Exercício de CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA AV 1

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CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
1a aula
	
	 1a Questão
	
	
	
	
	Dados os vetores u ( 4, -x ) e v ( 2, 3 ), qual é  o valor de x , sabendo que os vetores são ortogonais ?
		
	
	2/5
	
	3/2
	
	-3/2
	
	-8/3
	 
	8/3
	Respondido em 31/03/2020 18:48:33
	
Explicação: O produto escalar dos vetores tem que ser igual a zero
	
	
	 
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Dado os pontos A(-10, -4), B(0, 5) e C(-4, 1), calcule o vetor 3(AB) ⃗-2/3 (BC) ⃗+2(AC) ⃗.
		
	
	(104/3, 119/3)
	
	(126/3, 96/3)
	
	(134/3, 96/3)
	 
	(134/3, 119/3)
	
	(126/3, 104/3)
	Respondido em 31/03/2020 18:49:38
	
Explicação:
= (3(0-(-10)) - 2/3.(-4-0)+2(-4-(-10)), 3(5-(-4)) - 2/3(1-5) + 2(1-(-4))) = (30 + 8/3 + 12, 27 + 8/3 + 10) = (134/3, 119/3)
	
	
	 
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Sobre os Vetores, responda se é verdadeira ou falsa as afirmativas e assinale a alternativa correta. 
I.  Um vetor é um segmento orientado representado geometricamente por uma seta, que apresenta origem e extremidade.
II. São exemplos de grandezas vetoriais: área, volume, massa, temperatura.
III. Podemos ¿deslocar¿ um vetor (definir um outro representante) desde que não altere seu módulo e sua direção, somente.
IV. Dois vetores são paralelos se os seus representantes tiverem direções diferentes.
V. Dois vetores apresentam mesmo módulo e mesma direção, mas sentidos diferentes, são chamados de vetores opostos.
		
	
	V, F, F, V, V
	 
	V, V, F, F, V
	 
	V, F, F, F, V
	
	F, V, F, V, F
	
	V, F, V, F, F
	Respondido em 31/03/2020 18:51:00
	
	
	 
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Dados os vetores  u = i - 4j+ k e v = 2i + 2j o vetor u + v é:
		
	
	i -2j+k
	
	-2j+k
	 
	3i -2j+k
	
	3i -2j
	
	3i -2j-k
	Respondido em 31/03/2020 18:52:22
	
Explicação:
Tem que somar posição com posição, i com i, j com j e k com k
	
	
	 
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Determine o módulo do vetor 2AB-3BC, sendo A=(-1,4) , B=(3,2) e C=(-2,5).
		
	
	(-29,-10)
	 
	(23,-13)
	 
	(21,-11)
	
	(15,13)
	
	(18,-28)
	Respondido em 31/03/2020 18:57:36
	
Explicação:
2AB-3BC=2(4,-2)-3(-5,3)=(8,-4)-(-15,9)=(23,-13)
	
	
	 
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Quando dizemos que a velocidade de uma bola é de 20 m/s, horizontal e para a direita, estamos definindo a velocidade como uma grandeza:
		
	
	d) Aritmética
	
	b) Algébrica
	 
	d) Vetorial
	 
	a) Escalar
	
	c) Linear
	Respondido em 31/03/2020 18:59:19
	
	
	 
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Determine o valor de x para que os vetores u=(x,2) e v=(9,6) sejam paralelos
		
	 
	x=3
	
	x=2
	 
	x=4
	
	x=1
	
	Nenhuma das anteriores
	Respondido em 31/03/2020 18:59:21
	
	
	 
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Dados os vetores u = (2, -1, 4) e v = (2 + m, -1, 3 + 2n), determinar, respectivamente, os valores de m e n para que os vetores sejam iguais.
		
	 
	0 e 1/2
	 
	2/3 e -2
	
	-1 e 0
	
	1 e 2/3
	
	-1 e 1/2
	Respondido em 31/03/2020 18:59:27
	
Explicação:
2 + m = 2
3 + 2n = 4
	
	CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
2a aula
	
	 1a Questão
	
	
	
	
	Sendo a=(2,1,1), b=(1,2,2) e c=(1,1,1). Calcular um vetor v=(x,y,z), tal que    v· a= 4, v· b= 9 e v· c= 5.   Podemos afirmar que o vetor v é:                                                          
		
	
	v=(3,-4,2)
	
	v=(3,4,-2)
	
	v=(-3,4,2)
	 
	v=(3,4,2)
	
	v=(-3,-4,-2)
	Respondido em 31/03/2020 19:01:18
	
Explicação:
v=(3,4,2)
	
	
	 
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Calcule as coordenadas dos dois pontos, que dividem o segmento de extremidades (0, 2) e (6, 11), em três segmentos congruentes.
		
	
	(3 ,5) e (4, 6)
	 
	s.r
	 
	(2 ,5) e (4, 8)
	
	(4 ,5) e (7, 9)
	
	(4 ,3) e (7, 8)
	Respondido em 31/03/2020 19:01:42
	
Explicação:
xk = (6-0)/3 = 2; yk = (11-2)/3 = 3
P1 = (0 + 2.1, 2 + 3.1) = (2, 5)
P1 = (0 + 2.2, 2 + 3.2) = (4, 8)
	
	
	 
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	O Produto Misto dos Vetores
→u=2→i+→j−2→k,→v=3→i−→j,→w=4→i+→j−3→ku→=2i→+j→−2k→,v→=3i→−j→,w→=4i→+j→−3k→ é:
 
		
	
	4
	
	-1
	 
	-2
	 
	1
	
	-3
	Respondido em 31/03/2020 19:01:58
	
Explicação:
[u,v,w] = ∣∣
∣∣21−23−1041−3∣∣
∣∣|21−23−1041−3|
	
	
	 
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Considerando os vetores u ⃗=(2,-3),v ⃗=(-1,5) e w ⃗=(-3,4), determine 2u ⃗-1/3 w ⃗+3v ⃗.
		
	
	(2, 31/3)
	
	(-2, 31/3)
	 
	(2, -31/3)
	
	(-2, -31/3)
	 
	(2, 23/3)
	Respondido em 31/03/2020 19:02:03
	
Explicação:
Devemos ter: 2u-1/3w+3v = (4,-6)-(-1,4/3)+(-3,15) = (4+1-3 , -6-4/3+15) = ( 2 , 23/3)
	
	
	 
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Demonstrar que os seguintes pares de vetores são ortogonais. Dado os vetores i = (1, 0, ,0) e j = (0, 1, 0).
		
	
	2
	
	-4
	 
	0
	
	3
	 
	-1
	Respondido em 31/03/2020 19:02:08
	
Explicação:
O produto entre i.j = (1,0,0).(0,1,0) = 1.(0) + 0.(1) + 0.(0) = 0. O vetor 0 é ortogonal a todo vetor, isto é, o vetor 0.v = 0 para todo o vetor v.
	
	
	 
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Determine o vetor X na igualdade 3X + 2 u = 1/2v + X, sendo daos u = ( 3,-1) e v = ( -2,4)
		
	
	X = ( 2. -7/2)
	 
	X = (-7 , 2)
	
	X = ( 3,-2)
	 
	X = ( - 7/2 , 2)
	
	X = ( -2,-2)
	Respondido em 31/03/2020 19:02:14
	
Explicação:
Temos que: 3x+2u=v/2+x => 6x+4u=v+2x => 4x=-4u+v => 4x=(-12,4)+(-2,4) => 4x=(-14,8) => x=(-7/2,2)
	
	
	 
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Dados os vetores no plano, u = 3i - 4j e v = 2i + 2j o vetor 2u + v é:
 
		
	 
	6i + 8j
	
	6i -8j
	 
	8i - 6j
	
	10i - 3j
	
	-6i + 8j
	Respondido em 31/03/2020 19:02:21
	
	
	 
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Considere os vetores u = 2i + j +3k e o vetor v = 5i - 2j + k, a soma dos vetores u e v, resulta em:
		
	
	(D) 3i + 3j - 4k
	 
	(B) 7i - j + 4k
	 
	(C) 3i - 3j + 4k
	
	(E) i + j + k
	
	(A) 7i + j + 4k
	Respondido em 31/03/2020 19:02:25
	
Explicação: (2i + j + 3k) + (5i - 2j + k) = 2i + 5i + j - 2j + 3k + k = 7i - j + 4k
		
		 
	CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
3a aula
	 1a Questão
	
	
	
	Dados os vetores  u = i + k e v = 2i + 2j o vetor u + v é
		
	
	(3,2,0)
	
	(3,3,1)
	 
	(3,0,1)
	
	(3,2,2)
	 
	(3,2,1)
	Respondido em 31/03/2020 19:03:01
	
Explicação: Operar cada componente de vetor com seu componente
	
	
	 
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	O valor de x para que os vetores u=(x,2) e v=(9,6) sejam paralelos é:
		
	
	9
	
	2
	
	1
	 
	3
	 
	6
	Respondido em 31/03/2020 19:03:04
	
	
	 
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	 
Dados os vetores u ( 1, 2 ) e v ( 3, x ), qual é  o valor de x , sabendo que os vetores são ortogonais?
		
	
	-5/8
	
	3/8
	 
	-3/2
	 
	2/8
	
	5/8
	Respondido em 31/03/2020 19:03:07
	
Explicação: O produto escalar dos vetores tem que ser igual a zero
	
	
	 
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Determine os valores de x e y para que os vetores u=(2, 5, y) e v=(x, 10, 8) sejam paralelos.
		
	
	x=4 e y=-4
	 
	x=4 e y=4
	
	x=-4 e y=4
	
	x=0 e y=4
	
	Nenhuma das anteriores
	Respondido em 31/03/2020 19:03:10
	
	
	 
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Dados os Vetores u ( 3, 2 ) e v ( 4, x ), qual é  o valor de x , sabendo que os vetores são ortogonais?
		
	 
	-4
	
	0
	
	4
	
	6
	 
	-6
	Respondido em 31/03/2020 19:03:14
	
Explicação: O produto escalar dos vetores tem que ser igual a zero
	
	
	 
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Determinar os valores de m e n para que os vetores →uu→=(m+1)→ii→ + 2→jj→ + →kk→ e  →vv→=(4,2,2n-1) sejam iguais.
		
	 
	m= 3 e n= 1
	
	m= -5 e n= 1
	
	m= 0 e n= 1
	 
	m= 3 e n= -1
	
	m= 5 e n= -1
	Respondido em 31/03/2020 19:03:19
	
Explicação:
u=v => m+1=4 => m=3 , 2=2  e 1=2n-1 => n=1
	
	
	 
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Determine x e t de modo que os pontos A=(2, 4, t) seja igual ao ponto B=(x, 2x, 3x).
		
	
	x=4 e t=6
	
	x=2 e t=3
	 
	x=4 e t=3
	
	Nenhuma das anteriores
	 
	x=2 e t=6
	Respondido em 31/03/2020 19:03:23
	
	
	 
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Determine os valores de x e de y de modo que (2x, y + 3) = (10, 10).
		
	 
	x=5,y=7
	
	x=3, y=3
	
	x=7, y=5
	
	x=2, y=1
	 
	x=1, y=2
	Respondido em 31/03/2020 19:03:16
	
	
		 
	CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
4a aula
	
	 1a Questão
	
	
	
	
	1. Determine o ângulo formado pelos vetores u=(2, -1, 1) e v=(1, 1, 2)
		2. 
	
	90º
	
	30º
	
	120º
	 
	60º
	
	45º
	Respondido em 31/03/2020 19:03:45
	
Explicação:
Temos que:
u.v=2-1+2=3
!u!=V6
!v!=V6
Daí: cos ¤ = 3 / V6.V6 = 3/6 = 1/2 => ¤ = 60°
	
	
	 
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Sejam os vetores u = ( 3, 2, k ) e v = ( 2, 0, 1 ). O valor de K para que os vetores serem ortogonais é:
		
	 
	-6
	
	5
	 
	6
	
	-5
	
	0
	Respondido em 31/03/2020 19:03:49
	
Explicação:
Aplicação envolvendo produto escalar.
	
	
	 
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Dados os vetores u ( -4, -x ) e v ( -2, 3 ), qual é  o valor de x , sabendo que os vetores são ortogonais ?
		
	
	3/5
	
	-8/3
	 
	5/3
	
	-5/3
	 
	8/3
	Respondido em 31/03/2020 19:03:53
	
Explicação:
O Produto escalar entre os vetores tem de ser igual a zero.Assim:
u.v=0 => (-4,-x).(-2,3)=0 => 8-3x=0 => x=8/3
	
	
	 
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Sejam os vetores: V=-8i+5j-3k e W=10i-5j+4k. Pode-se afirmar que o produto vetorial desses dois vetores é o vetor:
		
	
	VxW=8i-5j+2k
	
	VxW=6i+5j-7k
	
	VxW=-2i+5j-7k
	 
	VxW=-4i+2j-3k
	 
	VxW=5i+2j-10k
	Respondido em 31/03/2020 19:03:56
	
Explicação:
Resp. VxW=5i+2j-10k
	
	
	 
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Certo sólido cujo o volume é 12 u.v. é determinado pelos vetores , e. Esses vetores foram colocados no plano R3 tendo como corrdenadas, respectivamente, =(a,-7,-1), =(-1,0,2) e = (0,-1,-1). Nessas condições, encontre um valor para a abscissa do vetor .
		
	
	10
	
	-3
	
	9
	
	-10
	 
	3
	Respondido em 31/03/2020 19:03:51
	
Explicação:
Aplicação envolvendo produto misto entre vetores.
	
	
	 
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Dado os vetores a (-3,0,2) e b (3,1,-4) qual o valor aproximado do ângulo entre eles
		
	
	110,3º
	 
	157,5º
	
	140,8º
	 
	145º
	
	120º
	Respondido em 31/03/2020 19:04:05
	
Explicação:
cosØ = a.b / (|a|.|b|) onde Ø é o ângulo formado entre os vetores a e b
	
	
	 
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Dados os vetores u = (-1, 2, 0) e v = (1, 1, -1), calcular a área do paralelogramo determinado pelos vetores 2u e (v + u ), sabendo que a área de um paralelogramo é o módulo do produto vetorial dos vetores indicados.
		
	
	2√11
	
	3√17
	 
	2√14
	
	3√13
	
	4√17
	Respondido em 31/03/2020 19:04:11
	
Explicação:
Temos que:
u=(-1,2,0) => 2u=(-2,4,0)                                    i      j     k
v=(1,1,-1) => v+u=(0,3,-1)  =>  (2u) x (v+u) =   -2     4    0   =  -4i-6k-2j  =  (-4,-2,-6)
                                                                            0     3   -1
 
A área do paralelogramo será dada pelo módulo do produto vetorial, então a área S será:
S=!(-4,-2,-6)! = V(-4)²+(-2)²+(-6)²  =  V16+4+36  =  V56  =  V2².2.7  = 2V14
	
	
	 
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	O ângulo, em graus, formado entre os vetores u e v, sendo u = (1, 0, 1) e v = (1, -√3, 0) é:
		
	
	(C) 90
	
	(B) 45
	 
	(A) 30
	
	(E) 270
	 
	(D) 150
	Respondido em 31/03/2020 19:04:17
	
Explicação: produto u.v= (0, 1, 0).(1, -√3, 0) = -√3 módulo u = 1 módulo de v = 2 Logo: cos x = (- √3/2), então x = arc cos (-√3/2) e portanto x = 150 graus
	 
	CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
5a aula
	 1a Questão
	
	
	
	Os pontos a(a,2) e B(0,b) pertencem a reta (r): 2x+y-6=0. Qual a distÂncia entre os pontos A e B?
		
	
	V5
	 
	2V5
	
	4V5
	 
	3V5
	
	8V5
	Respondido em 31/03/2020 19:04:39
	
Explicação:
A pertence a r -> 2a+2-6=0 ->a=2 -> A(2,2)
B pertence a r -> 2.0+b-6=0 -> b=6 -> B(0,6)
Logo: d(A,B) = V(0-2)² + (6-2)²  =  V4 + 16 = V20 = 2V5
	
	
	 
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Determinar as equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto A(2,0,5) e tem a direção do vetor v=(-4,-1,3).
		
	
	x=2t
y=-3t
z=5t
	 
	x=t
y=2y
z=5+3t
	 
	x=2-4t
y=-t
z=5+3t
	
	x=-4+t
y=-2-t
z=3-5t
	
	x=-4+2t
y=-1
z=3+5t
	Respondido em 31/03/2020 19:04:59
	
Explicação:
Temos que as equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto P(x',y',z') e tem a direção do vetor v=(x",y",z") basta substituir os valores para obtermos: x=2-4t
                 y=-t
                z=5+3t
	
	
	 
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Determine a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto (-2,0, 1 ) que tem a direção do vetor (1, 1, 1)
		
	
	X= -2-t y = t z = 1+t
	
	X= -2+t y = t z = -1+t
	 
	X= 2+t y = t z = 1+t
	 
	X= -2+t y = t z = 1+t
	
	X= -2+t y = -t z = 1+t
	Respondido em 31/03/2020 19:05:04
	
Explicação:
Devemos ter: (x,y,z)=(-2,0,1) + t(1,1,1)
Daí, as equações paramétricas da reta serão:  x=-2+t   ,   y=t    ,    z=1+t.
	
	
	 
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Determine a equação  paramétrica da reta que passa pelo ponto (5,-2, 0 )  que tem a direção do vetor (1, 1, 1 )
		
	
	x =5 y= -2+t z=t
	 
	x =5+t y= -2+t z=t
	
	x =5+t y= t z=t
	 
	x =5+t y= -2+t z=2t
	
	x =5+t y= -2 z=t
	Respondido em 31/03/2020 19:05:08
	
Explicação:
Substituir cada ponto e cada componente do vetor nos seus respectivos lugares. Temos que:
(x,y,z) = (5,-2,0) + t(1,1,1) => x=5+t  ,  y=-2+t  e  z=t.
	
	
	 
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Obter a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto P (2,-3) e tem direção do vetor v = (5,4).
		
	
	Resp.: x = 2 + t e y = -3 + t
	
	Resp.: x = 2 + 5t e y = 4 - 3t
	 
	Resp.: x = 5t e y = 2 + 4t
	 
	Resp.: x = 2 + 5t e y = -3 + 4t
	
	Resp.: x = 5 + 2t e y = -3 + 4t
	Respondido em 31/03/2020 19:05:12
	
	
	 
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Determine a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto (-1,-2, 0 ) que tem a direção do vetor (1, 0, 1)
		
	
	X= -1+t y = 2 z = t
	 
	X= -1+t y = -2 z = t
	
	X= 1+t y = -2 z = t
	 
	X= -1-t y = -2 z = t
	
	X= -1+t y = -2 z = -t
	Respondido em 31/03/2020 19:05:16
	
Explicação:
 
Temos que: (x,y,z) = (-1,-2,0) + t(1,0,1) => x=-1+t
                                                                    y=-2
                                                                    z=t
	
	
	 
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Determine a equação  paramétrica da reta que passa pelo ponto (5,-2, 0 )  que tem a direção do vetor (0, 0, 1 )
		
	
	x= 5 - t y=-2 z=t
	 
	x= 5 y=-2+t z=t
	
	x= 5 y=-2+ t z=t
	 
	x= 5 y=-2 z=t
	
	x= 5 y=-2 z=1
	Respondido em 31/03/2020 19:05:20
	
Explicação: Substituir cada ponto e cada componente do vetor nos seus respectivos lugar
	
	
	 
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Podemos afirmar que a distância entre os pontos A=(1,2,3) e B=(5,2,3) é:
		
	
	2
	
	5
	
	3
	 
	1
	 
	4
	Respondido em 31/03/2020 19:05:13
	
Explicação:
4