LISTA 1 DERIVADAS

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Engenharia Mecânica 
 
LISTA 01a – REVISÃO DERIVADAS 
 
1. Uma das fórmulas para gerenciamento de almoxarifado diz que o custo 
médio semanal para você encomendar, pagar e armazenar uma 
mercadoria é ( ) 2
hq
cm
q
kmqA ++= , onde q é a quantidade que você 
encomenda quando o estoque está baixo (seja o que for), k é o custo para 
fazer o pedido (que é constante, não importando o que você pede), c é o 
custo de um item (uma constante), m é o número de itens utilizados em uma 
semana (uma constante) e h é o custo semanal de armazenagem de um 
item (uma constante que leva em conta, por exemplo, o espaço que o item 
ocupa, utilidade, seguro e segurança). Seu trabalho é determinar a 
quantidade que minimizará A(q). Essa quantidade é conhecida como 
fórmula do tamanho do lote de Wilson e seu valor é 
a) √(2km/h) b) √(km/2h) c) √(h/2km) d) √(2hm/k) e)√(2h/km). 
 
2. Suponha que, em um dado instante, o número de bactérias em uma colônia 
pode ser calculado pela equação 







+=
−
10501000
t
teB , para t em horas. Entre 
os instantes t = 0 e t = 24 (um dia), o maior número de bactérias na colônia é 
aproximadamente: 
a) 52.177 b) 127 c) 2.177 d) 53.678 e) 2.267 
 
3. Ultimamente, os países têm desenvolvido slogans de campanhas de 
preservação de florestas e da vida selvagem, na tentativa de criar uma 
mentalidade global sobre preservação do meio ambiente. Seguindo este 
exemplo de abordagem, o Departamento de Florestas de um país da 
América do Sul começou a registrar um índice de desmatamento que mede 
o progresso e o declínio da qualidade ambiental de suas florestas. O índice 
para os anos de 2003 a 2013 é aproximado pela função 
( ) 486
3
4 23 +−= tttI ( )100 ≤≤ t 
 
onde t = 0 corresponde ao ano de 2003. Em qual período considerado acima, 
observa-se que o desmatamento atinge seu máximo. 
 
4. Uma batata doce é posta num forno quente, mantido a uma temperatura 
constante de 200ºC. Suponha que ao tempo t = 30 minutos, a temperatura T 
da batata é de 120oC e que está crescendo a uma taxa (instantânea) de 
2o/minuto. A lei de Newton do resfriamento (ou, em nosso caso, 
aquecimento) implica que a temperatura ao tempo t será dada por uma 
fórmula como: 
( ) btaetT −−= 200 
Nesse caso, os valores das constantes a e b são, respectivamente, 
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a) 149,36 e 1/50 b 180,00 e 1/30 c) 159,36 e 1/30 d) 169,36 e 1/40 e) 170,00 e 1/40 
 
5. Uma caixa sem tampa será construída recortando-se pequenos quadrados 
dos cantos de uma folha de estanho que mede 12cm por 12cm, e dobrando-
se os lados para cima, conforme mostram as figuras. 
 
Chapa (em verde) após o 
corte dos quadrados 
Chapa sendo dobrada Caixa pronta 
 
 
 
Qual o tamanho aproximado, em cm, que deve ter o lado dos quadrados 
das bordas para que a caixa tenha capacidade máxima ? 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) 6 
 
6. São exemplos de movimentos harmônicos amortecidos: uma criança que 
brinca em um balanço e a corda de um violão que vibra quando acionada 
pelo músico. Sua característica principal é se constituir por uma oscilação 
inicial que é reduzida (por algum tipo de força de atrito) até que o corpo 
retorne à posição de repouso ou equilíbrio. De uma maneira geral, em 
movimentos como estes, mostra-se que a força de atrito existente é 
diretamente proporcional à velocidade do corpo e que a sua posição em 
um determinado instante t, é dada por )cos()( 0 teAtx t ωγ−= , sendo A0 a 
amplitude inicial do movimento, isto é, a posição inicial do corpo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Suponha que corpo execute um movimento harmônico amortecido, de 
modo que sua posição x(t) (dada em cm) varie no tempo t (dado em 
segundos) de acordo com ( )tetx t picos35,0)( 2,0−= . 
Calcule a amplitude inicial do movimento e a velocidade do corpo em t = 1. 
 
 
 
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7. O custo para a fabricação de um modelo de calçado infantil consiste em 
uma parte fixa de R$ 600,00 e R$ 2,20 de acordo com a quantidade 
produzida (q). Já a receita total da produção e comercialização é dada por 
R(q) = 10q – 0,006q2. Considerando, 0 ≤ q ≤ 900, a quantidade q que 
maximiza o lucro com a venda desse produto será igual a 
a) 750 b) 730 c) 650 d) 620 e) 580 
 
8. Um circuito consiste de um gerador real de tensão V = 10 volts e resistência 
interna R = 20 ohms e de uma resistência externa de x ohms, conforme mostra 
a figura abaixo 
 
A potência total é dada por: 
( ) ( )2
100
Rx
x
xP
+
= 
Qual deverá ser o valor de x de forma que a potência seja máxima? 
a)10 ohms. b) 20 ohms. c) 40 ohms. d) 80 ohms. e) 160 ohms 
 
9. No projeto de aviões, uma característica importante é o chamado “fator de 
arraste”, isto é, a força de frenagem (resultante do atrito) exercida pelo ar 
sobre o avião. Matematicamente, mostra-se que esta força depende da 
velocidade do avião, sendo expressa por ²)( AvvF = + 
²v
B
, onde A e B são 
constantes positivas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Sabendo-se que o arraste é minimizado quando v = 160 km/h , determine o 
valor de B
A
. 
 
10. Um projétil foi atirado verticalmente ao ar perfazendo uma trajetória descrita 
pela equação y = 15t – 6,8t2, em que t é o tempo, em segundos, e y a 
altura em metros. 
 No instante t = 1,5s o projétil está subindo ou descendo ? Com qual 
velocidade? 
 
11. 
 
Em biologia marinha chama-se fitoplâncton ao conjunto dos 
organismos aquáticos microscópicos que têm capacidade 
fotossintética e que vivem dispersos flutuando na coluna de 
água.Fazem parte deste grupo organismos tradicionalmente 
considerados algas e estudados como tal pela botânica. 
Contudo, dentre estas, há um grupo de grande importância 
sanitária e de saúde pública, que é também classificado 
como bactéria, as cianofíceas ou "algas azuis". 
 Estudos feitos, mostram que a produção(em mg de carbono/ m³/h) da 
fotossíntese para uma espécie de fitoplâncton é modelada pela função: 
²)²1(
²30
I
IP
+
= 
 ` em que I é a intensidade da luz (medida em milhares de velas). Sabendo-se 
que não existe fotossíntese para I = 0, o valor da fotossíntese máxima (em mg 
de carbono/ m³/h) é: 
 a) 5 b) 7,5 c) 10 d) 12,5 e) 15 
 
12. A Cefeu é uma constelação cujo brilho é variável. A estrela mais visível dessa 
constelação é a Delta Cefeu, para a qual o intervalo de tempo entre os 
brilhos máximos é de 4 dias. O brilho médio dessa estrela é de 4,0, com uma 
variação de Em vista desses dados, o brilho de Delta Cefeu no instante t, 
onde t é medido em dias, foi modelado pela função 






+=
4
.36,00,4)( tsentB pi 
 A taxa de variação do brilho dessa estrela após 8 dias é 
 a) pi36,0− b) pi09,0− c) zero d) pi09,0 e) pi36,0 
 
 
 
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13. A Cinemática é a parte da Mecânica que descreve o movimento, 
determinando a posição, a velocidade e a aceleração de um corpo em 
cada instante. A Física Clássica define a aceleração como a taxa de 
variação da velocidade de um corpo em movimento e a sua velocidade 
como a taxa de variação de sua posição. De forma mais simples a derivada 
da velocidade é a aceleração e a derivada da posição é a velocidade. 
 
Um objeto se move com uma velocidade v(t)e uma aceleração a(t), onde 
t ≥ 0 é o tempo, medido em segundos. Sabendo que a equação da posição 
do objeto (dada em metros) é ( ) ( ) 31ln 2 −+= tts . Calcule a posição inicial 
do objeto, a velocidade inicial do objeto e sua aceleração. 
 
14. A pesca sempre foi um elemento importante para a sobrevivência de muitos 
povos. Com o desenvolvimento de materiaissofisticados e predatórios para a 
pesca, o estoque de algumas espécies de peixe reduziu muito e, outras, 
correm risco de extinção. 
 
Os modelos matemáticos podem ser utilizados para estabelecer em que 
condições um peixe pode ser capturado. Em um instante qualquer t (em 
meses), o peso P(t) de uma espécie específica, em kg, pode ser medido pela 
expressão 
( ) ( )318 tetP −−=
 
Calcule a taxa de variação do peso com respeito ao tempo quando t = 3 
anos? 
 
15. Um estudante analisava a corrente que passava em um circuito. Essa 
corrente era dada pela função f(x) = 200 + (x2 – 25)(x – 7), em que x 
representava o diâmetro do fio por onde essa corrente passava. Assim, por 
sua natureza, é claro que x é um número positivo. Calcular o valor do 
diâmetro do fio, para a corrente seja mínima. 
 
16. Uma revista informava os seus leitores sobre a "Lei seca". O artigo dizia que ao 
ingerir uma dose de certa bebida alcoólica, a concentração de álcool no 
sangue após t horas é dada pela função 
( ) 212,0 ttetC −= 
Roberto leu esta informação e em seguida construiu o gráfico dessa função. 
Analisando o gráfico que construiu, ele pode concluir que o tempo após a 
ingestão de álcool na qual a concentração de álcool no sangue começará 
a diminuir será 
 
a) de 2 horas b) de 1 hora c) imediatamente após a ingestão d) 4 horas 
e) 3 horas 
 
 
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17. Na físico-química, a fórmula de Debye afirma que a polarização orientacional 
P de um gás é dada pela equação 






=
KT
NP
33
4 2µ
pi 
onde µ, K e N são constantes positivas e T é a temperatura do gás. Foi 
calculada a taxa de variação instantânea da polarização operacional em 
função da temperatura, quando esta atinge o valor de 160 C, e foi 
determinado se essa polarização era crescente ou decrescente. Quais foram 
os resultados obtidos ? 
 
18. Um tronco redondo de diâmetro d será cortado para formar uma viga de 
seção transversal retangular, conforme a figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Suponha que a resistência mecânica dessa viga retangular é diretamente 
proporcional à sua largura (x) e ao quadrado de seu comprimento (y). 
Considerando d = 2 m, de todas as vigas que podem ser obtidas, quais seriam 
as dimensões daquela com maior resistência? 
 
 
 
Bom estudo! 
 
d 
x 
y