Ciclo trigonométrico

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Ciclo trigonométrico 
Sejam a e b dois arcos quaisquer. Vamos determinar a fórmula para o cálculo do seno da soma e da 
diferença entre a e b. 
 
O seno da soma de dois arcos, a e b, é dado pela fórmula: 
 
sen (a + b) = sen a∙cosb + sen b∙cosa 
 
O seno da diferença entre dois arcos, a e b, é dado pela fórmula: 
 
sen (a - b) = sen a∙cosb - sen b∙cosa 
 
Exemplo 1. Calcule o valor de sen 105o. 
 
Solução: Podemos escrever 105o como sendo a soma de 60o com 45o. Dessa forma teremos: 
 
Exemplo 2. Qual o valor de sen 15o? 
 
Solução: temos que 
 
Exemplo 3. Simplifique a expressão 
 
Solução: Vamos desenvolver o numerador da expressão. 
 
Sabemos que: 
 
Assim, 
 
Logo, 
 
Dessa forma, a expressão inicial se reduziria a: 
 
 
 
 
A trigonometria surgiu diante da necessidade do homem de calcular medidas com base em ângulos. 
Os estudos relacionados aos triângulos retângulos são aplicados em diversas situações cotidianas. A 
trigonometria surgiu em 300 a.C e se constituiu numa ferramenta muito importante para a evolução da 
Matemática no que diz respeito ao cálculo de medidas. 
 
O triângulo retângulo possui um ângulo reto (90º) formado pela intersecção dos catetos, o lado oposto 
ao ângulo reto é chamado de hipotenusa. 
 
Relações trigonométricas no triângulo retângulo 
 
Dado o triângulo retângulo ABC, temos as seguintes relações: 
 
Seno: cateto oposto / hipotenusa 
 
 
Cosseno: cateto adjacente / hipotenusa 
 
 
 
 
Tangente: cateto oposto / cateto adjacente 
 
 
 
Tabela de Razões Trigonométricas 
 
Os cálculos envolvendo as relações trigonométricas, ao serem efetuados, necessitam de alguns 
valores de ângulos, que estão presentes na seguinte tabela de razões trigonométricas: 
 
 
 
 
 
A trigonometria é uma ferramenta matemática bastante utilizada no cálculo de distâncias envolvendo 
triângulos retângulos. Na antiguidade, matemáticos utilizavam o conhecimento adquirido em 
trigonometria para realizar cálculos ligados à astronomia, determinando a distância, quase que 
precisa, entre a Terra e os demais astros do sistema solar. Atualmente a trigonometria também é 
bastante utilizada e para compreender o seu uso é necessário assimilar alguns conceitos. 
 
Observe a figura abaixo que representa um triângulo retângulo. 
 
Note que o maior lado é denominado de hipotenusa e os outros dois lados de catetos. A hipotenusa é 
o lado que fica oposto ao ângulo reto (ângulo de 90o). Além do ângulo reto, há dois ângulos agudos, α 
e β. A trigonometria estabelece relações entre os ângulos agudos do triângulo retângulo e as medidas 
de seus lados. Vejamos quais são essas relações. 
 
O seno de um ângulo no triângulo retângulo é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa. 
 
O cosseno de um ângulo no triângulo retângulo é a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa. 
 
A tangente de um ângulo no triângulo retângulo é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente. 
 
Definidas as razões trigonométricas, obtemos as seguintes igualdades para o triângulo retângulo 
abaixo: 
 
 
Exemplo 1. Determine os valores de seno, cosseno e tangente dos ângulos agudos do triângulo 
abaixo. 
 
Solução: Temos que 
 
Exemplo 2. Sabendo que sen α =1/2 , determine o valor de x no triângulo retângulo abaixo: 
 
Solução: A hipotenusa do triângulo é x e o lado com medida conhecida é o cateto oposto ao ângulo α. 
Assim, temos que: 
 
 
 
 
Relações no triângulo retângulo 
O surgimento da trigonometria está diretamente ligado aos povos egípcios e babilônicos. Eles 
utilizavam as razões entre os lados de um triângulo na resolução de problemas cotidianos. Mas foi na 
Grécia que a trigonometria obteve ascensão. Hiparco é o possível mentor desta ciência, pois é 
atribuído a ele o estabelecimento das bases trigonométricas. 
 
A necessidade de medir ângulos e distância inacessíveis nos problemas relacionados à astronomia 
contribuiu para o uso da trigonometria como ferramenta auxiliar. Os /hindus e os árabes também 
tiveram participação incisiva no seu desenvolvimento. Mas até então a trigonometria era uma parte da 
astronomia. Foi na Europa, por volta do século XV, que a trigonometria foi separada da astronomia, 
surgindo inúmeras aplicações em diversas áreas do conhecimento. O termo trigonometria é de 
origem grega e está associado ao triângulo e suas medidas. 
 
Relações trigonométricas no triângulo retângulo 
 
As relações existentes no triângulo retângulo são seno, cosseno e tangente. Entendemos por seno a 
relação existente entre o cateto oposto e a hipotenusa; por cosseno, a relação existente entre o 
cateto adjacente e a hipotenusa; e tangente, a relação entre o cateto oposto e o cateto adjacente. 
 
senα = c/a 
cosα = b/a 
tgα = c/b 
 
senβ = b/a 
cosβ = c/a 
tgβ = b/c 
 
Tangente da soma e tangente da 
diferença de dois arcos 
 
 
Tangente da soma 
Considere dois arcos a e b. Vamos determinar a fórmula para o cálculo da tangente da soma e da 
diferença entre a e b. 
Devemos considerar que: 
 
e 
 
A tangente da soma de dois arcos será dada por: 
 
Sendo, 
 
A tangente da diferença entre dois arcos será dada por: 
 
Sendo, 
 
Exemplo 1. Calcule o valor de tg 15o. 
 
Solução: temos que 
 
Exemplo 2. Qual o valor de tg 75o? 
 
Solução: temos que 
 
 
Seno, cosseno e tangente do arco 
duplo. 
 
 
Identidades trigonométricas 
No estudo da trigonometria abordamos as relações existentes entre as medidas dos lados e as 
medidas dos ângulos de um triângulo retângulo. Esse ramo da matemática também estuda as 
funções trigonométricas e seus comportamentos. Bastante utilizada em nosso dia a dia, a 
trigonometria sempre fascinou matemáticos de todas as épocas que deixaram um legado de 
conhecimento sobre as propriedades dos triângulos retângulos. 
 
Dadas as funções circulares de um arco x, é possível, mediante aplicação das fórmulas deduzidas, 
encontrarmos as funções circulares dos arcos 2x, 3x, ..., chamados, respectivamente, de arco duplo, 
arco triplo... 
 
Vejamos as expressões que determinam o seno, o cosseno e a tangente do arco duplo. Para isso, 
faremos 2x = x + x. 
 
1. Seno do arco duplo. 
Temos que: 
 
sen2x = sen (x + x) 
 
Utilizando a fórmula do seno da soma de dois arcos, obtemos: 
 
sen 2x = sen (x + x) = senx∙cosx + senx∙cosx 
 
Então: 
 
sen 2x = 2senx∙cosx 
 
2. Cosseno do arco duplo 
 
Também utilizando a fórmula do cosseno da soma de dois arcos, obtemos: 
 
cos2x = cos(x + x) = cosx∙cosx - senx∙senx 
 
Ou 
 
cos2x = cos2 x - sen2 x 
 
3. Tangente do arco duplo 
 
Temos que: 
 
Essas fórmulas são úteis para a simplificação de expressões envolvendo relações trigonométricas. 
Vejamos alguns exemplos para melhor compreensão. 
Exemplo. Sabendo que sen x = 12/13 e cos x = 5/13, determine o valor de sen 2x e cos 2x. 
 
Solução: Primeiro vamos determinar o valor de sen 2x. Como conhecemos os valores de sen x e cos 
x, basta aplicar a fórmula do arco duplo. Assim, temos que: 
 
 
 
 
Agora, vamos determinar o valor de cos 2x.··. 
 
 
 
Seno através da semelhança de 
triângulos 
 
 
Semelhança de triângulos 
Nos primeiros estudos da trigonometria, aprendemos os elementos que compõem um triângulo 
retângulo. Entretanto, aprendemos de forma simples, sem ter grande compreensão do que de fato 
ocorre nessas relações trigonométricas tão importantes. 
Façamos uma revisão quanto aos elementos de um triângulo retângulo. 
 
 
Veja que: 
• a consiste na medida da hipotenusa (lado oposto ao ângulo reto); 
• b e c são as medidas dos catetos; 
• Os ângulos dos vértices C e B são ângulos agudos; 
• O segmento AC é o cateto oposto ao ângulo do vértice B, que por sua vez é o cateto adjacenteao 
ângulo do vértice C; 
• O segmento AB é o cateto oposto ao ângulo do vértice C, que por sua vez é adjacente ao ângulo do 
vértice B. 
Relembrando esses elementos, façamos uma construção de triângulos semelhantes para 
analisarmos as proporcionalidades dessa semelhança. 
 
 
 
Você consegue identificar três triângulos semelhantes? Veja que na imagem acima temos três 
triângulos retângulos: ΔDOC, ΔFOE, ΔHOG. 
Em um dos casos de semelhança de triângulos têm-se a necessidade de termos dois ângulos 
congruentes, isso nos dá a garantia de que os triângulos são semelhantes. 
Portanto, note que nos três triângulos podemos aplicar esse caso de semelhança, pois o ângulo β é 
comum a todos os triângulos e todos eles possuem um ângulo reto. Sendo assim, vejamos algumas 
razões de proporcionalidade que teremos em razão de serem triângulos semelhantes. 
 
Como estes triângulos são semelhantes, podemos afirmar que estas razões são iguais entre si e 
resultam um valor em comum, ou seja: 
 
 
Contudo, temos que os segmentos DC, FE, HG constituem os catetos opostos ao ângulo β. Os 
segmentos OD, OF, OH são as hipotenusas dos triângulos ΔDOC, ΔFOE, ΔHOG, respectivamente. 
Sabemos que: 
 
 
De acordo com o que foi visto anteriormente, as razões da medida do cateto oposto pela medida da 
hipotenusa correspondem a uma proporção equivalente, sendo assim, podemos afirmar que: 
 
Portanto, podemos afirmar que esta relação não depende do tamanho que é o triângulo e sim do 
ângulo β, esta relação é denominada de seno de β. 
Diante disso, existe a necessidade de o triângulo ser retângulo para que se possa utilizar a relação do 
seno, pois como vimos, só foi possível determinar as proporcionalidades dos triângulos por serem 
triângulos retângulos. 
 
 
Relações métricas no triângulo 
retângulo 
 
 
Triângulo retângulo 
O triângulo é o polígono com menor número de lados, mas é uma das formas geométricas mais 
importantes no estudo da geometria. Sempre intrigou matemáticos desde a Antiguidade. Triângulo 
retângulo é aquele que apresenta um ângulo interno medindo 90o. Esse tipo de triângulo apresenta 
propriedades e características muito relevantes. Faremos o estudo das relações entre as medidas 
dos lados do triângulo retângulo. 
 
Todo triângulo retângulo é composto por dois catetos e uma hipotenusa. A hipotenusa é o maior lado 
do triângulo retângulo e está oposto ao ângulo reto. 
 
Observe a figura abaixo. 
 
Temos que: 
a → é a hipotenusa 
b e c → são os catetos. 
 
A perpendicular a BC, traçada por A, é a altura h, relativa à hipotenusa do triângulo. 
 
BH = n e CH = m são as projeções dos catetos sobre a hipotenusa. 
 
 Os três triângulos são semelhantes 
 
Da semelhança de triângulos obtemos as seguintes relações: 
 
Daí segue que: 
 
b2 = am e ah = bc 
 
Temos, também, as seguintes relações: 
 
E a mais famosa das relações métricas no triângulo retângulo: 
 
a2 = b2 + c2 
 
Que é o teorema de Pitágoras. 
 
Observe que temos cinco relações métricas no triângulo retângulo: 
 
1. b2 = am 
2. ah = bc 
3. c2 = an 
4. h2 = mn 
5. a2 = b2 + c2 
 
Todas elas são de grande utilidade na resolução de problemas que envolvem triângulos retângulos. 
 
Exemplo. Determine as medidas da altura relativa à hipotenusa e dos dois catetos do triângulo 
abaixo. 
 
Solução: Temos que 
 
n = 2 cm 
m = 3 cm 
 
Utilizando a quarta relação descrita anteriormente, obtemos: 
 
h2 = mn 
h2 = 3∙2 
h2 = 6 
h = √6 
Segue que: 
 
a = 2 + 3 = 5 cm 
 
Daí, utilizando a primeira relação, obtemos: 
 
b2 = am 
b2 = 5∙3 
b2 = 15 
b = √15 
 
Da terceira relação, obtemos: 
 
c2 = an 
c2 = 5∙2 
c2 = 10 
c = √10 
Lei dos cossenos 
 
 
Triângulo 
Sabemos que as relações trigonométricas do seno, cosseno e tangente são válidas somente em um 
triângulo retângulo. Quando estamos trabalhando com triângulos quaisquer, acutângulos ou 
obtusângulos, no entanto, essas relações não são válidas. Para esses tipos de triângulo teremos que 
estabelecer outras identidades trigonométricas, chamadas de lei dos senos e lei dos cossenos. 
Faremos, aqui, o estudo da lei dos cossenos e suas aplicabilidades. 
 
Vejamos a demonstração da lei dos cossenos: 
 
Considere o triângulo acutângulo abaixo, sendo CH a altura relativa ao lado AB. 
 
No triângulo BCH, temos que: 
 
No triângulo ACH, temos que: 
 
Substituindo (II) e (III) em (I), obtemos: 
 
De forma análoga, obtemos: 
 
As três igualdades anteriores são chamadas de Lei dos Cossenos, que diz: “Num triângulo qualquer, 
o quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados menos o dobro do 
produto desses lados pelo cosseno do ângulo por eles formado”. 
 
Lembre-se que a Lei dos cossenos vale para qualquer triângulo. 
 
Vejamos alguns exemplos de aplicação. 
 
Exemplo 1. Determine o valor de x no triângulo ABC acutângulo abaixo. 
 
Solução: Aplicando a lei dos cossenos, temos que: 
 
Exemplo 2. Determine o valor de y no triângulo obtusângulo abaixo. 
 
Solução: Lembrando que a lei dos cossenos também é válida para o triângulo obtusângulo, temos 
que: 
 
 
 
Calculando a Diagonal do Quadrado e 
do Retângulo 
 
 
Quadrados e retângulos 
Os estudos relacionados à criação da Geometria e da Trigonometria datam dos séculos anteriores ao 
nascimento de Cristo. Naquela época, os grandes pensadores buscavam formas de elucidar 
situações matemáticas envolvendo a Geometria. Dentre esses inúmeros estudos surgiu um dos mais 
conhecidos e aplicáveis fundamentos da Matemática, o Teorema de Pitágoras. 
 
Os primeiros passos rumo à criação do Teorema de Pitágoras ocorreram baseados no estudo do 
triângulo retângulo, em que Pitágoras estabeleceu uma relação entre os lados dessa figura de 
formato triangular. Os lados perpendiculares, isto é, que formam o ângulo de 90º (reto) foram 
denominados de catetos e o lado oposto ao ângulo reto foi chamado de hipotenusa. 
 
A relação proposta por Pitágoras sugere que: “A soma dos quadrados dos catetos é igual ao 
quadrado da hipotenusa.” 
 
 
 
 
 
 
Essa relação utilizada para o cálculo das medidas de um dos lados do triângulo retângulo, também é 
utilizada para o cálculo das medidas de um quadrado ou retângulo. Nesses quadriláteros temos um 
elemento denominado diagonal, caracterizado por um segmento de reta responsável por unir dois 
vértices da figura. Observe os quadriláteros a seguir com destaque em relação a uma de suas 
diagonais. 
 
 
Observe que ao traçarmos uma das diagonais dividimos o quadrilátero em dois triângulos retângulos, 
nos quais podemos aplicar o Teorema de Pitágoras para o cálculo das medidas desconhecidas. 
 
Exemplo 1 
 
Determine a medida da diagonal do seguinte quadrilátero. 
 
 
A diagonal possui medida igual a 6√2 metros. 
 
 
Exemplo 2 
 
Uma casa possui a forma de um retângulo com medidas iguais a 14 metros de comprimento e 10 
metros de largura. Determine a medida da diagonal dessa casa. 
 
Diagonal medindo 2√74 metros. 
 
 
Exemplo 3 
 
Determine a medida do comprimento de uma região retangular com diagonal e largura medindo 50 e 
30 metros, respectivamente. 
 
O comprimento possui medida equivalente a 40 metros. 
 
Aplicações da Trigonometria 
 
 
Aplicação na arquitetura 
O objetivo principal da trigonometria é determinar medidas de ângulos e distâncias inacessíveis. Seu 
surgimento é atribuído aos estudos trigonométricos e suas bases estão associadas aos elementos do 
triângulo. As situações envolvendo ângulos e medidas no cotidiano são comparadas às figuras 
triangulares no intuito da aplicação das relações e razões trigonométricas. As relações 
trigonométricas são o seno, o cosseno e a tangente. Observe a formação das relações:Exemplo 1 
 
Ao decolar, um avião forma com a pista um ângulo de 30º. Determine a sua altura após ter percorrido 
a distância de 2000 metros. 
 
Observe esquema da situação: 
 
 
A altura do avião será de 1000 metros. 
 
 
Exemplo 2 
 
Uma pessoa de 1,80 m está a uma distância de 10 metros de uma torre. Sabe-se que a pessoa 
observa a torre sob um ângulo de 60º. Determine a altura da torre. 
 
 
 
Exemplo 3 
 
Um poste de 4 metros de altura projeta uma sombra de 4√3 metros sobre o solo. Qual é a inclinação 
dos raios luminosos que originaram a sombra? 
 
 
 
 
A inclinação dos raios solares é de 30º. 
 
Lei dos senos 
 
 
Trigonometria no triângulo 
As relações trigonométricas do seno, cosseno e tangente são válidas somente no triângulo retângulo, 
porém, podemos estabelecer algumas identidades trigonométricas para um triângulo qualquer, sendo 
ele acutângulo ou obtusângulo. Essas identidades são chamadas de lei dos senos e lei dos 
cossenos. Faremos o estudo da lei dos senos para um triângulo qualquer. 
 
Vejamos, primeiro, a demonstração de tal lei. 
 
Considere o triângulo ABC, acutângulo, abaixo, onde CH é a altura relativa ao lado AB. 
 
No triângulo ACH, temos que: 
 
 No triângulo BCH, temos que: 
 
De (I) e (II), obtemos: 
 
Assim, podemos concluir que: 
 
Que é chamada de Lei dos senos ou Teorema dos senos. 
 
A demonstração acima foi feita para um triângulo acutângulo, mas a mesma pode ser realizada para 
qualquer triângulo de forma análoga, chegando ao mesmo resultado. 
 
Vejamos alguns exemplos de aplicação da lei dos senos. 
 
Exemplo 1. Determine o valor de c no triângulo obtusângulo abaixo: 
 
Solução: Aplicando a lei dos senos, teremos: 
 
Sabemos que sen 120o = sen 60o. Assim, teremos: 
 
Exemplo 2. No triângulo acutângulo a seguir, determine o valor de x. 
 
Solução: Utilizando a lei dos senos, temos que: 
 
Teorema de Pitágoras 
 
 
Teorema de Pitágoras 
Considerado um dos mais importantes teoremas da Matemática, o Teorema de Pitágoras foi 
desenvolvido por Pitágoras de Samos, filósofo grego que viveu no séc. VI a.C., fundador da mística 
Escola Pitágorica. 
 
O Teorema de Pitágoras pode ser aplicado em qualquer triângulo retângulo no intuito de determinar 
uma das medidas quando conhecidas as outras duas. O Teorema não se restringiu somente ao 
triângulo retângulo, de acordo com estudos da época, eram conhecidos os números inteiros e as 
frações, sendo através das aplicações do Teorema iniciado o estudo dos números irracionais. 
 
O Teorema consistia na seguinte relação: 
“A medida do quadrado da hipotenusa é igual à soma das medidas dos quadrados dos catetos” 
 
 
 
A relação dos números irracionais com o Teorema de Pitágoras consiste no cálculo da medida da 
diagonal do quadrado, observe: 
Dado o quadrado ABCD com lados medindo 1 unidade, vamos determinar a sua diagonal. A diagonal 
divide o quadrado em dois triângulos retângulos, sendo assim, podemos notar que a diagonal do 
quadrado é a hipotenusa dos dois triângulos retângulos. Aplicando o Teorema de Pitágoras temos: 
 
 
Veja que √2 não possui raiz exata, com o auxílio de uma calculadora chegaremos ao seguinte 
resultado 1,414213562... . Esse tipo de número não era conhecido, pois depois da vírgula não 
formava períodos como os racionais. Essa situação colocou em dúvida a descoberta de Pitágoras por 
algum tempo, pois não se tinha uma explicação definida para esse tipo de numeral, contrariando toda 
a teoria de representar um número através de uma relação (fração). 
Com o passar dos séculos e a evolução da Matemática, os números irracionais foram aceitos e 
introduzidos nos conceitos matemáticos, tornando o Teorema de Pitágoras ferramenta imprescindível 
nos estudos relacionados à Geometria. 
 
Exemplos 
1 – Determine a medida da hipotenusa do triângulo representado pela figura a seguir: 
 
 
2 – Dado o triângulo retângulo a seguir, determine a medida do cateto y.