CÁLCULO IV FUNÇÕES VET. VARIÁVEL REAL

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FACULDADES INTEGRADAS RUI BARBOSA 
CURSO DE ENGENHARIA – CEG – TURMA B 
4º PERÍODO 
 
 
 
 
 
 
 
EDUARDO MOREIRA BEZERRA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FUNÇÕES VETORIAIS DE UMA VARIÁVEL REAL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANDRADINA 
2016 
 
 
EDUARDO MOREIRA BEZERRA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FUNÇÕES VETORIAIS DE UMA VARIÁVEL REAL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Trabalho escrito apresentado para a disciplina de 
Cálculo Diferencial e Integral IV como requisito 
parcial de avaliação. 
Faculdades Integradas Rui Barbosa 
 
 
 
 
 
 
 
ANDRADINA 
2016 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
“O que sabemos é uma gota; o que ignoramos 
é um oceano.” 
Isaac Newton. 
 
 
LISTA DE ILUSTRAÇÕES 
 
Figura 1. Retrato de Euclides de Alexandria 300 ACℝ ............................................................. 07 
Figura 2. Planos no espaço em coordenadas cartesianas em ℝ3 = ℝ × ℝ × ℝℝ ..................... 10 
Figura 3. Regra da mão direita para produto vetorialℝ.............................................................. 13 
Figura 4. Representação geométrica da função derivadaℝ ........................................................ 15 
Figura 5. Demonstração geométrica da diferença entre dois vetores em ℝ3 .......................... 17 
Figura 6. Triedro de Frenet (ou TNB) ℝ ..................................................................................... 21 
 
 
 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
1 OBJETIVOS ........................................................................................................................ 06 
2 INTRODUÇÃO ................................................................................................................... 07 
3 RETAS, PLANOS E VETORES ........................................................................................ 08 
3.1 Retas ............................................................................................................................... 08 
3.1.1 Retas no plano ...................................................................................................... 08 
3.1.2 Retas no espaço .................................................................................................... 08 
3.1.3 Principais postulados ........................................................................................... 08 
3.1.4 Semirreta .............................................................................................................. 08 
3.1.5 Segmento de reta .................................................................................................. 09 
3.2 Planos ............................................................................................................................. 09 
3.2.1 Planos no espaço .................................................................................................. 09 
3.2.2 Geometria Euclidiana .......................................................................................... 09 
3.2.3 Orientação ............................................................................................................ 10 
3.2.4 Planos embutidos no ℝ3 ...................................................................................... 10 
3.3 Produto escalar ............................................................................................................... 10 
3.3.1 Definição geométrica ........................................................................................... 11 
3.3.2 Definição algébrica .............................................................................................. 11 
3.3.3 Propriedades ........................................................................................................ 12 
3.4 Produto vetorial .............................................................................................................. 12 
 3.4.1 Definição .............................................................................................................. 12 
 3.4.2 Propriedades ......................................................................................................... 13 
 3.4.2.1 Significado geométrico ............................................................................... 13 
 3.4.2.2 Propriedades algébricas .............................................................................. 14 
 3.4.2.3 Notação matricial ........................................................................................ 14 
 3.4.2.4 Aplicações ................................................................................................... 14 
4 CÁLCULO COM FUNÇÕES VETORIAIS ..................................................................... 15 
4.1 Limites ........................................................................................................................... 15 
4.1 Derivadas ....................................................................................................................... 15 
4.2.1 Significado geométrico da derivada .................................................................... 16 
4.3 Funções e curvas vetoriais ............................................................................................. 17 
4.3.1 Definição .............................................................................................................. 17 
4.4 Vetores tangentes ........................................................................................................... 18 
 
 
4.4.1 Definição 1 ........................................................................................................... 18 
4.4.1 Definição 2 ........................................................................................................... 18 
4.4.1 Definição 3 ........................................................................................................... 18 
4.4.1 Definição 4 ........................................................................................................... 18 
4.4.5 Lema .................................................................................................................... 19 
4.4.6 Vetor tangente unitário ........................................................................................ 19 
 4.5 Vetor unitário ................................................................................................................. 20 
4.5.1 Vetor binormal unitário ....................................................................................... 20 
REFERÊNCIAS ..................................................................................................................... 22 
 
 
6 
 
1 OBJETIVOS 
 
O objetivo deste trabalho é definir alguns conceitos de retas, plano e vetores (produtos 
escalares e vetoriais) para um números reais ℝ. 
Explicar as definições funções vetoriais de uma variável real: limite, continuidade, 
derivada, curvas, vetores tangentes e normal no espaço vetorial euclidiano. 
Mostrar em ℝ3 as formas algébricas e geométricas para funções vetoriais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2 INTRODUÇÃO 
 
Por volta de 300 a.C., o matemático grego Euclides estabeleceu as leis do que veio a 
ser chamado “Geometria euclidiana”, que éo estudo das relações entre ângulos e distâncias 
no espaço. Euclides desenvolveu primeiramente “a geometria plana” que trata da geometria 
de objetos bidimensionais em uma superfície plana. Ele então desenvolveu a “geometria 
sólida”, com que analisou a geometria de objetos tridimensionais 
 
Figura 1. Retrato de Euclides de Alexandria 300 AC. 
 
Fonte: http://acervocientificoprofmaciel.blogspot.com.br/2013/12/euclides-de-alexandria-o-fenomeno-da.html 
 
Espaço vetorial euclidiano é qualquer espaço real que possui um número finito de 
dimensões e possui uma operação denominada produto interno. Em espaço vetorial sobre ℝ, o 
conjuntos dos números reais, é chamado espaço vetorial real. 
A noção comum de vetores como objetos com tamanho, direção e sentido, juntamente 
com as operações de adição e multiplicação por números reais forma a ideia básica de um 
espaço vetorial. Deste ponto de partida então, para definirmos um espaço vetorial, precisamos 
de um conjunto, uma operação de adição de elementos deste conjunto, e uma operação de 
multiplicação de escalares (por exemplo, números reais) por elementos deste conjunto. 
Polinômios de grau menor ou igual a 𝑛 (𝑛 ∈ ℕ) formam um espaço vetorial, por 
exemplo, assim como grupos de matrizes 𝑚 × 𝑛 e o espaço de todas as funções de um 
conjunto no conjunto ℝ dos números reais. 
 
 
 
8 
 
3 RETAS, PLANOS E VETORES 
 
3.1 Retas 
 
Em matemática, uma reta é um ente geométrico infinito em uma dimensão. Trata-se da 
menor distância imaginável entre dois pontos distintos. 
 
 
3.1.1 Retas no plano 
 
Uma reta no plano pode ser caracterizada por: 
 dois pontos distintos do plano; 
 um ponto da reta e o seu declive; 
 um ponto da reta e um vetor normal a essa reta; 
 um ponto e um vetor da reta. 
 
 
3.1.2 Retas no espaço 
 
Uma reta no espaço pode ser descrita das seguintes formas: 
 dando dois pontos da reta; 
 dando um ponto da reta e dois vetores normais a essa reta, não colineares; 
 dando um ponto e um vetor da reta. 
 
 
3.1.3 Principais postulados 
 
 Postulado da existência (PE): Numa reta, bem como fora dela, existem vários 
pontos. 
 Postulado de determinação (PD): Dados dois pontos distintos do espaço, existe 
apenas uma reta que os contém. 
 Postulado da inclusão (PI): Se uma reta tem dois ou mais de seus pontos num 
plano, ela está contida no plano. 
 
 
3.1.4 Semirreta 
 
Uma semirreta 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗, também denotada por �̇�𝐴 ou [𝑂𝐴[, é o conjunto dos pontos 𝑃 da 
reta 𝑂𝐴 tais que 𝑂 não está entre 𝑃 e 𝐴. Ao fixar-se um ponto sobre uma reta, esse ponto a 
divide em duas partes iguais, transformando-a em duas semirretas de mesma origem e 
sentidos opostos. 
9 
 
3.1.5 Segmento de reta 
 
Segmento quer dizer parte, pedaço. A palavra vem do latim “segmentum”, que 
significa “corte”. Em geometria, dois pontos distintos determinam um segmento de reta. 
Em álgebra linear, se 𝑉 for um espaço vetorial real, então o segmento de reta que liga 
o ponto (vetor) 𝐴 ao ponto 𝐵 é o conjunto 
 
{𝑡𝐴 + (1 − 𝑡)𝐵 | 𝑡 ∈ [0, 1]} 
 
 
3.2 Planos 
 
Na matemática, um plano é um objeto geométrico infinito a duas dimensões. Pode ser 
definido de várias formas equivalentes. 
 
 
3.2.1 Planos no espaço 
 
Um plano pode ser definido: 
 dando um ponto do plano e um vetor normal a esse plano; 
 dando um ponto do plano e dois vetores do plano; 
 dando uma reta do plano e um ponto do plano exterior a esta reta; 
 dando duas retas do plano; 
 dando três pontos não colineares. 
 
 
3.2.2 Geometria Euclidiana 
 
No Espaço Euclidiano, um plano é uma superfície tal que, dada a quaisquer pontos na 
superfície, a superfície também contém a única linha reta que passa pelos pontos. A estrutura 
fundamental de dois planos sempre será a mesma. Na matemática isto pode ser determinado 
como "homomorfismo". Informalmente, isso ocorre quando dois planos parecem o mesmo. 
Um plano pode ser unicamente determinado por um destes objetos: 
 três pontos não-colineares (não estão numa mesma reta); 
 uma reta e um ponto fora desta reta; 
 duas retas concorrentes (duas retas que se cruzam num único ponto); 
 duas retas paralelas distintas. 
10 
 
3.2.3 Orientação 
 
Como as linhas, os planos podem ser paralelos ou concorrentes. Diferentemente das 
linhas, os planos não podem ser deformes. Linhas traçadas em dois planos paralelos podem 
ser paralelas ou deformes, mas nunca concorrentes. Planos concorrentes podem ser 
perpendiculares, ou podem formar outros ângulos. 
 
 
3.2.4 Planos embutidos no ℝ3 
 
Figura 2. Planos no espaço em coordenadas cartesianas em ℝ3 = ℝ × ℝ × ℝ. 
 
Fonte: http://www.ebah.com.br/content/ABAAAgi_8AE/vetores 
 
No espaço euclidiano tridimensional, nós podemos explorar os seguintes fatos que não 
detêm, em dimensões superiores: 
 Dois planos são ou paralelos ou concorrentes. 
 Uma linha ou é paralela ou é concorrente num único ponto ou está contida no 
plano. 
 Duas linhas perpendiculares para o mesmo plano devem ser paralelas entre si. 
 Dois planos perpendiculares para a mesma linha devem ser paralelos entre si. 
 O plano é uma superfície mínima 
 
 
3.3 Produto escalar 
 
Em matemática, em álgebra linear, o produto escalar é uma função binária definida 
entre dois vetores que fornece um número real (também chamado “escalar”) como resultado. 
O produto vetorial, que é outra operação possível de ser definir para vetores fornece, por outro 
lado, um novo vetor. 
11 
 
3.3.1 Definição geométrica 
 
O produto escalar de dois vetores 𝒖 e 𝒗 (ou �⃗� e 𝑣 ), que se representa ⋅ ou ainda por um 
traço vertical | é o resultado do produto do comprimento (também chamado de norma ou 
módulo) de 𝒗 pela projeção escalar de 𝒖 em 𝒗. 
 
𝒖 ⋅ 𝒗 = ‖𝒖‖‖𝒗‖ cos 𝜃 
 
Onde 𝜃 é o ângulo formado pelos vetores e ‖𝒖‖ e ‖𝒗‖ são seus comprimentos. 
Essa expressão somente contém uma definição do comprimento de um vetor como a 
raiz quadrada do seu produto escalar, mas não fornece meios de se calcular o comprimento do 
vetor. 
 
𝒖 ⋅ 𝒖 = ‖𝒖‖‖𝒖‖ cos 0° = ‖𝒖‖2 
 
Entretanto, essa expressão permite o cálculo do ângulo 𝜃 entre os vetores: 
 
𝜃 = cos−1 (
𝒖 ⋅ 𝒗
‖𝒖‖‖𝒗‖
) 
 
Note que não é necessário mencionar nenhum sistema de coordenadas para se obter o 
valor do produto escalar. A formula acima é válida independente do sistema de coordenadas. 
Fisicamente, se 𝒖 fosse uma força, o produto escalar mediria o quanto da força 𝒖 
estaria sendo aplicada na direção de 𝒗. Isto só é válido, entretanto, se o vetor 𝒗 for unitário. 
Do contrário, a magnitude da projeção de 𝒖 em 𝒗 (“o quanto da força 𝒖 está aplicado na 
direção de 𝒗") deve ser obtida por 𝒖 ⋅ (𝒗 |𝒗|⁄ ), visto que 𝒗 |𝒗|⁄ representa o vetor unitário na 
direção de 𝒗. 
 
 
3.3.2 Definição algébrica 
 
Em um sistema de coordenadas ortonormal de 𝑛 dimensões, onde escrevemos os 
vetores 𝒖 e 𝒗 em termos de componentes como 𝒖 = (𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛) e 𝒗 = (𝑏1, 𝑏2, … , 𝑏𝑛) o 
produto escalar entre 𝒖 e 𝒗 é: 
 
𝒖 ⋅ 𝒗 = ∑𝑎𝑖𝑏𝑖
𝑛
𝑖=1
= 𝑎1𝑏1 + 𝑎2𝑏2 + ⋯+ 𝑎𝑛𝑏𝑛 
 
 Note que a interpretação do produto escalar como a projeção do vetor na direção de 
outro, neste caso, está longe de ser óbvia. No entanto a expressão acima nos fornece uma 
forma de obter o comprimento de um vetor qualquer em termos de suas componentes: 
12 
 
‖𝒖‖ = √𝒖 ⋅ 𝒖 = √𝑎1
2 + 𝑎2
2 + ⋯+ 𝑎𝑛2 
 
 
3.3.3 Propriedades 
 
O produto escalar de vetores tem as seguintes propriedades: 
 Comutativa: 𝒖 ⋅ 𝒗 = 𝒗 ⋅ 𝒖 
 Distributiva em relação à soma de vetores:𝒖 ⋅ (𝒗 + 𝒘) = 𝒖 ⋅ 𝒗 + 𝒖 ⋅ 𝒘 
 (𝑛1𝒖) ⋅ (𝑛2𝒗) = (𝑛1𝑛2) ⋅ (𝒖 ⋅ 𝒗) 
 
 
3.4 Produto vetorial 
 
Em matemática, o produto vetorial, é uma operação binária sobre vetores em um 
espaço vetorial. Seu resultado difere do produto escalar por ser também um vetor, ao invés de 
um escalar. Seu principal uso baseia-se no facto que o resultado de um produto vetorial é 
sempre perpendicular a ambos os vetores originais. 
 
 
3.4.1 Definição 
 
A notação do produto vetorial entre dois vetores 𝒖 e 𝒗 do espaço vetorial ℝ3 é 𝒖 × 𝒗 
(em manuscritos, alguns matemáticos escrevem 𝒖 ∧ 𝒗 para evitar a confusão com a letra 𝑥). 
Podemos defini-lo como 
 
𝒖 × 𝒗 = �̂�|𝒖||𝒗| sen 𝜃 
 
onde 𝜃 é a medida do ângulo entre 𝒖 e 𝒗 (0° ≤ 𝜃 ≤ 180°) no plano definido pelos dois 
vetores, e �̂� é o vetor unitário perpendicular 𝒖 tanto a quanto 𝒗. 
O problema com esta definição é que existem dois vetores unitários que são 
perpendiculares a 𝒖 e 𝒗 simultaneamente: se �̂� é perpendicular, então −�̂� também o é. 
O resultado correto depende da orientação do espaço vetorial, isto é da quiralidade do 
sistema de coordenadas (𝑖 , 𝑗 , �⃗� ). O produto vetorial 𝒖 × 𝒗 é definido de tal forma que (𝒖, 𝒗, 
𝒖 × 𝒗) se torna destro se (𝑖 , 𝑗 , �⃗� ) é destro ou canhoto se (𝑖 , 𝑗 , �⃗� ) é canhoto. 
Uma forma fácil de determinar o sentido do vetor resultante é a “regra da mão 
direita”. Se um sistema de coordenadas é destro, basta apontar o indicador na direção do 
primeiro operando e o dedo médio na direção do segundo operando. Desta forma, o vetor 
resultante é dado pela direção do polegar. 
13 
 
Figura 3. Regra da mão direita para produto vetorial. 
 
Fonte: http://orkut.google.com/c287325-t50ba8a71f6037c88.html 
 
Como o produto vetorial depende do sistema de coordenadas, seu resultado é 
referenciado como pseudovetor. Felizmente na natureza os produtos vetoriais aparecem aos 
pares, de maneira que a orientação do sistema de coordenadas é cancelado pelo segundo 
produto vetorial. 
 
 
3.4.2 Propriedades 
 
3.4.2.1 Significado geométrico 
 
O comprimento do produto vetorial, |𝒖 × 𝒗|, pode ser interpretado como a área do 
paralelogramo definido pelos vetores 𝒖 e 𝒗. Isto significa que o produto misto (ou triplo-
escalar) resulta no volume do paralelepípedo formado pelos vetores 𝒖, 𝒗 e 𝒘. 
 
 
3.4.2.2 Propriedades algébricas 
 
Produto vetorial é anticomutativo: 𝒖 × 𝒗 = −𝒗 × 𝒖 
Distributivo sobre a adição: 𝒖 × (𝒗 + 𝒘) = 𝒖 × 𝒗 + 𝒖 × 𝒘 
Multiplicação escalar: (𝑘𝒖) × 𝒗 = 𝒖 × (𝑘𝒗) = 𝑘(𝒖 × 𝒗) 
Não é associativo, mas satisfaz a identidade de Jacobi: 
 
𝒖 × (𝒗 × 𝒘) + 𝒗 × (𝒘 × 𝒖) + 𝒘 × (𝒖 × 𝒗) = 0 
 
A distributividade, linearidade e identidade de Jacobi mostram que ℝ3 junto com a 
adição de vetores e o produto vetorial formam uma álgebra de Lie. 
Além disso, dois vetores não nulos 𝒖 e 𝒗 são paralelos se e somente se 𝒖 × 𝒗 = 0. 
𝒖 × 𝒗 
𝒖 
𝒗 
14 
 
3.4.2.3 Notação matricial 
 
Os vetores unitários 𝑖 , 𝑗 e �⃗� para uma dado sistema ortogonal de coordenadas, 
satisfazem as seguintes igualdades: 
 
𝑖 × 𝑗 = �⃗� 𝑗 × �⃗� = 𝑖 �⃗� × 𝑖 = 𝑗 
𝑗 × 𝑖 = −�⃗� �⃗� × 𝑗 = −𝑖 𝑖 × �⃗� = −𝑗 
 
Com estas regras, as coordenadas do resultado do produto vetorial de dois vetores 
podem ser calculadas facilmente, sem a necessidade de se determinar qualquer ângulo. Seja: 
 
𝒖 = 𝑎1𝑖 + 𝑎2𝑗 + 𝑎3�⃗� = [𝑎1, 𝑎2, 𝑎3] e 
𝒗 = 𝑏1𝑖 + 𝑏2𝑗 + 𝑏3�⃗� = [𝑏1, 𝑏2, 𝑏3]. 
 
Então 
 
𝒖 × 𝒗 = [𝑎2𝑏3 − 𝑎3𝑏2, 𝑎3𝑏1 − 𝑎1𝑏3, 𝑎1𝑏2 − 𝑎2𝑏1]. 
 
A notação acima também pode ser escrita formalmente como o determinante de uma 
matriz: 
 
𝒖 × 𝒗 = |
𝑖 𝑗 �⃗� 
𝑎1 𝑎2 𝑎3
𝑏1 𝑏2 𝑏3
| 
 
O determinante de três vetores pode ser recuperado como: 
 
det(𝒖, 𝒗,𝒘) = 𝒖 ⋅ (𝒗 × 𝒘). 
 
 
3.4.2.4 Aplicações 
 
O produto vetorial ocorre na fórmula do operador vetorial rotacional. É também 
utilizado para descrever a Força de Lorentz experimentada por uma carga elétrica movendo-
se em um campo magnético. As definições de torque e momento angular também envolvem 
produto vetorial. 
O produto vetorial pode também ser utilizado para calcular a normal de um triângulo 
ou outro polígono, o que é importante no ramo da computação gráfica e do desenvolvimento 
de jogos eletrônicos, para permitir efeitos que simulam iluminação e assim obter gráficos 
mais realistas. 
15 
 
4 CÁLCULO COM FUNÇÕES VETORIAIS 
 
4.1 Limites 
 
A noção de limite para uma função 𝐹(𝑡) = (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡), 𝑧(𝑡)) é semelhante à de 
funções de uma variável real simples. Por isso, vamos primeiro nos lembrar da noção 
aprendida de limites para uma função 𝑓 ∶ ℝ ⟶ ℝ. 
Um limite lim𝑥⟶𝑎 𝑓(𝑥) = 𝐿 significa que, conforme a variável 𝑥 se aproxima de 𝑎, 
não importa se pela esquerda ou pela direita, a função 𝑓(𝑥) se aproxima cada vez mais de 𝐿. 
Para funções vetoriais, a regra do limite é bastante simples: como uma função vetorial 
 
𝐹(𝑡) = (𝑥1(𝑡), 𝑥2(𝑡), … , 𝑥𝑛(𝑡)) 
 
pode ser vista como uma 𝑛-upla ordenada de funções escalares, o limite de uma função 
vetorial quando 𝑡 tende a um valor 𝑡 = 𝑡0 será o limite das funções que a compõe, isto é, 
lim
𝑡⟶𝑡0
𝐹(𝑡) = ( lim
𝑡⟶𝑡0
𝑥1(𝑡) , lim
𝑡⟶𝑡0
𝑥2(𝑡) , … , lim
𝑡⟶𝑡0
𝑥𝑛(𝑡)) 
 
 
4.2 Derivadas 
 
Lembremo-nos da definição de derivada para funções de uma varável real a uma 
variável real, 𝑓 ∶ ℝ ⟶ ℝ, como sendo o limite da taxa de variação de uma função quando a 
variação da variável independente tende a zero: 
 
𝑓′(𝑥) =
𝑑𝑓
𝑑𝑥
= lim
∆𝑥⟶0
∆𝑓
∆𝑥
= lim
∆𝑥⟶0
𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)
∆𝑥
. 
 
Graficamente, ela corresponde ao coeficiente angular da reta que passa pelos pontos 
(𝑥, 𝑓(𝑥)) e (𝑥 + ∆𝑥, 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) ) quando ∆𝑥 tende a zero, como é mostrado nas figuras a 
seguir. 
 
Figura 4. Representação geométrica da função derivada. 
 
Fonte: https://insperblog.files.wordpress.com/2010/04/cap-1-6-calculo-com-funcoes-vetoriais.pdf 
16 
 
Existem diversas fórmulas e técnicas que tornam possível derivar funções sem a 
necessidade de utilizar a definição de derivada. Veremos agora como adaptar essa definição a 
funções vetoriais. Começamos escrevendo a variação de uma função vetorial com relação ao 
seu parâmetro 𝑡 quando este varia em ∆𝑡 = ℎ. 
 
∆𝐹 = 𝐹(𝑡 + ℎ) − 𝐹(𝑡) = (𝑥(𝑡 + ℎ) + 𝑦(𝑡 + ℎ)) − (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)) = (𝑥(𝑡 + ℎ) − 𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡 + ℎ) − 𝑦(𝑡) ). 
 
A taxa de derivação fica 
 
∆𝐹
∆𝑡
=
(𝑥(𝑡 + ℎ) − 𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡 + ℎ) − 𝑦(𝑡) )
ℎ
. 
 
Pela definição de derivada como o limite de ℎ ⟶ 0, ficamos, então, com 
 
𝐹′(𝑡) =
𝑑𝐹
𝑑𝑡
= lim
ℎ⟶0
∆𝐹
∆𝑡
= lim
ℎ⟶0
(𝑥(𝑡 + ℎ) − 𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡 + ℎ) − 𝑦(𝑡) )
ℎ
= lim
ℎ⟶0
(
𝑥(𝑡 + ℎ) − 𝑥(𝑡)
ℎ
,
𝑦(𝑡 + ℎ) − 𝑦(𝑡)
ℎ
) 
 
De acordo com a definição de limites de funções e com a definição de derivada de 
uma função escalar, ficamos com 
 
𝐹′(𝑡) = ( lim
ℎ⟶0
𝑥(𝑡 + ℎ) − 𝑥(𝑡)
ℎ
, lim
ℎ⟶0
𝑦(𝑡 + ℎ) − 𝑦(𝑡)
ℎ
) = (𝑥′(𝑡), 𝑦′(𝑡)). 
 
Portanto, a derivada de uma função vetorial 𝐹(𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)) é simplesmente o par 
ordenado formado pelas derivadas de suas funções componentes. A generalização para uma 
função de ℝ em ℝ𝑛. 
 
𝐹(𝑡) = (𝑥1(𝑡), 𝑥2(𝑡), … , 𝑥𝑛(𝑡)), 
 
é bastante imediata 
 
𝐹′(𝑡) = (𝑥1
′(𝑡), 𝑥2
′ (𝑡), … , 𝑥𝑛
′ (𝑡)). 
 
 
4.2.1 Significado geométrico da derivada 
 
Consideremos a primeira figura abaixo, que ilustra a imagem de uma função 𝐹(𝑡) =
(𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡), 𝑧(𝑡)). Nessa figura estão destacados dois pontos, 𝐹(𝑡0) e 𝐹(𝑡0+ ℎ), 
representados em forma vetorial. 
17 
 
Figura 5. Demonstração geométrica da diferença entre dois vetores em ℝ3. 
 
Fonte: https://insperblog.files.wordpress.com/2010/04/cap-1-6-calculo-com-funcoes-vetoriais.pdf 
 
A diferença entre os dois vetores é dada por ∆𝐹 = 𝐹(𝑡0 + ℎ) − 𝐹(𝑡0), de modo que 
𝐹(𝑡0) + ∆𝐹 = 𝐹(𝑡0 + ℎ). Como 𝐹(𝑡0 + ℎ) é a soma dos vetores 𝐹(𝑡0) e ∆𝐹, podemos 
representar o vetor ∆𝐹 como sendo o vetor que vai de 𝐹(𝑡0) a 𝐹(𝑡0 + ℎ), como ilustrado na 
segunda figura acima. 
Como a derivada é o limite de uma taxa de variação ∆𝐹 ℎ⁄ , ela ter a mesma direção de 
∆𝐹 quando ℎ tende a zero. 
 
 
4.3 Funções e curvas vetoriais 
 
4.3.1 Definição 
 
Sejam a variável escalar 𝑡 e a função 𝑓(𝑡). Dizemos que a mesma é uma função 
vetorial se as operações representadas por esta submetem a variável escalar a procedimentos 
que conduzem à reprodução de um vetor. 
De fato, se 𝑓(𝑡) representa um vetor, podemos decompô-la em 
𝑓(𝑡) = 〈𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡), 𝑧(𝑡)〉 quando a mesma representa um vetor no espaço. Da mesma forma, 
podemos dizer que 𝑓(𝑡) = 𝑥(𝑡)𝑖 + 𝑦(𝑡)𝑗 + 𝑧(𝑡)�⃗� . 
Em outras palavras, uma função vetorial é representada pela forma paramétrica, o que 
nos habilita a fazer todas as análises que já conhecemos sobre as mesmas do mesmo modo 
que fizemos para as formas paramétricas. O princípio da interdependência entre as funções 
membro deve ser considerado todas as vezes que a função precise ser avaliada como existente 
18 
 
ou inexistente em um domínio. Todas as funções membro deverão existir no domínio para 
que a função vetorial exista. 
 
 
4.4 Vetores tangentes 
 
4.4.1 Definição 1 
 
Um vetor tangente 𝒗𝑝 de ℝ
3 consiste de dois pontos de ℝ3: a parte vetorial 𝒗 e o 
ponto de aplicação 𝑝. 𝒗𝑝 é sempre representado pela flexa do ponto 𝑝 ao ponto 𝑝 + 𝒗. É 
importante ressaltar que dois vetores tangentes, 𝒗𝑝 e 𝒘𝑝, são iguais, 𝒗𝑝 = 𝒘𝑝 se e só se 
𝒗 = 𝒘 e 𝑝 = 𝑞; ou seja, além da igualdade das partes vetoriais, requer-se a igualdade dos 
pontos de aplicação. Vetores com a mesma parte vetorial e pontos de aplicação diferentes são 
ditos paralelos. Esta conceituação de vetores tangentes é comum na física, onde o ponto de 
aplicação de uma força é essencial. 
 
 
4.4.2 Definição 2 
 
Seja 𝑝 um ponto de ℝ3. O conjunto 𝑇𝑝(ℝ
3) de todos os vetores que têm 𝑝 como ponto 
de aplicação é chamado de espaço tangente a ℝ3 em 𝑝. 
 
 
4.4.3 Definição 3 
 
Um campo vetorial 𝑉 em ℝ3 é uma função que associa a cada ponto 𝑝 de ℝ3 um 
vetor tangente 𝑉(𝑝) a ℝ3, em 𝑝. 
Existe uma álgebra natural para campos vetoriais: 
(𝑉 + 𝑊)(𝑝) = 𝑉(𝑝) + 𝑊(𝑝) 
(𝑓𝑉)(𝑝) = 𝐹(𝑝)𝑉(𝑝) 
 
onde 𝑓 ∶ ℝ3 ⟶ ℝ 
 
 
4.4.4 Definição 4 
 
Sejam 𝑈1, 𝑈2 e 𝑈3 campos vetoriais em ℝ
3 tais que 
 
19 
 
𝑈1(𝑝) = (1,0,0)𝑝 
𝑈2(𝑝) = (0,1,0)𝑝 
𝑈3(𝑝) = (0,0,1)𝑝 
 
para todo 𝑝 ∈ ℝ3. Chamamos 𝑈1, 𝑈2 e 𝑈3 de referencial natural de ℝ
3. 𝑈𝑖(𝑖 = 1, 2, 3) é um 
conjunto de vetores unitários na direção 𝑥𝑖. 
 
 
4.4.5 Lema 
 
Se 𝑉 é um campo vetorial em ℝ3, existem três (e só três) funções reais 𝑣1, 𝑣2 e 𝑣3 tais 
que 
 
𝑉 = 𝑣1𝑈1 + 𝑣2𝑈2 + 𝑣3𝑈3 
 
As funções 𝑣1, 𝑣2 e 𝑣3 são denominadas funções coordenadas euclidianas de 𝑉. 
 
 
4.4.6 Vetor tangente unitário 
 
Seja 𝐶 uma curva suave dada pela função vetorial 𝑟(𝑡), então 𝑟′(𝑡) é contínua e 
𝑟′(𝑡) ≠ 0. Além disso, o vetor 𝑟′(𝑡) é tangente a curva 𝐶, e aponta na direção do parâmetro 
crescente. O vetor tangente unitário (ou versor tangente) é dado por 
 
𝑇(𝑡) =
𝑟′(𝑡)
‖𝑟′(𝑡)‖
 
 
que indica da direção na curva 𝐶. 
Observação: Se a curva 𝐶 é representada pela função vetorial 𝑟(𝑠), onde 𝑠 é o 
parâmetro comprimento de arco, então ‖𝑟′(𝑠)‖ = 1. Neste caso, o vetor tangente unitário é 
dado por 
 
𝑇(𝑠) = 𝑟′(𝑠) 
 
Proposição. Se 𝑟(𝑡) é uma função vetorial com norma constante, então 𝑟(𝑡) e 𝑟′(𝑡) 
são ortogonais. 
20 
 
4.5 Vetor unitário 
 
Uma vez que o vetor 𝑇(𝑡) tem norma constante 1, podemos admitir que a derivada do 
mesmo, normal ao ponto, pois ́e perpendicular a sua tangente. Devemos, por outro lado, nos 
ater ao fato que o vetor resultante da derivação do vetor tangente unitário não é, 
necessariamente, sempre unitário; devemos portanto, estabelecer o vetor normal unitário (ou 
vetor normal principal unitário ou versor normal) como 
 
𝑁(𝑡) =
𝑇′(𝑡)
‖𝑇′(𝑡)‖
 
 
Observação: O vetor normal unitário aponta para o lado côncavo da curva 𝐶. 
No caso 𝑟(𝑠) em que é parametrizada pelo comprimento de arco, o procedimento para 
calcular o vetor unitário simplifica para 
 
𝑁(𝑠) =
𝑟′′(𝑠)
‖𝑟′′(𝑠)‖
 
 
 
4.5.1 Vetor binormal unitário 
 
A tangente e a normal de um ponto estabelecem um plano sob o qual o ponto está 
inserido, este mesmo plana também possui uma normal. Uma vez que já estabelecemos uma 
normal ao ponto e que todos os vetores partindo do ponto, que são perpendiculares a sua 
tangente são normais do ponto, estabelecemos pois, a sua binormal, calculando desta forma: 
 
𝐵(𝑡) = 𝑇(𝑡) × 𝑁(𝑡) 
 
Diferente do caso da normal, o vetor binormal é unitário. De fato, podemos verificar 
pela fórmula do produto vetorial com referência ao ângulo. O ângulo entre os vetores 𝑇 e 𝑁 
são retos, o que nos informa que: 
 
‖𝐵(𝑡)‖ = ‖𝑇(𝑡) × 𝑁(𝑡)‖ = ‖𝑇(𝑡)‖‖𝑁(𝑡)‖ sen(𝜋 2⁄ ) = 1 ⋅ 1 ⋅ 1 = 1 
 
Dessa forma {𝑇(𝑡), 𝑁(𝑡), 𝐵(𝑡)} e um conjunto de três vetores unitários mutuamente 
ortogonais. Pode ser mostrado que cada um desses vetores estão relacionado aos outros dois 
pela regra da mão direita: 
 
𝐵 = 𝑇 × 𝑁, 𝑁 = 𝐵 × 𝑇, 𝑇 = 𝑁 × 𝐵 
21 
 
Além disso, estes vetores determinam um sistema de coordenadas chamado triedro 
TNB ou triedro de Frenet. Tipicamente, o sistema de coordenadas 𝑥𝑦𝑧 determinado pelos 
vetores unitários 𝑖 , 𝑗 e �⃗� permanece fixo, enquanto que o triedro TNB varia à medida que sua 
origem move-se ao longo da curva 𝐶. 
 
Figura 6. Triedro de Frenet (ou TNB). 
 
Fonte: http://www.dcsmsun.altervista.org/2)%20Esercizi.car/Esercizi_di_DCSM_con_MAPLE/Triedro%20di%20Frenet/ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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REFERÊNCIAS 
 
[1] STEWART, J. Cálculo: Volume I, 6ª edição. São Paulo: Cengage Learning, 
2009. 
 
[2] GUIDORIZZI, H. L. Um Curso de Cálculo: Volume I, 5ª edição. Editora LTC, 
2007. 
 
[3] CALLIOLI, Carlos A. e outros. Álgebra linear e aplicações. 6 ed. rev. São 
Paulo: Atual, 1993. 
 
[4] BOULOS, Paulo. Introdução ao Cálculo. São Paulo: Edgard Blücher Ltda, 1974. 
 
[5] ANTON, H. e RORRES, C. Álgebra Linear com Aplicações. Bookman, São 
Paulo, 2001. 
 
[6] LIPSCHUTZ, Seymour; LIPSON, M. L.. Teoria e Problemas de Álgebra 
Linear. 3. ed. Porto Alegre: Bookman, 2004. (Coleção Schaum). 
 
[7] Retas, planos, limites, derivadas, produto escalar e produto vetorial. Disponível 
em: <https://pt.wikipedia.org/wiki/Wikip%C3%A9dia:P%C3%A1gina_principal>. Acessado 
em: 10 de outubro de 2016.