SISTEMAS LINEARES

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3. SISTEMAS LINEARES 
 
Equações lineares são aquelas que cada termo é um monômio do 1º grau; isto é: em cada 
termo aparece uma única incógnita e seu expoente é igual a 1. 
Assim: 
 A equação 2x – 3 = 0 é uma equação linear com uma incógnita. 
 A equação 3x – 4y = 5 é uma equação linear com duas incógnitas. 
 A equação ½ x – 3y + 3z = 0 é uma equação linear com três incógnitas. 
 
Então duas ou mais equações lineares formam um sistema de equações lineares. 
Um sistema linear é apresentado pela seguinte forma: 
 
 
 
 , este é um sistema linear de duas equações com duas incógnitas. 
 
 
 
 
 
 , este é um sistema linear de três equações com três incógnitas. 
 
REGRA DE CRAMER 
Uma das maneiras de resolvermos um sistema linear é pela Regra de Cramer. Para tal, 
devemos seguir as seguintes etapas: 
 
1º. Chamamos de D o determinante da matriz incompleta do sistema, formado pelos 
coeficientes das incógnitas. 
2º. Chamemos Dx o determinante da matriz que se obtém, substituindo na matriz incompleta, a 
coluna dos coeficientes de x pela coluna dos termos independentes. Calculamos também o 
Dy homologamente, e se necessário outros D?, dependendo das incógnitas. 
3º. Para obtermos o valor de x, y, z, etc, calculamos: 
 
 
 ; 
 
 
 ; 
 
 
 ; etc. 
 
Exemplos: 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios: Resolva, pela Regra de Cramer, cada sistema abaixo: 
 
1) 
 
 
 
 
2) 
 
 
 
 
3) 
 
 
 
 
 
4) 
 
 
 
 
 
5) 
 
 
 
 
 
6) 
 
 
 
 
 
7) 
 
 
 
 
 
CLASSIFICAÇÃO DOS SISTEMAS LINEARES 
 
Os sistemas lineares são classificados, quanto ao número de soluções, da seguinte forma: 
 
DISCUSSÃO DE UM SISTEMA LINEAR 
 
Discutir o sistema é saber se ele é possível, impossível ou indeterminado. 
SISTEMA LINEAR
POSSÍVEL OU COMPATÍVEL
(quando admite solução)
DETERMINADO
(admite uma única solução)
INDETERMINADO
(admite infinitas soluções)
IMPOSSÍVEL OU 
INCOMPATÍVEL
(quando não admite solução)
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Utilizando a Regra de Cramer, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Possível e determinado → 
Possível e indeterminado → 
 
 
 
 
Impossível → 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
1) Discutir o sistema: 
 
 
 
2) Determinar m, de modo que o sistema 
 
 
 
 seja incompatível. 
3) Verificar se o sistema 
 
 
 é determinado ou indeterminado. 
4) Calcular o valor de a para que o sistema 
 
 
 tenha soluções diferentes da trivial. 
 
Exercícios: 
1) Discuta os sistemas: 
a) 
 
 
 b) 
 
 
 c) 
 
 
 
 
 
2) Classifique, quanto ao número de soluções, os seguintes sistemas homogênios: 
a) 
 
 
 b) 
 
 
 
 c) 
 
 
 
 
 
3) Determine a e b para que o sistema 
 
 
 seja indeterminado. 
 
4) Calcule os valores de a para que o sistema 
 
 
 seja compatível e determinado. 
 
5) Dado o sistema 
 
 
 
 , calcule os valores de a e b para que este sistema 
seja compatível e indeterminado. 
 
6) Dê o valor de a para que o sistema 
 
 
 
 seja impossível.