6 Filtros Digitais FIR

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Filtros Digitais 
 
 
DEET– Departamento de Engenharia Elétrica e de 
Telecomunicações 
 
Mestrado em Engenharia Elétrica 
 
 
Prof. Fábio Luis Perez, Dr. 
 
 
FURB – Universidade Regional de Blumenau 
Introdução a Filtros Digitais 
 Filtros digitais são implementados através de 
operações matemáticas aplicadas em um sinal 
amostrado. 
 Vantagens de um filtro digital 
 O desempenho não depende de componentes 
do circuito eletrônico, isto é, sua resposta não 
muda por mudanças ambientais (temperatura, 
umidade, etc.) 
 Desempenho muito superior ao de filtros 
analógicos 
 Resposta em frequência pode ser facilmente 
modificada (atualização do software) 
 
Introdução a Filtros Digitais 
 Filtros digitais podem apresentar fase 
perfeitamente linear 
 
 Desvantagens de um filtro digital 
 Em geral, possuem uma velocidade de resposta 
mais lenta do que a de filtros analógicos (A/D, 
processamento e D/A) 
 Sujeitos a erros de quantização (A/D). 
 Sujeitos a erros de aproximação (Tamanho dos 
coeficientes limitado). Em alguns casos pode 
levar à instabilidade. 
 
Tipos de Filtros Digitais 
 Os filtros digitais são classificados conforme sua 
resposta ao impulso 
 FIR (Finite Impulse Response): O valor da saída 
do filtro depende apenas dos valores de 
entradas anteriores 
 
 
 IIR (Infinite Impulse Response): O valor da 
saída depende dos valores da entrada e da 
saída anteriores 
 
 
0
( ) ( )
N
k
k
y n b x n k

 
0 1
( ) ( ) ( )
M N
k k
k k
y n b x n k a y n k
 
    
Filtros Digitais FIR 
 Filtros FIR possuem resposta de fase linear, isto 
é, não provoca distorção de fase no sinal filtrado, 
fundamental em aplicações como biomedicina, 
áudio e imagem. 
 São sempre estáveis, pois não são recursivos. 
 Efeitos da precisão finita e erros de quantização 
são menores em filtros FIR do que em filtros IIR. 
 Filtros FIR necessitam de mais coeficientes do 
que filtros IIR para atender a mesma 
especificação de projeto, o que acarreta em um 
tempo de execução maior (ou microprocessador 
mais rápido). 
Filtros Digitais FIR 
 Filtros FIR podem ser implementados, em geral, 
de 4 formas distintas: 
 Janelamento 
 Amostragem em frequência 
 Filtro ótimo 
 Mínimos quadrados 
 
 O projeto via janelamento é relativamente mais 
simples quando comparado com os demais 
métodos. 
Passa-Baixas Ideal 
 A resposta em frequência de um filtro passa-
baixas ideal com frequência de corte é dada 
por 
 
 
 
cuja resposta ao impulso é: 
c
1 | |
( )
0 | |
j
j c
d
c
e
H e
 

   
 
    
sin( )
( ) (Sinc)cd
n
h n
n



Não realizável (não causal 
e infinitas amostras) 
Janelamento 
 Para contornar a questão da não realização do PB 
ideal, define-se uma janela de comprimento 
finito N, na qual vale zero fora do intervalo 
 
 Desloca-se a resposta ao impulso do PB ideal 
para o centro da janela, isto é, 
 
 
 
 O filtro PB é obtido “janelando” a resposta do filtro 
ideal 
0 1n N  
sin[ ( )]
( )
( )
c
d
n
h n
n
 

 
Onde Deslocamento 
temporal não afeta o 
comportamento em frequência. 
2.N 
( ) ( ) ( )dh n h n w n
( )w n
Janelamento 
 A resposta em frequência do filtro ideal é 
suavizada pelo janelamento. 
 Existem muitos tipos de janelas que podem ser 
aplicadas para se obter o filtro desejado 
 A qualidade com que a resposta em frequência de 
um filtro FIR (janelado) se aproxima de um filtro 
ideal é dada por dois fatores: 
 A largura do lóbulo principal do espectro em 
frequência da janela 
 O valor do pico do lóbulo lateral do espectro em 
frequência da janela 
Características da Janela 
 Resposta em frequência típica (TFTD) de uma 
janela 
Características da Janela 
 Como o filtro PB real é dado pela multiplicação da 
resposta ao impulso pela janela, a resposta em 
frequência do filtro é dada pela convolução das 
respostas em frequências, isto é, 
 
 Dessa forma, quanto mais próxima for de um 
impulso, menos distorção na resposta em frequência 
do filtro passa-baixas ideal ocorrerá. 
 Assim, a largura do lóbulo principal deve ser estreita e 
a amplitude do lóbulo lateral deve ser pequena. 
 Contudo, estas duas variáveis não podem ser 
minimizadas independentemente. 
 
( ) ( ) T.F. ( ) ( )j jd dh n w n H e W e
 
( )jW e 
Características da Janela 
 Três importantes características das janelas: 
1) Conforme a ordem N aumenta, a largura do 
lóbulo principal se estreita, resultando na redução 
da banda de transição. Essa relação é 
aproximadamente dada por: 
 
2) A amplitude lóbulo lateral depende da forma da 
janela e não do comprimento. 
3) Se o formato da janela é modificado para se 
reduzir o lóbulo lateral, normalmente a largura do 
lóbulo principal é aumentada. 
N f c 
Exemplo de Janelas 
 Algumas janelas principais 
Exemplo de Janelas 
 Características das janelas 
 
 
 
 
 Note que quanto menor a banda de transição 
menor a atenuação na banda de rejeição. 
f
Comparação entre as Janelas 
 Formato das janelas (N = 300) 
0 50 100 150 200 250 300
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
n
 
 
Retangular
Hanning
Hamming
Blackman
Comparação entre as Janelas 
 Resposta em frequência das janelas (N = 300) 
-0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Frequência Normalizada (rad/s)
 
 
Retangular
Hanning
Hamming
Blackman
Projeto de Filtros Digitais IIR (Janela) 
Ex: Projete um filtro PB FIR com as seguintes 
especificações: 
 0.19 (rad/s)p   0.21 (rad/s)s  0.01s 
Projeto de Filtros Digitais IIR (Janela) 
Atenuação mínima na banda de rejeição 
 
Exceto a retangular não atende essa especificação. 
Será usado Hanning, pois é a que resultará em 
menor ordem. 
 
Banda de transição: 
20log(0.01) 40 dB 
0.21 0.19 0.02 (rad/s) 0.01 Hzs p f         
f
Projeto de Filtros Digitais IIR (Janela) 
Ordem: 
 
Filtro PB ideal: 
 
3.1 3.1 3.1 0.01 310f N N f      
f
Freq. de corte ( ) 2 0.2 (rad/s)c c s     
Atraso 2 155N  
sin[ ( )] sin[0.2 ( 155)]
( )
( ) ( 155)
c
d
n n
h n
n n
   
 
   
Projeto de Filtros Digitais IIR (Janela) 
Filtro PB FIR: 
 
 
( ) ( ) ( )dh n h n w n
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
-6000
-4000
-2000
0
Normalized Frequency ( rad/sample)
P
ha
se
 (d
eg
re
es
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
-200
-100
0
100
Normalized Frequency ( rad/sample)
M
ag
ni
tu
de
 (d
B
)
Janela de Kaiser 
 Kaiser desenvolveu uma família de janelas 
definidas pela seguinte função 
 
 
 
onde e é uma função de Bessel de 
primeiro tipo e ordem zero dada por: 
 
 
O parâmetro determina o formato da janela e 
controla o compromisso que existe entre largura do 
lóbulo principal e altura do lóbulo lateral. 
2 1 2[ (1 [( ) / ] ) ]
( ) 0 1
( )
o
o
I n
w n n N
I
   
   

2N  ( )oI x
2
1
( 2)
( ) 1
!
k
o
k
x
I x
k


 
   
 


Janela de Kaiser 
 Influência de nas características da janela 
Janela de Kaiser 
 Duas aproximações facilitam bastante o uso da 
janela de Kaiser:1) Parâmetro Beta 
 
 
 
 
onde 
 
s s
0.4
s s s
s
0.1102( 8.7) 50
0.5842( 21) 0.07886( 21) 21 50
0.0 21
   

         
  

s s20log( )   
Janela de Kaiser 
 
2) Relação entre número de coeficientes com a 
largura da banda de transição e atenuação na 
banda de rejeição 
s
s
7.95
 21
14.36
N
f
 
  

Implementação Kaiser Matlab 
%Projeto de filtro FIR 
%Exemplo com janela Kaiser 
 
clear all 
close all 
 
%especificações 
deltas=0.025; 
ws=0.21*pi; 
wp=0.19*pi; 
 
%frequência de corte 
wc=(ws+wp)/2; 
fc=wc/(2*pi); 
 
%cálculo de alfas (banda de rejeição) 
alfas=-20*log10(deltas); 
 
Implementação Kaiser Matlab 
%cálculo do beta em função do alfas 
if alfas<21 
 beta=0; 
elseif alfas>50 
 beta=0.1102*(alfas-8.7); 
else 
 beta=0.5842*(alfas-21)^.4 + 0.07886*(alfas-21); 
end 
 
%cálculo da banda de transição 
deltaw=ws-wp; 
deltaf=deltaw/(2*pi); 
 
%determinação da ordem 
N=ceil((alfas-7.95)/(14.36*deltaf)); %ceil arredonda para o 
inteiro acima 
disp(['Ordem necessária =',num2str(N)]); 
Implementação Kaiser Matlab 
%deslocando o filtro ideal para o meio da janela 
alfa=(N/2); 
 
n=0:N-1; 
%determina o filtro ideal 
hd=2*fc*sinc(2*fc*(n - alfa)); 
 
%cálculo da janela de Kaiser 
vetB=beta*sqrt((1 - ((n-alfa)/alfa).^2)); 
w=besseli(0,vetB)./(besseli(0,beta));%função de Bessel de 
ordem 0 e tipo 1 
 
%determinação do filtro Passa-Baixas FIR Janelado 
h=hd.*w; 
 
%gráficos 
figure; 
plot(w); 
 
figure; 
freqz(h) 
Filtro Passa-Altas 
 
 Os demais filtros (PA, PF e RF) podem ser obtidos 
a partir do filtro PB. 
 O Filtro PA FIR pode ser obtido como: 
 2 Estágios 
Filtro Passa-Altas 
 1 Estágio 
 
 
 
 
 
Inversão do sinal da resposta ao impulso do filtro 
Passa-Baixas e adicionar 1 no centro do filtro. 
Filtro Passa-Faixa 
 2 Estágios 
 
 
 
 
 1 Estágio 
Filtro Rejeita-Faixa 
 2 Estágios 
 
 
 
 
 1 Estágio 
Filtros FIR Resumo 
Tipo 
PB 
PA 
PF 
RF 
| ( ) |jH e  Resposta ao impulso ( )h n
c
c
1, 0 | |
0, | |
   

    
c
c
, 
sin[ ( )]
, 
( )
n
n
n
n

  

 
  
 
c
c
0, 0 | |
1, | |
   

    
c
c
1 , 
sin[ ( )]
, 
( )
n
n
n
n

   

 
  
  c1
c c21
c2
0, 0 | |
1, | |
0, | |
   

    
     
c2 c1
c2 c1
, 
sin[ ( )] sin[ ( )]
, 
( )
n
n n
n
n
 
  

    
  
  c1
c c21
c2
1, 0 | |
0, | |
1, | |
   

    
     
c2 c1
c1 c2
1 , 
sin[ ( )] sin[ ( )]
, 
( )
n
n n
n
n
 
   

    
  
 