prova1M2 - Aldo Procacci - 2014.2

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CA´LCULO I - PROVA 1 - M2 : GABARITO
13/09/2014
1. Calcule os seguintes limites
i) lim
x→−∞
(1 + x + 3x)√
9x2 + 1
ii) lim
x→0
cosx− cos 2x
x2
Soluc¸a˜o
i) Fazendo y = −x (e logo x→ −∞ ⇒ y → +∞) temos
lim
x→−∞
(1 + x + 3x)√
9x2 + 1
= lim
y→+∞
(1− y + 3−y)√
9y2 + 1
= lim
y→+∞
y(1y − 1 + 1y3y )
|y|
√
9 + 1y2
=
= lim
y→+∞
y(1y − 1 + 1y3y )
y
√
9 + 1y2
= lim
y→+∞
(1y − 1 + 1y3y )√
9 + 1y2
=
0− 1 + 1∞√
9 + 0
= −1
3
ii) lim
x→0
cosx− cos 2x
x2
= lim
x→0
cosx− 1 + 1− cos 2x
x2
=
lim
x→0
cosx− 1
x2
+
1− cos 2x
x2
= − lim
x→0
1− cosx
x2
+lim
x→0
4(1− cos 2x)
(2x)2
=
= − lim
x→0
1− cosx
x2
+ 4 lim
y→0
(1− cos y)
y2
= −1
2
+ 4 · 1
2
=
3
2
Onde fizemos 2x = y e logo x→ 0 ⇒ y → 0 e usamos o limite
nota´vel lim
h→0
1−cosh
h2 =
1
2 .
2. Considere a func¸a˜o
f(x) = ln
[
3x2 + 2x− 1]
i) Encontre o domı´nio de definic¸a˜o da f(x)
ii) Encontre as eventuais ass´ıntotas verticais e horizontais do
gra´fico da f(x).
Soluc¸a˜o
i) ln
[
3x2 + 2x− 1] faz sentido somente se 3x2 + 2x− 1 > 0.
Observe agora que as raizes do polinoˆmio 3x2 + 2x − 1 sa˜o
x = −1 e x = 13 e logo 3x2 + 2x − 1 > 0 quando x > 13 ou
x < −1, logo
Df = (−∞,−1)
⋃(1
3
,+∞
)
ii) Temos que 3x2+2x−1→ 0+ por x→ 13
+
ou x→ −1−, da´ı
lim
x→{ 13}+
ln
[
3x2 + 2x− 1] = ln (0+) = −∞
lim
x→−1−
ln
[
3x2 + 2x− 1] = ln (0+) = −∞
Logo x = 13 e x = −1 sa˜o ass´ıntotas verticais para f(x).
Por outro lado
lim
x→±∞ ln
[
3x2 + 2x− 1] = lim
x→±∞ ln
[
x2
(
3 +
2
x
− 1
x2
)]
=
= lim
x→±∞ ln
[
x2
]
+ lim
x→±∞ ln
(
3 +
2
x
− 1
x2
)
= +∞+ ln 3 = +∞
Logo f(x) na˜o possui ass´ıntotas horizontais.
3. Encontre a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico da func¸a˜o
g(x) = 2e5x + 1
no ponto (0, 3).
Soluc¸a˜o
De acordo com a interpretac¸a˜o geome´trica da derivada, a reta
tangente procurada tem inclinac¸a˜o igual a` g′(0) onde g′(0) e´
a derivada da func¸a˜o g(x) calculada em x = 0. Com base na
definic¸a˜o de derivada, temos
g′(0) = lim
h→0
g(0 + h)− g(0)
h
= lim
h→0
(2e5h + 1)− 3
h
= lim
h→0
2e5h − 2
h
=
= lim
h→0
2(e5h − 1)
h
= 2 lim
h→0
5 · e
5h − 1
5h
= 10 lim
y→0
ey − 1
y
= 10
Onde fizemos 5x = y e logo x→ 0⇒ y → 0 e tambe´m usamos
o limite nota´vel lim
y→0
ey−1
y = 1
Logo a reta procurada tem inclinac¸a˜o 10 e passa pelo ponto
(0, 3), i.e. e´ a reta de equac¸a˜o
y = 3 + 10x