2
k (x+ x0) .