AULA 10 - Ações de Controle Básicas, Critério de Estabilidade de Routh, Análise de Erro em Regime Estacionário

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AÇÕES DE CONTROLE BÁSICAS
CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH
ANÁLISE DE ERRO EM REGIME ESTACIONÁRIO
Prof. Almir Kimura Junior
EST – Escola Superior de Tecnologia
UEA – Universidade do Estado do Amazonas 
Manaus, Brasil
AÇÕES DE CONTROLE BÁSICAS - Introdução 
Um controlador automático compara o valor real do sinal de saída com o valor do sinal de entrada de referência (valor desejado), determinando o desvio (erro) e produzindo um sinal de controle que reduzirá o erro.
A forma pela qual o controlador automático produz o sinal de controle é chamada de ação de controle.
A classificação dos controladores clássicos é feita de acordo com a sua ação de controle.
Controlador proporcional (P).
Controlador integral (I).
Controlador proporcional-integral (PI).
Controlador proporcional-derivativo (PD).
Controlador proporcional-integral-derivativo (PID).
AÇÕES DE CONTROLE BÁSICAS - Comentários
A escolha adequada do tipo de controlador a ser utilizado deve ser baseada no tipo de processo a controlar e nas condições de operação, incluindo condições como segurança, custo, disponibilidade, precisão, confiabilidade, peso e dimensão.
A figura abaixo mostra um diagrama de blocos de um sistema de controle industrial, que consiste de um controlador automático, um atuador, uma planta e um sensor, que é o elemento de realimentação responsável pela medição.
AÇÕES DE CONTROLE
É necessário um bom entendimento das características básicas das várias ações de controle para que se possa selecionar a mais conveniente, em sua particular aplicação. 
A seguir são apresentadas as características e leis de controle dos controladores clássicos.
Controlador proporcional (P).
Controlador integral (I).
Controlador proporcional-integral (PI).
Controlador proporcional-derivativo (PD).
Controlador proporcional-integral-derivativo (PID).
AÇÕES DE CONTROLE PROPORCIONAL
A relação entre a saída do controlador u(t) e o sinal de erro e(t) é dada pela seguinte equação:
Ou seja,
Onde Kp é chamado de sensibilidade ou ganho proporcional. 
O controlador proporcional é, essencialmente, um amplificador com o ganho ajustável. A figura abaixo mostra o diagrama de blocos deste controlador.
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AÇÕES DE CONTROLE INTEGRAL
Para o controlador integral, o valor da saída do controlador u(t) é variado em uma taxa proporcional ao sinal de erro e(t) então,
A função de transferência do controlador integral é:
Onde Ki é chamado de ganho integral. Deve-se observar que um erro nulo leva a um valor estacionário da saída do controlador.
A figura abaixo mostra o diagrama de blocos deste controlador.
AÇÕES DE CONTROLE PROPORCIONAL-INTEGRAL
Esta ação é definida como sendo,
A função de transferência é
Onde Kp é o ganho proporcional e Ti é chamado de tempo integral. 
A figura abaixo mostra o diagrama de blocos de um controlador proporcional-integral
AÇÕES DE CONTROLE PROPORCIONAL-INTEGRAL (OBSERVAÇÃO)
O tempo integral ajusta a ação de controle integral, enquanto uma mudança no valor de Kp afeta tanto a parte proporcional como a parte integral da ação de controle. 
Se o sinal de erro e(t) é uma função degrau unitário, como mostra a figura (a), então a saída do controlador u(t) é indicada na figura (b).
Figura (a) e (b) – Diagramas indicando a entrada e a saída do controlador
AÇÕES DE CONTROLE PROPORCIONAL-DERIVATIVO
Esta ação do controle proporcional-derivativo é definida como sendo:
A função de transferência é
Onde Kp é o ganho proporcional e Td é a constante de tempo derivativo. Tanto Kp como Td são ajustáveis.
A figura abaixo mostra o diagrama de blocos de um controlador proporcional-derivatico
AÇÕES DE CONTROLE PROPORCIONAL-DERIVATIVO (OBSERVAÇÃO)
A ação de controle derivativa, algumas vezes denominada controle de taxa, é onde a magnitude da saída do controlador é proporcional à taxa de variação do erro atuante. 
O tempo derivativo (Td) é o intervalo de tempo pelo qual a ação de taxa avança o efeito da ação de controle proporcional. 
Se o sinal de erro e(t) é uma função rampa unitária, como mostra a figura (a), então a saída do controlador u(t) é indicada na figura (b).
Figura (a) e (b) – Diagramas indicando a entrada e a saída do controlador.
AÇÕES DE CONTROLE PROPORCIONAL-DERIVATIVO (Comentários)
A ação de controle derivativa tem um caráter antecipatório. De fato, a ação de controle nunca pode antecipar uma ação que nunca ocorreu. 
O controlador proporcional-derivativo tem a vantagem de ser antecipatório, mas, tem como desvantagem a ação de amplificar os sinais de ruído e de causar a saturação do atuador.
AÇÕES DE CONTROLE PROPORCIONAL-INTEGRAL-DERIVATIVO
Esta ação do controle proporcional-integrativo-derivativo é definida como sendo:
Neste caso, a função de transferência é:
Onde Kp é o ganho proporcional, Ti é o tempo integral e Td é a constante de tempo derivativo. O diagrama de blocos para esse controlador é mostrado abaixo
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AÇÕES DE CONTROLE PROPORCIONAL-INTEGRAL-DERIVATIVO (OBSERVAÇÃO)
Se o sinal de erro e(t) é uma função rampa unitária, como mostra a figura (a), então a saída do controlador u(t) é como indicada na figura (b).
Figura (a) e (b) diagramas indicando a entrada e a saída do controlador.
EFEITOS DAS AÇÕES INTEGRAL E DERIVATIVA
Ação de controle integral
No controle proporcional de um processo cuja função de transferência não possui um integrador, há um erro em regime estacionário na resposta à entrada.
 Esse erro pode ser eliminado se for incluída no controlador uma ação de controle integral.
Exemplo: Sistema de nível de líquido 
A figura abaixo mostra um sistema de nível de líquido. 
Figura – Sistema de nível de líquido com ação de controle.
Exemplo: Sistema de nível de líquido 
O diagrama de blocos mostra o sistema de controle utilizando-se um controlador proporcional.
Figura – Sistema de nível de líquido com controlador proporcional
E a função de transferência do sistema é,
A resposta ao degrau unitário é mostrada na figura a seguir
Exemplo: Sistema de nível de líquido 
Resposta ao Degrau unitário: controlador proporcional.
Exemplo: Sistema de nível de líquido 
O diagrama de blocos mostra o sistema de controle agora utilizando um controlador integral.
Figura – Sistema de nível de líquido com controlador integral
E a função de transferência do sistema é,
A resposta ao degrau unitário é mostrada na figura a seguir
Exemplo: Sistema de nível de líquido 
Resposta ao Degrau unitário: controlador integral
EFEITOS DAS AÇÕES INTEGRAL E DERIVATIVA
Ação de controle derivativa
A ação de controle derivativa, quando adicionada a um controlador proporcional, possibilita um meio de obter um controlador com alta sensibilidade. 
O controle derivativo, portanto, antecipa o erro e inicia uma ação corretiva mais cedo, antes do valor de erro tornar-se demasiadamente grande, tendendo a aumentar a estabilidade do sistema.
Embora o controle derivativo não afete diretamente o erro em regime estacionário, ele introduz um amortecimento no sistema e, portanto, permite o uso de um valor maior do ganho K, o que resulta na melhoria da precisão.
Devido ao fato do controle derivativo operar sobre a taxa de variação do erro e não sobre o próprio erro, este modo nunca é usado sozinho. É sempre utilizado em combinação com ação proporcional ou proporcional-integral.
Exemplo: Sistema mecânico
Considere o sistema representado pelo
seu diagrama de blocos com ação de controle proporcional, como mostra 
A função de transferência deste sistema é,
A equação característica do sistema é então,
Nota-se que as raízes são imaginárias puras, fazendo com que a resposta do sistema seja oscilatória para todo t. 
Resposta ao degrau unitário do sistema
Resposta ao Degrau unitário: ação proporcional 
Exemplo: Sistema mecânico
Considere que o sistema tenha agora uma ação de controle proporcional-derivativa como mostrado:
A função de transferência deste sistema é,
Agora a equação característica possui duas raízes com parte real negativa para valores positivos de J, Kp e Kd. Portanto, o controle derivativo introduz um efeito de amortecimento no sistema.
Resposta ao degrau unitário do sistema
Resposta ao Degrau unitário: ação proporcional-derivativa
CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH
O problema mais importante em sistemas de controle é o da estabilidade. 
A função de transferência de um sistema de controle é do tipo,
Onde os a’s e b’s são constantes e m  n. 
CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH
Para se obter os pólos desta equação pode-se fazer a fatoração da equação característica ou, então, pode-se utilizar um procedimento simplificado que é o critério de estabilidade de Routh.
Através deste critério a informação sobre a estabilidade absoluta do sistema é obtida diretamente a partir dos coeficientes da equação característica, conforme o procedimento a seguir.
CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH
Escrever a equação característica.
Onde os coeficientes são reais e an  0.
Se houver um coeficiente nulo ou negativo implica que podem existir raízes imaginárias ou raízes com partes reais positivas e, portanto, o sistema é instável. 
A condição necessária para que o sistema seja estável é que todos os coeficientes existam e sejam positivos.
CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH
Se os coeficientes são positivos, então:
CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH
Os coeficientes b1, b2, b3, etc. são calculados como segue,
O cálculo dos b’s continua até que os restantes dos coeficientes sejam todos nulos. Para os c’s, tem-se que,
Este processo continua até que a n-ésima linha tenha sido completada. 
A tabela completa de coeficientes é triangular. 
CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH
Comentários
Deve-se observar que, uma linha inteira pode ser dividida ou multiplicada sem alterar a conclusão sobre a estabilidade do sistema.
O critério de estabilidade de Routh diz que o número de raízes da equação com partes reais positivas é igual ao número de mudanças de sinal dos coeficientes da primeira coluna da tabela.
CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH
Deve-se notar que o valor exato dos termos da primeira coluna não é de importância; apenas os sinais são necessários. 
O sistema é estável se todos os termos da primeira coluna são positivos. 
A condição necessária para que todas as raízes da equação característica estejam no semiplano esquerdo, do plano complexo s, é que todos os coeficientes existam e sejam positivos.
CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH
Exemplos
1-
2- 
CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH
Casos Especiais
Se um termo da primeira coluna é nulo, mas os termos restantes não são nulos ou não há termo restante, então o termo nulo é substituído por um número positivo muito pequeno () e o resto da tabela é calculado. Por exemplo,
	
CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH
Assim, a tabela pode ser calculada como,
Se o sinal de  é igual ao sinal do coeficiente de baixo, então há um parâmetro de raízes imaginárias (pólos) .
CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH
Mas, se os sinais são diferentes, há uma mudança de sinal e, portanto, o sistema é instável.
Por exemplo,
E a tabela de coeficientes é,
Há duas mudanças de sinal, isto implica que existem dois pólos localizados no semiplano direito, ou seja, dois pólos com partes reais positivas.
CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH
Se todos os coeficientes de uma linha são nulos, significa que há raízes de igual módulo, mas radialmente opostas no plano complexo s, isto é, duas raízes com módulo igual, mas com sinal posto e/ou duas raízes puramente imaginárias.
Um outro caso especial é mostrado a seguir. Por exemplo,
CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH
Para esta equação a tabela de coeficientes é,
Polinômio Auxiliar:
Coeficientes de 
: 8 e 96
Há uma mudança de sinal, portanto, existe uma raiz com parte real positiva.
Aplicação do critério de estabilidade de Routh para a análise de Estabilidade de sistema de controle 
O critério de Routh é limitado na análise de sistemas de controle lineares, não sugerindo como melhorar a estabilidade relativa ou como estabilizar um sistema instável. 
Contudo, é possível determinar a região de estabilidade para um valor de um parâmetro.
Aplicação do critério de estabilidade de Routh para a análise de Estabilidade de sistema de controle (Exemplo 1)
Considere o sistema da figura abaixo, determinar para que valores de K para que o sistema permanece estável. 
A função de transferência é:
A equação característica é:
Aplicação do critério de estabilidade de Routh para a análise de Estabilidade de sistema de controle (Exemplo 1)
Assim:
Logo
Esta é a faixa em que o valor do ganho K pode variar sem que o sistema perca a estabilidade e quando o sistema apresenta raízes imaginárias, fazendo com que a resposta temporal do sistema seja oscilatória.
Aplicação do critério de estabilidade de Routh para a análise de Estabilidade de sistema de controle (Exemplo 2)
Considere o sistema da figura abaixo, determinar para que valores de Kp e Ki de forma que o sistema permaneça estável. 
A equação característica do sistema em malha fechada é,
Que pode ser escrita como :
Aplicação do critério de estabilidade de Routh para a análise de Estabilidade de sistema de controle (Exemplo 2)
Assim:
Então, a faixa de valores de ganho é:
ANÁLISE DE ERRO EM REGIME ESTACIONÁRIO
Sistema físico  erro estacionário em resposta a certos tipos de entradas. Por exemplo:
Entrada em degrau unitário  erro nulo, mas entrada em rampa  erro não-nulo.
Erro estacionário: depende da função de transferência em malha aberta.
Os sistemas de controle são classificados de acordo com as suas habilidades de seguir entradas.
Valores dos erros estacionários: qualidade do sistema. 
Classificação: número de integradores. 
Aumentando-se o número de integradores, melhora-se a precisão, mas piora-se o problema da estabilidade. 
Erros estacionários
Para o sistema de controle da figura abaixo,
A função de transferência deste sistema é dada por,
E a expressão para o erro é então
Erros estacionários
Assim,
Pelo teorema do valor final o erro estacionário pode ser obtido como segue,
O coeficiente de erro estático: qualidade do sistema.
Quanto maior o coeficiente, menor é o erro estacionário.
Coeficiente de Erro de Posição Estático (Kp)
O erro atuante estacionário do sistema para uma entrada de degrau unitário é,
Define-se Kp como coeficiente de erro de posição estático e é calculado como,
Assim
Coeficiente de Erro de Posição Estático (Kp)
Para um sistema do tipo 0, tem-se que,
Para um sistema do tipo 1 ou maior, tem-se que,
A resposta de um sistema de controle com realimentação unitária para uma entrada em degrau unitário, envolve em erro estacionário se não houver integração no ramo direto.
Erro pequeno é admissível  Ganho deve ser grande  problemas de estabilidade relativa.
Erro estacionário nulo para entrada em degrau unitário  sistema tipo 1 ou
superior.
Coeficiente de Erro de Velocidade Estático (Kv)
O erro estacionário do sistema para uma entrada em rampa calculado pelo teorema do valor final é,
 Define-se Kv como coeficiente de erro de velocidade estático e é calculado como,
Assim,
O termo "erro de velocidade" é usado para definir o erro a uma entrada em rampa. Isto é, o erro de velocidade não é um erro de velocidade, mas um erro na posição devido a uma entrada do tipo rampa.
Coeficiente de Erro de Velocidade Estático (Kv)
Para um sistema do tipo 0, tem-se que,
Para um sistema do tipo 1, tem-se que,
Para um sistema do tipo 2 ou maior, tem-se que,
Coeficiente de Erro de Aceleração Estático (Ka)
O erro atuante estacionário do sistema para uma entrada do tipo parábola (entrada de aceleração) é calculado como segue,
Define-se Ka como coeficiente de erro de aceleração estático e é calculado como,
Assim,
O termo “erro de aceleração" é usado para definir o erro estacionário de posição devido a uma entrada do tipo parábola. Então,
Coeficiente de Erro de Aceleração Estático (Ka)
Para um sistema do tipo 0, tem-se que,
Para um sistema do tipo 1, tem-se que,
Para um sistema do tipo 2, tem-se que,
Para um sistema do tipo 3 ou maior, tem-se que,
Erro em regime estacionário em termos do ganho K.
Conclusão sobre erros estacionários
Os coeficientes de erro Kp, Kv e Ka descrevem a habilidade de um sistema de controle em reduzir ou eliminar erros estacionários. Portanto, eles são indicativos de desempenho em regime estacionário.
Em geral, é desejável aumentar os coeficientes de erro, enquanto se mantém a resposta transitória dentro de limites aceitáveis.
Nota-se que para melhorar o desempenho do sistema em regime estacionário, pode-se aumentar o tipo do sistema de controle, adicionando-se um integrador ou integradores no ramo direto.