MATEMÁTICA FINANCEIRA

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MATEMÁTICA 
 
FINANCEIRA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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ESCOLA DE NEGÓCIOS E HOSPITALIDADE 
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Prof. Marcos J Traldi 
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Educação Financeira 
 
A importância do dinheiro e de sua boa administração é fundamental para que 
possamos melhor planejar nossas vidas. 
Enfrentamos dificuldades por não ter tido informações que nos auxiliassem a 
conviver melhor com os problemas do consumo e da poupança, se dependemos do 
salário para viver. 
Para sermos um bom administrador de empresas, temos que saber administrar 
nossas vidas, referente a tempo, disponibilidade, dinheiro etc. 
Hoje, além de as condições de trabalho serem outras, nossa expectativa de vida é 
maior do que era há dez ou 20 anos, e para vivermos mais tempo com tranquilidade e 
conforto, vamos necessitar de mais dinheiro. 
Para ganhar dinheiro e ter a possibilidade de poupar, é necessário que façamos um 
planejamento financeiro. 
Administrar é tomar decisões sobre os mais variados assuntos que interferem em 
nossas vidas. Para cuidarmos bem de nosso dinheiro, antes de tudo é preciso que nos 
organizemos e façamos um planejamento financeiro. 
Na hora de planejar, é preciso verificar nossas reais necessidades. Devemos 
estabelecer nossos objetivos e persegui-los. É preciso considerar nossa realidade de 
vida, ter consciência de nossas limitações financeiras e questionar nossas necessidades. 
Ao tomarmos uma decisão financeira, estamos tomando uma decisão que implica 
uma mudança de comportamento em relação ao nosso dia a dia. 
É muito importante que nosso estilo de vida esteja de acordo com a nossa 
realidade econômica. 
Não há nada errado em consumir. Ao consumirmos, estamos gerando empregos, 
ajudando a desenvolver a economia. 
Essa sociedade, porém, fez do consumo um ícone e de várias maneiras cria a ideia 
de que você é o que você consome: quanto mais consumimos, mais prósperos somos. 
Isso pode nos levar para o lado do agente econômico deficitário – além de não 
conseguirmos guardar dinheiro, acabamos por gastar mais do que ganhamos. 
 
 
 
 
 
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Se você tivesse uma dívida de R$ 1.000,00. Quanto estaria devendo daqui a 6 
meses. 
 
 
 
 
 
 
 
 
JUROS 
Cartão de 
Crédito 
Cheque 
especial 
Empréstimos 
Produto de crédito Média Mensal Taxa no semestre Divida após 6 meses. 
Cartão de crédito 16,72% 152,85% 2.528,55 
Cheque especial 11,5% 92,15% 1.921,53 
Crédito pessoal 5,32% 36,48% 1.364,78 
 
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Para controlar as despesas e conseguir IPCR Imposto permanente para a 
construção de riqueza, você deve montar uma Planilha de Orçamento Pessoal. 
Depois de montada a planilha, o que se deve fazer é cortar de forma radical as 
despesas que não precisamos fazer todos os meses. Lembre-se de que o objetivo é fazer 
sobrar recursos do seu salário. Podem-se reduzir um pouco alguns gastos. 
Se tiver dívidas, primeiro planeje em liquidá-las. Comece pagando as dívidas mais 
caras e pague a que tem as maiores taxas de juros. 
Pequenos gastos diários ou semanais se conseguissem colocar em uma aplicação 
que rendesse aproximadamente 1% ao mês, quanto teríamos após 20 ou 30 anos? 
 20 anos 30 anos 
Lanche R$ 3,00 ao dia R$ 89.609,83 R$ 316.853,97 
Pizza R$ 30,00 por fim de semana R$ 120.182,24 R$ 426.273,24 
NUNCA ESQUEÇA: “Comprar algo que você não pode, com o dinheiro que 
você não tem, para mostrar para as pessoas que você não conhece a pessoa que 
você não é!” 
Aplicações 
A teoria de finanças que quanto maior o risco, maior deve ser o potencial de 
retorno de suas aplicações. 
Existem três tipos de investidores: 
CONSERVADOR – não pode ou não deseja correr riscos. Seu objetivo com o 
investimento é proteger seu patrimônio. 
MODERADO – admite correr riscos, desde que não sejam tão elevados, em troca 
da chance de obter maior rentabilidade para seu dinheiro. Seu principal objetivo ainda é 
proteger o patrimônio. 
AGRESSIVO – seu principal objetivo é aumentar o rendimento sobre o patrimônio. 
Por isso, não se intimida em aplicar grande parte de suas economias em mercados mais 
arriscados. 
Devemos considerar três aspectos ao investir: LIQUIDEZ, SEGURANÇA e 
RENTABILIDADE. 
Por que investir? A resposta a essa pergunta é muito simples: para podermos 
comprar uma casa, ou para trocarmos de carro, fazer uma viagem, pagar uma boa 
faculdade para nossos filhos, manter nosso padrão e qualidade de vida após nossa 
aposentadoria etc. O que nos importa saber é que investir significa, de maneira simples, 
adiar nosso consumo hoje para planejar gastos futuros. 
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CONTRATO PEDAGÓGICO 
 
Presença em Sala 
� Ao entrar atrasado, faça em silêncio para não atrapalhar a aula. 
� Não deve sair durante a aula, pode acarretar falta; 
� O inicio das aulas serão: 
� Período manhã: 9hs (rigorosamente) terão 5 minutos de tolerância; 
� Período noite: 19hs (rigorosamente) terão 20min de tolerância; 
� Após o intervalo não terá tolerância para atraso; 
� É proibida a entrada de acompanhantes (filhos, maridos, namorados etc) em sala 
de aula; 
� Conversas paralelas somente quando se referirem ao que está sendo exposto; 
� Só se admite a presença íntegra do aluno. Vir à aula apenas para ganhar 
presença, não é vir à aula; 
� Não existe presença coletiva; 
� Prestar atenção à chamada que será feita. O aluno que não responder, será 
considerado faltante. 
Celulares e equipamentos eletrônicos 
� Proibido durante a aula. Casos excepcionais, tais como doença em família, falar 
antes com o professor. 
� Evite deixar o celular tocar em sala de aula. 
� Manusear o celular durante a explicação/correção é falta de respeito e 
educação. 
� A disciplina precisa de concentração e dedicação, a utilização do celular leva a 
distração e perda de concentração; 
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� As provas deverão ser feitas sem consulta e individualmente. O professor tem o 
direito de reter a prova de quem consultar qualquer material ou pedir ajuda para 
outro aluno. 
Equipamento autorizado: CALCULADORA FINANCEIRA. 
 
Conteúdo: 
- Porcentagem; Calculadora Financeira; Juros Simples; Método Hamburguês; 
Desconto Simples racional e comercial; Juros Compostos; Taxas Equivalentes; Séries de 
Pagamentos: Antecipado, Postecipado e Diferido; Sistemas de Amortização. 
OBS: Plano da disciplina de Matemática Financeira está na última página. 
 
Referência Bibliografica 
 
ASSAF Neto, Alexandre. Matemática Financeira e suas aplicações. Editora Atlas, 2012. 
BM&FBOVESTA. Revista Educar 
BRANCO, A.C.C. Matemática Financeira Aplicada. 3ª Ed. – São Paulo - Editora 
Cengage, 2005. 
BRUNI, Adriano Leal. Matemática Financeira para Concursos. São Paulo, Atlas, 2008 
GIMENES, Cristiano M. Matemática Financeira com HP12c e Excel: Uma abordagem 
descomplicada. 2 ed. - São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2009. 
HAZZAN, S., POMPEO, N. Matemática Financeira – 5ª Ed – São Paulo – Atual, 2001. 
PUCCINI, A.de L. Matemática Financeira: Objetiva e aplicada. 7ª Ed. – São Paulo – 
Editora Saraiva, 2004. 
VEIGA,Rafael Paschoarelli. Como usar a Calculadora HP12c, 8º edição, São Paulo: 
Saint Paul, 2011 
VIEIRA Sobrinho, Matemática Financeira. 3ª Ed.– São Paulo – Editora Atlas, 2000. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Porcentagem 
O cálculo de porcentagem é uma operação das mais antigas, em termos de 
cálculos comerciais e financeiros. A expressão por cento é indicada geralmente por meio 
do sinal %. 
Exemplo 1: Qual é a comissão de 10% de R$ 800,00? 
Podemos utilizar a regra de três. 
Se 100% é R$ 800,00 
 10% é X 
Exemplo 2: Por quanto se deve vender certa mercadoria que custou R$ 4.126,75, para 
obter uma rentabilidade (lucro) de 6%? 
4.126,75 ______ 100% 
 X _______ 6% 
Onde: x = lucro 
Então, teremos: 
Lucro + Custo da mercadoria = Preço de Venda 
R$ 247,60 + R$ 4.126,75 = R$ 4.374,35 
Observe que R$ 4.126,75 representa a parte inteira = 100% = 1 e que 
R$ 247,60 representa a parte fracionária = 6% = 0,06. 
Partindo desse raciocínio, teremos que: 
Preço de venda = parte inteira (1) + parte fracionária (0,06), ou seja, podemos deduzir que 
o índice para calcular o preço de venda neste exemplo será 1,06. 
Preço de venda: 4.126,75 x 1,06 = 4.374,35 
Exemplo 3: Uma mercadoria que custa R$ 7.500,00 foi vendida por R$ 7.200,00, qual foi 
a taxa aplicada no prejuízo. 
7.500,00 100% � � ���.����.��� 
 300,00 x % � � 4% 
Então: 
Custo da mercadoria - prejuízo = Preço de venda 
 7.500,00 - 300,00 = 7.200,00 
 100% - 4% = 96% 
 1 - 0,04 = -,96 
 
Porcentagem 
Valor 
Decimal 
Memória 1: 
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Exercícios 
01) Ao comprar 2 kg de pães paguei R$ 12,50. Quanto pagaria se tivesse comprado 6 kg? 
02) Comprei 5 m de corda por R$ 4,00. Quanto pagarei por 14 m? 
03) Um operário recebe R$ 836,00 por 20 dias de trabalho. Quanto receberá por 35 dias? 
04) Uma roda dá 80 voltas em 20 minutos. Quanta volta dará em 28 minutos? 
05) Uma fábrica engarrafa 3000 refrigerantes em 6 horas. Quantas horas levarão para 
engarrafar 4000 refrigerantes? 
06) Com 12 operários podemos construir um muro em 4 dias. Quantos dias levarão 8 
operários para fazer o mesmo muro? 
07) Um empreiteiro calculou terminar uma obra em 32 dias, empregando 15 operários. 
Tendo conseguido apenas 12 operários, em quantos dias terminará o mesmo trabalho? 
08) Para se obtiver 28 kg de farinha, são necessários 40 kg de trigo. Quantos quilogramas 
do mesmo trigo são necessários para se obter 7 kg de farinha? 
09) Trinta operários constroem uma casa em 120 dias. Em quantos dias 40 operários 
construiriam essa casa? 
10) Um ônibus, a uma velocidade media de 60km/h, fez um percurso em 4 horas. Quanto 
levará, aumentando a velocidade média para 80 km/h? 
11) Calcule as porcentagens: 
a) 8% de R$ 700,00 
b) 5% de R$ 4.000,00 
c) 12% de R$ 5.000,00 
d) 1,2% de R$ 40,00 
12) Qual a taxa percentual que: 
a) 125 representa de 250? 
b) 112 representa de 320? 
c) 28 representa de 80? 
d) 352 representa de 1800? 
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13) Francisco resolveu comprar um pacote de viagem que custava R$ 4.200,00, já 
incluídos R$ 120,00 correspondentes a taxas de embarque em aeroportos. Na agência de 
viagens, foi informado de que, se fizesse o pagamento à vista, teria um desconto de 10%, 
exceto no valor referente ás taxas de embarque, sobre o qual não haveria nenhum 
desconto. Decidiu, pois, pagar o pacote de viagem á vista. Então é CORRETO afirmar 
que Francisco pagou por esse pacote de viagem: 
a) R$ 3.672,00 b) R$ 3.780,00 c) R$ 3.792,00 d) R$ 3.900,00 
14) De 4000 funcionários, 120 faltaram ao serviço. Qual a taxa percentual dos 
funcionários ausentes? 
15) Achar 9% de R$ 1.297,00 
16) Achar 2,5% de R$ 4.300,00 
17) Achar 0,5% de R$ 1.346,50 
18) Um objeto comprado por R$ 80,00 foi vendido por R$ 60,00. De quantos por cento foi 
o prejuízo? 
19) Um produto custou R$ 10,00 e foi vendido por R$ 12,00. De quantos por cento foi o 
lucro? 
20) Um produto comprado por R$ 4,00 é vendido por R$ 6,00. De quanto foi o lucro 
percentual? 
21) Um objeto comprado por R$ 40,00 é vendido 20% abaixo do custo. De quanto é o 
prejuízo? 
22) Em um lote de 50 lâmpadas, 13 apresentam defeito. Qual é o percentual entre o 
número de lâmpadas defeituosas e o total de lâmpadas? 
23) Um vendedor recebe um salário fixo de R$ 250,00 mais 4% sobre o total de vendas 
no mês. Qual será seu salário se, em certo mês, o total de vendas efetuadas for R$ 
15.000,00? 
24) Do salário mensal de Vitor, ��� é reservado para o pagamento de seu plano de saúde, 
30% são usados para pagamento do aluguel, e 35% são gastos com alimentação. 
Descontadas essas despesas, sobram R$ 300,00 a Vitor. Qual é o seu salário? 
25) Seja p o preço de um produto. Determine, em função de p, o novo valor desse produto 
se ele tiver: 
a) aumento de 38% c) desconto de 3% 
b) aumento de 10,5% d) desconto de 12,4% 
 
 
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26) Um produto teve seu preço reajustado de R$ 25,00 para R$ 32,00. Qual foi a taxa 
percentual de aumento? 
27) Após muita insistência, Geraldo conseguiu 7,5% de desconto em uma compra, 
gastando assim, R$ 74,00. Que valor ele teria gastado se não obtivesse nenhum 
desconto? 
28) Atualmente, o pagamento da prestação do apartamento consome 30% do salário 
bruto de Cláudio. Se a prestação aumentar 10%, que porcentagem do salário de Cláudio 
ela passará a representar, caso: 
a) não haja aumento de salário; 
b) o salário aumente 5%; 
c) o salário aumente 30%. 
29) Uma loja de artigos em couro adota a seguinte política: sobre o preço marcado na 
mercadoria, há um desconto de 4% para pagamento à vista, em dinheiro. Outra opção é 
acrescentar 5% ao valor marcado e dividir o pagamento em três parcelas iguais. 
a) Se o preço marcado em uma bolsa é R$ 62,00, qual será seu valor para pagamento à 
vista, em dinheiro? 
b) Ao adquirir uma carteira, um cliente pagou, em cada parcela, o valor de R$ 16,80. Que 
valor ele gastaria se pagasse à vista, em dinheiro? 
30) Quatro amigos foram a uma lanchonete e fizeram exatamente o mesmo pedido. O 
valor da conta foi R$ 70,40, já incluídos os 10% de serviço. Quanto cada um pagaria se 
não fosse cobrada a taxa de serviço? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Calculadora Financeira 
 
 No decorrer do estudo, você aprenderá a operar a calculadora financeira. Por se 
tratar de um instrumento bem difundido, prático e de fácil manuseio, a calculadora pode 
ser de grande utilidade no seu dia a dia. Essa calculadora o auxiliará no orçamento 
doméstico, nas decisões de compras (principalmente no que diz respeito à forma de 
pagamento) e nas aplicações financeiras: 
 OBSERVAÇÃO: Saiba que o custo é muito baixo se comparado à economia que 
ela pode proporcionar. 
 
 FC-12 HP12c 
 
 
 
 
 
 
 
Na FC-12 a tecla da segunda função é b e da HP12c é f, da 
terceira função na FC-12 é r e da HP12c é g. 
Primeiros Passos 
� Para ligar e desligar pressione a tecla ON. 
� Se tiver algum número no visor, pressione CLx, limpa apenas o visor, para limpar 
as memórias, pressione a tecla b/f e depois a CLx. 
� Para ajustar o número de casas após a vírgula, pressione a tecla b/f e depois 
qualquer tecla numérica, exemplo4. 
OBS:- Ela não é mais difícil que as calculadoras convencionais, ela é diferente. Por ser 
diferente não estamos acostumados com esse processo. 
Sua calculadora financeira está equipada com um sistema de memória contínua 
que mantém os dados guardados, mesmo com a calculadora desligada. Para tanto, ela 
possui 4 registros de pilha operacional e 5 registros financeiros (a sua memória RAM), 
além de 20 registros de memória e armazenamento (o seu HD- Winchester) 
 
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 Muitas teclas da calculadora financeira executam mais de uma função, observe que 
uma mesma tecla pode ter até 3 funções diferentes. 
Procure a tecla PV. 
� PV - função branca (face superior da tecla). 
� CFo / CFo - função azul da HP ou função vermelha da FC (abaixo da tecla), 
para utilizá-la tem que acionar primeiramente a tecla g (azul) ou r (vermelha) 
� NPV / NPV - função laranja da HP ou função azul da FC (acima da tecla), para 
utilizá-la tem que acionar primeiramente a tecla f (laranja) ou b (azul) 
OBS:- Não se preocupem com as possíveis indicações do visor (BEGIN, DMY, C, etc.), 
elas serão discutidas no decorrer do curso. 
Teclas Significado 
COMO LIMPAR OS REGISTROS E MEMÓRIAS DA SUA CALCULADORA? 
CLX Limpa os valores contidos no visor 
b/f CLEAR REG (f CLX) Limpa “tudo”, exceto a memória de programação 
b/f CLEAR FIN Limpa os registros financeiros 
b/f CLEAR PRGM Limpa a memória de programação (quando no modo PRGM) 
TROCAR PONTO POR VÍRGULA 
Efetue a operação abaixo: 
1252.32 ENTER 
No visor de sua calculadora o valor acima, digitado com duas casas decimais após a 
vírgula, poderá estar representado de duas formas: 
� 1.252,32 (Sistema Brasileiro – vírgula separando as casas decimais) 
� 1,252.32 (Sistema Americano – ponto separando as casas decimais) 
Para realizarmos a troca do ponto pela vírgula e vice-versa, devemos proceder da 
seguinte forma: 
o Desligue a calculadora 
o Com a calculadora desligada, pressione ao mesmo tempo as teclas ON e . (ponto) 
o Solte a tecla ON e logo após a tecla . (ponto) 
NÚMEROS NEGATIVOS 
 Algumas operações exigem a utilização de números negativos. Para trocar o sinal 
de um número diferente de zero, aperte a tecla CHS (change signal ou “mude de sinal”). 
Exemplo: 5 CHS e aparecerá no visor – 5. 
 
 
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ARMAZENAMENTO/RECUPERAÇÃO 
 Durante uma operação, pode ser necessário que algum número seja gravado na 
memória para ser utilizado posteriormente. A calculadora financeira permite que os 
valores armazenados nas teclas de 0 a 9. Para armazenar um número, tecle STO (store 
ou “grave”) e em seguida uma das teclas de 0 a 9. A recuperação desse valor é feita 
pressionando a tecla RCL (recall, recupere) seguida da tecla de 0 a 9 escolhida para 
gravá-lo. 
MODO DE OPERAÇÃO 
 
 Para facilitar os cálculos e realizá-los sem uso dos parênteses, a calculadora 
financeira trabalha com o sistema RPN (reverse polish notation) ou notação polonesa 
reversa. 
 A FC12 também apresenta a possibilidade de operação no sistema tradicional 
algébrico, denominado de ALG. Pede-se que a calculadora seja ajustada para o sistema 
RPN. Isso é feito pressionando a tecla f seguida de CHS do teclado. O visor da Platinum 
deve mostrar RPN aceso. 
 A característica do modo RPN este em introduzir os números primeiro e depois o 
sinal da operação. 
 Exemplos: Crie o hábito de sempre acionar as teclas f e Clx. 
Operação Modo RPN Resultado 
a) 13 + 12 = 13 enter 12 + 25 
b) 22 – 10 = 22 enter 10 – 12 
c) 5 x 8 = 5 enter 8 x 40 
d) 90 ÷ 3 = 90 enter 3 ÷ 30 
e) (1,12 + 0,89) x 3 1,12 enter 0,89 + 3 x 6,03 
 Para HP12c resolver √81� = 811/4,devemos trabalhar da seguinte maneira: 
81 enter 4 1/x Yx resultado 3. 
OPERAÇÃO COM DATAS 
 Existe outra função na calculadora que permite o cálculo do número de dias entre 
duas datas ou, ainda, determinar que dia da semana está ligado a certa data. Para tanto, 
alguns ajustes iniciais precisam ser feitos. 
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 O nosso sistema de representação é DIA/MÊS/ANO. Portanto, a calculadora deve 
ser ajustada para operar dessa maneira. Ao fazer isso, a função D.MY (Day, month, year) 
estará indicada no visor. Para esse ajuste, aperte as teclas g/r 4. 
CÁLCULO DO NÚMERO DE DIAS ENTRE DUAS DATAS 
 Digite a data mais antiga e pressione a vírgula uma só vez entre o dia e o mês. 
Exemplo: 15/02/2005 e 16/05/2005 = 15,022005 enter 16,052005 g/r EEX = 90 dias 
 Para determinar quantos meses existem entre 23/06/2001 e 28/08/2003 = 
23,062001 enter 28,082003 g EEX 30 ÷ = 26,5333 ≅ 27 meses 
CÁLCULO DE UMA DATA A PARTIR DE OUTRA 
 Digite a data base da operação, aperte enter, em seguida digite a quantidade de 
dias a serem somados, e por último acione a função data, representada por CHS. 
 Exemplo: 10,032011 enter 165 g CHS = 22,082011 1 
 A data é 22/08/2011. O número 1 no canto do visor indica que o dia da semana é 
uma segunda-feira. Portanto, 2 (terça-feira), 3 (quarta-feira), 4 (quinta-feira), 5 (sexta-
feira), 6 (sábado) e 7 (domingo). 
CÁLCULO DE VARIAÇÕES PERCENTUAIS 
 São inúmeras as situações em que se torna útil calcular a variação percentual entre 
dois valores. A função da calculadora que realiza esse cálculo é chamada de variação 
percentual e é acionada pela tecla ∆%. 
 Digite o valor antigo e tecle enter, em seguida digite o novo valor e tecle ∆%. 
 Exemplo: Calcular a variação percentual entre R$ 100 e R$ 120. Procedimento: 
100 enter 120 ∆% = 20% 
FUNÇÕES FINANCEIRAS BÁSICAS 
Tecla Inglês Tradução 
PV Present value Valor Presente 
PMT Payments Pagamentos/parcelas 
FV Future value Valor Futuro 
i Interest rate Taxa de juros 
n Number of periods Número de períodos 
 
FUNÇÕES FINANCEIRAS SECUNDÁRIAS 
 Nem sempre as parcelas são fixas em uma operação. Quando isso acontece, as 
funções de fluxo de caixa da HP12c podem ser utilizadas para alguns cálculos. É 
importante salientar que o recurso do fluxo de caixa está relacionado às parcelas não 
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uniformes. Caso contrário, as funções financeiras básicas resolvem, na maioria das 
situações. 
 As funções relacionadas ao fluxo de caixa são secundárias e podem ser acionadas 
pelas teclas g/r ou f/b. 
 Abaixo um programa que usaremos em nossas aulas para taxas de equivalências. 
PROGRAMAR 
Digitar Visor 
f/b P/R 00 - PRGM 
f/b PRGM 00 - PRGM (Limpeza de programas anteriores) 
x >< y 01 PRGM 34 
÷ 02 PRGM 10 
x >< y 03 PRGM 34 
1 04 PRGM 1 
0 05 PRGM 0 
0 06 PRGM 0 
÷ 07 PRGM 10 
1 08 PRGM 1 
+ 09 PRGM 40 
x >< y 10 PRGM 34 
yx 11 PRGM 21 
1 12 PRGM 1 
- 13 PRGM 30 
1 14 PRGM 1 
0 15 PRGM 0 
0 16 PRGM 0 
x (vezes) 17 PRGM 20 
f/b P/R 0,0000 (sai do modo de programação) 
 
 
 
 
 
 
 
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FUNDAMENTOS 
 Qualquer operação financeira deve estar estruturada em função do tempo e de 
uma taxa de juros (remuneração). Os componentes de uma operação, seja a juros 
simples, seja a juros compostos, têm nome. 
 
 É a remuneração obtida a partir do capital de terceiros. 
 
 É o valor inicial de uma operação. Está representa no instante “zero”. Também 
pode ser chamado de valor de origem O, o valor Principal (P), Capital (C) ou Present 
Value(PV). 
 É o recurso financeiro, base para cálculo dos juros, e toda vez que tomamos 
dinheiro emprestado, compramos uma mercadoria, etc, estamos na verdade, efetuando 
operações de movimentação de capital. 
 
 Vem do inglês interest rate (taxa de juros). Geralmente, está relacionada à sua 
forma de incidência. Pode ser diária, semanal, quinzenal, mensal, semestral, anual, entre 
outras. Essa taxa é expressa em forma percentual. Exemplo: 5% 
 Ao se trabalhar com fórmulas, a taxa de juros deve ser expressa em sua forma 
centesimal. Exemplo: 0,05. 
 
 É o tempo, que deve estar em acordo com a taxa de juros. 
 
 É composto de amortização mais juros. Também pode ser chamado de valor de 
resgate, Montante (M) ou Future Value (FV). 
DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA 
Definimos fluxo de caixa como a movimentação de recursos financeiros (entradas e 
saídas de caixa) ao longo de um período. 
 
 
 
 
 
 
PERÍODO (n) 
CAPITAL 
TAXA DE JUROS (iiii) 
JUROS (J) 
VALOR FUTURO 
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Exemplo: Você pega R$ 1.000,00 emprestado de um amigo. Você deverá pagar para ele 
R$ 1.100,00 daqui a 5 meses. 
Fluxo de caixa (visão do tomador) 
 
 
 
 
 
 
 Você está recebendo R$ 1.000,00 no instante “zero”. Este valor, do seu ponto de 
vista, é positivo, ou seja, uma entrada de caixa. As entradas de caixa são representadas 
por setas voltadas para cima. 
Fluxo de caixa (visão do tomador) 
 
 
 
 
 
 
 Seu amigo está emprestando a você R$ 1.000,00. Para ele, há uma saída de caixa 
no instante “zero” e uma entrada de R$ 1.100,00 depois de 5 meses. 
REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO 
Podemos definir como regime de capitalização os métodos pelo quais os capitais 
são remunerados. Os regimes de capitalização normalmente utilizados em matemática 
financeira são SIMPLES e COMPOSTO ou linear e exponencial, respectivamente. 
 
 O regime de capitalização simples é uma função linear, ou seja, de 1º grau. O valor 
Futuro é formado pelo somatório de valor principal com os juros. 
 Inicialmente, são calculados os juros que devem ser pagos em n períodos. 
 
 Em seguida, o valor de origem é somado aos juros. Isso possibilita o cálculo do 
valor futuro. 
 Temos uma fórmula que permite o cálculo direto do valor futuro a ser pago no 
período n, dados uma taxa de juros e um valor principal. 
 
1.100 
1 3 5 2 
1.000 
4 
1.000 
1.100 
1 2 3 4 5 
CAPITALIZAÇÃO SIMPLES ou JUROS SIMPLES 
J = PV * i * n 
FV = PV + J 
FV = PV * [1 + (i * n)] 
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EXERCÍCIOS 
01) Qual é o valor dos juros correspondentes a um empréstimo de R$ 5.000,00, pelo 
prazo de 5 meses, sabendo que a taxa cobrada é de 3,5% ao mês? 
02) Um capital de R$ 12.250,25, aplicado durante 9 meses, rende juros de R$ 2.756,31. 
Determine a taxa correspondente. 
03) Uma aplicação de R$ 13.000,00 pelo prazo de 180 dias obteve um rendimento de R$ 
1.147,25. Pergunta-se: qual é a taxa anual correspondente a essa aplicação? 
04) Sabe-se que os juros de R$ 7.800,00 foram obtidos com uma aplicação de R$ 
9.750,00, à taxa de 5% ao trimestre. Pede-se que seja calculado o prazo da aplicação? 
05) Qual o capital que, aplicado à taxa de 2,8% ao mês, rende juros de R$ 950,00 em 360 
dias? 
06) Qual é o montante de uma aplicação de R$ 550,00 a uma taxa de 12% ao trimestre, 
juros simples, se já passou 1 ano e 4 meses? 
07) Calcule as taxa proporcionais a 40% ao ano para: 
a) 7 dias b) 29 dias c) 1 mês d) 32 dias e) 1 trimestre 
f) 45 dias g) 1 semestre h) 73 dias i) 1 ano j) 365 dias 
08) Calcule os juros simples obtidos nas seguintes condições: 
a) Um capital de R$ 220,00, aplicado por três meses, à taxa de 4% a.m. 
b) Um capital de R$ 540,00, aplicado por um ano, á taxa de 5% a.m. 
c) Uma dívida de R$ 80,00, paga em oito meses, à taxa de 12% a.m. 
d) Uma dívida de R$ 490,00, paga em dois anos, à taxa de 2% a.m. 
09) Bruna fez um empréstimo de R$ 250,00 com um amigo e combinou de pagá-lo ao 
final de quatro meses, com juros simples de 6% a.m. Qual será o total desembolsado por 
Bruna após esse período? 
10) Um poupador aplicou R$ 200,00 em um fundo de investimento regido a juros simples. 
Passados quatro meses, o valor da aplicação era de R$ 240,00. Qual é a taxa mensal de 
juros simples dessa aplicação? 
11) Obtenha o montante de um dívida, contraída a juros simples, nas seguintes 
condições: 
a) capital: R$ 400,00; taxa: 48% ao ano; prazo: 5 meses; 
b) capital: R$ 180,00; taxa: 72% ao semestre; prazo: 8 meses; 
c) capital: R$ 5.000,00; taxa: 0,25% ao dia; prazo: 3 meses; 
12) Um capital é aplicado, a juros simples, à taxa de 5% a.m. Quanto tempo, no mínimo, 
ele deverá ficar aplicado, a fim de que seja possível resgatar: 
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a) o dobro da quantia aplicada? 
b) o triplo da quantia aplicada? 
c) dez vezes a quantia aplicada? 
13) O preço à vista de um bem é R$ 900,00. Pode-se, entretanto, optar pelo pagamento 
de R$ 500,00 de entrada e mais R$ 500,00 um mês após a compra. Qual é a taxa mensal 
de juros desse financiamento? 
14) Tina fez compras em uma loja no valor total de R$ 2.400,00. Há duas opções para o 
pagamento: 
- à vista, com 3% de desconto; 
- entrada de R$ 1.200,00 mais uma parcela de R$ 1.200,00 um mês após a compra. 
a) Que valor Tina pagará se optar pelo pagamento à vista? 
b) Que taxa mensal de juros à loja embute no pagamento parcelado? 
15) Uma conta de gás, no valor de R$ 480,00, com vencimento para 13/04, trazia a 
seguinte informação: “Se a conta for paga após o vencimento, incidirão sobre o seu valor 
multa de 2% e juros de 0,033% ao dia, que serão incluídos na conta futura”. 
Qual será o acréscimo a ser pago sobre o valor da próxima conta por um consumidor que 
quitou o débito em 17/04? E se ele tivesse atrasado o dobro de dias para efetuar o 
pagamento? 
16) Represente com um diagrama de fluxo de caixa as seguintes operações financeiras: 
a) Uma aplicação de R$ 50.000,00 pela qual o investidor recebe R$ 80.000,00 após dois 
anos. 
b) Um empréstimo tomado de R$ 60.000,00 que será pago em 10 parcelas mensais de 
R$ 6.200,00, vencendo a primeira a 30 dias do empréstimo. 
c) A compra de um objeto cujo preço a vista é R$ 30.000,00, em 12 prestações mensais 
de R$ 2.600,00, vencendo a primeira na data da compra. 
d) Um empréstimo dado de R$ 90.000,00, que será recebido em duas parcelas: uma de 
R$ 40.000,00 após 60 dias e outra de R$ 60.000,00 após 180 dias. 
e) Depósitos de R$ 5.000,00 na caderneta de poupança, no fim de cada mês durante um 
ano, e retirada de R$ 61.677,81 dois meses após o último depósito. 
 
 
 
 
 
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 Atualmente, a maior utilização do método hamburguês, nos 
casos dos clientes de bancos, está no cheque especial. Permite calcular de maneira 
simples e direta os juros produzidos por capitais diferentes em períodos distintos. 
 No caso do cheque especial, é por esse método que os juros são calculados sobre 
cada saldo devedor dentro do mês. 
Exemplo: Um banco cobra 12% a.m. de juros sobre os saldos devedores de cheques 
especiais. Um cliente apresentou o seguinte extrato: 
DATA HISTÓRICO VALOR D/C SALDO D/C 
01/04/201x Transporte - 200,00 
13/04/201x Cheque – 300,00 –100,00 
19/04/201x Cheque – 150,00 – 250,00 
21/04/201x Depósito 380,00 130,00 
28/04/201x Cheque – 270,00 – 140,00 
Para o cálculo dos juros, montamos a seguinte tabela:DATA SALDO D/C NÚMERO DE DIAS 
(SALDO DEVEDOR) 
NÚMERO DE DIAS * SALDO DEVEDOR 
01/04/201x 200,00 C 
13/04/201x – 100,00 D 
19/04/201x – 250,00 D 
21/04/201x 130,00 C 
28/04/201x – 140,00 D 
Logo, J = �,���� ( + + ) 
Portanto, o total de juros debitado foi de R$ no mês de abril de 201x. 
DATA HISTÓRICO VALOR D/C SALDO D/C Número de dias 
(saldo devedor) 
NÚMERO DE DIAS X 
SALDO DEVEDOR 
01/05/201x Transporte - 
05/05/201x Juros 
13/05/201x Cheque – 300,00 
19/05/201x Cheque – 150,00 
21/05/201x Depósito 380,00 
28/05/201x Cheque – 270,00 
Portanto, o total de juros debitado foi de R$ no mês de maio de 201x. 
 
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Exercícios: 
01) Você possui conta corrente no Banco que lhe cobra 11% ao mês de juros no cheque 
especial. Infelizmente, você acaba utilizando-o alguns dias no mês. Veja seu extrato. 
Determine quanto você terá de pagar de juros referentes ao cheque especial no mês 
corrente. 
 
DATA HISTÓRICO VALOR D/C SALDO D/C 
01/01/201x Transporte - 1.200,00 
05/01/201x Saque – 1.000,00 200,00 
08/01/201x Cheque – 400,00 – 200,00 
10/01/201x Déb. Autom – 320,00 – 520,00 
16/01/201x Depósito 600,00 80,00 
19/01/201x Saque – 700,00 – 620,00 
22/01/201x Cheque – 230,00 – 850,00 
25/01/201x Depósito 100,00 – 750,00 
27/01/201x Cheque – 300,00 – 1.050,00 
 
02) Você possui conta corrente no Banco que lhe cobra 9% ao mês de juros no cheque 
especial. Infelizmente, você acaba utilizando-o alguns dias no mês. Veja seu extrato. 
Determine quanto você terá de pagar de juros referentes ao cheque especial no mês 
corrente. 
 
DATA HISTÓRICO VALOR D/C SALDO D/C 
01/08/201x Transporte - 200,00 
05/08/201x Saque – 900,00 
15/08/201x Cheque – 358,00 
23/08/201x Déb. Autom – 315,00 
 
03) Você possui conta corrente no Banco que lhe cobra 18% ao mês de juros no cheque 
especial. Infelizmente, você acaba utilizando-o alguns dias no mês. Veja seu extrato no 
trimestre, sabendo que você paga os juros sempre no dia 05 do mês seguinte. Determine 
quanto você terá de pagar de juros referentes ao cheque especial em cada mês. 
OBS: Construa a tabela no seu caderno, separando os meses. 
 
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DATA HISTÓRICO VALOR D/C SALDO D/C 
01/08/201x Transporte – 800,00 
03/08/201x Cheque – 900,00 
05/08/201x Pag. de títulos – 350,00 
08/08/201x Déb. Automático – 470,00 
16/08/201x Saque – 250,00 
25/08/201x Depósito 1.000,00 
 
 
05/09/201x Pag. de títulos - 450,00 
 
08/09/201x Depósito 800,00 
08/09/201x Déb. Automático – 470,00 
15/09/201x Saque – 500,00 
22/09/201x Saque – 350,00 
28/09/201x Pag. de títulos – 900,00 
 
 
05/10/201x Pag. de títulos – 350,00 
 
08/10/201x Déb. Automático – 470,00 
20/10/201x Saque – 250,00 
25/10/201x Depósito 1.500,00 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 “Desconto nada mais é do que pagar juros pela antecipação de dinheiro a ser 
recebido em data futuro”.(NASCIMENTO, 2011, p.57) 
Desconto é a diferença entre o Valor Nominal de um título futuro(N) e o Valor Atual(A). 
 O desconto é feito em um título, promissória, duplicata etc. 
Exemplo de nota promissória. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo de duplicata. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo de Letra de Câmbio: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 Seja N o valor nominal de um título e A o valor atual (ou líquido) n períodos antes 
do vencimento. O desconto racional simples (D) do título resgatado n período antes do 
vencimento é a diferença entre o valor nominal e o atual. 
 
 
 Para calcularmos N, temos: 
 
Exemplo: Um título de valor nominal R$ 600.000,00 é descontado 2 meses antes do 
vencimento, à taxa de juros simples de 2% a.m. Qual o desconto racional? 
N = 600.000 
i = 2% a.m. = 0,02 
n = 2 
Logo, A (1 + .0,02 . 2) = 600.00 então A = 576.923,08 
Portanto, D = 600.000 – 576.923,08 = 23.076,92 
 
 
 A operação mais utilizada em juros simples está o desconto comercial. Um 
desconto ocorre quando o possuidor de um título (de valor nominal N) resgata-o antes do 
vencimento em um agente financeiro. 
 Os títulos mais comuns que sofrem operações de desconto são: nota provisória, 
letras de câmbio, duplicatas e cheques pré-datados (embora ainda não existam 
legalmente). 
 Indicamos por D o desconto comercial, por d a taxa de desconto e por n o número 
de períodos de antecipação, teremos: 
 
 A diferença entre o valor nominal e o desconto comercial chama-se valor 
descontado comercial e é indicada por Vc, isto é: 
 
Exemplo: Um título de valor nominal igual a R$ 600.000,00 é descontado em um banco 2 
meses antes do vencimento, à taxa de desconto comercial de 2% a.m. Obter o desconto 
comercial e o valor descontado comercial. Temos: 
 
N = A (1+ in) 
DESCONTO RACIONAL SIMPLES ou “POR DENTRO” 
DESCONTO BANCÁRIO ou COMERCIAL ou “POR FORA” 
D = N . i . n 
A = N (1 – i.n) 
D = Ain 
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N = 600.000 
d = 2% a.m. = 0,02 
n = 2 
D = 600.000 . 0,02 . 2 = 24.000 e A = 576.000,00 
 
Exercícios 
 
01) Um título de R$ 1.000,00 vai ser resgatado dois meses antes do vencimento. Sabendo-se 
que a taxa de juros é de 4%a.m., pede-se: 
a) o valor descontado racional; 
b) o desconto racional. 
02) Um título foi descontado à taxa de 2% a.m. Sabendo-se que o valor nominal era de R$ 
7.144,40 e o valor descontado racional R$ 6.740,00, qual o prazo de antecipação? 
03) Calcule o valor nominal de uma duplicata que, descontada “por dentro”, à taxa de 78% 
a.a., 60 dias antes do vencimento, resultou num valor líquido de R$ 253.982,00. 
04) Um título de valor nominal de R$ 200.000,00 foi descontado três meses do vencimento. 
Sendo de 96% a.a. a taxa de juros simples corrente, determine o desconto racional simples e 
o valor atual racional simples. 
05) Uma duplicata de valor nominal igual R$ 90.000,00 é descontada em um banco dois 
meses antes de seu vencimento. Sabendo-se que a taxa de desconto comercial é de 5% 
a.m., pede-se: 
a) o desconto comercial; 
b) o valor descontado comercial; 
06) Um título de valor nominal de R$ 2.000.000,00 é descontado a uma taxa de desconto 
comercial de 2% a.m. Se o prazo de antecipação for de 2 meses,qual o desconto e o valor 
atual comercial? 
07) Um título de valor nominal R$ 200.000,00 foi descontado três meses antes do 
vencimento. Sendo de 96% a.a. a taxa de desconto simples, determine o desconto comercial 
simples e o valor comercial simples. 
08) Qual o desconto racional de um título de R$ 2.500,00, pago 1 ano e 4 meses antes do 
vencimento, se o banco opera com uma taxa anual efetiva de 12% a.a.? 
09) Na venda de meu carro, o comprador assinou uma duplicata de R$ 25.000,00 para 
pagamento em 6 meses. No entanto, propôs pagá-la em 2 meses com desconto racional de 
18% a.a. Quanto devo receber? 
 
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10) Pela antecipação de restituição de meu imposto de renda, o banco me pagou R$ 
1.578,80, pois praticou uma taxa de desconto racional de 24% ao ano; o prazo consideradoé 
a data do último lote, que será daqui a 8 meses e 21 dias. Qual o valor do desconto 
praticado? 
11) Seja o caso de um título de R$ 1.000,00 que sofreu desconto comercial de R$ 300,00, a 
taxa de 10% a.m. Qual o período de antecipação do título? 
12) Qual o desconto comercial de um título de R$ 2.500,00, pago 1 ano e 4 meses antes do 
vencimento, se o banco opera com uma taxa anual efetiva de 12% a.a.? 
13) Qual o valor de desconto comercial simples de um título de R$ 2.000,00, a uma taxa de 
18% a.a., descontado 4 meses antes do vencimento? 
14) Para comprar um carro de R$ 20.000,00, vou ter que descontar um título com meu banco, 
pois somente terei o dinheiro daqui a 7 meses. De quanto deve ser esse título, se a taxa 
de desconto comercial praticada é de 24% a.a.? 
15) Uma empresa apresenta o borderô de duplicatas abaixo, para serem descontadas num 
banco à taxa de desconto comercial de 15% a.m. Qual o valor líquido recebido pela 
empresa? 
Duplicata Valor Prazo até o vencimento 
A 20.000 30 dias 
B 40.000 65 dias 
C 80.000 82 dias 
16) Determinar o valor da taxa mensal de desconto “por dentro” usada numa operação de 
desconto de 60 dias de um título cujo valor de resgate é R$ 10.000,00 e cujo valor do 
principal é R$ 9.750,00. 
17) Um título com 119 dias a decorrer até seu vencimento está sendo negociado, a juros 
simples, com uma taxa de desconto “por fora” de 15% ao ano. Assumindo o ano comercial 
com 360 dias, determinar o valor da aplicação que proporciona um valor de resgate de R$ 
1.000,00. 
18) Uma nota promissória de R$ 1.000,00 tem vencimento para daqui a 3 meses. Você 
deseja descontá-la hoje em um banco. Se a taxa de juros é de 5% a.m., qual o valor do 
desconto bancário e quanto você receberá? 
19) Um cheque de R$ 2.300,00 tem vencimento para daqui a 165 dias. Você deseja 
descontá-lo hoje em um banco. Se a taxa de juros é de 5% a.m., qual o valor do desconto 
comercial? 
 
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20) Qual o desconto bancário de uma duplicata de R$ 55.000,00, resgatada 7 meses e 15 
dias antes do vencimento, à taxa de 18% a.a? 
21) Um título de valor nominal de R$ 25.000,00 é descontado 2 meses antes do seu 
vencimento, à taxa de juros simples de 2,5%a.m. Qual é o desconto racional? 
22) Uma empresa apresenta o borderô de duplicatas, mostradas a seguir, para serem 
descontadas em um banco à taxa de desconto bancário de 3% a.m. Qual é o valor líquido 
recebido pela empresa? 
Duplicata Valor (R$) Prazo (vencimento) 
A 2.500,00 25 dias 
B 3.500,00 57 dias 
C 6.500,00 72 dias 
23) Qual é o valor do desconto comercial simples de um título de R$ 3.000,00, com 
vencimento para 90 dias, à taxa de 2,5% a.m? 
24) Qual é a taxa mensal simples de desconto comercial utilizada em uma operação a 120 
dias cujo valor nominal é de R$ 1.000,00 e o valor líquido é de R$ 880,00? 
25) Calcular o valor líquido do desconto comercial de um conjunto de duplicata descontadas a 
2,4% a.m., conforme o borderô a seguir: 
Duplicata Valor (R$) Prazo (vencimento) 
A 6.000,00 15 dias 
B 3.500,00 25 dias 
C 2.500,00 45 dias 
26) Um título com valor nominal de R$ 3.836,00 foi resgatado 4 meses antes do seu 
vencimento, tendo sido concedido um desconto racional simples à taxa de 10% a.m. Qual foi 
o valor pago pelo título? 
Observações: 
� - Frequentemente os bancos, ao efetuarem operações de desconto, cobram uma taxa 
de serviços para remunerar seus serviços administrativos; tal taxa é expressa por uma 
porcentagem sobre o valor do título ou por um fixo por título. 
Por ser incidido em diversas operações, o IOF tem alíquotas, ou taxas, diferentes para 
cada uma delas: 
– 3% ao ano para pessoa física ou 0,0082% a.d. 
– 0,38% na abertura da operação de crédito; 
– Máximo de 25% para operações de câmbio e de seguro; 
– 1,5% ao dia para títulos e valores imobiliários. 
 
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28 
 
� - Existe um importo (IOF – Imposto sobre Operações financeiras) que o governo 
cobra toda vez que a empresa desconta duplicatas. Tal imposto é igual a 0,0082% 
a.d. sobre o valor do título, vezes o número de antecipação, e é cobrado no ato do 
fechamento da operação. 
Exemplo: Uma duplicata de valor igual a R$ 600.000,00 é descontada em um banco 2 
meses antes do vencimento, à taxa de desconto comercial de 2% a.m. Sabendo-se que o 
banco cobra 1% a título de despesas administrativas e o IOF sobre o valor do título, obter 
o valor recebido pelo portador do título. 
Desconto; D = 600.000 . 0,02 . 2 = 24.000 
Despesas administrativas: 0,01 . 600.000 = 6.000, 
IOF: 0,000082 . 600.000 . 60 = 2.952, 
 32.952, 
Logo, o valor líquido recebido pelo portador foi: 
600.000, – 32.952, = 567.048,00 
27) Uma duplicata é descontada 100 dias antes de seu vencimento. Sabendo-se que a 
taxa de desconto comercial é de 6% a.m., o valor nominal do título R$ 500.000,00 e que a 
taxa de serviço cobrada pelo banco é de 2% além do IOF, qual o valor líquido recebido? 
28) Qual o desconto bancário para um título de R$ 90.000,00, cujo prazo de antecipação 
é de 40 dias, sendo 80% a.a. a taxa de desconto comercial e 2% a taxa de despesas 
administrativas? 
29) Uma duplicata no valor de R$ 15.000,00 foi descontada 67 dias antes do vencimento, 
à taxa de 3,5% a.m. Determine o valor creditado ao cliente após descontar o IOF. 
30) Qual é o valor do desconto comercial simples de um título de R$ 3.000,00, com 
vencimento para 90 dias, à taxa de 2,5% a.m, o banco cobra 3% de taxa além do IOF? 
31) Qual o desconto bancário de uma duplicata de R$ 55.000,00, resgatada 7 meses e 15 
dias antes do vencimento, à taxa de 18% a.a. o banco cobra 1,5% de taxa além do IOF? 
32) Qual o desconto de um duplicata de R$ 385.000,00, resgatada 6 meses e 13 dias 
antes do vencimento, à taxa de 36% a.a. o banco cobra 1% de taxa além do IOF? 
33) Uma duplicata no valor de R$ 25.000,00 foi descontada “por fora” em um banco 2 
meses antes do vencimento, à taxa de desconto de 2,5% a.m. Sabendo-se que o banco 
cobra 1% a título de despesas administrativas e que o IOF é 0,0082% a.d. sobre o valor 
do título, obtenha o valor recebido pelo portador do título. Outra saída seria tomar um 
empréstimo com a taxa líquida de 2,8% a.m. Qual seria a melhor opção? 
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29 
 
34) Uma duplicata de R$ 6.700,00, com vencimento em 31/08/201x, foi descontada em 
13/07/201x, sendo creditado na conta R$ 5.850,00. Sabendo que foi cobrado o IOF e 1% da 
taxa administrativa, calcule a taxa mensal do desconto? 
35) Uma duplicata de R$ 158.500,00 com vencimento em 03/09/201x e foi descontada em 
13/05/201x, a taxa de desconto é 7,28% a.b., IOF e o banco ainda cobra 2,5% de taxa, qual 
foi o valor atual? 
 
 
 
JUROS COMPOSTOS 
 
 No regime de capitalização composta os juros gerados em cada período se agregam 
ao montante do período anterior, passando esse novo montante a produzir juros no período 
seguinte. 
 Primeiramente iremos trabalhar a taxa. 
A mudança de unidade de tempo na taxa efetiva é uma transformação exponencial, 
diferente do regime de capitalização simples que a taxa é uma transformação linear. 
 Utilizaremos a fórmula abaixo para encontrarmos, por exemplo, a taxa mensal dado à 
taxa anual e vice-versa. Encontraremos as taxas equivalentes. 
 
 
 
 
qq => taxa para o prazo que eu quero; 
qt => taxa para o prazo que eu tenho. 
Exemplo 
Se a taxa efetiva é igual a 2% a.b., então será igual à: 
Taxa efetiva trimestral: �� � ��1 + 0,02��� − 	1� 	�	100 � 3,01%	 . !. 
Taxa efetiva semestral: �" � ��1 + 0,02�#� − 	1� 	�	100 � 6,12%	 . %. 
Taxa efetiva anual:��� � ��1 + 0,02�&�� − 	1� 	�	100 � 12,62%	 . . 
Exercícios: 
01) Qual a taxa semestral equivalente às seguintes taxas: 
a) 1,3%a.d. b) 16% a.m. c) 27% a.b. d) 41% a.t. e) 1.500%a.a. 
 
�'' � [)1 + �'*+,,,- − 1]	�	100 
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02) Em juros compostos, qual a taxa em 65 dias equivalente a 20% a.m.? 
03) Qual a taxa mensal equivalente às seguintes taxas: 
a) 1,7% a.d. b) 12% a.b c) 25% a.t. d) 36% a.s. e) 56%a.a. 
04) Qual a taxa diária equivalente às seguintes taxas: 
a) 37% a.b. b) 18% a.m. c) 44%a.t. d) 64%a.s. e) 12%a.a. 
05) Determine a taxa equivalente do que se pede: 
a) 1,5% a.d. para o semestre; d) 7,8% a.b. para o dia; 
b) 1,5% a.d. para o bimestre; e) 7.8% a.b. para mês; 
c) 1,5% a.d. para o trimestre; f) 7,8% a.b. para o ano. 
06) Determine a taxa equivalente no período que se pede: 
a) 2,3% a.d. para 234 dias; f) 12,8% a.m. para 435 dias; 
b) 4,6% a.b. para 128 dias; g) 35,8% a.t. para 789 dias; 
c) 5,7% a.s. para 925 dias; h) 58% a.a. para 243 dias; 
d) 12,3% a.m. para 642 dias; i) 8,7% a.a. para 121 dias; 
e) 0,6% a.m. para 983 dias; j) 0,02% a.d. para 543 dias. 
Cálculo do Montante 
 
 Considere o exemplo de uma aplicação comercial composta de R$ 1.000,00 que 
tenha obtido de juros o valor de R$ 331,00. Por definição, montante (FV) é a soma do 
capital com os seus juros compostos, isto é, FV = 1.000 + 331 = 1.331,00. 
Portanto, tem-se: 
 
 
 
Cálculo do tempo 
 
 
 
 
Exemplo: Durante quanto tempo um capital de R$ 1.000.000,00 deve ser aplicado a juros 
compostos, à taxa de 10% a.a., para que produza um montante de R$ 1.610.510,00? 
 
 
/0 � 10�2 + 3�4 
5	 � 67	 89:967	�1 + �� 
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C = 1.000.000,00 M = 1.610.510,00 i = 10% = 0,1 
Portanto: 
5. 67�1 + 0,1� � 67 1.610.510,001.000.000,00 5. 67�1,1� � 67	1,610510 
LN 1,1 = 0,041393; LN 1,610510 = 0,206963 
Então: n. 0,041393 = 0,206963 � 5 � �,��"<"��,�=��<� � 5	 5>% 
Exercícios: 
 
07) Calcular o montante de uma aplicação financeira de R$ 15.000,00, admitindo-se uma taxa 
de 2,5% ao mês para um período de 17 meses. 
08) Calcular o capital de uma aplicação de montante de R$ 98.562,25, efetuada pelo prazo de 
6 meses a uma taxa de 1,85% ao mês. 
09) Quanto tempo foi necessário para uma aplicação de R$ 26.564,85 produzir um montante 
de R$ 45.562,45 com uma taxa de 0,98% ao mês? 
10) Qual é a taxa mensal de juros necessária para um capital de R$ 2.500,00 produzir um 
montante de R$ 4.489,64 durante um ano? 
11) Determinar os juros obtidos por uma aplicação de R$ 580,22 com uma taxa de 4,5% ao 
mês durante 7 meses. 
12) Determinar o valor de um investimento que foi realizado pelo regime de juros compostos, 
com uma taxa de 2,8% ao mês, produzindo um montante de R$ 2.500,00 ao fim de 25 meses. 
13) Quanto tempo será necessário para triplicar um capital de R$ 56,28 com a taxa de 3% ao 
mês? 
14) Um capital de R$ 600.000,00 é aplicado a juros compostos durante 3 meses, à taxa de 
10% a.m. 
a) Qual o montante? b) Qual o total de juros auferidos? 
15) Um capital de R$ 2.500,00 é aplicado durante 4 meses, produzindo um montante de R$ 
3.500,00. Qual a taxa mensal de juros? 
16) Durante quanto tempo um capital de R$ 1.350.000,00 deve ser aplicado a juros 
compostos, à taxa de 10% a.a., para que produza um montante de R$ 2.630.768,09? 
17) Qual a taxa mensal equivalente a 900% a.a. no regime de juros compostos? 
18) Calcule o montante de uma aplicação de R$ 50.000,00 à taxa de 2% a.m., considerando o 
regime de capitalização composta e o prazo da aplicação de 6 meses. 
 
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19) Calcule o montante para a aplicação abaixo, supondo o regime de capitalização 
composta: 
 Capital aplicado Taxa Prazo 
a) R$ 80.000,00 96% a.a. 2 anos 
b) R$ 65.000,00 3% a.m. 1 ano 
c) R$ 35.000,00 21% a.t. 1 ano e meio 
20) Um capital de R$ 700,00 é aplicado a juros compostos, durante 1 ano e meio, á taxa 
de 2,5% a.m. Calcule os juros auferidos no período. 
21) Um banco remunera aplicações a juros compostos, cuja taxa é de 3% a.m. Se uma 
pessoa aplica hoje R$ 85.000,00 e R$ 100.000,00 daqui a 3 meses, qual será o montante 
daqui a 6 meses. 
22) Qual o capital que aplicado a juros composto durante nove anos, à taxa de 10%a.a., 
produz um montante de R$ 175.000,00? 
23) Um determinado capital, aplicado a juros compostos durante 10 meses, rendeu uma 
quantia de juros igual ao valor aplicado. Determine a taxa mensal dessa aplicação. 
24) Um capital de R$ 65.000,00, aplicado a juros compostos, rendeu depois de um certo 
prazo o montante de R$ 115.926,00. Sabendo que a taxa mensal da aplicação foi de 
7,5%, calcule o prazo da aplicação. 
25) Uma determinada empresa teve seu faturamento aumentado de R$ 80.000,00 para 
R$ 400.000,00, em apenas 3 anos. Determine o percentual de crescimento anual desse 
faturamento. 
26) Uma pessoa toma R$ 1.000,00 emprestado a juros de 2% a.m. pelo prazo de 10 
meses com capitalização composta. Qual o montante a ser devolvido? 
27) Dada a taxa de juros de 9,2727% a.t., determinar a taxa de juros compostos 
equivalente mensal. 
28) Um capital de R$ 1.000,00 é emprestado à taxa de juros compostos de 10% a.a., pelo 
prazo de 5 anos e 6 meses. Tendo por base a capitalização anual, qual será o montante? 
29) Calcular o montante de uma aplicação de R$ 10.000,00 sob as hipóteses a seguir: 
 Taxa Prazo 
A 20% a.a. 5 anos 
B 5% a.s. 3 anos e meio 
c 2,5% a.m 1 ano 
 
 
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30) Qual é o juro auferido de um capital de R$ 1.500,00, aplicado segundo as hipóteses: 
 Taxa Prazo 
A 10% a.a. 10 anos 
B 8% a.t. 18 meses 
C 1% à semana 2 meses 
31) Qual é a taxa de juros compostos mensal recebida por um investidor que aplica R$ 
1.000,00 e resgata os montantes, segundo as hipóteses abaixo: 
 Montante Prazo 
A 1.076,89 3 meses 
B 1.125,51 4 meses 
C 1.340,10 6 meses 
32) Um investidor aplicou R$ 25.000,00 em uma instituição que paga 3% a.m. Após certo 
período de tempo, ele recebeu R$ 35.644,02, estando neste valor incluídos os juros 
creditados e o capital investido. Quanto tempo ficou o dinheiro aplicado 
33) Um apartamento é vendido, a vista, por R$ 220.000,00. Caso o comprador opte por 
pagar em uma única parcela após certo período de tempo, o vendedor exige R$ 
61.618,59 como juros, pois quer ganhar 2,5% a.m. Qual é o prazo de financiamento na 
hipótese acima? 
34) Calcular a taxa equivalente anual dadas as seguintes taxas por período: 
a) 1% a.m. 
b) 2% a.t. 
c) 5% a.q. 
d) 10% a.s. 
35) Calcular as taxas equivalentes a 20% a.a., conforme solicitado: 
a) taxa semestral b) taxa quadrimestral c) taxa trimestral 
36) Um corretor de títulos propõe a seu cliente uma aplicação cuja rentabilidade é de 40% 
a.a. Se o investidor souber de outra alternativa onde possa ganhar 9% a.t., qual será sua 
escolha? 
37) Qual o valor do investimento que, aplicado à taxa de 12% ao trimestre, durante 218 dias, 
produziu um resgate de R$ 125.563,25? 
38) Qual é o montante de um investimento de R$ 10.000,00, aplicado a uma taxa de 18,5% 
a.a. pelo período de 95 dias? 
 
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39) Um investidor aplicou R$ 10.000,00 em um fundo de investimento que rende 20% ao 
ano, a juros compostos. Qual será o tempo mínimo necessáriopara que o montante 
dessa aplicação seja R$ 60.000,00? 
40) Uma poupança rende 0,5% a.m., em regime de juros compostos. Joana aplicou R$ 
578,50 e retirou a quantia disponível um ano depois. 
a) Que valor Joana retirou? 
b) Que valor Joana teria retirado, se a taxa de juros fosse de 0,8% a.m.? 
41) Uma empresa tomou um empréstimo de dois anos, taxa de juro composto de 18% 
a.a. Sabendo que a empresa no final de dois anos pagou R$ 750.000,00, qual o valor do 
empréstimo? 
42) Uma pessoa aplicou em um fundo de 252 dias úteis o valor de R$ 34.500,00, taxa de 
12% a.a., de acordo com o regime composto de capitalização. Qual foi o valor do 
resgate? 
43) Um banco emprestou R$ 45.000,00 a serem pagos após sete meses à taxa de 4,8% 
a.m. Qual é o juro recebido nesta operação, considerando o regime de capitalização 
composta? 
 
Fórmula do Montante quando o número de períodos de aplicação é fracionário 
 
 Suponhamos um capital de R$ 1.000.000,00 aplicado em regime de juros 
compostos, à taxa de 10% a.a., durante a 3,5 anos (3 anos e meio). 
 Como o período a que se refere a taxa é o ano e temos um número não inteiro de 
anos, precisamos adotar alguma convenção para o cálculo do montante numa situação 
como essa. Existem várias convenções utilizadas. 
a) Convenção linear 
 É aquela que considera remuneração a juros compostos durante a parte inteira do 
período considerado e, sobre o montante assim obtido, juros simples durante a parte não 
inteira do período considerado. 
No nosso exemplo, teremos: 
Montante após 3 anos (juros compostos): M = 1.000.000(1,1)3 = 1.331.000 
Juros simples sobre o montante anterior durante 0,5 ano 
J = 1.331.000 . 0,1 . 0,5 = 66.550,00 
Montante final resultante: 1.331.000 + 66.550 = 1.397.550,00 
 
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b) Convenção exponencial 
 É aquela que considera a fórmula do montante M = C(1 + i)n aplicável para n 
fracionário. 
No nosso exemplo, teremos: 
M = 1.000.000(1,1)3,5 = 1.395.964,58 
 Notaram que o montante obtido a partir da convenção linear é maior que o obtido 
pela convenção exponencial. Tal fato se explica, pois na convenção exponencial o 
montante é obtido como ordenada na curva exponencial M = 1.000.000(1,1)n, ao passo 
que na convenção linear o montante cresce linearmente, a partir do instante 3 até o 
instante 4 (no instante 4 os montantes obtidos pelas duas convenções são iguais). 
 Geralmente se utiliza no Brasil a convenção exponencial. Nos problemas e 
exemplos que se seguirem, adotaremos a convenção exponencial. Quando no problema 
utilizar a convenção linear, será mencionado. 
 
 
 
Séries Periódicas Uniformes 
… A série que mostra o retorno do capital através de pagamentos iguais e periódicos. 
Este retorno pode ser de um empréstimo ou da aquisição de um bem. 
Elementos Notação 
Valor presente ou valor financiado ................................. PV 
Pagamento ou prestação ................................................ PMT 
Taxa de juros ................................................................... i 
Número de pagamentos .................................................. n 
Período de diferimento ou carência................................. c 
 
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 As rendas certas, ou séries periódicas uniformes, podem ser divididas em série 
postecipadas, antecipadas e diferidas. 
Séries Postecipadas 
 As séries postecipadas são aquelas em que o pagamento ocorrem no final de cada 
período e não na origem. 
As séries uniformes de pagamento postecipados são aqueles em que o primeiro 
pagamento ocorre no momento 1; este sistema é também chamado de sistema de 
pagamento ou recebimento sem entrada. Pagamentos ou recebimentos podem ser 
chamados de prestação, representada pela sigla “PMT” que vem do Inglês “Payment” e 
significa pagamento ou recebimento. (BRANCO, 2002) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo do pagamento (PMT), dado o PV: 
:?@ � :9 A �1 + ��B	�	��1 + ��B − 1C 
 
Exemplo: O preço à vista de um produto é de R$ 1.000,00. Entretanto o mesmo pode ser 
adquirido em 6 pagamentos mensais iguais, com primeiro pagamento efetuado 30 dias 
após a compra. No financiamento, a loja cobra a taxa de 5% a.m., determinar o 
pagamento mensal. 
Temos: PV = 1.000,00 n = 6 pagamentos i = 5% a.m. PMT = ?? 
:?@ � 1.000 A�1 + 0,05�"�	0,05�1 + 0,05�" − 1 C � 197,02 
Usando a calculadora: 
Começamos a conta pelo denominador (por baixo). 
1,05 enter 
6 yx 
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1 – STO 2 
1,05 enter 
6 yx 
0,005 * RCL 2 ÷ 
1000 * 
Cálculo do PV dado o pagamento (PMT) 
:9 � :?@ A�1 + ��B − 1�1 + ��B	�	� C 
Exemplo: Para liquidar um empréstimo, uma pessoa deverá efetuar 12 pagamentos 
mensais iguais de R$ 243,72. Sabendo-se que o banco cobra a taxa de 2,5%a.m., calcule 
a quantia que essa pessoa tomou emprestado. 
Temos: n = 12 pagamentos PMT = 243,72 i = 2,5%a.m. PV=?? 
:9 � 243,72 A �1 + 0,025��� − 1�1 + 0,025���	�	0,025C � 2.500,00 
Com a calculadora: 
1,025 enter 
12 yx 
0,025 * STO 3 
1,025 enter 
12 yx 
1 – RCL 3 ÷ 
243,72 * 
Cálculo do pagamento (PMT), dado o FV: 
:?@ � 89 F ��1 + ��B − 1G 
Exemplo: Quanto deverá depositar mensalmente na poupança, com taxa de 0,5%a.m. 
durantes 15 meses, para produzir um montante de R$ 2.500,00, pelo regime de juros 
compostos. 
Temos: i = 0,5% a.m. n = 15 depósitos FV = 2.500,00 PMT =??? 
:?@ � 2.500 F 0,005�1 + 0,005��� − 1G � 160,91 
 
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Usando a calculadora: 
1,005 enter 
15 yx 
1 – STO 4 
0,005 RCL 4 ÷ 
2.500 * 
 
Cálculo do FV dado o PMT: 
89 � :?@ A�1 + ��B − 1� C 
Exemplo: Você deposita R$ 150,00 mensalmente na poupança durante 5 anos, com taxa 
de 0,5% a.m.. Qual será o valor acumulado? 
Temos: PMT = 150,00 n = 5 anos = 60 depósitos i = 0,5%a.m. FV=?? 
89 � 150,00 A�1 + 0,005�"� − 10,005 C � 10.465,50 
Usando a calculadora: 
1,005 enter 
60 yx 
1 – 
0,005 ÷ 
150 * 
 
Cálculo do prazo (n), dado o PV e o PMT: 
5 � −H67 �1 − I :9:?@J�	��67	�1 + �� K 
Exemplo: Um produto à vista custa R$ 3.500,00 e pode ser pago em prestações de R$ 
502,60 com uma taxa de 3% a.m., determinar a quantidade de prestações? 
Temos: PV = 3.500,00 PMT = 502,60 i = 3% a.m. n = ???? 
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5 � −L67 �1 − I 3.500502,60J�	0,03�67	�1 + 0,03� M � 8 
Usando a calculadora: 
1,03 g LN STO 5 
3500 enter 
502,60 ÷ 
0,03 * 
1 – CHS g LN RCL 5 ÷ CHS 
Cálculo do prazo (n), dado o FV e o PMT: 
5 � 67 �I 89:?@J � + 	1�67	�1 + �� 
Exemplo: Um poupador deposita R$ 100,00 por mês na poupança. Após um determinado 
tempo verificou que seu saldo era de R$ 3.228,00. Considerando 0,5%a.m., determine 
quantos depósitos foram realizados. 
Temos: PMT = 100,00 FV = 3.228,00 i = 0,5%a.m. n = ?? 
5 � 67 I3.228,100, . 0,005 + 	1J67	�1 + 0,005� � 30 
Usando a calculadora: 
1,005 g LN STO 6 
3.228 enter 
100 ÷ 
0,005 * 
1 + g LN RCL 6 ÷ 
Cálculo da taxa (i): 
 O cálculo da taxa de juros em uma série uniforme de pagamento, não poderá ser 
encontrado por meio de uma fórmula pelo método algébrico. Utilizando a calculadora 
HP12c e a planilha eletrônica do Excel, não teremos problema. 
 Utilizaremos uma fórmula para calcularmos a taxa estimada. 
� � :?@:9 − :9:?@	�	5� 
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Exemplo: Um objeto é comercializado por R$ 22.500,00à vista, sabendo-se que pode ser 
financiado em 30 parcelas mensais de R$ 1.700,00, determinar a taxa de juros? 
Dados: PV = 22.500,00 n = 30 m PMT = 1.700,00 i = ??? 
� � 1.70022.500− 22.5001.700	�	30� � 6,08496732% 
Exercícios de pagamentos postecipados 
01) Determinemos o valor de um financiamento a ser quitado através de quatro 
pagamentos mensais de R$ 5.000,00, vencendo a primeira parcela a 30 dias da liberação 
dos recursos, sendo de 5,5% a.m. a taxa contratual de juros. 
02) Um eletrodoméstico é vendido à vista por R$ 1.200,00. Qual deve ser o valor da 
prestação na venda em três prestações mensais iguais sem entrada, se o custo financeiro 
do lojista é de 4%a.m? 
03) Um produto é comercializado à vista por R$ 1.750,00. Uma outra alternativa seria 
financiar este produto a uma taxa de 3% ao mês, gerando uma prestação de R$ 175,81; 
considerando que o comprador escolha a segunda alternativa, determine a quantidade de 
prestações deste financiamento. 
04) Uma pessoa realiza depósitos mensais no valor de R$ 100,00 em uma caderneta de 
poupança; considerando uma taxa de 0,8% ao mês, em um prazo de trinta anos, qual 
será o valor acumulado após este período? 
Séries Antecipadas 
 Nas séries antecipadas, os pagamentos são feitos no início de cada período 
respectivo. 
As séries uniformes de pagamentos antecipadas são aquelas em que o primeiro 
pagamento ocorre na data focal 0 (zero). Este tipo de sistema de pagamento é também 
chamado de sistema de pagamento com entrada. (BRANCO, 2002). 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Cálculo do PV dado o pagamento (PMT): 
:9 � :?@ A1 − �1 + ��NB� C �1 + �� 
Exemplo: Uma pessoa adquiriu um objeto e para liquidar a dívida comprometeu-se a 
efetuar 18 pagamentos mensais iguais de R$ 683,60 e o primeiro pagamento na entrada, 
Sabendo-se que a taxa efetiva de juros é de 4% a.m., calcule o valor financiado. 
Dado: n = 18 pagamentos PMT = 683,60 i = 4% a.m. PV = ?? 
:9 � 683,60 A1 − �1 + 0,04�N�O0,04 C �1 + 0,04� � 9.000,00 
Usando a calculadora: 
1,04 enter 
18 CHS yx 
1 – CHS 
0,04 ÷ 
683,60 * 
1,04 * 
Cálculo do pagamento (PMT) dado o PV: 
:?@ � :9 A�1 + ��BN�	�	��1 + ��B − 1 C 
Exemplo: O preço à vista de um produto é R$ 1.000,00. Entretanto o mesmo pode ser 
adquirido em 6 pagamentos mensais iguais, com primeiro pagamento no ato. A empresa 
financia a uma taxa efetiva de 5% a.m., qual deve ser o pagamento mensal. 
Dado: PV = 1.000,00 n = 6 pagamentos i = 5% a.m. PMT = ? 
:?@ � 1.000 A�1 + 0,05�"N�	�	0,05�1 + 0,05�" − 1 C � 187,64 
Usando a calculadora: 
1,05 enter 
6 yx 
1 – STO 2 
1,05 enter 
5 yx 
0,05 * RCL 2 ÷ 
1000 * 
 
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Cálculo do FV dado o PMT: 
89 � :?@ A�1 + ��B − 1� C ��1 + �� 
Exemplo: Você resolveu abrir uma caderneta de poupança e começou a depositar R$ 
500,00 mensais, a taxa que o banco oferece é de 0,6% a.m., quanto você terá depois de 
5 anos? 
Dados: PMT = 500,00 i = 0,6% a.m. n = 5 anos = 60 meses FV =?? 
89 � 500 A�1 + 0,006�"� − 10,006 C ��1 + 0,006� � 36.198,26 
Usando a calculadora: 
1,006 enter 
60 yx 
1 – 
0,006 ÷ 
500 * 
Cálculo do PMT dado o FV: 
:?@ � 89	 F ��1 + ��B − 1G F 11 + �G 
Exemplo: Você quer resgatar R$ 38.000,00 após 60 meses a taxa de 0,6%a.m., quanto 
deve depositar mensalmente? 
Dados: FV = 38.000,00 n = 60 meses i = 0,6% a.m. PMT =???? 
:?@ � 38.000	 F 0,006�1 + 0,006�"� − 1G F 11 + 0,006G � 524,89 
Usando a calculadora: 
1,006 enter 
60 yx 
1 – STO 3 
0,006 RCL 3 ÷ 
1,006 1/x * 
38.000 * 
Cálculo do prazo (n) dado o PV e o PMT: 
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5 � −L67 F1 − :9	�	�:?@	�	�1 + ��G67	�1 + �� M 
Exemplo: Um produto à vista é de R$ 2.000,00, e foi adquirido a prazo, com pagamentos 
mensais de R$ 227,63, a primeira foi pagada no ato. Sabendo-se que a taxa de juros foi 
de 3% a.m., qual a quantidade de prestações? 
Dados: PV = 2.000, PMT = 227,63 i = 3% a.m. n = ?? 
5 � −L67 F1 − 2.000	�	0,03227,63	�	�1 + 0,03�G67	�1 + 0,03� M � 10 
Usando a calculadora: 
1,03 g LN STO 2 
227,63 enter 
1,03 * STO 3 
2000 enter 
0,03 * RCL 3 ÷ 
1 – CHS g LN RCL 2 ÷CHS 
 
Exercícios de pagamentos antecipados 
01) Determinar o valor, à vista, de uma série de 6 prestações (títulos) de R$ 20.000,00, 
vencíveis mensalmente, sendo a primeira no ato da compra, sabendo que a taxa é de 5% 
a.m. 
 
02) Qual o montante que um poupador acumula em 12 meses, se ele aplicar R$ 1.500,00, à 
taxa de 4,5%a.m., ao final de cada mês? 
 
03) Um automóvel que custa R$ 17.800,00 pode ser financiado em 36 pagamentos iguais; 
sabendo-se que a taxa de financiamento é de 1,99% ao mês, calcule o valor da prestação 
mensal de financiamento 
 
04) Um produto custa à vista R$ 1.500,00, e foi adquirido a prazo, com uma prestação mensal 
de R$ 170,72, sendo que a primeira será paga no ato da compra. Sabendo-se que a taxa de 
juros contratada foi de 3% ao mês, qual a quantidade de prestações deste financiamento? 
 
Séries Diferidas 
 
 Nas séries diferidas, o período de carência constitui-se em um prazo que separa o 
início da operação do período de pagamento da primeira parcela: exemplo, promoções do 
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tipo “compre hoje e comece a pagar daqui a x dias”. Quando o primeiro pagamento ocorre 
no início do primeiro período após o término da carência, temos uma série diferida 
antecipada; quando ocorre no final, temos uma série diferida postecipada. 
As séries uniformes de pagamentos diferidas (diretas) são aquelas em que os 
períodos ou intervalos de tempo entre as prestações ocorrem pelo menos a partir do 2º 
período, ou seja, as séries uniformes diretas apresentam períodos de carência. 
(BRANCO, 2002). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo do PV dado o PMT: 
:9 � :?@	 F1 − �1 + ��NB� G�1 + ��PN� 
Considere “c” um período de carência e uma carência postecipada será “c – 1”. 
Exemplo: Uma produto encontra-se em promoção e é comercializada em 5 prestações 
iguais de R$ 200,00; a loja está oferecendo ainda uma carência de 5 meses para o 
primeiro pagamento. Determine o valor à vista desse produto, sabendo-se que a taxa de 
juros praticada é de 3% a.m. 
Dados: PMT = 200 n = 5 c = 5 i = 3%a.m. PV = ??? 
:9 � 200	 F1 − �1 + 0,03�N�0,03 G�1 + 0,03��N� � 813,80 
Cálculo do PMT dado o PV: 
:?@ � :9	�1 + ��PN��	�1 −	 �1 + ��NB 
Exemplo: Um loja vende um determinado produto, que à vista custa R$ 850,00, em 24 
parcelas mensais, devendo a primeira prestação ser paga somente após 4 meses do 
fechamento da compra. Considerando-se uma taxa de 4% a.m.,determinar o valor de 
cada prestação:Dados: PV = 850, n = 24 c = 4 i = 4% a.m. PMT =??? 
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 :?@ � O��	��Q�,�=��R&S	�,�=�N	��Q�,�=�R�� � 62,71 
Cálculo do FV dado o PMT: 
89 � :?@ A�1 + ��B� − 1� C �1 + �2�B� 
Cálculo do prazo (n): 
5 � −L67 F1 − :9	�	�	�	�1 + ��PN�:?@ G67�1 + �� M 
 
Exercícios de pagamentos diferidos 
 
01) Uma mercadoria encontra-se em promoção e é comercializada em 5 prestações 
iguais de R$ 150,00 a loja está oferecendo ainda uma carência de 5 meses para o 
primeiro pagamento. Determine o valor à vista desta mercadoria, sabendo-se que a taxa 
de juros praticada pela loja é de 3% ao mês. 
 
02) A loja Barrabás vende um determinado produto à vista por R$ 850,00, em 24 parcelas 
mensais, sendo que a primeira prestação somente será pagaapós 4 meses do 
fechamento da compra. Considerando um taxa de 4% ao mês, determinar o valor de cada 
prestação. 
 
03) Um empréstimo de R$ 50.000,00 é concedido a uma empresa em prestações 
mensais e iguais de R$ 2.805,36. Sabendo-se que a taxa de financiamento contratada foi 
de 2% ao mês e foi concedido um prazo de carência de 4 meses para o primeiro 
pagamento, pergunta-se: Qual a quantidade de prestações do financiamento? 
 
04) Um empréstimo de R$ 50.000,00 é concedido a uma empresa gerando ao final da 
operação um montante de R$ 53.060,37. Sabendo-se que a taxa de financiamento 
contratada foi de 2% ao mês, determine o prazo de carência desta operação. 
 
Exercícios extras 
01) Calcular o valor de um financiamento a ser quitado mediante seis pagamentos de R$ 
1.500,00, com o vencimento da primeira parcela a 30 dias da liberação dos recursos, 
sendo de 3,5% a.m. a taxa de juros negociada na operação. 
02) Um produto é comercializado à vista por R$ 500,00. Qual deve ser o valor da 
prestação se o comprador resolver financiar o valor em cinco prestações mensais iguais e 
sem entrada, considerando que a taxa de juros cobrada pelo comerciante seja de 5% 
a.m.? 
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03) Um produto é comercializado à vista por R$ 21.550,00. Podendo ser financiado a uma 
taxa de 3,5% a.m., gerando parcelas de R$ 953,58; considerando-se que a primeira será 
paga no ato. Determine o número de parcelas. 
04) Um poupador deposita R$ 150,00 por mês em uma caderneta de poupança. Após um 
determinado tempo, ele observou que o saldo da conta era de R$ 30.032,62. 
Considerando uma taxa média de poupança de 0,8% a.m., determine a quantidade de 
depósitos efetuados por esse poupador. 
05) Um automóvel é comercializado por R$ 42.800,00 à vista; sabendo-se que pode ser 
financiado em 36 parcelas de R$ 2.497,54, sendo a primeira paga 30 dias, determinar a 
taxa de juros da operação. 
06) Uma pessoa realiza depósitos mensais no valor de R$ 200,00 em uma caderneta de 
poupança; considerando uma taxa de 0,5%a.m., e um prazo de 30 anos, qual será o valor 
acumulado após esse período? 
07) Um mercadoria é comercializada em 4 pagamentos iguais de R$ 185,00, sabendo-se 
que a taxa de financiamento é de 5% a.m., e que um pagamento foi considerado como 
entrada, determine o preço à vista dessa mercadoria. 
08) Um produto custa, à vista, R$ 78.500,00, e foi adquirido a prazo, com uma prestação 
mensal de R$ 5.484,42, devendo a primeira ser paga no ato da compra. Sabendo-se que 
a taxa de juros contratada foi de 7,4% a.m., qual é a quantidade de prestações desse 
financiamento? 
09) Um produto é vendido por R$ 15.000,00 a vista. Pode ser adquirido também em 
prestações mensais de R$ 885,71, a juros de 3% a.m. Sabendo que as prestações 
vencem a partir do mês seguinte ao da compra, pede-se para calcular o número de 
prestações. 
 
 
 
SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS E FINANCIAMENTO 
 
Estudaremos as metodologias de sistemas de amortização de empréstimos e 
financiamentos, e ainda, a metodologia para calcular as prestações não uniformes, ou 
seja, as prestações que mudam a cada período do empréstimo ou financiamento. 
• Empréstimo: recurso financeiro que, em tese, não necessita ser justificado 
quanto à sua finalidade, como por exemplo: cheque especial e CDC (Crédito 
Direto ao Consumidor), entre outros. 
 
 
Memória 7: 
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• Financiamento: recurso financeiro que tem a necessidade de ser justificado 
quanto à sua finalidade, por exemplo: compra de automóvel, imóvel e 
crediário, entre outros. 
No financiamento, existe sempre a aquisição de um bem ou serviço atrelado à 
liberação dos recursos financeiros financiados, enquanto no empréstimo exige-se apenas 
uma garantia de devolução dos recursos financeiros emprestados. 
Considere as seguintes nomenclaturas que usaremos para desenvolver as tabelas 
ou planilhas de amortização. 
• Saldo Devedor : é o valor nominal do empréstimo ou financiamento, ou 
simplesmente Valor Presente (PV) na data focal 0 (zero), que é diminuído 
da parcela de amortização a cada período (n). 
• Amortização: parcela que é deduzida do saldo devedor a cada pagamento. 
• Juros compensatórios: é o valor calculado a partir do saldo devedor e 
posteriormente somado à parcela de amortização. 
• Prestação: é o pagamento efetuado a cada período (n), composto da 
parcela de amortização mais juros compensatórios. 
Estudaremos as metodologias de vários sistemas de amortização de empréstimos 
e financiamentos. 
� Sistema de Francês de Amortização (SFA) ou Tabela Price 
� Sistema de Amortização Constante (SAC) 
� Sistema de Amortização Crescente (SACRE) 
� Sistema de Amortização a Juros Simples (Método de Gauss) 
 
 Sistema Francês de Amortização (SFA) - ( Tabela PRICE) 
Neste sistema, o financiamento (PV) é pago em prestações (PMT) iguais, 
constituídas de duas parcelas de amortização e juros compensatórios (J), que variam 
inversamente, ou seja, enquanto as parcelas de amortização diminuem ao longo do 
tempo, os juros aumentam. 
Este sistema é considerado o sistema de amortização mais utilizado pelas 
instituições financeiras e pelo comércio em geral, conhecido também com Sistema Price e 
tem como principais características: 
• a prestação é constante durante todo o período do financiamento; 
• a parcela de amortização aumenta a cada período (n), ou seja, os 
pagamentos são periódicos, constantes e sucessivos; 
• os juros compensatórios diminuem a cada período (n). 
OBS.: Seu cálculo, pela calculadora financeira é feito na mesma forma da série de 
pagamentos uniformes postecipados. 
Exemplo 01: 
Um banco empresta o valor de R$ 10.000,00, com taxa de 10% ao mês, para ser 
pago em 5 pagamentos mensais, sem prazo de carência, calculado pelo Sistema Francês 
de Amortização (SFA). Pede-se: Elaborar a planilha de financiamento. 
Resolução algébrica 
Dados: PV = R$ 10.000,00 ; n = 5 meses; i = 10% ao mês ; PMT = ? 
 
a) cálculo do valor da prestação do financiamento 
 
 
 
 
 
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 (1 + i)n . i 
 PMT = PV 
 (1 + i)n - 1 
 
 
PMT = R$ 2.637,97 
b) Cálculo dos juros (J) 
 
J = PV . i . n 
Juros para o 1o período: J1 = 10.000,00 . 0,1 . 1 = R$ 1.000,00 
Juros para o 2o período: J2 = 8.362,03 . 0,1 . 1 = R$ 836,20 
Juros para o 3o período: J3 = 6.560,26 . 0,1 . 1 = R$ 656,03 
Juros para o 4o período: J4 = 4.578,32 . 0,1 . 1 = R$ 457,83 
Juros para o 5o período: J5 = 2.398,18 . 0,1 . 1 = R$ 239,82 
 
c) cálculo da parcela de amortização (PAn) 
 
 PAn = PMT - J 
 
Parcela de amortização para o 1o período: PA = 2.637,97 - 1.000,00 = R$ 1.637,97 
Parcela de amortização para o 2o período: PA = 2.637,97 - 836,20 = R$ 1.801,77 
Parcela de amortização para o 3o período: PA = 2.637,97 - 656,03 = R$ 1.981,94 
Parcela de amortização para o 4o período: PA = 2.637,97 - 457,83 = R$ 2.180,14 
Parcela de amortização para o 5o período: PA = 2.637,97 - 239,82 = R$ 2.398,15 
 
d) cálculo do saldo devedor (SD) 
 
 SDn = SD(anterior) - PAn 
 
SD1 = 10.000,00 - 1.637,97 = R$ 8.362,03 
SD2 = 8.362,03 - 1.801,77 = R$ 6.560,26 
SD3 = 6.560,26 - 1.981,84 = R$ 4.578,32 
SD4 = 4.578,32 - 2.180,14 = R$ 2.398,18 
SD5 = 2.398,18 - 2.398,15 = R$ 0,03Assim teremos nossa planilha de financiamento 
Saldo Devedor (SDn) Amortização (PAn) Juros (J) Prestação (PMT) 
10.000,00 0,00 0,00 0,00 
1 
8.362,03 1.637,97 1.000,00 2.637,97 
2 
6.560,26 1.801,77 836,20 2.637,97 
3 
4.578,32 1.981,94 656,03 2.637,97 
4 
2.398,18 2.180,14 457,83 2.637,97 
5 
0,03 2.398,15 239,82 2.637,97 
∑∑∑∑ 9.999,97 3.189,88 13.189,85 
OBS.:A diferença de 0,03 é devido ao arredondamento. 
 
 
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Sistema Francês (carência + juros compensatórios) 
 
Neste caso, não haverá a parcela de amortização durante o período da carência, 
apenas o pagamento dos juros compensatórios. 
Exemplo 2: 
Um banco empresta o valor de R$ 10.000,00, com taxa de 10% ao mês, para ser 
pago em 5 pagamentos mensais, com 2 meses de carência, calculado pelo Sistema 
Francês de Amortização (SFA). Pede-se: Elaborar a planilha de financiamento. 
Resolução algébrica 
Dados: PV = R$ 10.000,00n = 5 meses c = 2 meses i = 
10% ao mês PMT = ? 
 
a) cálculo do valor da prestação do financiamento 
 
 
 (1 + i)n . i 
 PMT = PV 
 (1 + i)n - 1 
 
 
PMT = R$ 2.637,97 
 
b) Cálculo dos juros compensatórios 
 
 J = PV . i . n 
 
Juros para o 1o período: J1 = 10.000,00 . 0,1 . 1 = R$ 1.000,00 
Juros para o 2o período: J2 = 10.000,00 . 0,1 . 1 = R$ 1.000,00 
Os demais serão exatamente iguais ao exemplo anterior. 
Juros para o 3o período: J3 = 10.000,00 . 0,1 . 1 = R$ 1.000,00 
Juros para o 4o período: J4 = 8.362,03 . 0,1 . 1 = R$ 836,20 
Juros para o 5o período: J5 = 6.560,26 . 0,1 . 1 = R$ 656,03 
Juros para o 6o período: J6 = 4.578,32 . 0,1 . 1 = R$ 457,83 
Juros para o 7o período: J7 = 2.398,18 . 0,1 . 1 = R$ 239,82 
 
 
 
 
Resolução pela Calculadora financeira 
 f [REG] 
10000 CHS PV 10 i 5 n PMT 2637,97 
 
1 f [AMORT] 1000,00 X >< Y 1637,97 RCL PV – 8362,03 
1 f [AMORT] 836,20 X >< Y 1801,77 RCL PV – 6560,26 
1 f [AMORT] 656,03 X >< Y 1981,94 RCL PV – 4578,32 
1 f [AMORT] 457,83 X >< Y 2180,14 RCL PV – 2398,18 
1 f [AMORT] 239,82 X >< Y 2398,15 RCL PV – 0,03 
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50 
 
c) cálculo da parcela de amortização (PAn) 
 
 PAn = PMT - J 
 
Parcela de amortização para o 1o período: PA = 0,00 - 0,00 = R$ 0,00 
Parcela de amortização para o 2o período: PA = 0,00 - 0,00 = R$ 0,00 
Parcela de amortização para o 3o período: PA = 2.637,97 - 1.000,00 = R$ 1.637,97 
Parcela de amortização para o 4o período: PA = 2.637,97 - 836,20 = R$ 1.801,77 
Parcela de amortização para o 5o período: PA = 2.637,97 - 656,03 = R$ 1.981,94 
Parcela de amortização para o 6o período: PA = 2.637,97 - 457,83 = R$ 2.180,14 
Parcela de amortização para o 7o período: PA = 2.637,97 - 239,82 = R$ 2.398,15 
d) cálculo do saldo devedor (SD) 
 
 SDn = SD(anterior) - PAn 
 
SD1 = 10.000,00 - 0,00 = R$ 10.000,00 
SD2 = 10.000,00 - 0,00 = R$ 10.000,00 
SD3 = 10.000,00 - 1.637,97 = R$ 8.362,03 
SD4 = 8.362,03 - 1.801,77 = R$ 6.560,26 
SD5 = 6.560,26 - 1.981,84 = R$ 4.578,32 
SD6 = 4.578,32 - 2.180,14 = R$ 2.398,18 
SD7 = 2.398,18 - 2.398,15 = R$ 0,03 
 Assim teremos nossa planilha de financiamento 
n Saldo Devedor (SDn) Amortização (PAn) Juros (J) Prestação (PMT) 
0 
 10.000,00 0,00 0,00 0,00 
1 
 10.000,00 0,00 1.000,00 1.000,00 
2 
 10.000,00 0,00 1.000,00 1.000,00 
3 
 8.362,03 1.637,97 1.000,00 2.637,97 
4 
 6.560,26 1.801,77 836,20 2.637,97 
5 
 4.578,32 1.981,94 656,03 2.637,97 
6 
 2.398,18 2.180,14 457,83 2.637,97 
7 
 0,03 2.398,15 239,82 2.637,97 
 ∑∑∑∑ 9.999,97 5.189,88 15.189,85 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução pela HP-12C 
 f [REG] 
10000 ENTER % 1000 
10000 CHS PV 10 i 5 n PMT 2637,97 
 X >< Y 10 % 1000 
10000 CHS PV 10 i 5 n PMT 2637,97 
1 f [AMORT] 1000,00 X >< Y 1637,97 RCL PV – 8362,03 
1 f [AMORT] 836,20 X >< Y 1801,77 RCL PV – 6560,26 
1 f [AMORT] 656,03 X >< Y 1981,94 RCL PV – 4578,32 
1 f [AMORT] 457,83 X >< Y 2180,14 RCL PV – 2398,18 
1 f [AMORT] 239,82 X >< Y 2398,15 RCL PV – 0,03 
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Sistema Francês (carência + saldo devedor corrigido) 
Neste caso, não se paga juros compensatórios, na verdade os juros serão 
acrescidos ao saldo devedor com base no regime de capitalização composta, e na 
seqüência, calcula-se a prestação com base no conceito de uma série uniforme de 
pagamento postecipada. 
 Exemplo 3: 
Um banco empresta o valor de R$ 10.000,00, com taxa de 10% ao mês, para ser 
pago em 5 pagamentos mensais, com 2 meses de carência; porém, não haverá o 
respectivo pagamento de juros durante o período da carência, devendo, portanto, ser 
incorporado ao saldo devedor, calculado pelo Sistema Francês de Amortização (SFA). 
Pede-se: Elaborar a planilha de financiamento. 
Resolução algébrica 
a) atualização do saldo devedor durante o período de carência 
período 1: 
SD = 10000 . 1,1 = R$ 11.000,00 
Período 2: 
SD = 11.000 . 1,1 = R$ 12.100,00 
Dados: PV = R$ 12.100,00n = 5 meses c = 2 meses i = 10% ao mês
 PMT = ? 
b) cálculo do valor da prestação 
 
 
 (1 + i)n . i 
 PMT = PV 
 (1 + i)n - 1 
 
 
PMT = R$ 3.191,95 
c) Cálculo dos juros compensatórios 
 
 J = PV . i . n 
Juros para o 1o período: J1 = 0,00 
Juros para o 2o período: J2 = 0,00 
Os demais serão exatamente iguais ao exemplo anterior. 
Juros para o 3o período: J3 = 12.100,00 . 0,1 . 1 = R$ 1.210,00 
Juros para o 4o período: J4 = 10.118,05 . 0,1 . 1 = R$ 1.011,81 
Juros para o 5o período: J5 = 7.937,91 . 0,1 . 1 = R$ 793,79 
Juros para o 6o período: J6 = 5.539,75 . 0,1 . 1 = R$ 553,98 
Juros para o 7o período: J7 = 2.901,77 . 0,1 . 1 = R$ 290,18 
d) cálculo da parcela de amortização (PAn) 
 
 PAn = PMT - J 
 
Parcela de amortização para o 1o período: PA = 0,00 - 0,00 = R$ 0,00 
Parcela de amortização para o 2o período: PA = 0,00 - 0,00 = R$ 0,00 
Parcela de amortização para o 3o período: PA = 3.191,95 - 1.210,00 = R$ 1.981,95 
Parcela de amortização para o 4o período: PA = 3.191,95 - 1.011,81 = R$ 2.180,14 
Parcela de amortização para o 5o período: PA = 3.191,95 - 793,79 = R$ 2.398,16 
Parcela de amortização para o 6o período: PA = 3.191,95 - 553,98 = R$ 2.637,97 
Parcela de amortização para o 7o período: PA = 3.191,95 - 290,18 = R$ 2.901,77 
 
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e) cálculo do saldo devedor (SD) 
 
 SDn = SD(anterior)- PAn 
 
SD1 = 11.000,00 - 0,00 = R$ 11.000,00 
SD2 = 12.100,00 - 0,00 = R$ 12.100,00 
SD3 = 12.100,00 - 1.981,95 = R$ 10.118.05 
SD4 = 10.118,05 - 2.180,14 = R$ 7.937,91 
SD5 = 7.937,91 - 2.398,16 = R$ 5.539,75 
SD6 = 5.539,75 - 2.637,97 = R$ 2.901,78 
SD7 = 2.901,78 - 2.901,77 = R$ 0,01 
 
 Assim teremos nossa planilha de financiamento 
n Saldo Devedor 
(SDn) 
Amortização 
(PAn) 
Juros 
(J) 
Prestação 
(PMT) 
0 10.000,00 0,00 0,00 0,00 
1 11.000,00 0,00 0,00 0,00 
2 12.100,00 0,00 0,00 0,00 
3 10.118,05 1.981,95 1.210,00 3.191,95 
4 7.937,91 2.180,14 1.011,81 3.191,95 
5 5.539,75 2.398,16 793,79 3.191,95 
6 2.901,78 2.637,97 553,98 3.191,95 
7 0,01 2.901,77 290,18 3.191,95 
 ∑∑∑∑ 12.099,99 3.859,76 15.959,75 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 4: 
 
Um banco empresta o valor de R$ 10.000,00, com taxa de 12% ao ano, para ser 
pago em 7 pagamentos mensais sem prazo de carência, calculado pelo Sistema Price de 
Amortização. Pede-se: Elaborar a planilha de financiamento. 
 
 
 
 
 
 
Resolução pela HP-12C 
 f [REG] 
10000 ENTER 1,1 X 1,1 X 12100 
CHS PV 10 i 5 n PMT 3.191,95 
1 f [AMORT] 1210,00 X >< Y 1981,94 RCL PV – 10.118,05 
1 f [AMORT] 1011,80 X >< Y 2180,14 RCL PV – 7937,90 
1 f [AMORT] 793,79 X >< Y 2398.15 RCL PV – 5539,74 
1 f [AMORT] 553,97 X >< Y 2637,97 RCL PV – 2901,77 
1 f [AMORT] 290,17 X >< Y 2901,77 RCL PV – 0,00 
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Resolução algébrica 
 
Dados: PV = R$ 10.000,00n = 7 meses i = 12% ao ano (12/12 = 1% ao mês)
 PMT = ? 
 
a) cálculo do valor da prestação 
 
 
 (1 + i)n . i 
 PMT = PV 
 (1 + i)n - 1 
 
PMT = R$ 1.486,28 
b) Cálculo dos juros 
 
 J = PV . i . n 
Juros para o 1o período: J1 = 10.000 . 0,01 = 100,00 
c) cálculo da parcela de amortização (PAn) 
 
 PAn = PMT - J 
 
Parcela de amortização para o 1o período: PA = 1.486,28 - 100,00 = R$ 1.386,28 
d) cálculo do saldo devedor (SD) 
 
 SDn = SD(anterior) - PAn 
 
SD1 = 10.000,00 - 1.386,28 = R$ 8.613,72 
 
 Assim teremos nossa planilha de financiamento 
Saldo Devedor (SDn) Amortização (PAn) Juros (J) Prestação (PMT) 
10.000,00 0,00 0,00 0,00 
8.613,72 1.386,28 100,00 1.486,28 
7.213,58 1.400,14 86,14 1.486,28 
5.799,44 1.414,14 72,14 1.486,28 
4.371,15 1.428,29 57,99 1.486,28 
2.928,58 1.442,57 43,71 1.486,28 
1.471,59 1.456,99 29,29 1.486,28 
0,03 1.471,56 14,72 1.486,28 
∑∑∑∑ 9.999,97 403,99 10.403,96 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercícios (Tabela Price) 
1) Um empréstimo de $ 200.000 será pago pela Tabela Price em quatro prestações 
mensais postecipadas. A juros efetivos de 10% ao mês. Construir a planilha de 
amortização. 
Saldo Devedor (SDn) Amortização (PAn) Juros (J) Prestação (PMT) 
 
 
 
 
 
ΣΣΣΣ 
 
2) Para o exercício anterior, considerando agora um período de carência de 2 
meses em que serão pagos unicamente os juros devidos, construir a planilha de 
amortização. 
 
Saldo Devedor (SDn) Amortização (PAn) Juros (J) Prestação (PMT) 
 
 
 
 
 
 
 
ΣΣΣΣ 
 
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) 
É um sistema onde a principal característica é a da Amortização Constante. 
Conhecido como Método Hamburguês, sendo utilizado em financiamentos de DFH e 
Financiamentos de empresas por parte de entidades governamentais, a amortização é 
igual ao valor do empréstimo dividido pelo número de prestações. 
 
Resolução pela HP-12C 
 f [REG] 
10000 CHS PV 1 i 7 n PMT 1.486,28 
1 f [AMORT] 100,00 X >< Y 1386,28 RCL PV – 8.613,72 
1 f [AMORT] 86,14 X >< Y 1400,14 RCL PV – 7213,58 
1 f [AMORT] 72,14 X >< Y 1414,14 RCL PV – 5799,44 
1 f [AMORT] 57,99 X >< Y 1428,29 RCL PV – 4371,15 
1 f [AMORT] 43,71 X >< Y 1442,57 RCL PV – 2928,58 
1 f [AMORT] 29,29 X >< Y 1456,99 RCL PV – 1471,59 
1 f [AMORT] 14,72 X >< Y 1471,56 RCL PV – 0,03 
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- As prestações são uniformemente decrescentes, diminuindo sempre de um 
determinado fator que é constante. 
- O valor dos juros é decrescente . 
- Os pagamentos são periódicos e sucessivos. 
 Exemplo 01: 
Um banco empresta o valor de R$ 10.000,00, com taxa de 10% ao mês, para ser 
pago em 5 pagamentos mensais, sem prazo de carência, calculado pelo Sistema de 
Amortização Constante (SAC). Pede-se: Elaborar a planilha de financiamento. 
 
Resolução algébrica 
Dados: PV = R$ 10.000,00 ; n = 5 meses ; i = 10% ao mês ; PMT = ? 
a) cálculo da parcela de amortização(PAn) 
 
 PAn = PV ou SD 
 n 
PAn = 10.000 = R$ 2.000,00 
 5 
b) Cálculo dos juros (J) 
 J = PV . i . n 
Juros para o 1o período: J1 = 10.000,00 . 0,1 . 1 = R$ 1.000,00 
Juros para o 2o período: J2 = 8.000,00 . 0,1 . 1 = R$ 800,00 
Juros para o 3o período: J3 = 6.000,00 . 0,1 . 1 = R$ 600,00 
Juros para o 4o período: J4 = 4.000,00 . 0,1 . 1 = R$ 400,00 
Juros para o 5o período: J5 = 2.000,00 . 0,1 . 1 = R$ 200,00 
c) cálculo do saldo devedor (SD) 
 
 SDn = SD(anterior) - PAn 
 
SD1 = 10.000,00 - 2.000,00 = R$ 8.000,00 
SD2 = 8.000,00 - 2.000,00 = R$ 6.000,00 
SD3 = 6.000,00 - 2.000,00 = R$ 4.000,00 
SD4 = 4.000,00 - 2.000,00 = R$ 2.000,00 
SD5 = 2.000,00 - 2.000,00 = R$ 0,00 
 
d) cálculo da parcela de amortização (PAn) 
 
 PMTn = PA + Jn 
 
PMT1 = 2.000,00 + 1.000,00 = R$ 3.000,00 
PMT2 = 2.000,00 + 800,00 = R$ 2.800,00 
PMT3 = 2.000,00 + 600,00 = R$ 2.600,00 
PMT4 = 2.000,00 + 400,00 = R$ 2.400,00 
PMT5 = 2.000,00 + 200,00 = R$ 2.200,00 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 Assim teremos nossa planilha de financiamento 
Saldo Devedor (SDn) Amortização (PAn) Juros (J) Prestação (PMT) 
 10.000,00 0,00 0,00 0,00 
1 
 8.000,00 2.000,00 1.000,00 3.000,00 
2 
 6.000,00 2.000,00 800,00 2.800,00 
3 
 4.000,00 2.000,00 600,00 2.600,00 
4 
 2.000,00 2.000,00 400,00 2.400,00 
5 
 0,00 2.000,00 200,00 2.200,00 
∑∑∑∑ 10.000,00 3.000,00 13.000,00 
 
EXERCÍCIOS (SAC) 
 
1) Emprestei de uma financiadora “X”, o valor de $ 32.000, para ser amortizado em 
10 meses, à taxa de juros 1,25% ao mês. Quanto pagarei ao mês? 
 
Saldo Devedor (SDn) Amortização (PAn) Juros (J) Prestação (PMT) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ΣΣΣΣ2) Uma composição de dívida de $ 8.000.000, a ser paga em quatro prestações 
anuais, com taxa de juros de 36% ao ano. Para elaborar a planilha de pagamentos 
sugerimos os seguintes procedimentos: 
a) calcular a amortização; 
b) calcular a parcela de juros; 
c) calcular o valor das prestações; 
d) apurar o saldo devedor do período. 
 
Saldo Devedor (SDn) Amortização (PAn) Juros (J) Prestação (PMT) 
 
 
 
 
 
 
 ΣΣΣΣ 
 
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57 
 
3) Uma operação no valor de R$ 70.000,00 foi contratada para ser paga em 4 
prestações anuais, com taxa de juros de 17% ao ano. Então como ficará a planilha de 
pagamento? 
Saldo Devedor (SDn) Amortização (PAn) Juros (J) Prestação (PMT) 
 
 
 
 
 
 
 ΣΣΣΣ 
 
4) Emprestei de uma financiadora o valor de $ 25.000 à taxa de juros de 2% ao ano 
para ser amortizada em 10 meses pelo SAC. Qual o valor da 3a prestação? 
Saldo Devedor (SDn) Amortização (PAn) Juros (J) Prestação (PMT) 
 
 
 
 
 
 ΣΣΣΣ 
 
5) Um cliente propôs pagar o saldo devedor de um empréstimo de R$ 120.000,00 
em 4 parcelas, mas sugeriu que as prestações fossem decrescentes. Assim o ideal seria 
pelo SAC. Qual o valor da amortização? 
 
Sistema de Amortização Crescente (SACRE) 
Esse sistema de amortização foi criado pela Caixa Econômica Federal (CEF) para 
ser utilizado em suas linhas de crédito relacionadas ao Sistema Financeiro da Habitação 
(SFH). 
Dependendo da linha de financiamento que você contratar, poderá optar por um 
desses sistemas: 
� Sistema de amortização Crescente (SACRE); 
� Sistema Francês de Amortização (PRICE). 
 O sistema Sacre foi desenvolvido com o objetivo de permitir maior amortização do 
valor emprestado, reduzindo-se, simultaneamente, a parcela de juros sobre o saldo 
devedor. 
Nesse sistema, as prestações mensais são calculadas com base no saldo devedor 
existente no início de cada período de 12 meses. Assim sendo, o valor das 12 prestações 
iniciais é calculado da mesma forma como se obtém o valor da primeira prestação do 
Sistema de Amortização Constante (SAC). 
Nos processos de financiamentos do Sistema Financeiro da Habitação (SFH), 
ambos os sistemas podem gerar Saldo Residual. 
Saldo Residual: é o valor remanescente no fim do prazo contratado, decorrente da 
evolução do financiamento. 
 
 
 
 
 
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58 
 
Exemplo: 
Um imóvel no valor de R$ 35.000,00 é financiado em 180 prestações. Sabendo-se 
que a taxa de juros é de 12% ao ano, e que o saldo devedor será corrigido pela TR – 
Taxa Referencial (projetada) de 1% ao mês durante todo o período do contrato, adotou-se 
o Sistema Sacre para calcular a amortização da dívida. Pede-se: elaborar a planilha para 
as 25 primeiras prestações. 
Dados: 
Valor do financiamento (PV): R$ 35.000,00 
Taxa de juros (i) = 12% a.a., equivalente a 0,948879%a.m. 
PMT = ? Taxa de correção do saldo (TR)= 1% a.m. 
Parcela de amortização (PA) = ? 
Juros (J) = ? 
Saldo devedor = ?? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
n Saldo devedor (SD) Saldo 
devedor 
(SD) + TR 
Amortização 
(PA) 
Juros 
(J) 
Prestação 
(PMT) 
0 35.000 - - - - 
1 35.158,88 35.350,00 191,12 335,43 526,55 
2 35.320,86 35.510,47 189,60 336,95 526,55 
3 35.486,02 35.674,07 188,05 338,50 526,55 
4 35.654,42 35.840,89 186,47 340,09 526,55 
5 35.826,11 36.010,96 184,85 341,70 526,55 
6 36.001,17 36.184,37 183,21 343,35 526,55 
7 36.179,65 36.361,18 181,53 345,02 526,55 
8 36.361,63 36.541,45 179,82 346,73 526,55 
9 36.547,17 36.725,25 178,07 348,48 526,55 
10 36.736,35 36.912,64 176,30 350,26 526,55 
11 36.929,23 37.103,71 174,48 352,07 526,55 
12 37.125,89 37.298,52 172,63 353,92 526,55 
13 37.279,68 37.497,14 217,46 355,80 573,27 
14 37.436,49 37.652,48 215,99 357,28 573,27 
15 37.596,36 37.810,85 214,49 358,78 573,27 
 
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Sistemas de Amortização de Empréstimo e Financiamento a Juros Simples 
 
Da mesma forma ocorre nos juros compostos, todos os modelos de amortização de 
empréstimos e financiamento podem ser desenvolvidos pela metodologia dos juros 
simples. 
Sistema de Amortização a Juros Simples 
(Método de Gauss) 
Consiste no método pelo qual as prestações são fixas, ou seja, nos mesmos 
moldes do Sistema Francês de Amortização (SFA). 
É importante ressaltar que o SFA também conhecido como tabela Price ou juros 
compostos e ainda juros sobre juros, gerando, assim, o que no mundo jurídico é 
conhecido como anatocismo (termo jurídico utilizado para designar a cobrança de juros ou 
aplicações de juros compostos. O anatocismo é crime.), prática vedada em nosso 
ordenamento jurídico (Superior Tribunal Federal-STF- editou a súmula nº 221 – é vedada 
a capitalização de juros, ainda que expressamente convencionada. 
 
Exemplo: 
A planilha de amortização a juros simples, levando-se em consideração os 
seguintes dados: PV = R$ 1.000,00; i = 10% ao mês, n = 12 meses; PMT = R$ 118,28 e 
índice de Ponderação (IP) = 5,376410... 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A B C D E F G 
 Saldo 
anterior 
– E 
G – F B x C 
n Meses para 
amortização 
IP SD PA J PMT 
0 1.000,00 - - - 
1 12 5,376410... 946,24 53,76 64,52 118,28 
2 11 5,376410... 887,10 59,14 59,14 118,28 
3 10 5,376410... 822,58 64,52 53,76 118,28 
4 09 5,376410... 752,69 69,89 48,39 118,28 
5 08 5,376410... 677,42 75,27 43,01 118,28 
6 07 5,376410... 596,77 80,65 37,63 118,28 
7 06 5,376410... 510,75 86,02 32,26 118,28 
8 05 5,376410... 419,35 91,40 26,88 118,28 
 
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Respostas: 
Memória 1 
01 37,50 06 6 
02 11,20 07 40 
03 1.463,00 08 10 
04 112 09 90 
05 8 10 3 
11) a) 56 b) 200 c) 600 d) 0,48 
12) a) 50% b) 35% c) 35% d) 19,56% 
13 C 19 20% 
14 3% 20 50% 
15 116,73 21 8,00 
16 107,50 22 26% 
17 6,73 23 850,00 
18 25% 24 1.200,00 
25) a) 1,38p b) 1,105p c) 0,97p d) 0,876p 
26) 28% 27) 80 
28) a) 33% b) 31,43% c) 25,38% 
29) a) 59,52 b) 46,08 
30) 16,00 
Memória 2 
01 875,00 04 16 
02 2,5% 05 2.827,38 
03 17,65% 06 902,00 
07) a) 0,77..% b) 3,22..% c) 3,33..% d) 3,55..% e) 10% 
f) 5% g) 20% h) 8,11..% i) 40% j) 40,55...% 
08) a) 26,40 b) 324,00 c) 76,80 d) 235,20 
09) 310,00 10) 5% 11) a) 480,00 b) 352,80 c) 6.125,00 
12) a) 20 meses b) 40 meses c) 180 meses 
13) 25% 
14) a) 2.328,00 b) 6,3829% 
15) 490,25 e 490,89 
16) 
 
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 a) 80.000 
 
0 1 2 (anos) 
 
50.000 
 
b) 60.000 
 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (meses)6.200 
c) 30.000 
 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (meses) 
 
 2.600 
 
d) 40.000 60.000 
 
0 30 60 90 120 150 180 (dias) 
 
90.000 
 
e) 61.677,81 
 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (meses) 
 
 5.000 
 
Memória 3 
01) 53,83 02) 83,46 03) 507,39 
 
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Memória 4 
01) a) 925,93 b) 74,07 
02) 3 03) 286.999,66 04) A = 161.290,32 e D = 38.709,68 
05) a) 9.000,00 b) 81.000,00 06) V = 1.920.000,00 e D = 80.000,00 
07) V = 152.000,00 e D = 48.000,00 08) D = 344,83 
09) V = 23.584,91 e D = 1.415,09 10) 274,71 
11) 3 meses 12) 400,00 13) 120,00 14) 23.255,81 
15) 91.200,00 16) 1,282% a.m. 17) 1.052,17 18) V = 850,00 e D = 150,00 
19) 632,50 20) 6.187,50 21) 1.190,48 
22) 11.770,00 23) 225,00 
24) 3% a.m. 25) 11.768,00 26) 2.740,00 27) 385.900,00 
28) 10.095,00 29) 13.745,09 30) 337,14 31) 8.027,25 
32) 84.248,01 33) Empréstimo 34) 6,90904661% 35) 131.337,44 
 
Memória 5 
01) a) 922,586%a.s. b) 143,639%a.s. c) 104,8383%a.s. d) 98,81%a.s. e) 300%a.s. 
02) 48,44% ao período 
03) a) 65,816%a.m. b) 5,83%a.m. c) 7,72173%a.m. d) 5,258%a.m e) 3,775%a.m. 
04) a) 0,526%a.d. b) 0,553%a.d. c) 0,405%a.d. d) 0,275%a.d. e) 0,0314% a.d. 
05) a) 1.358,436769% b) 144,3219776% c) 281,8948506% d) 0,1252575% 
e) 3,8267788% f) 56,9323814% 
06) a) 20.359,65417% b) 10,0696521% c) 32,9592892% d) 1.097,089948% 
e) 21,6542171% f) 473,432026% g) 1.362,473425% h) 36,1737927% 
i) 2,84357% j) 11,470427% 
07 22.824,27 11 209,38 
08 88.296,69 12 1.253,46 
09 56 meses 13 38 meses 
10 4,99999841% a.m. 
14) a) 798.600,00 b) 198.600,00 
15) 8,775730959%a.m. 16) 5 anos 17) 21,1527659%a.m. 18) 56.308,12 
19) a) 307.328,00 b) 92.674,46 c) 109.844,99 
 
 
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20 391,76 24 8 meses 
21 210.767,15 25 70,99759467% 
22 74.217,08 26 1.218,99 
23 7,177% a.m. 27 3% a.m. 
28) 1.689,12 
29) A = 24.883,20 B = 14.071,00 C = 13.448,89 
30) A = 2.390,61 B = 880,31 C = 124,29 
31) A = 2,5% B = 3% C = 5% 
32) 12 meses 33) 10 meses 
34) a) 12,68%a.a. b) 8,24% a.a. c) 15,76%a.a. d) 21%a.a. 
35) a) 9,54%a.s. b) 6,27%a.q. c) 4,66%a.t. 
36) A segunda é melhor 
37 95.421,35 41 538.638,32 
38 10.458,12 42 37.348,37 
39 10 anos 43 FV =62.480,07 e 
J = 17.480,07 
40 a) 614,18 b) 636,55 
 
Memória 6 
Postecipados: 01) 17.525,75 02) 432,42 03) 12 04) 207.641,32 
 
Antecipados: 01) 106.589,53 02) 24.239,87 03) 683,62 04) 10 
 
Diferidos: 01) 610,35 02) 62,71 03) 24 04) 3 
Exercícios extras 
01) 7.992,83 
02) 115,49 
03) 42 
04) 120 meses 
05) 4,73% a.m. 
06) 200.903,52 
07) 688,80 
08) 60 meses 
09) 24 
 
 
 
 
 
 
 
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DISCIPLINA Matemática Financeira 
CARGA HORÁRIA 55 horas 
PERÍODO LETIVO 3º Semestre 
EMENTA Disciplina voltada ao desenvolvimento da capacidade analítica em 
questões que envolvam recursos financeiros e cálculos relacionados, abordando 
as diversas formas de oferecimento de suporte à tomada de decisões, com e 
sem apoio de calculadoras e softwares específicos. 
OBJETIVOS Capacitar o aluno ao correto entendimento dos conceitos, 
nomenclatura e simbologia usados na matemática financeira; Proporcionar ao 
aluno o conhecimento dos modelos matemáticos de forma a estabelecer suas 
restrições e aplicações na área financeira; Habilitar o aluno para o uso das 
formulas e da calculadora financeira; Estabelecer os critérios de calculo dos 
valores financeiros em datas variadas. 
CONTEÚDOS PROGRAMÁTICOS Operações comerciais, operações financeiras, juros simples, desconto 
simples, juros compostos, series uniformes periódicas. 
METODOLOGIA DE AULA As aulas serão dialogadas, com grande interação entre docentes e 
discentes, baseadas prioritariamente em estudos de casos. Serão utilizados, 
complementarmente, vídeos, exercícios, retroprojetor, data show e seminários. 
Serão realizados trabalhos de pesquisa e exercícios extraclasse, 
individuais e em grupo. 
METODOLOGIA DE AVALIAÇÃO Avaliações mistas com perguntas dissertativas e exercícios, podendo ser 
individuais e/ou coletivas, e/ou com apresentação de projetos. 
Será feita em duas (ou três) etapas: 
1) Avaliação Continuada, valendo até 3,0 
2) Prova Regimental, valendo até 7,0 pontos. 
Prova de Reavaliação para aqueles que não alcançarem média 7,0 na 
nota semestral; nesse caso, a nota final será a média aritmética da nota 
semestral e da prova de reavaliação, com um mínimo de 5,0 para aprovação. 
BIBLIOGRAFIA BÁSICA CASTELO BRANCO, Anísio Costa. Matemática Financeira Aplicada, 3ª 
edição revisada e ampliada São Paulo: Cengage Learning, 2010. 
NASCIMENTO, Marco Aurélio. Introdução à Matemática Financeira, São 
Paulo,Saraiva, 2011 
ASSAF NETO, Alexandre. Matemática Financeira e suas Aplicações. 12º 
edição, São Paulo,: Atlas, 2012. 
BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR HAZZAN, Samuel. Matemática Financeira, 6ª edição São Paulo: Saraiva, 
2007 
VEIGA,Rafael Paschoarelli. Como usar a Calculadora HP12c, 8º edição, 
São Paulo: Saint Paul, 2011