Capítulo 05 - Torção

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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
- TORÇÃO -
MOSSORÓ/RN 
UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS AMBIENTAIS E TECNOLÓGICAS
CURSO BACHARELADO EM CIÊNCIA E TECNOLOGIA
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
Profª. MSc. CHRISTIANE MYLENA TAVARES DE 
MENEZES GAMELEIRA
ESTRUTURA DA APRESENTAÇÃO
◼ CAPÍTULO 5 – TORÇÃO
5.1 Deformação por torção de um eixo circular
5.2 A fórmula da torção
5.3 Transmissão de potência
5.4 ângulo de torção
5.5 Elementos estaticamente indeterminados carregados com torque
5.6 Eixos maciços não circulares
5.7 Tubos de parede fina com seções transversais fechadas
5.8 Concentração de tensão
5.9 Torção inelástica
5.10 Tensão residual
2
Objetivos do capítulo
 Serão discutidos os efeitos da aplicação de um 
carregamento de torção a um elemento longo e 
reto, como um eixo ou tubo.
3
5.1 Deformação por torção de um 
eixo circular
 Torque é um momento que tende a torcer um elemento em torno de seu eixo 
longitudinal.
 Podemos ilustrar fisicamente o que acontece quando o torque é aplicado a um 
eixo circular considerando que este seja feito de um material com alto grau de 
deformação, como a borracha.
 Quando o torque é aplicado, os círculos e as retas longitudinais da grade, 
marcados originalmente no eixo, tendem a se distorcer segundo o padrão 
mostrado na figura.
4
5
5.1 Deformação por torção de um 
eixo circular
6
 Na figura, vemos que a torção faz que os círculos continuem como 
círculos e cada linha longitudinal da grade se deforme na forma de 
uma hélice que intercepta os círculos em ângulos iguais.
 Além disso, as seções transversais nas extremidades do eixo 
continuam planas, e as linhas radiais nessas extremidades continuam 
retas durante a deformação.
 Por essas observações, podemos considerar que, se o ângulo de 
rotação for pequeno, o comprimento e o raio do eixo permanecerão 
inalterados.
5.1 Deformação por torção de um 
eixo circular
 Se o eixo estiver preso em uma de suas 
extremidade e for aplicado um torque à 
sua outra extremidade, o plano 
sombreado da figura será distorcido até 
uma forma oblíqua.
 Uma linha radial localizada na seção 
transversal a uma distância x da 
extremidade fixa do eixo girará de um 
ângulo ∅ 𝑥 .
 O ângulo ∅ 𝑥 , definido dessa maneira, 
é denominado ângulo de torção, depende 
da posição x e variará ao longo do eixo.
7
5.2 A fórmula da torção
 Quando um torque externo é aplicado a um eixo, 
ele cria um torque interno correspondente no 
interior do eixo. 
 Nesta seção, desenvolveremos uma equação que 
relaciona esse torque interno com a distribuição da 
tensão de cisalhamento na seção transversal de um 
eixo ou tubo circular.
8
5.2 A fórmula da torção
 Se o material for linear elástico, então a 
lei de Hooke se aplica, 𝜏 = 𝐺𝛾
 Uma variação linear na deformação por 
cisalhamento resulta em uma variação 
linear na tensão de cisalhamento 
correspondente ao longo de qualquer 
linha radial na seção transversal.
 Assim como ocorre com a deformação 
por cisalhamento para um eixo maciço, 𝜏
variará de zero na linha central do eixo 
longitudinal a um valor máximo 𝜏𝑚á𝑥 na 
superfície externa.
9
10
5.2 A fórmula da torção
11
J
T
J
Tc 
 == ou máx
= tensão de cisalhamento máxima no eixo, que ocorre 
na superfície externa
= deformação por cisalhamento
= torque interno resultante que age na seção 
transversal.
= momento polar de inércia da área da seção 
transversal
= raio externo do eixo
= distância intermediária
máx

T
J
c

5.2 A fórmula da torção
- Momento polar de inércia
 Se o eixo tiver uma seção transversal circular maciça,
 o momento polar de inérica J pode ser determinado por meio de um 
elemento de área na forma de um anel diferencial, de espessura 𝑑𝜌 e 
circunferência 2𝜋𝜌
 J é uma propriedade geométrica da área circular e é sempre positivo. As 
unidades de medida comuns para J são 𝑚𝑚4.
4
2
cJ

=
5.2 A fórmula da torção
- Momento polar de inércia
 Se o eixo tiver uma seção transversal tubular, com raio interno 𝑐𝑖 e raio
externo 𝐶𝑜 , então podemos determinar seu momento polar de inércia
subtraindo J para um eixo de raio 𝑐𝑖 daquele determinado para um eixo de 
raio 𝐶𝑜 .
( )44
2
io ccJ −=

5.2 A fórmula da torção
- distribuição da tensão de cisalhamento
Se um elemento de material na seção transversal do eixo ou tubo é 
isolado, então, por conta da propriedade complementar do cisalhamento, 
tensões de cisalhamento iguais devem também agir sobre suas quatro faces 
adjacentes (figura a)
Como resultado, o torque interno T não somente desenvolve uma
distribuição linear da tensão de cisalhamento ao longo de cada linha radial no 
plano da área de seção transversal, como também uma distribuição de tensão
de cisalhamento associada é desenvolvida ao longo de uma plano axial, figura b.
15
5.2 A fórmula da torção
 Tensão de torção máxima absoluta
Em qualquer seção transversal do eixo, a 
tensão máxima de cisalhamento ocorre na superfície 
externa.
Contudo, se o eixo for submetido a uma série 
de torques externos, ou se o raio (momento polar de 
inércia) mudar, a tensão de torção máxima no interior 
do eixo poderá ser diferente de uma seção para 
outra.
16
PONTOS IMPORTANTES
 Quando um eixo com seção transversal circular é submetido a um torque, a 
seção transversal permanece plana, enquanto as linhas radiais giram. Isso 
provoca uma deformação por cisalhamento no interior do material, a qual 
varia linearmente, ao longo de qualquer linha radial, de zero na linha 
central do eixo a um máximo em seu contorno externo.
 Pela lei de Hooke, para um material homogêneo com comportamento linear 
elástico, a tensão de cisalhamento ao longo de qualquer linha radial do 
eixo também varia linearmente, de zero na linha central do eixo até um 
valor máximo em seu contorno externo. Essa tensão de cisalhamento não 
deve ultrapassar o limite de proporcionalidade do material.
17
PONTOS IMPORTANTES
 Em razão da propriedade complementar do cisalhamento, a distribuição 
da tensão de cisalhamento linear no interior do plano da seção transversal 
também é distribuída ao longo de um plano axial adjacente do eixo.
 A fórmula da torção é baseada no requisito de que o torque resultante na 
seção transversal seja igual ao torque produzido pela distribuição linear 
da tensão de cisalhamento em torno da linha central longitudinal do eixo. É 
necessário que o eixo ou tubo tenha seção transversal circular e que seja 
feito de material homogêneo de comportamento linear elástico.
18
O eixo está apoiado em dois mancais e sujeito a três torques. Determine a tensão 
de cisalhamento desenvolvida nos pontos A e B localizados na seção a–a do eixo.
Exemplo 5.3
Solução:
Pelo diagrama de corpo livre do segmento esquerdo,
𝐽 =
𝜋
2
75 4 = 4,97 × 107 mm4
mmkN 250.10000.3250.4 ;0 ==−−= TTM x
O momento polar de inércia para o eixo é
Visto que A se encontra em ρ = c = 75 mm,
( )( )
(Resposta) MPa 89,1
1097,4
75250.1
7
=

==
J
Tc
A
Da mesma forma, para B, em ρ =15 mm, temos
( )( )
(Resposta) MPa 377,0
1097,4
15250.1
7
=

==
J
Tc
B
5.3 Transmissão de potência
 Eixos e tubos de seções transversais circulares são 
frequentemente usados para transmitir potência 
desenvolvida por uma máquina.
 Quando usados para essa finalidade, estão sujeitos 
a torques que dependem da potência gerada pela 
máquina e da velocidade angular do eixo.
 Potência é definida como o trabalho realizado por 
unidade de tempo.
21
5.3 Transmissão de potência
 O trabalho transmitido por um eixo rotativo é igual ao 
produto entre o torque aplicado e o ângulo de rotação.
 Portanto, se durante um instante dt um torque aplicado T 
provocar a rotação 𝑑𝜃 no eixo, então a potência instantânea 
será
𝑃 =
𝑇𝑑𝜃
𝑑𝑡
 Visto que a velocidade angular do eixo ω = 𝑑𝜃/𝑑𝑡, também 
podemos expressar a potência como
22
 TP=
5.3 Transmissão de potência
 No SI, a potência é expressa em watts quando o torque é medido 
em newtons-metro (1 N . m) e 𝜔 é expressa em radianos por 
segundo (rad/s) (1W = 1 N . m/s).
 Quando se trata de máquinas rotativas, costuma-se informar a 
frequência de rotação de um eixo, f. 
 Frequência é a medida do número de revoluções ou ciclos que o 
eixo faz por segundo e é expressa em hertz ( 1Hz = 1 ciclo/s).
 Visto que 1 ciclo = 2 𝜋 rad, então 𝜔 = 2𝜋𝑓
23
5.3 Transmissão de potência
 A equação de potência é:
 Para o projeto do eixo, o parâmetro de projeto ou parâmetro 
geométrico é:
24
fTP 2=
adm
T
c
J
=
Um eixo maciço de aço AB será usado para transmitir 3.750 W do motor M ao qual 
está acoplado. Se o eixo girar a ω = 175 rpm e o aço tiver uma tensão de 
cisalhamento admissível τadm = 100 MPa, determine o diâmetro exigido para o eixo 
com precisão de mm.
Exemplo 5.5
Solução:
O torque no eixo é
Nm 6,204
60
2175
750.3 =




 
=
=
TT
TP


Assim,
( )( )
( )
mm 92,10
100
000.16,20422
2
3/13/1
adm
adm
4
=





=







=
==



T
c
T
c
c
c
J
Visto que 2c = 21,84 mm, selecione um eixo com diâmetro 22 mm.
27
28
29
• Às vezes, o projeto de um eixo depende de 
restrições à quantidade de rotação ou torção que
pode ocorrer quando o eixo é submetido a um 
torque.
• Saber calcular o ângulo de torção para um eixo é 
importante quando analisamos as reações em
eixos estaticamente indeterminados.
• Consideraremos que o eixo tem seção transversal 
circular que pode variar gradativamente ao longo
de seu comprimento e que o material é homogêneo
e se comporta de maneira linear elástica quando o 
torque é aplicado.
5.4 Ângulo de torção
• Desprezaremos as deformações
localizadas que ocorrem nos pontos de 
aplicação dos torques e em locais onde a 
seção transversal muda abruptamente.
• Usando o método das seções, isolamos do 
eixo um disco diferencial de espessura dx 
localizado na posição x.
• O torque interno resultante é representado
por T(x), visto que o carregamento externo
pode acarreyar variação no torque interno
ao longo da linha central do eixo.
5.4 Ângulo de torção
• A ação de T(x) provocará uma torção no 
disco, de tal modo que a rotação relativa
de uma das faces em relação à outra será
dΦ.
• O resultado é que um elemento de 
material localizado em um raio arbitrário ρ
no interior do disco sofrerá uma
deformação por cisalhamento ϒ.
• Os valores de 𝛾 e 𝑑𝜙 são relacionadas
pela equação:
𝑑𝜙 = 𝛾
𝑑𝑥
𝜌
5.4 Ângulo de torção
• Visto que a lei de Hooke (𝜏 = 𝐺𝛾) se aplica
e que a tensão de cisalhamento pode ser
expressa em termos do torque aplicado
pela fórmula de torção 𝜏 =
𝑇(𝑥)𝜌
𝐽 𝑥 𝐺
.
• Substituindo essa equação na equação
anterior 
𝑑𝜙 = 𝛾
𝑑𝑥
𝜌
• Temos, 
5.4 Ângulo de torção
dx
GxJ
xT
d
)(
)(
=
• Integrando em todo o comprimento L do eixo, temos
• Considerando que o material é homogêneo, G é constante, logo
( )
( )
=
L
GxJ
dxxT
0

Φ = ângulo de torção de uma extremidade
do eixo em relação à outra extremidade,medida
em radianos.
T(x) = torque interno
J(x) = momento polar de inércia do eixo
G = módulo de elasticidade ao cisalhamento
JG
TL
=
5.4 Ângulo de torção
• A convenção de sinal é determinada pela regra da mão direita.
• O torque e o ângulo serão positivos desde que o polegar esteja direcionado
para for a do eixo quando os dedos o envolverem para dar a tendência da 
rotação.
5.4 Ângulo de torção
PONTOS IMPORTANTES
 O ângulo de torção é determinado pela relação 
entre o torque aplicado e a tensão de cisalhamento 
dada pela fórmula da torção, 𝜏 =
𝑇𝜌
𝐽
, e pela 
relação entre a rotação relativa e a deformação 
por cisalhamento dada pela equação 𝑑𝜙 =
𝛾𝑑𝑥/𝜌. Por fim, essas equações são combinadas 
pela lei de Hooke, 𝜏 = 𝐺𝛾, o que dá como 
resultado a equação 
36
( )
( )
=
L
GxJ
dxxT
0

PONTOS IMPORTANTES
 Visto que a lei de Hooke é usada no 
desenvolvimento da fórmula para o ângulo de 
torção, é importante que os torques aplicados não 
provoquem escoamento do material e que o 
material seja homogêneo e se comporte de 
maneira linear elástica.
37
Os dois eixos maciços de aço estão interligados por meio das engrenagens. 
Determine o ângulo de torção da extremidade A do eixo AB quando é aplicado o 
torque 45 Nm. Considere G = 80 GPa. O eixo AB é livre para girar dentro dos 
mancais E e F, enquanto o eixo DC é fixo em D. Cada eixo tem diâmetro de 
20 mm.
Exemplo 5.8
39
Solução:
Do diagrama de corpo livre,
( ) ( ) Nm 5,22075,0300
N 30015,0/45
==
==
xD
T
F
O ângulo de torção em C é
𝜑𝐶 =
𝑇𝐿𝐷𝐶
𝐽𝐺
=
+22,5 1,5
Τ𝜋 2 0,010 4 80 10 9
= +0,0269 rad
Visto que as engrenagens na extremidade estão engrenadas,
( ) ( )( ) rad 0134,0075,00269,015,0 =B
Visto que o ângulo na extremidade A em relação ao extremo B do eixo AB 
causada pelo torque de 45 Nm,
( )( )
( )( ) ( ) 
rad 0716,0
1080010,02
245
94/
+=
+
==


JG
LT ABAB
BA
A rotação da extremidade A é portanto
(Resposta) rad 0850,00716,00134,0/ +=+=+= BABA 
42
5.5 Elementos estaticamente 
indeterminados carregados com torque
 Um eixo carregado com torque pode ser 
classificado como estaticamente indeterminado se a 
equação de equilíbrio de momento aplicada em 
torno da linha central do eixo não for adequada 
para determinar os torques desconhecidos que 
agem no eixo.
43
5.5 Elementos estaticamente 
indeterminados carregados com torque
 Um exemplo dessa situação é mostrado na 
figura 5.24 (a)
 Como mostra o diagrama do corpo livre 
(figura 5.24 (b), os torques de reação nos 
apoios A e B são desconhecidos. Exige-se que:
σ𝑀𝑥 = 0; 𝑇 − 𝑇𝐴 − 𝑇𝐵 = 0
 Visto que há somente uma equação de 
equilíbrio relevante, porém duas incógnitas, 
esse problema é estaticamente indeterminado.
44
5.5 Elementos estaticamente 
indeterminados carregados com torque
 Para se obter uma solução, utilizaremos o 
método de análise discutido na seção 4.4.
 A condição de compatibilidade necessária, ou 
a condição cinemática, exige que o ângulo de 
torção de uma extremidade do eixo em 
relação à outra extremidade seja igual a 
zero, visto que os apoios nas extremidades 
são fixos. Portanto,
 𝜙𝐴/𝐵 = 0
45
5.5 Elementos estaticamente 
indeterminados carregados com torque
 Para escrever essa equação em termos dos torques 
desconhecidos, consideraremos que o material se comporta de 
maneira linear elástica, de modo que a relação entre a carga e 
deslocamento é expressa por
𝜙 =
𝑇𝐿
𝐽𝐺
46
O eixo maciço de aço mostrado na figura abaixo tem diâmetro de 20 mm. Se for 
submetido aos dois torques, determine as reações nos apoios fixos A e B.
Solução:
Examinando o diagrama de corpo livre,
(1) 0500800 ;0 =−−+−= Abx TTM
Visto que as extremidades do eixo são fixas, .0/ =BA
Usando a convenção de sinal,
( ) ( )( ) ( )
(2) 7502,08,1 
0
3,05,15002,0
−=−
=+
+
+
−
BA
AAB
TT
JG
T
JG
T
JG
T
Resolvendo as equações 1 e 2, obtemos TA = –345 Nm e TB = 645 Nm.
Exemplo 5.11
48
49
5.6 Eixos maciços não circulares
 Eixos cujas seções transversais não são circulares não são 
simétricos em relação às respectivas linhas centrais e, como a 
tensão de cisalhamento é distribuída de um modo muito 
complexo nas seções transversais, elas ficarão abauladas ou 
entortarão quando o eixo sofrer torção.
 Uma consequência dessa deformação é que a análise da 
torção de eixos não circulares se torna consideravelmente 
complicada e não será estudada neste livro.
50
5.6 Eixos maciços não circulares
 Entretanto, por análise matemática baseada na teoria da 
elasticidade, é possível determinar a distribuição da tensão de 
cisalhamento no interior de um eixo de seção transversal quadrada.
 Os resultados da análise para seções transversais quadradas, 
juntamentecom outros resultados da teoria da elasticidade para 
eixos com seções transversais triangulares e elípticas são 
apresentados na tabela 5.1
 Em todos os casos, a tensão de cisalhamento máxima ocorre em um 
ponto na borda da seção transversal mais próxima da linha central 
do eixo.
51
5.6 Eixos maciços não circulares
 Na tabela 5.1, esses pontos são indicados como “pontos” 
em negrito e bem visíveis nas seções transversais.
 A tabela também dá fórmulas para o ângulo de torção 
de cada eixo.
52
• A tensão de cisalhamento máxima e o ângulo de torção para eixos com seção
transversal não circular são:
Eixos maciços não circulares
L
O eixo de alumínio 6061-T6 tem área de seção transversal na forma de um 
triângulo equilátero. Determine o maior torque T que pode ser aplicado à 
extremidade do eixo se a tensão de cisalhamento admissível for τadm = 56 MPa e o 
ângulo de torção na extremidade estiver restrito a Φadm = 0,02 rad. Qual é a 
intensidade do torque que pode ser aplicado a um eixo de seção transversal 
circular feito com a mesma quantidade de material? Gal = 26 GPa.
Exemplo 5.13
Solução:
Por inspeção, o torque interno resultante em qualquer seção 
transversal ao longo da linha central do eixo também é T.
( )( )
( ) 
(Resposta) Nm 12,24
102640
102,146
,020 ;
46
Nm 2,779.1
40
20
56 ;
20
34
3
al
4adm
33adm
===
===
T
T
Ga
T
T
T
a
T


Por comparação, o torque é limitado devido ao ângulo de torção.
( )
( )( )
( )( )
( )( ) ( ) 
(Resposta) Nm 10,33
102685,142/
102,1
02,0 ;
Nm 06,288
85,142/
85,14
56 ;
34
3
al
adm
4adm
===
===
T
T
JG
TL
T
T
J
Tc




Para seção transversal circular, temos
( )( ) mm 85,1460sen4040
2
1
 ; 2triângulocírculo === ccAA 
As limitações de tensão e ângulo de torção exigem
Novamente, o ângulo de torção limita o torque aplicado.
57
5.7 Tubos de parede fina com 
seções transversais fechadas
 Tubos de paredes fina de forma não circular são 
usados frequentemente para construir estruturas 
leves como as utilizadas em aviões.
 Em algumas aplicações, elas podem ser submetidas 
a um carregamento de torção.
58
5.7 Tubos de parede fina com 
seções transversais fechadas
 A figura mostra um pequeno trecho de tubo de comprimento 
finito s e largura diferencial dx. 
 Em uma extremidade, o elemento tem espessura tA e na outra 
extremidade, a espessura é tB.
 Devido ao torque aplicado T, uma tensão de cisalhamento é 
desenvolvida na face frontal do elemento.
59
5.7 Tubos de parede fina com 
seções transversais fechadas
 Especificamente, na extremidade A, a tensão de cisalhamento 
é tA, e na extremidade B, é tB.
 Essas tensões podem ser relacionadas observando-se que 
tensões de cisalhamento equivalentes tA e tB também devem 
agir sobre as laterais longitudinais de elemento.
 Visto que essas laterais longitudinais têm espessuras 
constantes, tA e tB, as forças que agem sobre elas são:
60
5.7 Tubos de parede fina com 
seções transversais fechadas
 O equilíbrio de força exige que essas forças sejam de igual 
valor, mas em direções opostas, de modo que:
 O produto entre a tensão de cisalhamento longitudinal média 
e a espessura do tubo é a mesma em cada ponto na área de 
seção transversal do tubo.
 Esse produto é denominado fluxo de cisalhamento, q.
61
5.7 Tubos de parede fina com 
seções transversais fechadas
62
• Fluxo de cisalhamento q é produto entre a espessura do tubo e a tensão
de cisalhamento longitudinal média. 
• Esse valor é constante em todos os pontos ao longo da seção transversal 
do tubo.
• O resultado é que a maior tensão de cisalhamento média na seção
transversal ocorre no local onde a espessura do tubo é a menor.
tq méd=
5.7 Tubos de parede fina com 
seções transversais fechadas
63
• A tensão de cisalhamento média para tubos com paredes finas é
• Para o ângulo de torção,
mtA
T
2
méd =
τméd = tensão de cisalhamento média
T = torque interno resultante na seção 
transversal
t = espessura do tubo
Am = área média contida no contorno 
da linha central
= t
ds
GA
TL
m
24

PONTOS IMPORTANTES
 Fluxo de cisalhamento q é o produto entre a 
espessura do tubo e a tensão de cisalhamento 
média. Esse valor é constante em todos os pontos 
ao longo da seção transversal do tubo. O resultado 
é que a maior tensão de cisalhamento média na 
seção transversal ocorre no local onde a espessura 
do tubo é a menor.
64
PONTOS IMPORTANTES
 O fluxo de cisalhamento e a tensão de 
cisalhamento média agem tangencialmente à 
parede do tubo em todos os pontos e em uma 
direção tal que contribuem para o torque 
resultante.
65
Um tubo quadrado de alumínio tem as mesmas dimensões. Determine a tensão de 
cisalhamento média no tubo no ponto A se ele for submetido a um torque de 85 Nm. 
Calcule também o ângulo de torção devido a esse carregamento.
Considere Gal = 26 GPa.
Exemplo 5.16
Solução:
Por inspeção, o torque interno é T = 85 Nm.
( )
( )( )
(Resposta) N/mm 7,1
500.2102
1085
2
2
3
méd ===
mtA
T

Para tensão de cisalhamento média,
22 mm 500.250 ==mAA área sombreada é .
( )( )( )
( ) ( ) 
( ) 
−−=== ds
ds
t
ds
GA
TL
m
14
32
33
2
mm 10196,0
101026500.24
105,11085
4

Para ângulo de torção,
A integral representa o comprimento em torno da linha central do contorno do tubo. 
Assim,
( ) ( )  ( ) (Resposta) rad 1092,350410196,0 34 −− ==
5.8 Concentração de tensão
 A fórmula de torção, 𝜏𝑚á𝑥 =
𝑇𝑐
𝐽
, pode ser aplicada a regiões 
de um eixo que tenham seção transversal circular constante ou 
ligeiramente cônica. 
 Quando surgem mudanças repentinas na seção transversal, a 
distribuição da tensão de cisalhamento e da deformação por 
cisalhamento no eixo tornam-se complexas e só podem ser 
obtidas por meios experimentais ou, possivelmente, por análise 
matemática baseada na teoria da elasticidade.
69
5.8 Concentração de tensão
 Três descontinuidades comuns em seções transversais que 
ocorrem na prática são mostradas abaixo:
70
Acoplamentos, são utilizados para interligar 
dois eixos colineares.
Rasgos de chaveta, usados para conectar 
engrenagens ou polias a um eixo.
Filetes de redução, utilizados para fabricar 
um único eixo colinear de dois eixos com 
diâmetros diferentes.
5.8 Concentração de tensão
 Para que o engenheiro não precise executar uma análise 
complexa de tensão em uma descontinuidade do eixo, a 
tensão de cisalhamento máxima pode ser determinada para 
uma geometria especificada com a utilização de um fator de 
concentração de tensão por torção, K. 
71
• O fator de concentração de tensão por torção, K, é usado para simplificar
a análise complexa da tensão.
• A tensão de cisalhamento máxima é determinada pela equação:
J
Tc
K=máx
5.8 Concentração de tensão
PONTOS IMPORTANTES
 Concentrações de tensão em eixos ocorrem em pontos de 
mudança repentina na área da seção transversal, tal como 
acoplamentos, rasgos de chaveta e filetes de rebaixo. Quanto 
mais severa a mudança, maior a concentração de tensão.
 Para projeto ou análise, não é necessário conhecer a exata 
distribuição da tensão de cisalhamento na seção transversal. 
Em vez disso, é possível obter a tensão de cisalhamento 
máxima com a utilização do fator de concentração de tensão, 
K, determinado por meios experimentais e função somente da 
geometria do eixo.
73
PONTOS IMPORTANTES
 Em geral, a concentração de tensão em um eixo dúctil 
submetido a torque estático não terá de ser considerada no 
projeto; todavia, se o material for frágil ou sujeito a 
carregamentos de fadiga, as concentrações de tensão tornam-
se importantes.
74
O eixo em degrau está apoiado nos mancais em A e B. Determine a tensão máxima 
no eixo resultante dos torques aplicados. O filete na junção de cada eixo tem raio 
r = 6 mm.
Exemplo 5.18
76
Solução:
Por inspeção, o equilíbriode momento em torno da central do eixo é satisfeito. 
( )
( ) ( )
15,0
202
6
 ;2
202
402
====
d
r
d
D
( )
( )( )
(Resposta) MPa 10,3
020,02
020,030
3,1
4máx
=





==


J
Tc
K
O fator de concentração de tensão pode ser determinado pela geometria do eixo:
Assim, K = 1,3 e a tensão máxima é
• Considerando a ação da tensão de cisalhamento 
sobre um elemento de área dA localizado a uma 
distância p do centro do eixo,
• A distribuição da tensão de cisalhamento sobre 
uma linha radial em um eixo é sempre linear.
• Comportamento perfeitamente plástico considera 
que a distribuição da tensão de cisalhamento seja 
constante e que o eixo continuará a torcer sem 
nenhum aumento no valor do torque.
• Esse torque é denominado torque plástico.
 dT
A
2
2 =
5.9 Torção inelástica
Um eixo maciço circular tem raio de 20 mm e comprimento de 1,5 m. A figura 
mostra um diagrama elástico-plástico do material. Determine o torque necessário 
para torcer o eixo de Φ = 0,6 rad.
Exemplo 5.20
Solução:
A máxima deformação por cisalhamento ocorre na superfície do eixo,
( )
( )
rad 008,0
02,0
5,1
6,0 ; máx
máx === 



L
mm 4m 004,0
008,0
02,0
0016,0
e
e === 

Baseado na distribuição da deformação por cisalhamento, temos
O raio do núcleo elástico pode ser obtido por
( ) ( )  ( )  (Resposta) kNm 25,1004,002,04
6
1075
4
6
33
6
3
e
3e =−=−=



cT