Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA INSTITUTO DE MATEMA´TICA COMPLEMENTOS DE MATEMA´TICA I-A COMPONENTE CURRICULAR -MAT 047 TURMAS - 01 - 02 - 03 Lista de Exerc´ıcios - Func¸o˜es Prof. Miralvo B. de Menezes 15.09.2014. GABARITO. 1. Dados: A = {−2, 0} e B = {1, 2}, (a) calcule A×B e B × A; A×B = {(−2, 1), (−2, 2), (0, 1), (0, 2)}, B × A = {(1,−2), (1, 0), (2,−2), (2, 0)} (b) represente A×B e B × A por meio de flechas e no plano cartesiano. 2. Dados: M = {0, 1, 2, 3} e N = {−1, 0, 1, 12, 13, 35}, calcule: (a) R = {(x, y) ∈M ×N | y = x3 + x2 − 1}; R = {(0,−1), (1, 1), (3, 35)} (b) D(R) e Im(R). D(R) = {0, 1, 3}, Im(R) = {−1, 1, 35} 3. Seja g uma relac¸a˜o de A = {0, 1, 3} em B = {0, 1, 2, 3, 4, 5} definida por g(x) = x2 − 4x+ 3. Fac¸a o diagrama de g e verifique se g e´ uma func¸a˜o de A em B. Em caso afirmativo, escreva o conjunto imagem. E´ uma func¸a˜o de A em B. Im(R) = {0, 1} 4. Seja a func¸a˜o definida por f(x) = mx + n com m,n ∈ R. Se f(−1) = −3 e f(2) = 3, calcule m e n. m = 2, n = −1 5. Seja a func¸a˜o f(x) = ax+ 1 x− b , onde x ∈ R− {b}.Determine a e b reais para que tenhamos f(0) = 1 2 f(1) = 2. a = 5, b = −2 6. Determine o conjunto imagem da func¸a˜o, f : {−2, 0,√2} → R, definida por f(x) = x2 + 3. Im = {3, 5, 7} 7. Seja f : R→ R a func¸a˜o tal que f(x) = x2. Seja g : R→ R a func¸a˜o tal que g(x) = f(x+ h)− f(x) h . Calcule g(x). g(x) = 2x+ h 8. Ache o domı´nio das func¸o˜es: (a) f(x) = x+1√ x+3 + 1√ 4−x − 7xx−2 D = {x ∈ R | −3 < x < 4, x 6= 2} (b) f(x) = 1√ x−6 + 2√−x−1 Na˜o existe x que satisfac¸a as duas condic¸o˜es, logo D = {∅} 9. Verifique se a func¸a˜o: (a) f : R→ R definida por f(x) = x2 − 4 e´ sobrejetora. Na˜o e´ Sobrejetora (b) f : R→ R definida por f(x) = 5x+ 1 e´ bijetora. E´ Bijetora 10. Seja a func¸a˜o f : R → R definida por f(x) = ax2 + bx + c, com a, b, c ∈ R e a 6= 0. Calcule, a, b e c de modo que f seja uma func¸a˜o par. a 6= 0, b = 0, com a e c quaisquer nu´meros reais 11. Seja a func¸a˜o f(x) = 3x+1 x+5 com x 6= −5. Determine a func¸a˜o f(f(f(x))). f(f(f(x))) = 9x+ 25 25x+ 69 12. Dada a func¸a˜o f(x) = 2x+6 x−5 com x 6= 5. Calcule: (a) f−1(x) f−1(x) = 5x+ 6 x− 2 (b) f−1(4). f−1(4) = 13 13. Dadas as func¸o˜es: f(x) = 6x+ 2, g(x) = 4x− 1, h(x) = 2x− 3 2 . Calcule x de modo que: f(h(x)) + g−1(f(x)) = f(g(h(2))) + g(f−1(8)). x = 23 10 ::::::::: Func¸a˜o :::: do ::: 1o ::::::: Grau. 14. Considere as func¸o˜es reais, de varia´vel real, definidas por: f(x) = x3 + 4x2 + x x2 + 4x+ 1 , g(x) = (3x− 1)(x+ 1) x+ 1 , h(x) = x2 − 1 x− 1 . (a) Determine dentre elas as que sa˜o func¸o˜es afins. As func¸o˜es g(x) e h(x) sa˜o func¸o˜es afins (b) Ha´ alguma func¸a˜o linear? Qual? A func¸a˜o f(x) e´ linear 15. Dentre os pontos A(−1, 2), B(0, 1) e C(−2,−5), diga quais pertencem ao gra´fico de: (a) f(x)=3x+1 Os pontos B e C pertencem ao gra´fico de f(x). (b) f(x)=-x+1 Os pontos A e B pertencem ao gra´fico de f(x). (c) f(x)=2x. Nenhum ponto pertence ao gra´fico de f(x). 16. Determine a func¸a˜o do 1o grau cujo gra´fico passa pelos pontos: (a) A(1, 4) e B(−2,−5) f(x) = 3x+ 1 (b) M(0, 4) e N(−1, 6). f(x) = −2x+ 4 17. Dadas as func¸o˜es f(x) = ax+ 4 e g(x) = bx+ 1, calcule a e b de modo que os gra´ficos das func¸o˜es se interceptem no ponto (1, 6). a = 2, b = 5 18. Construa no sistema da coordenadas cartesianas os gra´ficos das seguintes func¸o˜es (a) f(x) = 3x+ 6 (b) g(x) = −2x+ 4 (c) h(x) = { x− 1, se x ≥ 1 0, se x < 1 (d) t(x) = −1, se x ≤ −1 0, se −1 < x ≤ 0 1, se x > 0 (e) Nos itens (a) e (b), determine as ra´ızes das func¸o˜es. 19. Considere a func¸a˜o f(x) = (m− 2)x+ 1, com m ∈ R. (a) Calcule m de modo que f seja crescente. m > 2 (b) Ache m para que f seja decrescente. m < 2 20. Considere a func¸a˜o f(x) = 2x+ 1 5 . (a) Calcule x de modo que f(x) > 1 {x ∈ R | x > 2} (b) Determine x para que f(x) 6 0. {x ∈ R | x ≤ −1 2 } 21. Resolva o sistema { 4 − 2(3− x) ≤ x + 3(1− x) 7x + 5(x+ 2) < x + 4(x+ 1) {x ∈ R | x < −6 7 } 22. Resolva as inequac¸o˜es: (a) x ≤ −x+ 2 ≤ x+ 3. S = {x ∈ R | −1 2 ≤ x ≤ 1} (b) −x+ 3 < x+ 1 ≤ 2x. S = {x ∈ R | x > 1} (c) (2x− 1)(−x+ 3)(−x+ 1) > 0. S = {x ∈ R | 1 2 < x < 1, ou x > 3} (d) x(x− 2)(−x+ 1) ≤ 0. S = {x ∈ R | 0 ≤ x ≤ 1, ou x ≥ 2} (e) 2x+1 x−2 > 1. S = {x ∈ R | x < −3, ou x > 2} (f) 5x−1 2x+1 ≤ 2. S = {x ∈ R | −1 2 < x ≤ 3} 23. Calcule o domı´nio das func¸o˜es: (a) f(x) = 4 √ x x+1 . D = {x ∈ R | x ≤ −1, ou x ≥ 0} (b) f(x) = √ (x+3)(x−1) x . D = {x ∈ R | −3 ≤ x < 0, ou x ≥ 1} ::::::::: Func¸a˜o :::: do ::: 2o ::::::: Grau. 24. Dada a func¸a˜o f : R → R definida por f(x) = ax2 + b, determine a e b de modo que f( 6 √ 8) = −1 e f(√3) = 2. a = 3, b = −7 25. Dada a func¸a˜o f(x) = 3x2 − 5x + m, calcule m para que a func¸a˜o tenha ra´ızes reais iguais. m = 25 12 26. As ra´ızes da func¸a˜o f(x) = x2 + ax+ b sa˜o 4 e −8. Calcule os valores de a e b. a = 4, b = −32 27. Considere as seguintes func¸o˜es quadra´ticas definidas por: f(x) = x2 − 2x, g(x) = −x2 + 4x− 4, h(x) = x2 + 3. (a) Determine, se existirem, os zeros de cada func¸a˜o. f(x) = 0 ⇒ x′ = 0, x′′ = 2; g(x) = 0 ⇒ x′ = x′′ = 2; h(0), na˜o tem ra´ızes reais (b) Calcule as coordenadas do ve´rtice da para´bola que graficamente representa uma delas. Vf = (1,−1), Vg = (2, 0), Vh = (0, 3) (c) Represente-as graficamente. (d) A partir dos gra´ficos, averigue se alguma das func¸o˜es e´ uma func¸a˜o par. a u´nica func¸a˜o par e´ h(x) 28. O valor ma´ximo da func¸a˜o f(x) = −2x2 + 8x+ p− 2 e´ −1. Nestas condic¸o˜es, calcule o valor de p. p = −7 29. Determine os valores reais de x para os quais a func¸a˜o f(x) = x2 − 8x+ 12 e´ positiva. S = {x ∈ R | x < 2, ou x > 6} 30. Calcule os valores reais de x que tornam negativa a func¸a˜o f(x) = −3x2 − 2x− 4. S = {g x ∈ R} 31. Seja a func¸a˜o f(x) = x2 + 4x + m − 2. Determine os valores de m para que se tenha f(x) > 0 para todo x real. S = {m ∈ R | m > 6} 32. Considere a para´bola de equac¸a˜o f(x) = x2 +mx+ 4m . (a) Ache a intersecc¸a˜o da para´bola com o eixo x, quando m = −2. A = (4, 0), B = (−2, 0) sa˜o os pontos onde a func¸a˜o corta o eixo x (b) Determine o conjunto dos valores de m para os quais a para´bola na˜o intercepta o eixo x. S = {m ∈ R | 0 < m < 16} 33. Resolva o sistema −x2 + 2x + 8 ≥ 0 5x + 1 > 2x + 10 x2 − 4x − 5 ≤ 0 S = {x ∈ R | 3 < x ≤ 4} 34. Resolva as inequac¸o˜es: (a) x2 − 10x+ 9 ≥ 0 S = {x ∈ R | x ≤ 1, ou x ≥ 9} (b) 5 ≤ x2 + 4x < 3x+ 2 S = {∅} (c) (x3 − 2x2 + x)(1 3 x2 + 10)(4x2 − 9) ≤ 0 S = {x ∈ R | x ≤ −3 2 , ou 0 ≤ x ≤ 3 2 } (d) −x 2+4 6x2−5x+1 < 0. S = {x ∈ R | x < −2, ou 1 3 < x < 1 2 , ou x > 2} 35. Calcule o domı´nio das func¸o˜es: (a) f(x) = √ (1− x)(x2 + 2x− 8) D = {x ∈ R | x ≤ −4, ou 1 ≤ x ≤ 2} (b) f(x) = 4 √ x2−25 1−2x . D = {x ∈ R | x ≤ −5, ou 1 2 < x ≤ 5} :::::::: Func¸a˜o ::::::::::: Modular. 36. Construa o gra´ficos das seguintes func¸o˜es, dando o domı´nio e o conjunto imagem: (a) f(x) =| x | + | x+ 2 | D = {x ∈ R} e Im = {y ∈ R | y ≥ 2} (b) f(x) =| x+ 1 | + | x− 1 | D = {x ∈ R} e Im = {y ∈ R | y ≥ 2} 37. Resolva a equac¸a˜o: ∣∣∣∣2x+ 14 ∣∣∣∣ = 56 . S = {−13 6 , 7 6 } 38. Determine o conjunto de todos os x para os quais: |x2 − 4x+ 6| < −x2 + 4x. S = {x ∈ R | 1 < x < 3} :::::::: Func¸a˜o ::::::::::::::: Exponencial. 39. Esboce os gra´ficos e identifique se sa˜o crescentes ou decrescentes as seguintes func¸o˜es exponenciais: (a) f(x) = 3x Crescente (b) f(x) = 2x+1 Crescente (c) f(x) = ( 1 3 )xDecrescente (d) f(x) = 2x + 1. Crescente 40. Resolva em R as equac¸o˜es exponenciais: (a) (16x)x+1 = 1 2 S = {−1 2 } (b) 22x+1 + 32x+1 = 5.6x S = {−1, 0} (c) 3x − 15 3x−1 + 3 x−3 = 23 3x−2 . S = {5 2 } 41. Resolva, em R as inequac¸o˜es exponenciais: (a) 2 2x+1 x−1 ≤ 1 2 S = {x ∈ R | 0 ≤ x < 1} (b) 2x+2 + 2−1−x < 3 S = {x ∈ R | −2 < x < −1} (c) 1 < 5x 2−4x+3 ≤ 125. S = {x ∈ R | 0 ≤ x < 1 ou 3 < x ≤ 4} 42. Calcule o domı´nio da func¸a˜o f(x) = √ 2x2−x − 1. D = {x ∈ R | x ≤ 0, ou x ≥ 1} :::::::: Func¸a˜o ::::::::::::::: Logar´ıtmica. 43. Esboce os gra´ficos e identifique se sa˜o crescentes ou decrescentes as seguintes func¸o˜es logar´ıtmicas: (a) f(x) = log3 x Crescente (b) f(x) = log 1 3 x Decrescente (c) f(x) = log2(x− 1) Crescente 44. Calcule o conjunto verdade da equac¸a˜o: logx 2 · log x 16 2 = log x 64 2. S = {4, 8} 45. Seja f(x) = log(x2 − 3x+ 2)− log(1− x2). (a) Determine o domı´nio de f D = {x ∈ R | −1 < x < 1} (b) Resolva a equac¸a˜o f(x) = 0. S = {1 2 } 46. Resolva em R as inequac¸o˜es logar´ıtmicas (a) 2 log 1 5 (x− 3) ≥ log 1 5 4 S = {x ∈ R | 3 < x ≤ 5} (b) 1 2 < log4 3x < 1 S = {x ∈ R | 2 3 < x < 4 3 } 47. Resolva o sistema: { 2 log2 x + log 1 2 y = 4 x √ y = 26 S = {(16, 16)} :::::::::: Func¸o˜es ::::::::::::: Circulares: :::::::::::::::::::::::: sinx, cosx, tanx, cotx. 48. Determine o per´ıodo de cada func¸a˜o a seguir: (a) f(x) = sin ( 7pi 2 + x ) p = 2pi (b) f(x) = 4 cos ( 5x+ pi 3 ) p = 2pi 5 (c) f(x) = tan x 3 p = 3pi (d) f(x) = cot ( 7x− pi 5 ) p = pi 7 49. Construa o gra´fico das func¸o˜es: (a) f(x) = − sin 2x (b) f(x) = 2 + 3 cos x 2 (c) f(x) = secx (d) f(x) = cscx 50. Resolva as seguintes equac¸o˜es trigonome´tricas: (a) sin ( 2x+ pi 3 ) = 1 S = {x ∈ R | x = pi 12 + pik} (b) 1 + 3 · tan2 x = 5 sec x S = {x ∈ R | x = ±pi 3 + 2pik} (c) tan x+ cos 2x = 1. S = {x ∈ R | x = kpi, ou x = pi 4 + kpi} 51. Resolva as inequac¸o˜es trigonome´tricas para 0 ≤ x ≤ 2pi: (a) sinx > √ 2 2 S = {x ∈ R | pi 4 < x < 3pi 4 } (b) cosx ≥ − √ 2 2 S = {x ∈ R | 0 ≤ x ≤ 3pi 4 , ou 5pi 4 ≤ x ≤ 2pi} (c) tan x ≥ −√3. S = {x ∈ R | 0 ≤ x < pi 2 , ou 5pi 3 ≤ x ≤ 2pi, ou 2pi 3 ≤ x < 3pi 2 } :::::: BOA ::::::::::: SORTE!.
Compartilhar