Questão resolvida - Encontre as retas tangentes à curva f(x)=x³_3-3x²+8x que sejam paralelas ao eixo x - reta tangente - Cálculo I

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Encontre as retas tangentes à curva que sejam paralelas ao f x = - 3x² + 8x( )
x³
3
eixo x.
 
Resolução:
 
 A reta tangente a uma curva é dada por: y = f' x x + b( )
 é o coeficiente angular da reta tangente à curva em um determinado x, assim, f' x( ) f x( )
devemos encontrar a derivada e igualar a zero, os valores de x encontrados são aqueles 
onde a reta tangente a é paralela a x, pois;f x( )
 
Se f' x = 0 y = 0x + b y = b( ) → →
 
Com b sendo a coordenada y do ponto onde , assim, vamos encontrar esses f' x = 0( )
pontos;
f x = - 3x² + 8x f' x = - 2 ⋅ 3x + 8 f' x = x - 6x + 8( )
x³
3
→ ( )
3x
3
2
→ ( ) 2
 
x - 6x + 8 = 0, temos uma equação do 2°, resolvendo;2
 
x' = = 4
- -6 +
2 ⋅ 1
( ) -6 - 4 ⋅ 1 ⋅ 8( )2 ( )
 
x" = = 2
- -6 -
2 ⋅ 1
( ) -6 - 4 ⋅ 1 ⋅ 8( )2 ( )
 
Com isso, para , tem retas tangentes que são paralelas ao eixo x, vamos x = 4 e x = 2 f x( )
substituir os valores de x para encontrar as constantes b das retas tangentes horizontais;
 
 
Se x = 4 f 4 = -3 4 ² + 8 ⋅4 f 4 = -3 ⋅16 + 32 f 4 = -48 + 32 f 4 =→ ( )
4 ³
3
( )
( ) → ( )
64
3
→ ( )
64
3
→ ( )
64-144 + 96
3
 
f 4 =( )
16
3
 
 
 
 
Se x = 2 f 2 = -3 2 ² + 8 ⋅2 f 2 = -3 ⋅4 + 16 f 2 = -12 + 16 f 2 =→ ( )
2 ³
3
( )
( ) → ( )
8
3
→ ( )
8
3
→ ( )
8-36 + 48
3
 
f 2 =( )
20
3
 
Com isso, as retas tangentes da curva paralelas ao eixo y, são;f x( )
 
y = e y = 1
16
3
2
20
3
 
Adicionalmente, podemos verificar isso no gráfico abaixo:
 
 
 
(Resposta )
x