INTEGRAL POR SUBISTITUIÇÃO

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Integração por Substituição
Integração por Substituição
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1. Faça uma escolha para u, digamos u = g(x)
2. Calcule du/dx = g’(x)
3. Faça a substituição u = g(x), du = g’(x) dx
Neste ponto, toda integral deve estar em termos de 
u; nenhum x deve continuar. Se isto não acontecer, 
deve-se tentar uma nova escolha para u.
4. Calcule a integral resultante, se possível.
5. Substituir u por g(x); assim, a resposta final estará em 
termos de x.
2
Integração por Substituição
4
Exemplo 01: Calcule
( )∫ + x dxx 21 502
Solução: Pondo u = x2+1, então:
( ) ( ) CxCuduux dx.x ++=+==+ ∫∫ 51
1
51
21
51251
50502
dxxdux
dx
du
 22 =→=
Integração por Substituição
5
Exemplo 02: Calcule
( )∫ + dxxsen 9
Solução: Pondo u = x+9, então
( ) Cuduusen dxxsen +−==+ ∫∫ cos9 
( ) Cx ++−= 9cos
dxdu
dx
du
 =→= 1
3
Integração por Substituição
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Exemplo 03: Calcule
∫ dxxsen cos
2
Solução: Pondo u = senx, então:
dxxdux
dx
du
 coscos =→=
∫∫ +=+== C
xsenCuduudxxsen
33
cos
33
22 
Integração por Substituição
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Exemplo 04: Calcule
∫ dx
x
e x
 
Solução: Pondo u = √x, então:
dx
x
dudx
x
du
xdx
du 12
2
1
2
1
=→=→=
∫ ∫∫ +=+=== CeCedueduedx
x
e xuuu
x
2222 
4
Integração por Substituição
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Exemplo 05: Calcule
∫ dxx-x 1
2
Solução: Pondo u = x − 1, então:
dxdu
dx
du
=→= 1
( )22 111 +=→+=→−= uxuxxu
( )∫∫ += dxuu dxx-x 22 11
Integração por Substituição
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Exemplo 05:
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) Cxxx
Cuuu
 dxuuu
 dxuuu
 dxuu dxx-x
+−+−+−=
+++=
++=
++=
+=
∫
∫
∫∫
232527
232527
212325
212
22
1
3
21
5
41
7
2
3
2
5
4
7
2
2
12
11
 
 
 
 
5
Integração por Substituição
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Exemplo 06: Calcule
∫ x dxsen
2
Solução: utilizando a identidade trigonométrica:
2
2cos12 xxsen −=
∫∫∫∫ −=
−
= dxxdxdxxx dxsen
x
 2cos
2
1
2
1
2
2cos1
2
2
321
Integração por Substituição
11
Exemplo 06: 
dxdu
dx
du
=→=
2
2
Pondo u = 2x, então:
Cusenduudxx +== ∫∫ 2
1
cos
2
12cos
Cxsenxx dxsen +−=∫ 4
2
2
2
6
Integração por Substituição
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Exemplo 07: Calcule
∫ dxxx sen 
22 cos
Solução: utilizando as identidades trigonométricas:
2
2cos12 xxsen −=
2
2cos1
cos2
x
x
+
=
dxxxdxxx sen 




 +





 −
= ∫∫ 2
2cos1
2
2cos1
cos22
Integração por Substituição
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Exemplo 07:
( ) ( )
( )( )
( )
dxxdx
dxx
dxxx
dxxxdxxx sen
x
 
 
 
 
∫∫
∫
∫
∫∫
−=
−=
+−=
+−=
2cos
4
1
4
1
2cos1
4
1
2cos12cos1
4
1
2cos1
2
12cos1
2
1
cos
2
4
2
22
321
7
Integração por Substituição
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Exemplo 07:
dxdu
dx
du
=→=
2
2
Pondo u = 2x, então:
8
4
28
2
4
4
2
22
1
cos
2
12cos 22
usenxusenu
usenuduudxx
+=+=




+=⇒ ∫∫
 
 
Integração por Substituição
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Exemplo 07:
Cxsenx
xsenxxdxxx sen
+−=




−−=∫
32
4
8
8
4
24
1
4
cos22
 
 
8
Integração por Substituição
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Exemplo 08: Calcule
( ) ( )∫ −++ dxxxsenx 642 2
Solução: Pondo u = x2 + 4x − 6, então:
( ) ( )dxxdxxdux
dx
du 224242 +=+=→+=
( ) ( )∫ ++ dxx-xsenx 642 2 ( )dxxdu 22 +=
Integração por Substituição
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Exemplo 08:
( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫ ==++ duusenduusen dxx-xsenx 2
1
2
642 2
( ) ( )∫ +−= Cuduusen cos 
Então:
( ) ( ) ( )( )Cu dxx-xsenx +−=++∫ cos2
1642 2 
Portanto:
( ) ( ) ( ) Cxx dxx-xsenx +−+−=++∫ 64cos2
1642 22 
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Integração por Substituição
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Exemplo 09: Calcule
∫
++
 dx
xx
x
12
Solução: Pondo u = x2 + x + 1, então:
( )dxxdux
dx
du 1212 +=→+=
Na integral original, fazer:
∫ ∫∫
++
−+
=
++
=
++
 dx
xx
x
 dx
xx
x
 dx
xx
x
1
112
2
1
1
2
2
1
1 222
Integração por Substituição
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Exemplo 09:
∫∫∫
++
−
++
+
=
++
−+
 dx
xx
 dx
xx
x
 dx
xx
x
1
1
2
1
1
12
2
1
1
112
2
1
222
1 2
1 Integral






+−
===
++
+ +−
−
∫∫∫ 1212
1
2
11
2
1
1
12
2
1 12121
2
uduudu
u
 dx
xx
x
 
uu
u
==





=
21
21
212
1
Cxx dx
xx
x
+++=
++
+
∫ 11
12
2
1 2
2
10
Integração por Substituição
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Exemplo 09:
2 Integral
∫∫∫
+
=








+





+
=
++
du
au
du
x
 dx
xx 22222
1
2
1
2
3
2
1
1
2
1
1
1
2
1
 
Cua dx
ua
++=
+
∫
22
22
ln1
A segunda integral a ser resolvida está (ou pode ser 
colocada) na forma:
2
3
2
1
==→+= adxduxu 
Onde:
Integração por Substituição
21
Exemplo 09:
Cxx dx
xx
+





++++=
++
∫
2
2 2
1
4
3
2
1ln
2
1
1
1
2
1
Portanto:
Então, finalmente:
Cxxxx dx
xx
x
+





++++−++=
++
∫
2
2
2 2
1
4
3
2
1ln
2
11
1