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TRANSFORMAÇÕES LINEARES NO PLANO (ℜℜℜℜ2) 
 
 
Existem transformações lineares 22:T ℜ→ℜ , muito usadas, e que recebem 
nomes particulares. Apresentamos as mais usadas: 
 
01) Reflexão em torno do eixo Ox: )y,x()y,x(T −= 
02) Reflexão em torno do eixo Oy: )y,x()y,x(T −= 
03) Reflexão em torno da origem: )y,x()y,x(T −−= 
04) Reflexão em torno da reta xy = : )x,y()y,x(T = 
05) Reflexão em torno da reta xy −= : )x,y()y,x(T −−= 
06) Dilatação ou Contração de fator α: ℜ∈α∀⋅α= ),y,x()y,x(T 
a) se 1|| >α ⇒ dilatação b) se 1|| <α ⇒ contração c) se 1=α ⇒ identidade 
07) Dilatação ou Contração na direção horizontal (Ox): 0),y,x()y,x(T ≠αα= . 
Caso 0=α , então )y,0()y,x(T = será a projeção ortogonal sobre o eixo Oy. 
08) Dilatação ou Contração na direção vertical (Oy): 0),y,x()y,x(T ≠αα= . 
Caso 0=α , então )0,x()y,x(T = será a projeção ortogonal sobre o eixo Ox. 
09) Cisalhamento de fator α: 
a) Na direção horizontal (Ox): )y,yx()y,x(T α+= 
b) Na direção vertical (Oy): )yx,x()y,x(T +α= 
10) Rotação de um ângulo θ em torno da origem no sentido horário: 
)cosyxsen,ysencosx()y,x(T θ+θ−θ+θ= , ou usando a Matriz de Rotação: 






θθ−
θθ
=θ
cossen
sencos
]T[ . No sentido anti-horário: 





θθ
θ−θ
=θ
cossen
sencos
]T[ . 
 
 
TRANSFORMAÇÕES LINEARES NO ESPAÇO (ℜℜℜℜ3) 
 
01) Reflexão em relação aos planos coordenados: 
a) Em relação ao plano xy: )z,y,x()z,y,x(T −= 
b) Em relação ao plano xz: )z,y,x()z,y,x(T −= 
c) Em relação ao plano yz: )z,y,x()z,y,x(T −= 
02) Reflexão em relação aos eixos coordenados: 
a) Em relação ao eixo Ox: )z,y,x()z,y,x(T −−= 
b) Em relação ao eixo Oy: )z,y,x()z,y,x(T −−= 
c) Em relação ao eixo Oz: )z,y,x()z,y,x(T −−= 
03) Reflexão em torno da origem: )z,y,x()z,y,x(T −−−= 
04) Rotação na origem em torno dos eixos coordenados 
a) Em torno do eixo Ox: )coszysen,zsencosy,x()z,y,x(T θ+θθ−θ= 
Ou usando a Matriz de Rotação: 










θθ
θ−θ=θ
cossen0
sencos0
001
]T[ x 
 
b) Em torno do eixo Oy: )coszxsen,y,sencosx()z,y,x(T θ+θθ−θ= 
Ou usando a Matriz de Rotação: 










θθ
θ−θ
=θ
cos0sen
010
sen0cos
]T[ y 
 
c) Em torno do eixo Oz: )z,cosysenx,senycosx()z,y,x(T θ+θθ−θ= 
Ou usando a Matriz de Rotação: 










θθ
θ−θ
=θ
100
0cossen
0sencos
]T[ z 
OBS: As dilatações, contrações e cisalhamentos podem ser definidos para o ℜℜℜℜ3. 
Deixarei isso para vocês. 
 
EXERCÍCIO 
 
01) Os pontos A(2,-1) e B(-1,4) são vértices de um quadrado. Calcular os outros dois 
vértices, usando a matriz de rotação. Resp: C(7,2) e D(4,7) 
02) Em um triângulo ABC, os ângulos B e C medem 75o cada. Sendo A(1,1) e B(-1,5), 
determine o vértice C. Resp: )322,31(C +−= 
03) Determinar em cada caso, a matriz da transformação linear 22:T ℜ→ℜ que 
representa a seqüência de transformações dadas: 
a) Reflexão em torno do eixo Oy, seguida de um cisalhamento de fator 5 na direção 
horizontal. Resp: 




−
10
51
 
b) Rotação de 30o no sentido horário, seguida de uma duplicação do módulo e 
inversão do sentido. Resp: 







−
−−
31
13
 
c) Rotação de 60o no sentido anti-horário, seguido de uma reflexão em relação ao 
eixo Oy. Resp: 












−
2
1
2
3
2
3
2
1
 
d) Reflexão em torno da reta xy −= , seguida de uma dilatação de fator 2 na direção 
horizontal e um cisalhamento de fator 3 na direção vertical. Resp: 





−−
−
61
20
 
04) O vetor v=(3,2) experimenta seqüencialmente: uma reflexão em torno da reta xy −= , 
seguida de um cisalhamento horizontal de fator 2, também uma contração na direção 
Oy de fator 1/3 e finalmente uma rotação de 90o no sentido horário. Calcular o vetor 
resultante dessa seqüência de operações. Resp: )8,1(v −= 
05) Seja 22:T ℜ→ℜ uma transformação linear que dobra o comprimento do vetor 
)1,2(v = e triplica o comprimento do vetor )2,1(u = , sem alterar as direções e nem 
o sentido. Calcular T(0,3). Resp: T(0,3) = (2,10)