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Cálculo Numérico Métodos Iterativos para o Cálculo de Raízes de Funções Prof. Onézimo Cardoso Link para Aula 02 http://www.mediafire.com/view/fhpiyrqxbiogw85/aula_02.pdf Método da Posição Falsa • A exemplo do Método da Bissecção, é utilizado para determinarmos uma raiz de uma função com uma tolerância pré- determinada; • Também se trata de um método iterativo, portanto, é composto de duas fases; FASE I : Localização ou isolamento das raízes, o qual consiste em obter um intervalo que contenha a raiz; FASE II : Refinamento, que consiste em, escolhidas as aproximações iniciais no intervalo encontrado na Fase I, melhorá-las sucessivamente até se obter uma aproximação para a raiz dentro de uma precisão 𝜀 prefixada; 1.1. Isolamento das Raízes • Nesse estágio, faz-se uso do seguinte Teorema: • Perceba, que para a Fase I, o método é idêntico ao Método da Bissecção; Teorema do Valor Intermediário (TVM): Seja 𝑓 𝑥 uma função contínua no intervalo fechado 𝑎, 𝑏 , tal que 𝑓 𝑎 e 𝑓(𝑏) possuem sinais opostos, isto é 𝑓 𝑎 𝑓 𝑏 < 0. Então existe uma raiz 𝑥 = 𝑐 de 𝑓 𝑥 = 0 em 𝑎, 𝑏 . Exemplo: Dada a função 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 9𝑥 + 3, temos a tabela a seguir para os sinais dos valores assumidos por 𝑓 mediante a variação dos valores de seu domínio: • Visto que 𝑓 é uma função polinomial, ela é contínua em todos os pontos de seu domínio e, em particular, para qualquer intervalo fechado de seu domínio; • Então, pelo TVM, temos que existe pelo menos um zero de 𝑓(𝑥) em cada um dos intervalos 𝐼1 = −5,−3 , 𝐼2 = 0, 1 , 𝐼3 = 2, 3 . 1.2. Refinamento • Nesse método, ao invés de tomar o 𝑐𝑘 como sendo o ponto que divide o intervalo ao meio, considera-se o ponto que cruza o eixo 𝑥 e está na reta que liga os pontos (𝑎, 𝑓(𝑎)) e (𝑏, 𝑓(𝑏)): • Perceba que os triângulos ∆𝐴𝐵𝐶 e ∆𝐶𝐷𝐸 são semelhantes: •Daí: 𝐴𝐵 𝐷𝐸 = 𝐵𝐶 𝐶𝐸 ⇒ 𝑓(𝑎) 𝑓(𝑏) = 𝑐 − 𝑎 𝑐 − 𝑏 ⇒ 𝑓 𝑎 𝑐 − 𝑓 𝑎 𝑏 = 𝑓 𝑏 𝑐 − 𝑓 𝑏 𝑎 ⇒ 𝑐 𝑓 𝑎 − 𝑓 𝑏 = 𝑓 𝑎 𝑏 − 𝑓 𝑏 𝑎 𝑐 = 𝑓 𝑎 𝑏 − 𝑓 𝑏 𝑎 𝑓 𝑎 − 𝑓(𝑏) 𝑜𝑢 𝑐 = 𝑓 𝑏 𝑎 − 𝑓 𝑎 𝑏 𝑓 𝑏 − 𝑓 𝑎 • Observe que outras duas caracterizações de 𝑐 são expressas por: 𝑐 = 𝑏 − 𝑓 𝑏 𝑎 − 𝑏 𝑓 𝑎 − 𝑓 𝑏 𝐼 𝑐 = 𝑎 − 𝑓 𝑎 𝑓 𝑏 − 𝑓 𝑎 𝑏 − 𝑎 (𝐼𝐼) • Em (𝐼), observe que: 𝑐 = 𝑏 𝑓 𝑎 − 𝑓 𝑏 − 𝑓(𝑏)(𝑎 − 𝑏) 𝑓 𝑎 − 𝑓(𝑏) ⇔ 𝑐 = 𝑏𝑓 𝑎 − 𝑏𝑓 𝑏 − 𝑓 𝑏 𝑎 + 𝑓(𝑏)𝑏 𝑓 𝑎 − 𝑓(𝑏) ⇔ 𝑐 = 𝑏𝑓 𝑎 − 𝑓(𝑏)𝑎 𝑓 𝑎 − 𝑓(𝑏) • Em (𝐼𝐼), temos: 𝑐 = 𝑎 − 𝑓(𝑎)(𝑏 − 𝑎) 𝑓 𝑏 − 𝑓(𝑎) ⇔ 𝑐 = 𝑎(𝑓 𝑏 − 𝑓 𝑎 ) − 𝑓(𝑎)(𝑏 − 𝑎) 𝑓 𝑏 − 𝑓(𝑎) ⇔ 𝑐 = 𝑎𝑓 𝑏 − 𝑎𝑓 𝑎 − 𝑓 𝑎 𝑏 + 𝑓 𝑎 𝑎 𝑓 𝑏 − 𝑓(𝑎) ⇔ 𝑐 = 𝑏𝑓 𝑎 − 𝑓(𝑏)𝑎 𝑓 𝑏 − 𝑓(𝑎) • Note que se 𝑓 𝑎 𝑓 𝑐 < 0, então, do mesmo modo como já ocorria no Método da Bissecção, 𝑏 = 𝑐; • Caso contrário, se 𝑓 𝑎 𝑓 𝑐 > 0, então, 𝑎 = 𝑐; Critério de Parada (Cont.) • 𝑥 é raiz aproximada com precisão 𝜖 se: 1. 𝑏 − 𝑎 < 𝜖1; 2. 𝑓(𝑥 ) < 𝜖2; Algoritmo • ESTRUTURA ITERATIVA (MÉTODO DA POSIÇÃO FALSA) Estimar a e b f(a)f(c)<0 c = (bf(a)-f(b)a)/(f(a)-f(b)) f(a)f(c)>0 b=c a=c SE SENÃO SE SENÃO |b-a|<є FIM! |f(c)|<є ou Exemplo • Utilizemos o Método da Posição Falsa para determinarmos a raiz da função 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 𝑥 − 4 = 0, com tolerância f c < 𝜖2 = 0.03; • Primeiramente, necessitamos descobrir o intervalo no qual procuraremos a raiz de 𝑓; • Observe que: 𝑓 𝑎 = 1 = −4 < 0 𝑓 𝑏 = 2 = 2 > 0 • Portanto, pelo Teorema do Valor Médio, existe uma raiz de 𝑓 no intervalo [1,2]; • Na primeira iteração, temos que o valor de 𝑐 é determinado por: 𝑐 = 1 ∙ 𝑓 2 − 2 ∙ 𝑓(1) 𝑓 2 − 𝑓(1) = 1,666 • Perceba que 𝑓 𝑐 = −1.042 • Temos nesse caso: 𝑓 𝑎 𝑓 𝑐 > 0 • Então, desse modo, 𝑎 = 𝑐 (para a próxima iteração); • Na próxima iteração, temos então que: 𝑐 = 1.666 ∙ 𝑓 2 − 2 ∙ 𝑓(1.666) 𝑓 2 − 𝑓(1.666) = 1.780 • Note que: 𝑓 𝑐 = 1.780 = −0.1402 < 0 • Temos então que 𝑓 𝑎 𝑓 𝑐 > 0, e, portanto, 𝑎 = 𝑐 na próxima iteração; • O cálculo de 𝑐 na iteração seguinte, é descrito por: 𝑐 = 1.780 ∙ 𝑓 2 − 2 ∙ 𝑓(1.780) 𝑓 2 − 𝑓(1.780) = 1.794 • Nesse caso temos: 𝑓 𝑐 = 1.794 = −0.0201 • Temos nesse caso, que: 𝑓 𝑐 < 0.03 = 𝜖2 • Portanto 𝑐 = 1.794, é uma raiz com tolerância aceitável; Exemplo • Aplique o método da posição falsa e encontre o valor da raiz da função 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 3, com 𝜖1 = 0.3 e 𝜖2 = 0.01 . Para isso, utilize o intervalo 1,2 ; Solução: A aplicação do Método conduz aos seguintes resultados: Solução no Matlab Exemplo • Aplique o método da posição falsa e encontre o valor da raiz da função 𝑓 𝑥 = 𝑒−𝑥(3.2𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 0.5 cos 𝑥 ) , com 𝜖1 = 0.3 e 𝜖2 = 0.001. Para isso, utilize o intervalo 3,4 ; Solução: A aplicação do Método conduz aos seguintes resultados: • Aplique o método da posição falsa e encontre a raiz de 𝑥3 + 3𝑥 − 5; Método do Ponto Fixo 1. Dada uma função 𝑓 x = 0, escreva a função na forma 𝑔 𝑥 = 𝑥; 2. Nomeei o lado esquerdo em função de 𝑥𝑛+1 e o lado direito em função de 𝑥𝑛; 3. Cheque se 𝑔 𝑥 = 𝑥 irá convergir para a solução, no intervalo fornecido; 4. Escolha um 𝑥0 arbitrário, pertencente ao intervalo que contém a raiz, e aplique-o na equação 𝑔 𝑥𝑛 = 𝑥𝑛+1; 5. Repita o procedimento até a série convergir; • Para realizarmos o passo 3, e checarmos se uma função 𝑔 𝑥 = 𝑥 é conveniente para aplicarmos o método, basta verificar se: • Dado o intervalo 𝐼 no qual iremos fazer a busca pela raiz, precisamos mostrar que: 𝑔′ 𝑥𝑖 < 1 ∀ 𝑥𝑖∈ 𝐼 Exemplo • Dada a função 𝑓 𝑥 = 𝑥3 + 8𝑥 − 7 = 0 , busquemos uma raiz de 𝑓 no intervalo 0,1 ; • Escolhamos 𝑔 𝑥 = 7−𝑥3 8 e mostremos que: 𝑔′ 𝑥𝑖 < 1 ∀ 𝑥𝑖∈ (0,1) • Note que: 𝑔′ 𝑥 = − 3 8 𝑥2 ⇒ |𝑔′ 𝑥 | = 3 8 𝑥2 ⇒ 𝑔′ 𝑥𝑖 < 1 ∀ 𝑥𝑖∈ (0,1) • Visto que: 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 ⇒ 0 ≤ 𝑥2≤ 1 ⇒ 0 ≤ 3 8 𝑥2≤ 3 8 < 1 • Apliquemos então o Método do Ponto Fixo para determinar uma raiz de 𝑓 𝑥 = 𝑥3 + 8𝑥 − 7 = 0 , no intervalo (0,1) , utilizando 𝑔 𝑥 = 7−𝑥3 8 e 𝑥0 = 0.75; Iteração (n) 𝒙𝒏 0 0.75 1 𝑥1 = 𝑔 𝑥0 = 0.8226 2 𝑥2 = 𝑔 𝑥1 =0.80550 3 𝑥3 = 𝑔 𝑥2 =0.80967 4 𝑥4 = 𝑔 𝑥3 =0.80865 5 𝑥5 = 𝑔 𝑥4 =0.80890 6 𝑥6 = 𝑔 𝑥5 =0.80884 7 𝑥7 = 𝑔 𝑥6 =0.80885 8 𝑥8 = 𝑔 𝑥6 =0.80885 • Temos portanto que 𝑐 = 0.80885 é uma aproximação para a raiz de 𝑓 𝑥 = 𝑥3 + 8𝑥 − 7 = 0; • De fato, tomando 𝑓 𝑥 = 𝑐 = −0,0000193328; Taxa de Convergência do Algoritmo • Após determinada a raiz aproximada da função, no caso do exemplo anterior, 𝑐 = 0.80885 , podemos obter a Taxa de Convergência do Algoritmo do Ponto Fixo, simplesmente tomando: 𝑔′ 𝑐 = − 3 8 (0.80885)2 = 0.57318 • Quanto menor o valor de |𝑔′(𝑐)| mais rápido o algoritmoconverge para a raiz da função 𝑓 𝑥 ; Programa em C Exemplo • Aplique o Método do Ponto Fixo e encontre a raiz da equação 𝑥2 − 𝑥 − 1 = 0 em (1,3); tome tome Não converge converge Por que a equação da esquerda converge e da direita não? • Seja 𝑥𝑛+1 = 𝑔 𝑥𝑛 , temos que: Se 𝑔′ 𝑟𝑎𝑖𝑧 < 1 então a equação representada por 𝑔 𝑥𝑛 converge, caso contrário, diverge; Exemplo • Aplique o método do ponto fixo na equação 𝑓 𝑥 = 𝑥3 + 4𝑥2 − 10 e descubra uma de suas raízes utilizando o intervalo (0,2) e 𝑥0 = 1,5; • Tomando 𝑔 𝑥 = 10 4+𝑥 e iniciando com 𝑥0 = 1,5, a partir da 7ª iteração o valor da raiz começa a repetir até 6ª casa decimal 𝑥 = 1.365230, tal raiz quando substituída em 𝑓(𝑥), retorna como valor 1,1813E-06 Exercícios 1. Aplicando o Método do Ponto Fixo, determine a raiz das funções abaixo: (𝜖 = 0.01) a) 𝑓 𝑥 = 𝑥4 − 𝑥 − 10, em (1,2); (𝑔 𝑥 = (𝑥 + 10)1/4) a) 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 1 2 , em 1,2 ; (𝑔 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + ( 1 2 )) 2. Aplicando o Método da Posição falsa, determine a raiz das equações abaixo: ( f c < 𝜖 = 0.01) a) 𝑓 𝑥 = ln 𝑥 − cos (𝑥), em (1,2); b) 𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥−1 − 1.5𝑥 em 0,1 ; Até próxima aula!
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