exercicios de vetores aula 03

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Exercícios 
 
1) Dados os vetores: 
 ⃗ ( ) ⃗ ( ) ⃗⃗⃗ ( ) 
Determine os ângulos entre: 
a) ⃗ e ⃗ 
b) ⃗ e ⃗⃗⃗ 
c) ⃗ e ⃗⃗⃗ 
 
2) Se os vértices de um triângulo são os pontos A (1, –1, 1), B (0, 1, 2) e C (1, 1, 0), determine 
o ângulo ̂. 
 
3) Dados os pontos A(1, 1, 4) e B(2, 0, 3), calcule os cossenos diretores e os ângulos diretores 
do vetor ⃗⃗⃗⃗ ⃗. 
 
4) Determine um vetor unitário que seja, simultaneamente, ortogonal aos vetores ⃗ 
 ( ) e ⃗ = (–1, 2, 1). 
 
5) Dados os vetores ⃗ ( ) ⃗ ( ), calcule a área do paralelogramo, 
determinado pelos vetores 2 ⃗ e ⃗ + ⃗ . 
 
6) Dados os vetores ⃗ = (–1, 0, 2), ⃗ = (2, x, –1) e ⃗⃗⃗ = (0, –1, –1), calcule o valor de x para 
que o volume do paralelepípedo determinado por ⃗ , ⃗ e ⃗⃗⃗ seja 10 u.v. 
 
7) Determine o valor de x, para que os vetores ⃗ = (–1, 0, 2), ⃗ = (2, x, –1) e ⃗⃗⃗ = (0, –1, –1) 
sejam coplanares. 
 
8) Verifique se os pontos A (0, 1, –2), B (2, 1, –1), C (1, 1, –1) e D (0, 1, 0) estão situados em 
um mesmo plano. 
 
 
 
 
 
9) Dados os vetores 
v
 = (1, 1, 3), 
u
 = (-2, 0, -6) e 
w
 = (2, 5, 1), determine o vetor r ortogonal, 
simultaneamente, a 
v
 e 
u
 e tal que r .w = 5 
a) (2, 0, 1) 
b) (3, 0, -1) 
c) (1, 2, 3) 
d) (0, 1, -2) 
e) (3, 0, 1) 
 
10) Dados os pontos A (3, m – 1, -4) e B (8, 2m – 1, m), determine m de modo que 
35

AB
. 
a) m = - 2 e m = 2 
b) m = - 2 e m = 1 
c) m = - 1 e m = -3 
d) m = - 1 e m = 1 
e) m = 1 e m = 2 
 
11) Calcule n para que o vetor 
u
 = (n, 3/5, 4/5) seja unitário: 
a) n = 1/5 
b) n = - 1/5 
c) n = - 2/5 
d) n = 0 
e) n = 2/5 
 
12) Determine o vetor 
v
 , colinear ao vetor 
u
 = (-4, 2, 6), tal que 
wv

.
= 12, sendo 
w
 = (-1, 4, 2). 
a) (2, 1, 1) 
b) (3, 1, -2) 
c) (1, 2, 3) 
d) (1, 1, -2) 
e) (-2, 1, 3) 
 
 
 
 
 
 
13) Determine o volume do paralelogramo delimitado pelos vetores 
v
 = (0, 1, 2), 
u
 = (-1, 2, 1) e 
w
 
= (1, 2, -2). 
a) 9 uv 
b) 10 uv 
c) 8 uv 
d) 7 uv 
e) 6 uv 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
1) 
a) 
 ⃗⃗ ⃗⃗ 
 
, ⃗ ⃗ = (– 1) . 1 + 1 . 2 + (–1) . (– 3) = – 1 + 2 + 3 = 4 
 √( ) ( ) √ 
 √ ( ) √ 
 
 
√ √ 
 
 
√ 
 
 √ 
 
 
 (
 √ 
 
) 
 
b) 
 ⃗⃗ ⃗⃗⃗ 
 
, ⃗ ⃗⃗⃗ = (– 1) . 0 + 1 . 2 + (– 1) . (– 2) = 0 + 2 + 2 = 4 
 √( ) ( ) √ 
 √ ( ) √ √ 
 
 
√ √ 
 
 
√ 
 
√ 
 
 
 (
√ 
 
) 
 
c) 
 ⃗⃗ ⃗⃗⃗ 
 
, ⃗ ⃗⃗⃗ = 1 . 0 + 2 . 2 + (– 3) . (– 2) = 0 + 4 + 6 = 10 
 √ ( ) √ 
 √ ( ) √ √ 
 
 
√ √ 
 
 
√ 
 
 √ 
 
 
 (
 √ 
 
) 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Para determinarmos o ângulo ̂, vê-se pela figura que: 
 
 ̂ 
 ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗
 
 
 ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ( ) 
 ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ( ) 
 ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ( ) ( ) ( ) 
 √ ( ) ( ) √ 
 √ ( ) √ 
 ̂ 
 
√ √ 
 
 
√ 
 
√ 
 
 
 ̂ 
√ 
 
 
 
3) 
 ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ( ) ( ) 
 √ ( ) ( ) √ 
 
 
√ 
 
√ 
 
 
√ 
 
 
 
 
√ 
 
 √ 
 
 
 √ 
 
 
 
 
√ 
 
 √ 
 
 
 √ 
 
 
 
 
 
 
 
4) Um vetor que seja, simultaneamente, ortogonal a dois outros vetores é o produto vetorial 
entre eles. Como o problema pede um unitário, basta que se ache o unitário da direção do 
produto vetorial entre os vetores. 
 
 ⃗ ⃗ |
 ⃗ 
 
 
|
 
 
 
 
 
 [ ( ) ⃗ ] ( ) ⃗ 
 
 [ ⃗ ] ( ) ⃗ 
 
 ⃗ ⃗ ⃗ 
| ⃗ ⃗ | √( ) ( ) √ √ 
 
Seja λ este unitário, então 
 
 ⃗ 
 ⃗ ⃗ 
| ⃗ ⃗ |
 
( )
 √ 
 ( 
 √ 
 
 
 √ 
 
 
√ 
 
) 
 √ 
 
 
 √ 
 
 
√ 
 
 ⃗ 
 
5) A área do paralelogramo é o módulo do produto vetorial dos vetores indicados. 
Assim: 
2 ⃗ = (–2, 4, 0) 
 ⃗ + ⃗ = (0, 3, –1) 
 
 ⃗ ( ⃗ ⃗ ) |
 ⃗ 
 
 
|
 
 
 
 
 
 [ ⃗ ( ) ( ) ] ( ) ( ) ⃗ 
 
 [ ⃗ ] ( ) ( ) ⃗ 
 
 
 ⃗ ( ⃗ ⃗ ) ⃗ 
 
 | ⃗ ( ⃗ ⃗ )| √( ) ( ) ( ) √ √ 
 
6) Como o volume do paralelepípedo é: 
 |( ⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ )| 
e no problema 
|( ⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ )| 
Então: 
|( ⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ )| |
 
 
 
| 
Logo: 
| | 
Então: 
 
Portanto: 
x = 13 ou x = –7 
 
7) Para que três vetores seja complanares, seu produto misto deve ser nulo. Assim: 
 
( ⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ) |
 
 
 
| 
 
Então: 
x – 3 = 0 
x = 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
8) Esses pontos estarão situados em um mesmo plano se os vetores formados por eles forem 
coplanares, ou seja: 
 
( ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗) 
 ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ( ) 
 ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ( ) 
 ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ( ) 
 
( ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗) |
 
 
 
| 
Logo, os pontos dados são coplanares. 
 
9) Resposta: b 
 
10) Resposta: c 
 
11) Resposta: d 
 
12) Resposta: e 
 
13) Resposta: a