Lista de Exercícios de Funções Reais

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UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCO
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
FUNC¸O˜ES REAIS
Lista 3
Todas as suas afirmac¸o˜es devem ser justificadas.
1. Determine os valores de m para que:
(a) a equac¸a˜o do 2zˇ grau (m + 2)x2 + (3− 2m)x + (m− 1) = 0 tenha ra´ızes reais.
(b) a equac¸a˜o x2 + (3m + 2)x + (m2 + m + 2) = 0 tenha duas ra´ızes reais iguais.
(c) a equac¸a˜o mx2 + (2m− 1)x + (m− 2) = 0 na˜o tenha ra´ızes reais.
2. Determine o valor de m nas func¸o˜es reais abaixo para que o valor mı´nimo de:
(a) f(x) = 3x2 − 2x + m seja 5
3
.
(b) f(x) = (m− 1)x2 + (m + 1)x−m seja 1.
3. Determine o valor de m nas func¸o˜es reais abaixo para que o valor ma´ximo de:
(a) f(x) = −3x2 + 2(m− 1)x + m + 1 seja 2.
(b) f(x) = mx2 + (m− 1)x + (m + 2) seja 2.
4. Determine p a fim de que o gra´fico de f(x) = 2x2 + x + (p − 1) na˜o intercepte o eixo
das abscissas.
5. Esboce o gra´fico de y = ax2 para a = ±1, ±2, ±3, em um u´nico sistema de coor-
denadas.
6. Com relac¸a˜o a func¸a˜o f dada, determine as ra´ızes(caso existam), o valor mı´nimo ou
valor ma´ximo e esboce o gra´fico.
(a) x2 − 3x + 2
(b) x2 − 4x + 4
(c) 2x2 + 3
7. (UFPA) Um aluno que se preparava para o vestibular resolveu adotar a func¸a˜o f(t) =
−t2 + 14t− 33 quando 3 ≤ t ≤ 11; para determinar o nu´mero de horas por dia que ele
deveria estudar no t-e´simo meˆs do ano. Em vista disso, e´ correto afirmar que:
(a) Ele iniciou sua preparac¸a˜o estudando duas horas por dia.
(b) O nu´mero ma´ximo de horas estudando por dia ocorreu no meˆs de julho.
(c) O nu´mero ma´ximo de horas estudadas por dia nunca ultrapassou 7h.
(d) O nu´mero de horas/dia estudadas em outubro foi maior que em setembro.
(e) O nu´mero ma´ximo de horas estudadas por dia ocorreu no meˆs de setembro.
8. Um avia˜o de 100 lugares foi fretado para excursa˜o. A companhia exigiu de cada passa-
geiro R$ 800,00 mais R$ 10,00 por cada lugar vago. Para que nu´mero de passageiros a
rentabilidade da empresa e´ ma´xima?
9. Joa˜o tem uma fa´brica de sorvetes. Ele vende, em me´dia, 300 caixas de picole´ por R$
20,00. Entretanto, percebeu que, cada vez que diminu´ıa R$ 1,00 no prec¸o da caixa,
vendia 40 caixas a mais. Quanto ele deveria cobrar pela caixa para que sua receita
fosse ma´xima?
10. Os alunos de uma turma fizeram uma coleta para juntar 405 reais, custo de uma
excursa˜o. Todos contribuiram igualmente. Na u´ltima hora, dois alunos desistiram.
Com isso, a parte de cada um sofreu um aumento de um real e vinte centavos. Quantos
alunos tem a turma?
11. (UFF-RJ) Considere f e g, func¸o˜es reais de varia´vel real, definidas por f(x) = ax2 +
bx + c e g(x) = ax2 + b. Sabe-se que f(−1) = f(2) = 0 e g(0) = 1).
(a) Determine as ra´ızes de g.
(b) Esboce, em uma u´nica figura, os gra´ficos das func¸o˜es f e g.
12. Encontre a expressa˜o da func¸a˜o cu´bica f que satisfaz f(1) = 6 e f(−1) = f(0) = f(2) =
0.
13. Encontre os zeros das func¸o˜es:
(a) f(x) = x3 − 25x
(b) f(x) = x3 − 36x
(c) f(x) = 3x3 − x2 − 2x
(d) f(x) = 5x3 − 5x2 − 10x
14. Segue a partir da Lei da Gravitac¸a˜o Universal de Newton que o peso P de um objeto,
em relac¸a˜o a` Terra, e´ inversamente proporcional ao quadrado da distaˆncia x entre o
objeto e o centro da Terra, isto e´, P = Cx2 .
(a) Supondo que um sate´lite meteorolo´gico pese 900 kg na superf´ıcie da Terra e que
ela e´ uma esfera de raio 6.500 km, ache a constante C.
(b) Ache o peso do sate´lite quando estiver a 1600 km acima da superf´ıcie da Terra.
(b) Fac¸a um gra´fico do peso do sate´lite versus sua distaˆncia ao centro da Terra. 4
(b) Ha´ alguma distaˆncia do centro da Terra na qual o peso do sate´lite e´ zero? Explique
seu racioc´ınio.
15. Determine quais das seguintes func¸o˜es sa˜o pares ou ı´mpares ou nenhuma das duas:
(a) f(x) = 3,
(b) f(x) = 2x2 + 5,
(c) f(x) = 5x3 + x,
16. Em uma experieˆncia com camundongos, foi observado que o tempo requerido para um
camundongo percorrer um labirinto, na n-e´sima tentativa, era dado pela func¸a˜o
f(n) =
(
3 +
12
n
)
minutos.
(a) Qual e´ o tempo necessa´rio para o camundongo percorrer o labirinto na terceira
tentativa? E na quinta?
(b) Em qual tentativa o camundongo leva 3 minutos e 30 segundos para percorrer o
labirinto?
17. Sejam f, g e h func¸o˜es reais definidas por f(x) = x3, g(x) = x + 3 e h(x) = −x2.
Determine:
(a) (f ◦ g)(x)
(b) (g ◦ h)(x)
(c) (h ◦ f)(x)
(d) (f ◦ h)(x)
(e) (g ◦ f ◦ h)(x).
18. Construa o gra´fico das seguintes func¸o˜es e determine o conjunto imagem de cada uma
delas.
(a) f(x) =
 2x + 1, se x ≥ 14− x, se x < 1
(b) f(x) =
 x2 , se x ≥ 02− x, se x < 0
19. Esboce o gra´fico das seguintes func¸o˜es:
(a) f(x) = 2cos(x)
(b) f(x) = 4− sen(x)
(c) f(x) = cos(x2 )
20. Deˆ a expressa˜o alge´brica para a func¸a˜o cujo gra´fico e´ dado abaixo: