Questão resolvida - Considere f(x)=5_(1+x²) uma função real definida em toda reta R, determine a equação da reta tangente e da reta normal à essa curva no ponto P(1,5/2)_

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Considere uma função real definida em toda reta R, determine a f x =( )
5
1 + x²( )
equação da reta tangente e da reta normal à essa curva no ponto .P 1,
5
2
 
Resolução:
 
Reta tangente
 
A inclinação (que é o mesmo que o coeficiente angular) da reta é dada pelo valor da 
derivada da curva no ponto;
Antes de fazer a derivada, vamos reescrever a função como: f x = 5 ⋅ 1 + x²( ) ( )-1
Derivando como uma função composta;
 
f' x = - 1 ⋅ 5 ⋅ 1 + x² ⋅ 2x f' x = -( ) ( ) -1-1( ) → ( )
10x
1 + x²( )2
No ponto P o valor da derivada é: 
f' 1 = - f' 1 = - f' 1 = - f' 1 = -( )
10 ⋅ 1
1 + 1 ²
( )
( ( ) )2
→ ( )
10
1 + 1( )2
→ ( )
10
2( )2
→ ( )
10
4
f' 1 = -( )
5
2
Assim, temos o coefiente angular da reta tangente, sua equação é: y = - x + b
5
2
Para achar o coeficiente angular b substituimos o ponto; 
 → 1,
5
2
= - ⋅ 1 + b = - + b
5
2
5
2
→
5
2
5
2
, com isso, a equação da reta tangente fica:b = + b = b = b = b = 5
5
2
5
2
→
5 + 5
2
→
10
2
→
 
Equação da reta tangente : y = - x+ 5 
5
2
 
Reta normal
 
Existe uma relação entre o coeficiente ângular da reta tangente e da reta normal dada por:
 
 
(Resposta - Reta tangente)
m' = -
1
m
Já conhecemos o coeficiente ângular m da reta tangente, com isso, o coeficiente angular da 
rela norma é: m' = - m' = - ⋅- m' =
1
-
5
2
→
1
1
2
5
→
2
5
Dessa forma, a equação da reta normal fica: y = x + b
2
5
Para saber o valor de b é preciso substituir os valores do ponto (1, ) na equação da reta 
5
2
normal;
 
= ⋅ 1 + b = + b b = - b = b =
5
2
2
5
→
5
2
2
5
→
5
2
2
5
→
25 - 4
10
→
21
10
 Finalmente, a reta normal à curva é : y = x+ 
2
5
21
10
 
 
(Resposta - Reta normal)