PROVA DINÂMICA MÁQUINAS RESOLVIDA

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ANDRADINA 
2018 
 
 
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 Engenharia Mecânica – 7º Período
 
Docente: Prof. MSc Carlos Eduardo Silva Britto 
Disciplina: Dinâmica das Máquinas 
Data: 27/04/2018 
 
 
QUESTÃO 1. No instante em que 𝜃 = 30°, a manivela 𝐴𝐵 gira com uma velocidade 
angular e aceleração angular de 𝜔 = 10 rad s⁄ e 𝛼 = 2 rad s2⁄ , respectivamente. Suponha 
que 𝑎 = 0,3 m, 𝑏 = 0,5 m, do bloco 𝐶 = 0,05 m e a distância entre 𝐴 e 𝐶 é igual a 0,7368 m. 
Determine [Valor total: 3,0 pontos]: 
a) A velocidade angular da barra de conexão 𝐵𝐶 nesse instante [Valor: 1,5 pontos]. 
b) Calcule seu grau de liberdade [Valor: 0,5 pontos]. 
c) Identifique o ângulo de transmissão e calcule seu valor no instante abaixo [Valor 1,0 
pontos]. 
 
Solução. 
 
a) Barra 𝐴𝐵 (rotação em torno de um eixo fixo): 
 
�⃗�𝐵 = �⃗⃗⃗�𝐴𝐵 ⋅ 𝑟𝐵 
 
�⃗�𝐵 = −𝜔𝐴𝐵�̂� ⋅ [𝑎 cos(𝜃) 𝑖̂ + 𝑎 sen(𝜃) 𝑗̂] 
 
�⃗�𝐵 = −10�̂� ⋅ [0,3 cos(30°) 𝑖̂ + 0,3 sen(30°) 𝑗̂] 
 
�⃗�𝐵 = (−2,6𝑗̂ + 1,5𝑖)̂ m⁄s ↘ 
 
Barra 𝐵𝐶: seja 𝛽 o ângulo �̂� no triângulo 𝐴𝐵𝐶, pela Lei dos Senos 𝛽 é igual a 
 
𝑏
sen(𝜃)
=
𝑎
sen(𝛽)
⟹ sen(𝛽) =
𝑎 ⋅ sen(𝜃)
𝑏
=
0,3 ⋅ sen(30°)
0,5
= 0,3 
 
𝛽 = 17,46° 
 
Logo 
 
�⃗�𝐶 = �⃗�𝐵 + �⃗⃗⃗�𝐵𝐶 ⋅ 𝑟𝐶 𝐵⁄ 
 
𝑣𝐶 �̂� = (−2,6�̂� + 1,5𝑖)̂ + 𝜔𝐵𝐶�̂� ⋅ [𝑏 cos(𝛽) 𝑖̂ + 𝑏 sen(𝛽) 𝑗̂] 
 
𝑣𝐶𝑖̂ = (−2,6𝑗̂ + 1,5𝑖)̂ − 𝜔𝐵𝐶�̂� ⋅ [0,5 cos(17,46°) 𝑖̂ + 0,5 sen(17,46°) 𝑗̂] 
 
𝑣𝐶𝑖̂ = −2,6𝑗̂ + 1,5𝑖̂ + 0,477𝜔𝐵𝐶𝑗̂ + 0,15𝜔𝐵𝐶 �̂� 
 
(𝑣𝐶 − 1,5 − 0,15𝜔𝐵𝐶)𝑖̂ − (0,477𝜔𝐵𝐶 − 2,6)𝑗̂ = 0 
 
𝜔𝐵𝐶 =
2,6
0,477
⟹ 𝝎𝑩𝑪 = 𝟓, 𝟒𝟓 rad s⁄ ↺ 
 
Por outro lado, tem-se 𝑣𝐶 = 2,3175 m s⁄ →. 
 
b) Seja o número de elos 𝐿 = 4, número de juntas 𝐽 = 4 e aplicando o critério de 
Kutzbac, temos: 
𝐺𝐷𝐿(𝑀) = 3 ⋅ (𝐿 − 1) − 2𝐽 = 3 ⋅ (4 − 1) − 2 ⋅ 4 
 
𝑮𝑫𝑳(𝑴) = 𝟏 
 
c) Sejam 𝛾 (ângulo de transmissão), 𝜃 e 𝛽 os ângulos internos do triângulo 𝐴𝐵𝐶 e o 
somatório destes ângulos é igual a 180°, temos que 𝛾 é igual a 
 
𝛾 = 180° − (𝜃 + 𝛽) = 180° − (30° + 17,46°) 
 
𝜸 = 𝟏𝟑𝟐, 𝟓𝟒° 
 
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 Engenharia Mecânica – 7º Período
 
Docente: Prof. MSc Carlos Eduardo Silva Britto 
Disciplina: Dinâmica das Máquinas 
Data: 27/04/2018 
 
 
QUESTÃO 2. De acordo com os mecanismos abaixo, determine [Valor total: 3,0 pontos]. 
a) O grau de liberdade dos três mecanismos [0,5 pontos/ cada]. 
b) Classifique os mecanismos (quando for possível) na condição de Grashof [0,5 
pontos/ cada]. Obs.: quando não for possível (se houver casos), justifique. 
 
(I) (II) (III) 
 
 
Solução. 
a) Graus de liberdade 
 
(i) mec. de quatro barras 
𝐿 = 4 e 𝐽 = 4 
(ii) mec. de quatro barras 
𝐿 = 4 e 𝐽 = 4 
(iii) compressor axial 
𝐿 = 8 e 𝐽 = 10 
𝐺𝐷𝐿(𝑀) = 3 ⋅ (𝐿 − 1) − 2𝐽 
 
𝐺𝐷𝐿(𝑀) = 3 ⋅ (4 − 1) − 2 ⋅ 4 
𝑮𝑫𝑳(𝑴) = 𝟏 
𝐺𝐷𝐿(𝑀) = 3 ⋅ (𝐿 − 1) − 2𝐽 
 
𝐺𝐷𝐿(𝑀) = 3 ⋅ (4 − 1) − 2 ⋅ 4 
𝑮𝑫𝑳(𝑴) = 𝟏 
𝐺𝐷𝐿(𝑀) = 3 ⋅ (𝐿 − 1) − 2𝐽 
 
𝐺𝐷𝐿(𝑀) = 3 ⋅ (8 − 1) − 2 ⋅ 10 
𝑮𝑫𝑳(𝑴) = 𝟏 
 
b) Classificação 
 
(i) mec. de quatro barras 
𝐿1 = 174, 𝐿2 = 116 
𝐿3 = 108, 𝐿2 = 110 
(ii) mec. de quatro barras 
𝐿1 = 40, 𝐿2 = 162 
𝐿3 = 122, 𝐿2 = 96 
(iii) compressor axial 
 
Não é mecanismo de Grashof, 
isto é, não é mecanismo de 
quatro barras. 𝐿1 + 𝐿2 = 𝐿3 + 𝐿4 
174 + 116 = 108 + 110 
𝟐𝟗𝟎 > 𝟐𝟏𝟖 
 
Mecanismo de não-Grashof 
classe II: barra realiza uma 
rotação completa. 
𝐿1 + 𝐿2 = 𝐿3 + 𝐿4 
40 + 162 = 122 + 96 
𝟐𝟎𝟐 < 𝟐𝟏𝟖 
 
Mecanismo de Grashof classe 
I: nenhuma barra é capaz de 
girar totalmente em torno de 
um pino ou articulação ou 
junta. 
 
 
QUESTÃO 3. A barra 𝐴𝐵 de ligação mostrada na figura abaixo tem velocidade angular no 
sentido horário de 50 rad s⁄ quando 𝜃 = 60°. Determine as velocidades angulares do 
membro BC e da roda neste instante [Valor: 2,0 pontos]. 
 
 
 
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 Engenharia Mecânica – 7º Período
 
Docente: Prof. MSc Carlos Eduardo Silva Britto 
Disciplina: Dinâmica das Máquinas 
Data: 27/04/2018 
 
 
Solução. 
 
Barra 𝐴𝐵 (rotação em torno de um eixo fixo): 
 
�⃗�𝐵 = �⃗⃗⃗�𝐴𝐵 ⋅ 𝑟𝐵 
 
�⃗�𝐵 = −𝜔𝐴𝐵�̂� ⋅ [𝐴𝐵 cos(𝜃) 𝑖̂ + 𝐴𝐵 sen(𝜃) 𝑗̂] 
 
�⃗�𝐵 = −50�̂� ⋅ [0,2 cos(60°) 𝑖̂ + 0,2 sen(60°) 𝑗̂] 
 
�⃗�𝐵 = (−5𝑗̂ + 8,66𝑖)̂ m⁄s ↘ 
 
i) Barra 𝐵𝐶 (movimento plano geral): 
 
�⃗�𝐶 = �⃗�𝐵 + �⃗⃗⃗�𝐵𝐶 ⋅ 𝑟𝐶 𝐵⁄ 
 
𝑣𝐶 �̂� = (−5𝑗̂ + 8,66𝑖)̂ + 𝜔𝐵𝐶�̂� ⋅ 𝐵𝐶𝑖̂ 
 
𝑣𝐶𝑖̂ = −5𝑗̂ + 8,66𝑖̂ + 𝜔𝐵𝐶�̂� ⋅ 0,2𝑖 ̂
 
𝑣𝐶 �̂� = −5𝑗̂ + 8,66𝑖̂ + 0,2𝜔𝐵𝐶𝑗 ̂
 
(𝑣𝐶 − 8,66)�̂� + (−0,2𝜔𝐵𝐶 + 5)𝑗̂ = 0 
 
𝜔𝐵𝐶 =
5
0,2
⟹ 𝝎𝑩𝑪 = 𝟐𝟓 rad s⁄ ↺ 
 
Por ouro lado, tem-se 𝑣𝐶 = 8,66 m s⁄ →. 
 
ii) Roda (rotação em torno de um eixo fixo): 
 
�⃗�𝐶 = �⃗⃗⃗�𝐷 ⋅ 𝑟𝐶 
 
𝑣𝐶𝑖̂ = 𝜔𝐷�̂� ⋅ 𝐶𝐷𝑗 ̂
 
𝑣𝐶𝑖̂ = 𝜔𝐷�̂� ⋅ (−0,1�̂�) 
 
𝑣𝐶𝑖̂ = 0,1𝜔𝐷𝑖̂ ⟹ 𝑣𝐶 = 0,1𝜔𝐷 
 
𝜔𝐷 =
𝑣𝐶
0,1
=
8,66
0,1
 
 
𝝎𝑫 = 𝟖𝟔, 𝟔 rad s⁄ ↺ 
 
 
 
 
𝝎𝑫 
𝝎𝑩𝑪 
𝑟𝐶 𝐵⁄ 𝑟𝐶 
𝑟𝐵 
𝜔𝐴𝐵 = 50 rad s⁄ 
𝜃 = 60° 
0,2 m 0,2 m 
0,1 
�⃗�𝐶 
�⃗�𝐵 
𝑨 
𝑩 
𝑪 
𝑫