Aula 03 Geometria Analitica e Álgebra Linear

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Geometria Analitica 
e 
Álgebra Linear 
 
 
 
 
 
Aula 
Matrizes 2 
 
 
 
 
Prof.: José Fernando Santiago Prates 
Universidade de Franca – UNIFRAN 
Franca - 2018 
 
 
 
 
 
 
 
Geometria Analítica e Álgebra Linear 
 
Prof. José Fernando Santiago Prates 2 
 
 
1.1. Igualdade entre matrizes 
Sejam duas matrizes A = (aij) e B = (bij) i = 1, 2, 3,..., m, j = 1, 2, 3,... n. Dizemos que elas 
são iguais se, e somente se aij = bij para i = 1, 2, 3,..., m e j = 1, 2, 3,... n 
 
1.1.1. Exemplos 
1) Sejam as matrizes A=








zxy
5yx e B=






 31
52 Determinar, se possível, os 
valores de x, y, z para a que exista igualdade entre as matrizes A e B. 
------------------------------------------------------------------------------------------------ 
Solução 








zxy
5yx = 






 31
52 
y = -1 
x + y = 2  x = 3 
x + z = 3  z = 0 Portanto, x = 3, y = -1 e z = 0 
 
2) Sejam as matrizes A=












xz64
zx23
zxxyx
 e B=










 564
423
531
 Determinar, se 
possível, os valores de x, y, z para a que exista igualdade entre as matrizes A e B. 
------------------------------------------------------------------------------------------------ 
Solução 












xz64
zx23
zxxyx
 = 










 564
423
531
 
x = 1 
y + x = 3  y = 2 
x + z = 5  z = 4 
2x = 2  x = 1 
z = 4 
z + x = 5 
 
Portanto, x = 1, y = 2 e z = 4 
 
 
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Prof. José Fernando Santiago Prates 3 
 
 
Linha 1 
C
o
lu
n
a 1
 
1.2. Matrizes especiais 
1.2.1. Matriz Simétrica 
 
Seja a matriz A = (aij) i = 1, 2, 3,..., n, j = 1, 2, 3,... n. Dizemos que A é uma matriz 
simétrica, representada por A’, se, e somente se (aji) = (aij). 
 
 Exemplos 
1) A=












813
142
323
, 2) B =












7502
5123
0242
2325
, 3) C=








61
12
 
 
1.2.2. Matriz Transposta 
 
Seja a matriz A = (aij) i = 1, 2, 3,..., m, j = 1, 2, 3,... p. A matriz transposta de A, 
representada por AT é a matriz obtida a partir da troca das linhas pelas colunas, ou seja 
AT = (aji) i = 1, 2, 3,..., m, j = 1, 2, 3,... p 
 
A=
mxpmp3m2m1m
p3333231
p2232221
p1131211
a.....aaa
........................
a.....aaa
a.....aaa
a.....aaa
















 AT =
pxm
mpp3p2p1
3m332313
2m322212
1m312111
a.....aaa
........................
a.....aaa
a.....aaa
a.....aaa
















 
 
 
 Exemplos 
1) A=
33
987
654
321











  AT = 
33
963
852
741











 
2) B=
22
31
52








  BT = 
22
35
12






  
3) C=
23
41
02
13











  CT = 
32
401
123






 
4) D=
32
311
212






   D
T = 
23
32
11
12












 
 
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 Exercicios 
1) Sendo a matriz A=(aij) onde de ordem 3x2 onde aij = (i - 2j).(-1)j-i e a matriz B=(bij) onde de 
ordem 2x3 onde bij = (3i - 2j).(-1)j-i. Obter se possível ATBT. 
Solução 













11
20
31
A
 









024
311
B
 ATBT = 










162
44 
2) Na igualdade das matrizes 





 








714
63107
75
2
2
232 xx
xx
xxx Obter x. 
Solução x2 = -7x – 10  x1 = - 2, x2 = - 5 
 x3 + 2x2 = 3x + 6  x1 = -2, x2 = 2 , x3 = 2 
 x2 - 5x = 14  x1 = - 2, x2 = 7 
Portanto, x =-2 
3) Sendo a matriz A=(aij) onde de ordem 3x2 onde aij = (i - 2j).(-1)j-ie a matriz B=(bij) onde de 
ordem 2x3 onde bij = (3i - 2j).(-1)j-i. Obter se possível BT.AT. 
Solução 













11
20
31
A
 









024
311
B
  BT.AT = 













303
345
3813
 
4) Determinar, se possível, matriz resultante das operações 
)BA(2)ED( T 
. 
Sendo 











424
332
042
A
, B=












321
211
022
, 









 

23
10
11
D e 







121
112
E

Solução 
)BA(2)ED( T 
 = 











510
721
811
+











1486
1042
048
=











1996
1723
859
 
5) Dadas as matrizes 

















21
47
15
21
A e 









3142
4513
B
, qual é o valor da soma dos 
elementos da 1ª linha na matriz resultante AB 
Solução 
AB = 














21
47
15
21








3142
4513 = 











  10777
, o valor da soma é -17 
 
 
 
 
 
 
Geometria Analítica e Álgebra Linear 
 
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6) Cláudio anotou suas médias 
bimestrais de matemática, português, 
ciências e estudos sociais em uma tabela 
com quatro linhas e quatro colunas, 
formando assim uma matriz de notas N, 
como mostra a figura. Sabe-se que as 
notas de todos os bimestres têm o mesmo 
peso, isto é, para calcular a média anual 
do aluno em cada matéria basta fazer a 
média aritmética de suas médias bimestrais. Para gerar uma nova matriz cujos elementos representem 
as médias anuais de Cláudio, na mesma ordem da matriz apresentada, bastará multiplicar essa matriz 
por: 
 
a) 













5,0
5,0
5,0
5,0
D com a operação (N).(D)T 
 
b) 













5,0
5,0
5,0
5,0
D com a operação (D)T.(N) 
 
c) 













1
1
1
1
D com a operação (N).(D) 
 
d) 













25,0
25,0
25,0
25,0
D com a operação (N).(D) 
 
e) 













1111
1111
1111
1111
D com a operação (D).(N) 
 
 
 
 
 
 
 
1º 
Bimestre 
2º 
Bimestre 
3º 
Bimestre 
4º 
Bimestre 
Álgebra Linear 5,0 4,5 6,2 5,9 
Cálculo I 8,4 6,5 7,1 6,6 
Desenho 9,0 7,8 6,8 8,6 
Física 7,7 5,9 5,6 6,2 
 
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7) Observe na figura abaixo onde o ponto A=(x, y) é 
rotacionado para o ponto B=(–x, –y) em torno da origem no sentido 
anti-horário. Assinale a alternativa correta para obter as novas 
coordenadas de B: 
 
a) 











 y
x
)180(sen)180cos(
)180cos()180(sen
 
b) 











 
y
x
)180cos()180(sen
)180(sen)180cos(
T 
c) 












 y
x
)180cos()90(sen
)180(sen)90cos(
 
d) 











 
y
x
)90cos()180(sen
)180(sen)90cos( 
e) 











 
y
x
)180cos()180(sen
)180(sen)180cos( 
 
 
7) Sejam as matrizes A=













zx
1y
1y
52x2xx
3
1y
23
Lim
 e B=






23
50 Determinar, se possível, os 
valores de x e z para a que exista igualdade entre as matrizes A e B. 
------------------------------------------------------------------------------------------------ 
 
x³ + x² - 2x – 2 = (x² - 2 )(x + 1) = x³+x²-2x-2 = 0  x 
 1,2 
 
1y
1y3
1y
Lim 


 = 3 
Logo, x = 
2
 e z = 0