IMPLEMENTAÇÃO DE UM FILTRO DIGITAL UTILIZANDO O MATLAB PARA FILTRAGEM DE SINAIS SONOROS

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CENTRO UNIVERSITÁRIO DO LESTE DE MINAS GERAIS 
 
CURSO DE ENGENHARIA ELÉTRICA 
 
 
 
 
 
 
IGOR OLIVEIRA SOUZA 
MATHEUS HENRIQUE MACIEIRA 
 
 
 
 
IMPLEMENTAÇÃO DE UM FILTRO DIGITAL UTILIZANDO O MATLAB PARA 
FILTRAGEM DE SINAIS SONOROS 
 
 
 
 
 
 
 
Coronel Fabriciano – MG 
2016 
 
IGOR OLIVEIRA SOUZA 
MATHEUS HENRIQUE MACIEIRA 
 
 
 
 
 
 
 
 
IMPLEMENTAÇÃO DE UM FILTRO DIGITAL UTILIZANDO O MATLAB PARA 
FILTRAGEM DE SINAIS SONOROS 
 
 
 
 
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado 
ao Curso de Engenharia Elétrica do Centro 
Universitário do Leste de Minas Gerais como 
requisito parcial para obtenção do título de 
Bacharel em Engenharia Elétrica. 
Orientador: Silvano Fonseca Paganoto 
 
 
 
 
 
 
 
 
Coronel Fabriciano – MG 
2016 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Agradeço primeiramente a Deus por mais esse sonho 
concretizado, ao ensinamento de todos os professores, 
em especial ao professor Luciano Bittencourt pela 
grandiosa ajuda, ao apoio da minha família e amigos e 
a mim que mantive o meu foco para não desistir dos 
meus ideais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
“Que os vossos esforços desafiem as impossibilidades, 
lembrai-vos de que as grandes coisas do homem foram 
conquistadas do que parecia impossível”. 
 
(Charles Chaplin) 
 
 
 
RESUMO 
 
Sinais são fundamentais para transmissão de informações, sendo que a presença de ruídos 
nesses sinais pode comprometer o conteúdo desta informação transmitida. Sabendo da 
necessidade na precisão da transmissão de informações, foi desenvolvido um Filtro Digital do 
tipo FIR utilizando comandos lógicos do software MATLAB para realizar a filtragem de 
sinais sonoros proveniente de uma placa de som e disponibilizar um sinal de saída sem à 
presença indesejada de ruídos, garantindo uma maior precisão e entendimento da informação 
transmitida. 
 
Palavras-chave: Frequências. Filtros Digitais. Filtros FIR. MATLAB. Sinais. 
 
 
 
 
ABSTRACT 
 
Signals are essential for transmission of information, and the presence of noise in these 
signals may compromise the content of the information transmitted. Knowing the need on the 
accuracy of information transmission, it developed a Digital Filter FIR type using logic 
commands of MATLAB software to perform filtering sound signals from a sound card and 
provide an output signal without the unwanted presence of noise, ensuring greater accuracy 
and understanding of the information transmitted. 
KeyWords: Frequencies. Digital Filters. Filters FIR. MATLAB. Signals. 
 
 
LISTA DE FIGURAS 
 
Figura 1 - Representação Gráfica de Sinais de Tempo Discreto .............................................. 17 
Figura 2 - Representação Gráfica de Sinais de Tempo Contínuo............................................. 18 
Figura 3 - Efeito da Mudança de Escala de Tempo em um Sinal de Tempo Contínuo - Sinal de 
Tempo Contínuo ....................................................................................................................... 21 
Figura 4 - Efeito da Mudança de Escala de Tempo em um Sinal de Tempo Contínuo - Versão 
Comprimida .............................................................................................................................. 21 
Figura 5 - Efeito da Mudança de Escala de Tempo em um Sinal de Tempo Contínuo - Versão 
Expandida ................................................................................................................................. 22 
Figura 6 - Efeito da Mudança de Escala de Tempo em um Sinal de Tempo Discreto - Sinal de 
Tempo Discreto ........................................................................................................................ 22 
Figura 7 - Efeito da Mudança de Escala de Tempo em um Sinal de Tempo Discreto - Versão 
Comprimida .............................................................................................................................. 22 
Figura 8 - Filtragem de Sinal no Tempo Contínuo através de um Filtro Digital ..................... 25 
Figura 9 - Amostragem por trem de impulsos .......................................................................... 27 
Figura 10 - Sinal Original no Tempo Discreto ......................................................................... 28 
Figura 11 - Sinal com Interpolação no Tempo Discreto .......................................................... 28 
Figura 12 - Resposta em frequência da atenuação do filtro passa-alta ..................................... 30 
Figura 13 - Circuito Básico RC Filtro Passa-Alta .................................................................... 31 
Figura 14 - Resposta em frequência da atenuação do filtro passa-baixa .................................. 31 
Figura 15 - Circuito Básico RC Filtro Passa-Baixa .................................................................. 31 
Figura 16 - Resposta em frequência da atenuação do filtro passa-faixa .................................. 32 
Figura 17 - Circuito Básico RLC Filtro Passa-Faixa ................................................................ 33 
Figura 18 - Resposta em frequência da atenuação do filtro rejeita-faixa ................................. 33 
Figura 19 - Circuito Básico RLC Filtro Rejeita-Faixa ............................................................. 34 
Figura 20 - Elemento somador ................................................................................................. 35 
Figura 21 - Elemento multiplicador.......................................................................................... 36 
Figura 22 – Elemento de atraso ................................................................................................ 36 
Figura 23 - Estrutura direta do filtro FIR ................................................................................. 36 
Figura 24 - Estrutura em cascata do filtro FIR ......................................................................... 37 
Figura 25 – Valores supostos para uma resposta ideal ao impulso h(n) truncada .................... 38 
Figura 26 - Resposta em amplitude para a função h(n) suposta ............................................... 39 
 
Figura 27 - Resposta em frequência de uma função-janela ...................................................... 40 
Figura 28 - Janela de Hamming ................................................................................................ 41 
Figura 29 - Janela de Blackman ............................................................................................... 41 
Figura 30 - Estrutura Geral do Filtro IIR .................................................................................. 42 
Figura 31 - Espectro de frequências do sinal capturado da sirene............................................ 44 
Figura 32 - Espectro de frequências do sinal capturado da voz ............................................... 44 
Figura 33 - Espectro de frequências do sinal capturado da voz com a sirene ligada ............... 45 
Figura 34 - Módulo de 𝐻𝑑(𝑒𝑗𝜔) em função da frequência ω para um filtro passa-baixas ...... 46 
Figura 35 - Gráfico da função sinc ........................................................................................... 48 
Figura 36 - Espectrograma com o resultado da janela de Hamming ........................................ 49 
Figura 37 - Espectrograma com o resultado da janela de Blackman........................................50 
Figura 38 - Resposta em frequência da função h usando a janela de Blackman ...................... 53 
Figura 39 - Amplitude do sinal de áudio .................................................................................. 54 
Figura 40 - Comparação dos espectros de frequências do áudio original e após filtragem ..... 55 
Figura 41 - Comparação dos espectros de frequências do áudio original e após filtragem (com 
zoom) ........................................................................................................................................ 55 
Figura 42 - Propriedades do filtro FIR com janela de Blackman ............................................. 56 
Figura 43 - Resposta em magnitude do filtro FIR com janela de Blackman............................ 57 
 
 
 
 
NOMENCLATURA 
 
𝜃(𝑤) - Fase da Senóide Complexa 
𝛿[𝑛] – Impulso Deslocado no Tempo 
𝛾 – Coeficiente do Filtro FIR na estrutura cascata 
𝐴 – Fator de Multiplicação para Mudança de Escala de Tempo no Tempo Contínuo 
𝑎 – Constante Complexa 
𝑏𝑛 – Coeficientes do Filtro FIR 
𝑐 – Fator de Multiplicação para Mudança Escalar 
𝐶 – Capacitância 
𝑒𝑗𝑤 – Módulo da Senóide Completa 
𝑓𝑐 – Frequência de Corte 
ℎ[𝑛], ℎ(𝑛) – Resposta ao Impulso no Domínio do Tempo Discreto 
𝐻[𝑒𝑗𝑤], 𝐻(𝑒𝑗𝑤) – Resposta ao Impulso no Domínio da Frequência 
𝐻(𝑧) – Resposta ao Impulso no Domínio Z 
𝑘 - Instante de Tempo 
𝐾 - Fator de Multiplicação para Mudança de Escala de Tempo no Tempo Contínuo 
𝐿 – Indutância 
𝑀 – Comprimento do Filtro 
𝑛 – Número de Amostras no Tempo Discreto 
𝑝(𝑡) – Função de Impulsos Unitários Periódicos 
R – Resistência 
𝑡 – Número de Amostras no Tempo Contínuo 
 
𝑇 – Período de Amostragem 
𝑉(𝑡) – Tensão 
𝑥𝑝(𝑡) – Função do Trem de Impulsos 
𝑥[𝑛], 𝑥(𝑛) – Sinal de Entrada no Tempo Discreto 
𝑥(𝑡) – Sinal de Entrada no Tempo Contínuo 
𝑥[−𝑛] – Sinal de Entrada Refletida no Tempo Discreto 
𝑥(−𝑡) – Sinal de Entrada Refletida no Tempo Contínuo 
𝑦[𝑛], 𝑦(𝑛) – Sinal de Saída no Tempo Discreto 
𝑦(𝑡) – Sinal de Saída no Tempo Contínuo 
𝑧𝑛 – Função Exponencial 
𝜔𝑐 – Frequência de Corte 
𝜔𝑠 – Frequência Fundamental 
|𝜔| – Frequência 
 
 
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS 
 
FIR – Filtros Digitais com Resposta Finita ao Impulso 
FPA – Filtros Passa-Alta 
FPB – Filtros Passa-Baixa 
FPF – Filtros Passa-Faixa 
FRF – Filtros Rejeita-Faixa 
IIR – Filtros Digitais com Resposta Infinita ao Impulso 
LIT – Linear Invariante no Tempo 
RC – Circuito Composto por Resistores e Capacitores 
RLC – Circuito Composto Por Resistores, Indutores e Capacitores 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
1 INTRODUÇÃO ........................................................................................................ 14 
1.1 Definição do problema ............................................................................................. 15 
1.2 Objetivos ................................................................................................................... 15 
1.2.1 Objetivo Geral .................................................................................................... 15 
1.2.2 Objetivo Específico ............................................................................................ 15 
1.3 Justificativa ............................................................................................................... 15 
1.4 Procedimentos Metodológicos ................................................................................ 16 
2 REVISÃO DE LITERATURA ............................................................................... 17 
2.1 Processamento de Sinais .......................................................................................... 18 
2.2 Sistema Linear Invariante no Tempo .................................................................... 23 
2.2.1 Convolução ........................................................................................................ 23 
2.3 Amostragem de sinais contínuos ............................................................................ 24 
2.3.1 Teorema da amostragem ................................................................................... 25 
2.3.2 Amostragem com trem de impulsos .................................................................. 26 
2.3.3 Interpolação ....................................................................................................... 27 
2.4 Transformada de Fourier Discreta e Transformada Z ........................................ 28 
2.5 Filtros ........................................................................................................................ 29 
2.5.1 Filtros analógicos .............................................................................................. 29 
2.5.2 Filtros digitais .................................................................................................... 34 
2.5.2.1 Filtros FIR ......................................................................................................... 34 
2.5.2.2 Filtros IIR .......................................................................................................... 42 
3 RESULTADOS E DISCUSSÕES ........................................................................... 43 
3.1 Coleta do sinal ruidoso ............................................................................................ 43 
3.2 Determinação e modelagem do filtro ideal ............................................................ 45 
3.3 Implementação do filtro FIR .................................................................................. 48 
3.3.1 Parâmetros do filtro FIR ................................................................................... 50 
3.3.2 Desempenho do filtro usando a janela de Blackman ....................................... 53 
4 CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS .................. 58 
REFERÊNCIAS ..................................................................................................................... 59 
 
APÊNDICE A – FUNÇÃO PARA GRAVAR ÁUDIO ....................................................... 61 
APÊNDICE B – FUNÇÃO DA TRANSFORMADA RÁPIDA DE FOURIER ................ 62 
APÊNDICE C – FUNÇÃO PARA GERAR OS COEFICIENTES DO FILTRO IDEAL .. 
 .................................................................................................................................... 63 
APÊNDICE D – ALGORITMO DO FILTRO FIR ............................................................ 64 
ANEXO A – FUNÇÃO FREQZ_M ...................................................................................... 67 
 
 
 
 
14 
1 INTRODUÇÃO 
Todo sinal é uma função de alguma variável, ele pode representar tempo, temperatura, sons, 
etc., ele sempre carrega algum tipo de informação (HAYKIN; VEEN, 2001, p. 22). Embora 
esse sinal tenha em sua essência a informação que se deseja, ele pode sofrer interferências de 
ruídos que são sobrepostos ao sinal principal, resultando em um sinal com informação 
distorcida e dependendo da importância da clareza dessa informação e da intensidade dos 
ruídos que foram incorporados ao sinal original, o funcionamento do sistema que faz uso do 
sinal pode ser comprometido. Pensando na purificação do sinal é que entra a importância dos 
filtros corretamente ajustados. 
Os filtros são sistemas lineares capazes de processar o sinal e eliminar interferências, 
permitindo a passagem apenas de sinais em determinada faixa de frequência especificada, 
bloqueando a passagem em frequências indesejadas, eliminando qualquer ruído presente. 
Esses filtros podem possuir processamento analógicoou digital (INSTITUTO NEWTON C. 
BRAGA, 2016). 
O processamento de sinal utiliza de diferentes formas, variáveis e métodos para realizar o 
controle de seu processo, como por exemplo, modelos matemáticos, estatísticas, computação, 
modelagem, etc. 
O processamento analógico de sinais é feito utilizando resistores, capacitores e indutores. 
Esses componentes, sob influência de temperatura, variação de tensão e variações mecânicas, 
podem ter sua eficiência afetada. 
Os filtros com processamento analógicos ou filtros analógicos são mais baratos que os filtros 
com processamento digitais ou filtros digitais em contrapartida os filtros digitais conseguem 
desempenhos muito melhores que os analógicos. 
O processamento digital de sinal ocorre utilizando comandos lógicos em componentes 
eletrônicos de processamento, como por exemplo, microcontroladores e FPGA (Field 
Programmable Gate Array – Matriz de Portas Programáveis), esses componentes fazem a 
leitura do sinal de entrada e através de sua lógica já programada convertem esse sinal gerando 
um novo sinal com as características desejadas. 
15 
O filtro digital pode ser representado com resposta ao impulso, resposta do sistema quando 
aplicado um impulso na entrada, resposta ao degrau, resposta do sistema quando aplicado um 
degrau na entrada ou resposta a frequência, utilizando a transformada de Fourier da resposta 
do impulso. 
1.1 Definição do problema 
Como utilizar o software MATLAB de modo que ele seja capaz de realizar a filtragem de 
sinais sonoros? 
1.2 Objetivos 
1.2.1 Objetivo Geral 
Desenvolver um algoritmo para o MATLAB realizar a filtragem do sinal sonoro a uma 
frequência previamente selecionada, para garantir um sinal de saída com menos ruídos e 
otimizado. 
1.2.2 Objetivo Específico 
 Elaborar um Filtro Digital FIR utilizando a estrutura direta no software MATLAB; 
 Eliminar a presença de sinais em frequências indesejadas (ruídos) presente no sinal 
sonoro. 
1.3 Justificativa 
Alguns sistemas necessitam operar com sinais com pouca presença de ruídos para não sofrer 
nenhuma alteração indesejada em seu processo, necessitando muitas vezes da utilização de 
filtros. Entre os filtros existentes, algumas características dos Filtros Digitais o fazem ser mais 
recomendável que o Analógico, como por exemplo, possuírem um menor custo de 
manutenção, controle mais preciso, operar em frequências elevadas com facilidade e seus 
componentes possuírem vida útil mais elevada que Filtros Analógicos. 
 
16 
 
1.4 Procedimentos Metodológicos 
Os comandos lógicos do MATLAB foram desenvolvidos utilizando uma pesquisa 
experimental, utilizando conhecimentos pré-existentes para o desenvolvimento da lógica, 
sendo eles o objeto de estudo, o sinal sonoro antes e depois da filtragem foi a variável 
influenciada, sendo a lógica do MATLAB a forma de controle. 
A lógica do MATLAB foi testada minunciosamente com o objetivo de encontrar e corrigir 
erros que poderiam comprometer o resultado da simulação, logo após, um sinal sonoro com a 
presença de ruídos foi submetido à filtragem digital do MATLAB e observado o sinal de 
saída. 
Primeiramente, após serem desenvolvidos os comandos lógicos do software MATLAB foram 
realizados diversos testes com o objetivo de detectar possíveis erros e corrigi-los. 
Posteriormente, essa lógica foi submetida a um sinal sonoro com presença de ruídos para ser 
analisado o sinal presente na saída. 
Através das análises entre as formas de onda presente no sinal sonoro de entrada e saída foi 
possível comprovar o funcionamento do software MATLAB operando como filtro digital. 
17 
2 REVISÃO DE LITERATURA 
De acordo com Haykin e Veen (2001, p. 22) "Um sinal é formalmente definido como uma 
função de uma ou mais variáveis, a qual veicula informações sobre a natureza de um 
fenômeno físico". 
Os sinais são, frequentemente, encontrados com alguma alteração em sua informação original, 
causadas por interferências externas, ruídos aleatórios, havendo a necessidade de extrair o 
sinal original, sinal de interesse, misturado com os outros sinais vindos das interferências, 
utilizando filtros capazes de realizar essa separação (MICROCHIP, 2002, p.24). 
Os sinais podem ser classificados com sinal de tempo discreto, representado pela Figura 1, e 
sinais de tempo contínuo, representado pela Figura 2. Um sinal é considerado de tempo 
contínuo caso esse sinal varie sua amplitude ou valor continuamente com o tempo. Enquanto 
no sinal de tempo discreto sua variação ocorre em determinados instantes isolados de tempo 
(HAYKIN; VEEN, 2001, p. 34). 
Figura 1 - Representação Gráfica de Sinais de Tempo Discreto 
 
Fonte: Oppenheim; Willsky, 2010 
 
18 
Figura 2 - Representação Gráfica de Sinais de Tempo Contínuo 
 
Fonte: Oppenheim; Willsky, 2010 
 
A análise ou modificações desses sinais utilizando modelos matemáticos, lógicas ou 
aplicações são conhecidas como Processamento de Sinal. Esse processamento pode ocorrer 
tanto de forma analógica como de forma digital. Os filtros analógicos/digitais são os 
componentes capazes de realizar esse processamento. 
2.1 Processamento de Sinais 
O processamento analógico de sinal consiste em um sistema composto por um hardware 
analógico que modifica um sinal de variação continua, conhecido como sinal de tempo 
continuo, com um determinado objetivo, normalmente essas modificações podem ser 
descritas por equações diferenciais. Enquanto no processamento digital de sinal um hardware 
digital é responsável por processar sinais contendo sequências de números, conhecido como 
sinais de tempo discreto, esse hardware realiza a leitura do sinal de entrada e faz o 
processamento através da sua lógica programada (DINIZ; SILVA; NETTO, 2014, p. 1). 
Hardwares analógicos são compostos normalmente de resistores, capacitores e indutores, 
sistemas que podem tem sua eficiência afetada devido a diversas variáveis como, por 
exemplo, variação de temperatura. Já os hardwares digitais utilizam componentes eletrônicos 
de processamento, utilizando sua lógica programa para realizar o processamento de sinal. 
Devido a maior facilidade de configuração e implementação, os hardwares digitais possuem 
um processamento de sinal mais poderoso e preciso que os analógicos. Mas para ser possível 
processar um sinal analógico, sinal com variação contínua, utilizando processamento digital é 
19 
preciso converter o sinal no tempo contínuo em sinal no tempo discreto e logo após o 
processamento recuperar esse sinal contínuo. (DINIZ; SILVA; NETTO, 2014, p. 2). 
Os sinais de tempo discreto, também conhecido como sinais digitas, possui sua variável 
independente assumindo um conjunto discreto de valores, pois essa variável varia apenas em 
instantes discretos do tempo. Exemplos desse tipo de sinal são: número de filhos, índice da 
bolsa de valores, etc. (OPPENHEIM; WILLSKY, 2010, p. 2). 
Os sinais digitais são processados em sistemas de tempo discreto, processamento digital, esses 
sistemas trata os sinais de entrada de tempo discreto resultando uma saída com os sinais 
também em tempo discreto (OPPENHEIM; WILLSKY, 2010, p. 25). 
Nos sinais de tempo contínuo, ou sinais analógicos, segundo Oppenheim e Willsky (2010, p. 
2), “a variável independente é contínua e, portanto, esses sinais são definidos em um conjunto 
contínuo de valores independentes”. Exemplos de sinais de tempo contínuo são: Tensão e 
corrente elétrica, movimento de um corpo, voz humana, etc. 
Esses sinais são processados em sistemas de tempo contínuo, processamento analógico, 
nesses sistemas os sinais de entrada de tempo contínuo são tratados tendo como resultados 
saídas com sinais de tempo contínuo (OPPENHEIM; WILLSKY,2010, p. 25). 
Tanto os sistemas de processamento analógico como o de processamento digital operam com 
um conjunto de operações básicas, essas operações básicas são: mudança de escala de 
amplitude, adição, multiplicação, diferenciação, integração, mudanças na escala de tempo e 
reflexão. 
Na operação mudança de escala de amplitude o sinal de saída é obtido quando um 
determinado fator 𝑐 é multiplicado pelo sinal de entrada, resultando na mudança de escala de 
aplicada da entrada. Um amplificador eletrônico é um dispositivo físico que serve como 
exemplo dessa operação. A Equação 1 representa essa operação no tempo contínuo, enquanto 
a Equação 2 representa no tempo discreto. (HAYKIN; VEEN, 2001, p. 40). 
 𝑦(𝑡) = 𝑐 × 𝑥(𝑡) (1) 
 𝑦[𝑛] = 𝑐 × 𝑥[𝑛] (2) 
20 
A adição, representada pela Equação 3 no tempo contínuo e Equação 4 no tempo discreto, 
consiste em realizar a soma entre dois sinais, combinando os seus valores. Já na 
multiplicação, representada na Equação 5 no tempo contínuo e Equação 6 no tempo discreto, 
em cada instante de tempo o valor do sinal de saída é o resultado da multiplicação das 
entradas (HAYKIN; VEEN, 2001, p. 40). 
 𝑦(𝑡) = 𝑥1(𝑡) + 𝑥2(𝑡) (3) 
 𝑦[𝑛] = 𝑥1[𝑛] + 𝑥2[𝑛] (4) 
 𝑦(𝑡) = 𝑥1(𝑡) × 𝑥2(𝑡) (5) 
 𝑦[𝑛] = 𝑥1[𝑛] × 𝑥2[𝑛] (6) 
A diferenciação, Equação 7, consiste que o sinal de saída seja o resultado da derivada do sinal 
de entrada, um exemplo é o cálculo da tensão do indutor através de sua corrente, represento 
pela Equação 8. Enquanto a integração, Equação 9, o sinal de saída é o resultado da integral 
do sinal de entrada, um exemplo é o cálculo da tensão do capacitor através da corrente, 
representado pela Equação 10 (HAYKIN; VEEN, 2001, p. 41). 
 
𝑦(𝑡) =
𝑑
𝑑𝑡
𝑥(𝑡) 
(7) 
 
𝑉(𝑡) = 𝐿
𝑑
𝑑𝑡
𝑖(𝑡) 
(8) 
 
𝑦(𝑡) = ∫ 𝑥(𝑡)𝑑𝑡
1
−∞
 
(9) 
 
𝑉(𝑡) =
1
𝐶
∫ 𝑖(𝑡)𝑑𝑡
1
−∞
 
(10) 
Na mudança de escala de tempo em sinais de tempo contínuo, Equação 11, o sinal de entrada, 
Figura 3, é multiplicado por um fator 𝐴 causando uma mudança de escala resultando que o 
sinal de saída seja uma versão comprimida (caso 𝐴 > 1, Figura 4) ou expandida (caso 0 <
𝐴 < 1, Figura 5) da entrada. Caso o sinal for de tempo discreto, Equação 12 e Figura 6, o 
21 
fator 𝐾 a ser multiplicado deve ser definido apenas com valores inteiros, se 𝐾 > 1 alguns 
valores do sinal serão perdidos, Figura 7 (HAYKIN; VEEN, 2001, p. 42). 
 𝑦(𝑡) = 𝑥(𝐴 × 𝑡) (11) 
 𝑦[𝑛] = 𝑥[𝐾 × 𝑛] (12) 
Figura 3 - Efeito da Mudança de Escala de Tempo em um Sinal de Tempo Contínuo - Sinal de 
Tempo Contínuo 
 
Fonte: Haykin; Veen, 2001 
 
Figura 4 - Efeito da Mudança de Escala de Tempo em um Sinal de Tempo Contínuo - Versão 
Comprimida 
 
Fonte: Haykin; Veen, 2001 
 
22 
Figura 5 - Efeito da Mudança de Escala de Tempo em um Sinal de Tempo Contínuo - Versão 
Expandida 
 
Fonte: Haykin; Veen, 2001 
 
Figura 6 - Efeito da Mudança de Escala de Tempo em um Sinal de Tempo Discreto - Sinal de 
Tempo Discreto 
 
Fonte: Haykin; Veen, 2001 
 
Figura 7 - Efeito da Mudança de Escala de Tempo em um Sinal de Tempo Discreto - Versão 
Comprimida 
 
Fonte: Haykin; Veen, 2001 
 
23 
E na reflexão o sinal resultante da saída será uma versão refletida no sinal de entrada, 
Equação 13 no tempo contínuo e Equação 14 no tempo discreto (HAYKIN; VEEN, 2001, p. 
42). 
 𝑦(𝑡) = 𝑥(−𝑡) (13) 
 𝑦[𝑛] = 𝑥[−𝑛] (14) 
2.2 Sistema Linear Invariante no Tempo 
Sistemas lineares invariantes no tempo (LIT) são sistemas onde as operações realizadas 
dependem exclusivamente do sinal de entrada, não dependendo do tempo, portanto essas 
operações operam de maneira linear, não sofrem alterações nenhuma no decorrer do tempo no 
processo. As operações básicas (soma, multiplicação, diferenciação, integração, mudança de 
escala e mudanças de amplitude) são operações lineares de um sistema LIT. 
Os sistemas LIT podem ser do tipo SISO, MISO, SIMO ou MIMO. Sistemas LIT SISO 
apresentam apenas uma única entrada e uma única saída. Os sistemas LIT MISO possuem 
múltiplas entradas e uma única saída. Os sistemas LIT SIMO possuem uma única entrada e 
múltiplas saídas. E o sistema LIT MIMO possuem múltiplas entradas e múltiplas saídas. Um 
detalhe importante é que mesmo com os sistemas possuindo mais de uma entrada e/ou saída 
ele deve ser decomposto em um meio que permite que o sistema seja lido de forma linear. 
2.2.1 Convolução 
Uma propriedade básica de sistemas LIT é apresentar como saída uma resposta ao impulso 
quando uma entrada de impulso é aplicada no instante 0, esse comportamento caracteriza o 
funcionamento dos sistemas LIT. Cada tipo diferente de sistema possui uma resposta 
característica quando excitada por um impulso na entrada (HAYKIN; VEEN, 2001, p. 86). 
Quando um sistema LIT tem como sinal de entrada uma superposição ponderada de impulsos 
deslocados no tempo, representados pela Equação 15, ele apresenta como saída uma 
superposição ponderada de respostas ao impulso deslocadas no tempo, onde 𝛿[𝑛 − 𝑘] 
representa o impulso deslocado no tempo e 𝑘 é um determinado instante de tempo. Essa saída 
24 
é conhecida como soma de convolução ou integral de convolução (HAYKIN; VEEN, 2001, p. 
86). 
 
𝑥[𝑛] = ∑ 𝑥[𝑘] × 𝛿[𝑛 − 𝑘]
∞
𝑘=−∞
 
(15) 
Uma superposição ponderada é uma saída resultante da soma ponderada de diversos sinais em 
um sistema linear, conhecida como linearidade. A linearidade possui duas propriedades que 
são as aditividade e homogeneidade. Essas duas propriedades sendo combinadas em uma 
única equação resulta nas Equações 16 e 17, onde 𝑎 é apenas uma constante complexa 
qualquer (OPPENHEIM; WILLSKY, 2010, p. 34). 
 
𝑥[𝑛] = ∑ 𝑎𝑘 × 𝑥𝑘[𝑛]
𝑘
= 𝑎1𝑥1[𝑛] + 𝑎2𝑥2[𝑛] + ⋯ 
(16) 
 
𝑦[𝑛] = ∑ 𝑎𝑘 × 𝑦𝑘[𝑛]
𝑘
= 𝑎1𝑦1[𝑛] + 𝑎2𝑦2[𝑛] + ⋯ 
(17) 
A Equação 18 representa a soma de convolução, que é a resposta apresentada a um impulso 
deslocado no tempo no sistema de tempo continuo, sendo ℎ[𝑛 − 𝑘] representa a resposta do 
sistema linear ao impulso deslocado no tempo 𝛿[𝑛 − 𝑘] . Essa também é representada 
simbolicamente pela Equação 19, sendo ℎ[𝑛] a saída quando 𝛿[𝑛] é a entrada (OPPENHEIM; 
WILLSKY, 2010, p.49). 
 
𝑦[𝑛] = ∑ 𝑥[𝑘] × 𝛿[𝑛 − 𝑘]
∞
𝑘=−∞
 
(18) 
 𝑦[𝑛] = 𝑥[𝑛] ∗ ℎ[𝑛] (19) 
2.3 Amostragem de sinais contínuos 
O sinal de tempo contínuo pode ser representado através de amostras de sinal em tempo 
discreto, sendo possível com essa conversão processar esse sinal contínuo em um sistema de 
tempo discreto (DINIZ; SILVA; NETTO, 2014, p. 33). Para processar um sinal de tempo 
25 
contínuo em um processador digital, é necessário realizar sua amostragem através de um 
conversor analógico-digital (A/D) em um número discreto de amostras (OLIVEIRA, 2012, p. 
390). Para que o processamento desse sinal ocorra de forma efetiva no sistema de tempo 
discreto é necessário que ocorra a restauração desse sinal, através de um conversor digital-
analógico (D/A), reconstruindo o mesmo no domínio do tempo contínuo, ver Figura 8 
(DINIZ; SILVA; NETTO, 2014, p. 33). 
Figura 8 - Filtragem de Sinal no Tempo Contínuo através de um Filtro Digital 
 
Fonte: Adaptado de Haykin; Veen, 2001 
 
Para garantir fidelidade do sinal amostrado, deve-se respeitar o Teorema de Shannon-Nyquist. 
Segundo Oliveira (2012, p. 391), “O teorema estabelece que, sob certas condições, as 
amostras colhidas de um sinal podem conter precisamente toda a informação a ele associada”. 
Ou seja, é possível reconstruir perfeitamente o sinal colhido a partir das amostras 
(OLIVEIRA, 2012, p. 391). 
2.3.1 Teorema da amostragemDe acordo com Oppenheim e Willsky (2010, p. 306), “para desenvolver o teorema da 
amostragem, precisa se representar de forma conveniente a amostragem de um sinal de tempo 
contínuo em intervalos regulares”. O mecanismo trem de impulsos periódico é um dos modos 
considerados mais útil para ser feita essa representação (OPPENHEIM; WILLSKY, 2010, p. 
306). 
Nyquist determina que o teorema é aplicado apenas para sinais com banda de frequência 
limitada, ou seja, que não possuem componentes de frequências acima de determinada 
frequência máxima (OLIVEIRA, 2012, p. 391). 
De acordo com o teorema de Shannon, para garantir fidelidade na amostragem do sinal, deve-
se amostrar a uma frequência de oito a dez vezes maior que a maior frequência componente 
26 
do sinal. No entanto, é possível realizar a amostragem a taxas ainda maiores, prevenindo 
ainda mais a perda de informação durante esta conversão. 
Essa frequência de amostragem deve ser no mínimo 2 vezes maior que a maior componente 
de frequência do sinal, caso esse princípio não seja respeitado ocorre um batimento entre as 
frequências e consequentemente causando distorção do sinal, ocasionando o fenômeno 
conhecido com aliasing ou sub-amostragem (CONTROLLER, 2016). 
2.3.2 Amostragem com trem de impulsos 
Um dos métodos possíveis de realizar a amostragem de sinais contínuos na prática é através 
do trem de impulsos, no qual uma função de impulsos unitários periódicos 𝑝(𝑡), com período 
T, é multiplicada pelo sinal de tempo contínuo 𝑥(𝑡), como demonstrado na Equação 20 para o 
domínio de tempo (OPPENHEIM; WILLSKY, 2010, p. 306): 
 𝑥𝑝(𝑡) = 𝑥(𝑡) × 𝑝(𝑡) (20) 
sendo 𝑝(𝑡) igual a Equação 21: 
 
𝑝(𝑡) = ∑ 𝛿(𝑡 − 𝑛𝑇)
+∞
𝑛=−∞
 
(21) 
sendo 𝑛 o número da amostra e 𝑇 é o período de amostragem, cuja frequência fundamental 
pode ser calculada pela Equação 22: 
 
𝜔𝑠 =
2𝜋
𝑇
 
(22) 
Na prática, multiplicar um sinal contínuo 𝑥(𝑡) por um impulso unitário resulta no valor 
instantâneo daquele sinal no momento em que o impulso está presente, como mostra a Figura 
9. 
27 
Figura 9 - Amostragem por trem de impulsos 
 
Fonte: Oppenheim; Willsky 
2.3.3 Interpolação 
Interpolação é o processo pelo qual o sinal tratado em tempo discreto é convertido novamente 
em sinal de tempo contínuo. Ela consiste em aumentar a taxa de amostragem de um sinal em 
um determinado valor, incluindo essas novas amostras em cada duas amostras já existentes 
(DINIZ; SILVA; NETTO, 2014, p. 509). 
Normalmente, essas amostras de sinais têm seus valores definidos através de uma média entre 
os valores anterior e posterior dessa amostra. Quanto maior o número de amostras inseridas 
no sinal mais preciso será o resultado do sinal de tempo continuo na saída. A Figura 10 
representa o gráfico resultante do sinal original, 𝑥[𝑛], enquanto a Figura 11 representa esse 
mesmo sinal com uma interpolação na razão de 𝑥𝑖 = 𝑥[𝑛/2 ] (VALEIRA, 2007, p. 24). 
28 
Figura 10 - Sinal Original no Tempo Discreto 
 
Fonte: Valeira, 2007 
 
Figura 11 - Sinal com Interpolação no Tempo Discreto 
 
Fonte: Valeira, 2007 
 
2.4 Transformada de Fourier Discreta e Transformada Z 
Quando um sistema LTI é excitado por um sinal de entrada sendo uma senóide complexa ele 
irá apresentar como sinal se saída essa mesma senóide complexa, porém, sendo multiplicada 
pela resposta do sistema causando uma mudança de amplitude (HAYKIN; VEEN, 2001, p. 
163). 
Os sistemas de tempo discreto podem ser caracterizados através da sua resposta a uma entrada 
de um sistema linear invariante no tempo sendo aplicada a uma função exponencial. Essa 
resposta apresenta características similares à função exponencial aplicada na entrada, porém 
com mudança de amplitude. Na Equação 23 o sinal de saída 𝑦[𝑛] representa a resposta a um 
impulso ℎ[𝑛] de um sistema LIT tendo uma função exponencial 𝑥[𝑛] = 𝑧𝑛 como entrada, o 
resultado na Equação 24 consiste em um sinal de saída exponencial multiplicada por um 
determinado valor complexo, também conhecida como transformada Z. Se essa função 
29 
exponencial 𝑧𝑛 for uma senóide completa com frequência 𝑤, 𝑧 = 𝑒𝑗𝑤, a Equação 23 passa a 
ser representada pela Equação 25 (DINIZ; SILVA; NETTO, 2014, p. 79). 
 
𝑦[𝑛] = ∑ 𝑥[𝑛 − 𝑘]ℎ[𝑘]
∞
𝑘=−∞
= ∑ 𝑧𝑛−𝑘ℎ[𝑘] = ∑ ℎ[𝑘]𝑧−𝑘
∞
𝑘=−∞
∞
𝑘=−∞
 
(23) 
 
𝐻[𝑧] = ∑ ℎ[𝑘]𝑧−𝑘
∞
𝑘=−∞
 
(24) 
 
𝐻[𝑒𝑗𝑤] = ∑ ℎ[𝑘]𝑒−𝑗𝑤𝑘
∞
𝑘=−∞
 
(25) 
A Equação 23 também pode ser representada utilizando a forma polar, 𝐻[𝑒𝑗𝑤] =
|𝐻[𝑒𝑗𝑤]|𝑒𝑗𝜃(𝑤) , resultando na Equação 26, essa função 𝐻[𝑒𝑗𝑤] é conhecida como a 
transformada de Fourier no domínio do tempo discreto. A transformada de Fourier Discreta 
consiste em multiplicar a amplitude de uma senóide complexa no sinal de entrada por 𝐻[𝑒𝑗𝑤] 
e somar 𝜃(𝑤) à sua fase, apresentando resposta em módulo e fase (DINIZ; SILVA; NETTO, 
2014, p. 80). 
 𝑦[𝑛] = 𝐻[𝑒𝑗𝑤]𝑒𝑗𝑤𝑛 = |𝐻[𝑒𝑗𝑤]|𝑒𝑗𝜃(𝑤)𝑒𝑗𝑤𝑛 = |𝐻[𝑒𝑗𝑤]|𝑒𝑗𝑤𝑛+𝑗𝜃(𝑤) (26) 
2.5 Filtros 
Filtros são circuitos eletrônicos utilizados para processamento de sinal. Eles funcionam como 
seletores de frequência, pois através de sua configuração são capazes de eliminar a frequência 
indesejada presente no sinal. Os filtros podem ser analógicos ou digitais, dependendo de sua 
composição. Filtros Analógicos são compostos basicamente de resistores, indutores, 
capacitores, etc. Enquanto os Filtros Digitais são compostos de multiplexadores, somadores e 
também podem ser configurados através de lógicas de componentes eletrônicos, como 
microcontroladores, FPGAs, etc. 
2.5.1 Filtros analógicos 
30 
Filtros Analógico são utilizados para realizar o processamento de sinais no tempo contínuo, 
esse tipo de filtro pode ser dividido em 4 tipos diferentes de funcionamento (Filtros Passa-
Alta, Filtros Passa-Baixa, Filtros Passa-Faixa e Filtros Rejeita-Faixa) e 2 duas formas distintas 
de composição (Filtros Ativos e Filtros Passivos). 
Os Filtros Ativos possuem elementos ativos, com ampliação, em sua composição, como 
amplificadores operacionais, transistores, podendo modificar a amplitude do sinal de entrada 
fornecendo um ganho. Os Filtros Passivos são compostos apenas de elementos passivos, sem 
amplificação, que não são sabem capazes de realizar nenhuma ampliação no sinal proveniente 
da entrada, como por exemplo, resistores, capacitores e indutores. 
Os Filtros Passa-Alta (FPA) permitem a passagem somente de sinais acima de uma 
determinada frequência estabelecida, conhecida como frequência de corte, como está 
demonstrado na Figura 12. Esses filtros são representados pela Figura 13, para esse tipo de 
modelo a frequência pode ser calculada utilizando a Equação 27, (ONUKI, 2005, p. 5). 
 
𝑓𝑐 =
1
2𝜋𝑅𝐶
 
(27) 
Figura 12 - Resposta em frequência da atenuação do filtro passa-alta 
 
Fonte: FACCAMP, 2016 
31 
Figura 13 - Circuito Básico RC Filtro Passa-Alta 
 
Fonte: Onuki, 2005 
Filtros Passa-Baixa (FPB) permite a passagem somente de frequências abaixo da frequência 
de corte, conforme mostra o gráfico na Figura 14, e seu circuito é representado pela Figura 15. 
A frequência de corte, para esse modelo, também pode ser calculada utilizando a Equação 27 
(ONUKI, 2005 p. 4). 
Figura 14 - Resposta em frequência da atenuação do filtro passa-baixa 
 
Fonte: FACCAMP, 2016 
Figura 15 - Circuito Básico RC Filtro Passa-Baixa 
 
Fonte: Onuki, 2005 
32 
A característica dos Filtros Passa-Faixa (FPF) é permitir a passagem em apenas uma 
determinada faixa de frequência estabelecida por 2 frequências de corte, como mostra o 
gráfico da Figura 16 (ONUKI, 2005, p. 6).Em circuitos RLC o capacitor tem a função de bloquear as baixas frequências enquanto o 
indutor bloqueia as frequências altas, criando assim uma determinada banda de passagem 
(SABER ELETRICA, 2016). 
Essas frequências, para circuitos RLC, são determinadas utilizando a Equação 28 e a Equação 
29, seu circuito é representado pela Figura 17. 
. 
𝑓𝑐1 = −
𝑅
4𝜋𝐿
+ √
1
𝐿𝐶
+
𝑅2
4𝐿2
 
(28) 
 
𝑓𝑐2 = +
𝑅
4𝜋𝐿
+ √
1
𝐿𝐶
+
𝑅2
4𝐿2
 
(29) 
Figura 16 - Resposta em frequência da atenuação do filtro passa-faixa 
 
Fonte: FACCAMP, 2016 
33 
Figura 17 - Circuito Básico RLC Filtro Passa-Faixa 
 
Fonte: Saber Elétrica, 2016 
 
Os Filtros Rejeita-Faixa (FRF) tem como característica rejeitar frequências que estejam 
presente em determinada faixa de frequências definidas por duas frequências de corte, como 
demonstrado na Figura 18, funcionando exatamente de forma inversa ao FPF (ONUKI, 2005, 
p. 7). 
Essas frequências de corte, em circuitos RLC, são determinadas também utilizando a Equação 
28 e a Equação 29. Seu circuito é representado pela Figura 19. 
Figura 18 - Resposta em frequência da atenuação do filtro rejeita-faixa 
 
Fonte: FACCAMP, 2016 
34 
Figura 19 - Circuito Básico RLC Filtro Rejeita-Faixa 
 
Fonte: Saber Elétrica, 2016 
2.5.2 Filtros digitais 
O Filtro Digital é responsável por realizar a filtragem de sinais de tempo discreto. Ele utiliza 
de computação para realizar essa filtragem, esse processo trata o sinal digital analisando 
amostra por amostra desse sinal (BARBOSA, 2006, p. 3). 
Os Filtros Digitais podem ser divididos entre dois grupos: Filtro FIR e Filtro IIR. 
2.5.2.1 Filtros FIR 
O Filtro FIR, filtro de resposta finita ao impulso, é utilizado quando é necessário realizar a 
filtragem de um sinal a uma determinada frequência especificada. A resposta finita ao 
impulso significa que a saída do filtro depende apenas do sinal atual e passado proveniente da 
entrada. Esse filtro possui uma fácil implementação e uma boa estabilidade tendo como 
característica a capacidade de realizar a filtragem em tempo real (RUCH, 2006, p. 16). 
As principais propriedades desse tipo de são: a presença de memória finita que faz com que os 
transitórios tenham sua duração limitada, possuem estabilidade constante e podem apresentar 
resposta sem nenhuma distorção de fase, significando que a resposta apresenta frequência em 
fase linear (HAYKIN; VEEN, 2001, p. 514). 
Um filtro que possui resposta finita ao impulso, como é o caso dos filtros FIR, tem a Equação 
30 como equação característica e pode-se concluir que a sua resposta ao impulso ℎ(𝑛) é 
descrita pela Equação 31. 
35 
 
𝐻(𝑧) = 𝑏0 + 𝑏1𝑧
−1 + ⋯ + 𝑏𝑀−1𝑧
1−𝑀 = ∑ 𝑏𝑛𝑧
−𝑛
𝑀−1
𝑛=0
 
(30) 
 
ℎ(𝑛) = {
𝑏𝑛, 0 ≤ 𝑛 ≤ 𝑀 − 1 
0, 𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠
 
(31) 
Uma outra forma comum de expressar a equação característica de um filtro FIR é substituindo 
os coeficientes 𝑏𝑛 da Equação 30 pela função ℎ(𝑛), resultando na Equação 32: 
 
𝐻(𝑧) = ∑ ℎ(𝑛)𝑧−𝑛
𝑀−1
𝑛=0
 
(32) 
A partir de então, é possível representar a equação de diferenças do filtro através da Equação 
32, na qual é resultado de uma soma de convolução, como: 
 𝑦(𝑛) = 𝑏0𝑥(𝑛) + 𝑏1𝑥(𝑛 − 1) + ⋯ + 𝑏𝑀−1𝑥(𝑛 − 𝑀 + 1) (33) 
Uma vez que os filtros são sistemas lineares e invariantes no tempo (LIT), se faz necessário o 
uso de três elementos para fazer a sua descrição, sendo o primeiro deles o Somador (Figura 
20), no qual possui duas ou mais entradas e apenas uma saída. Outro elemento importante na 
descrição dos filtros é o Multiplicador (Figura 21), ou Ganho, que possui uma entrada e uma 
saída. Por último, o elemento de Atraso (Figura 22), também conhecido como deslocador ou 
memória, provoca o atraso no tempo do sinal em uma amostra, na prática, é implementado 
utilizando um registrador de deslocamento (INGLE; PROAKIS, 2007, p. 187). 
Figura 20 - Elemento somador 
 
Fonte: Diniz; Silva; Netto, 2014, p. 243 
36 
Figura 21 - Elemento multiplicador 
 
Fonte: Diniz; Silva; Netto, 2014, p. 243 
Figura 22 – Elemento de atraso 
 
Fonte: Diniz; Silva; Netto, 2014, p. 243 
Através dos elementos apresentados acima, a função de transferência do filtro FIR (Equação 
30) pode assumir diversas implementações, sendo que a implementação que realiza com êxito 
as operações matemáticas do filtro com o mínimo de operações possíveis está representada na 
Figura 23 e é conhecida como estrutura direta, também chamada de forma direta canônica. O 
termo canônico se justifica pelo uso da menor quantidade possível de elementos somadores, 
multiplicadores e de atraso (DINIZ; SILVA; NETTO, 2014, p. 243). 
Figura 23 - Estrutura direta do filtro FIR 
 
Fonte: Adaptado de Diniz; Silva; Netto, 2014, p. 245 
Existem estruturas equivalentes para a implementação dos filtros, no entanto, as outras 
estruturas podem não ter a função de transferência do sistema representada de forma direta, 
além do mais, os coeficientes do filtro podem não apresentar de forma clara a resposta ao 
impulso do sistema, como é o caso da estrutura em cascata, que possui a função de 
transferência 𝐻(𝑧) convertida em produtos de segunda ordem e implementa várias estruturas 
37 
diretas em cascata, como pode ser visto na Figura 24 (DINIZ; SILVA; NETTO, 2014, p. 245; 
INGLE; PROAKIS, 2007, p. 202). Sendo assim, a estrutura direta é mais indicada para fins 
didáticos pela facilidade de identificar os coeficientes e pela direta aplicação da função de 
transferência 𝐻(𝑧) do sistema. 
Figura 24 - Estrutura em cascata do filtro FIR 
 
Fonte: Diniz; Silva; Netto, 2014, p. 245 
Para modelar o filtro desejado com maior facilidade, a Equação 33 tem o termo 𝑧 substituído 
pelo termo equivalente 𝑒𝑗𝜔 , de modo que a resposta ao impulso do filtro passe a ser 
discriminada em função de 𝜔 e resultando na Equação 34, que nada mais é que a 
transformada de Fourier para o sinal no tempo discreto ℎ(𝑛) (DINIZ; SILVA; NETTO, 2014, 
p. 125). 
 
𝐻(𝑒𝑗𝜔) = ∑ ℎ(𝑛)𝑒−𝑗𝜔𝑛
∞
𝑛=−∞
 
(34) 
A transformada inversa de Fourier para a equação anterior resulta na Equação 35: 
 
ℎ(𝑛) =
1
2𝜋
∫ 𝐻(𝑒𝑗𝜔) 𝑒𝑗𝜔𝑛 𝑑𝜔
𝜋
−𝜋
 
(35) 
A resposta ideal ao impulso 𝐻(𝑒𝑗𝜔) do filtro FIR deve ser transparente para todas as 
frequências na faixa de passagem e deve reduzir a zero todas as outras frequências, ou seja, 
𝐻(𝑒𝑗𝜔) deve valer 1 na faixa de passagem e deve valer 0 na faixa de rejeição. Ao determinar 
38 
os valores que 𝐻(𝑒𝑗𝜔) deve assumir e seus intervalos, basta tomar a transformada inversa de 
Fourier para obter a resposta ao impulso ℎ(𝑛) no domínio do tempo discreto. 
No entanto, a resposta ideal ao impulso vista acima é uma função infinita no tempo e por isso 
possui infinitas amostras, o que torna a implementação do filtro FIR impraticável. Outro 
problema é que a função existe para valores negativos de 𝑛, o que caracteriza o sistema como 
não-causal (DINIZ; SILVA; NETTO, 2014, p. 319; ROBERTS, 2003, p. 72). 
Uma primeira solução seria limitar a resposta ideal ao impulso ℎ(𝑛) a um valor máximo de 𝑛 
em uma prática conhecida como truncamento, e deslocar a função para a direita no mesmo 
valor (ROBERTS, 2003, p. 73). O truncamento, na prática, simplesmente elimina todos os 
coeficientes que estiverem além do comprimento determinado do filtro. É como se a função 
ℎ(𝑛) fosse multiplicada por um pulso retangular unitário de comprimento previamente 
determinado. 
Entretanto, a eliminação brusca de componentes da função ℎ(𝑛) causa uma descontinuidade 
na função (Figura 25) e, como resultado, provoca sobressinal e oscilaçõesna resposta do 
sistema em um fenômeno conhecido por fenômeno de Gibbs, como mostra a Figura 26 
(ROBERTS, 2003, p. 74). 
Figura 25 – Valores supostos para uma resposta ideal ao impulso h(n) truncada 
 
Fonte: Roberts, 2003, p. 74 
39 
Figura 26 - Resposta em amplitude para a função h(n) suposta 
 
Fonte: Roberts, 2003, p. 74 
Legenda: Em pontilhado, a função ℎ(𝑛) assumiu 11 coeficientes, enquanto a curva sólida assumiu 21 
coeficientes. O gráfico retangular representa a resposta idealizada para 𝐻(𝑒𝑗𝜔) 
Como o sobressinal e as oscilações não se reduzem à medida que o comprimento do filtro 
aumenta, a solução mais adequada é fazer uso de uma função finita 𝑤(𝑛) que atenue os 
coeficientes da função ℎ(𝑛) à medida que estes se aproximam dos extremos (DINIZ; SILVA; 
NETTO, 2014, p. 320; ROBERTS, 2003, p. 74). Esta função é conhecida como função-janela 
e “tem que ser projetada de forma a introduzir um mínimo de desvio em relação à resposta na 
frequência ideal” (DINIZ; SILVA; NETTO, 2014, p. 320). 
De acordo com Diniz et al. (2014, p. 321), a função-janela alcançaria a menor interferência na 
resposta em frequência da função ideal 𝐻(𝑒𝑗𝜔) se a sua resposta em frequência 𝑊(𝑒𝑗𝜔) fosse 
próxima à de um impulso centralizado em 𝜔 = 0, como mostra a Figura 27. 
40 
Figura 27 - Resposta em frequência de uma função-janela 
 
Fonte: Diniz; Silva; Netto, 2014, p. 322 
Entretanto, por se tratar de um sinal limitado no tempo, a faixa de frequência não pode ser 
limitada da maneira que a Figura 27 mostra. Sabendo disso, a função-janela deve, então, focar 
a maior parte de sua energia em 𝜔 = 0. 
Para isso, já existem diversas funções-janela já desenvolvidas, como a janela de Hamming e a 
janela de Blackman. A janela de Hamming é caracterizada pela Equação 36 e está 
representada na Figura 28, possuindo 99,96% de sua energia concentrada no lobo principal 
(DINIZ; SILVA; NETTO, 2014, p. 325; INGLE; PROAKIS, 2007, p. 256). 
 
𝑤(𝑛) = {
0,54 − 0,46 cos (
2𝜋𝑛
𝑀 − 1
) , 𝑝𝑎𝑟𝑎 0 ≤ 𝑛 ≤ 𝑀 − 1
0, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 
 
(36) 
41 
Figura 28 - Janela de Hamming 
-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
 
Fonte: Elaborada pelos autores (2016) 
Já a janela de Blackman é caracterizada pela Equação 37 (representada pela Figura 29), 
possuindo maior atenuação na faixa de rejeição que a janela de Hamming e menores 
oscilações na faixa de passagem (DINIZ; SILVA; NETTO, 2014, p. 326; INGLE; PROAKIS, 
2007, p. 257). 
 
𝑤(𝑛) = {
0,42 − 0,5 cos (
2𝜋𝑛
𝑀 − 1
) + 0,08 cos (
4𝜋𝑛
𝑀 − 1
) , 𝑝𝑎𝑟𝑎 0 ≤ 𝑛 ≤ 𝑀 − 1
0, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 
 
(37) 
Figura 29 - Janela de Blackman 
-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
 
Fonte: Elaborada pelos autores (2016) 
Outras janelas são bastante comuns, como a janela triangular, a de Hann, Hanning, etc., mas 
não possuem atenuação tão alta quanto as janelas de Blackman e Hamming na faixa de 
rejeição. 
42 
2.5.2.2 Filtros IIR 
No filtro de resposta infinita ao impulso, Filtro IIR, a resposta apresentada ao sinal de entrada 
presente é influenciada pelos sinais de entrada e saída passados, a influência dos sinais de 
saídas passado faz que a resposta do sistema se torne infinita, conforme representado pela 
Figura 30 (TELECO, 2016). 
Figura 30 - Estrutura Geral do Filtro IIR 
 
Fonte: Wiki IFSC 
Os Filtros Digitais IIR são mais adequados para aplicações onde o processamento é realizado 
em tempo real, pois uma das principais características desse filtro é possuir uma resposta mais 
rápida que o filtro FIR, pois realiza menos multiplicações para encontrar a frequência 
especificada (DINIZ; SILVA; NETTO, 2014, p. 406). No entanto, os filtros FIR não possuem 
realimentação, por isso são sempre estáveis, além do mais, os erros de arredondamento dos 
coeficientes não se acumulam e, por causa disso, os filtros FIR serão o foco deste documento. 
 
43 
3 RESULTADOS E DISCUSSÕES 
Esta seção apresenta os resultados que foram obtidos aplicando os conhecimentos do estudo 
de caso para alcançar os objetivos geral e específicos propostos através do MATLAB. 
3.1 Coleta do sinal ruidoso 
Foi desenvolvida uma pequena função no MATLAB, que pode ser vista na íntegra no 
Apêndice A, com o objetivo de capturar o áudio proveniente da placa de som do computador 
e armazená-lo em arquivo no disco rígido do computador no formato WAVE (padrão de 
arquivo de áudio da Microsoft e IBM). 
A função deve ser chamada no formato gravarAudio(fs, bits, tempo, arquivo) e seus 
parâmetros são: 
 fs: Frequência de amostragem; 
 bits: Quantidade de bits por amostra; 
 tempo: Tempo em segundos de coleta de dados; 
 arquivo: Nome do arquivo a ser armazenado no disco rígido. 
De acordo com o Viagem ao Mundo da Audição (2013), a maior frequência capaz de 
sensibilizar o ouvido humano está na faixa de 20 kHz. Como a frequência de amostragem 
deve ser pelo menos duas vezes maior que a maior componente de frequência de sinal, foi 
escolhida a frequência de amostragem de 44100 Hz, de modo que o filtro anti-aliasing da 
placa de som tenha certa folga na banda de transição (NATIONAL INSTRUMENTS, 2012). 
Para a quantidade de bits por amostra, foi escolhido 16 bits, por ser suficiente para 
“reproduzir com alta qualidade sonora os sons que somos capazes de ouvir” (ALECRIM, 
2007). 
Após a escolha dos parâmetros de áudio, gravou-se o som ambiente por 3 segundos, tempo 
suficiente para analisar o espectro de frequências e decidir quais frequências fundamentais 
proviam dos ruídos. O ambiente escolhido foi o laboratório G-105 do Centro Universitário do 
Leste de Minas Gerais, no qual foi acionada a sirene da Planta Didática 3 durante esta 
gravação. 
44 
Com o intuito de fazer a análise do espectro de frequências do sinal amostrado, foi criada uma 
função no MATLAB, que pode ser visualizada no Apêndice B, capaz de gerar os gráficos 
provenientes da transformada rápida de Fourier. Desta forma, obteve-se o gráfico 
representado na Figura 31 ao aplicar a função nas amostras capturadas da sirene e 
determinou-se que as frequências fundamentais da sirene estão compreendidas entre 2250 e 
2750 Hz. 
Figura 31 - Espectro de frequências do sinal capturado da sirene 
0 250 500 750 1000 1250 1500 1750 2000 2250 2500 2750 3000 3250 3500
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
Transformada de Fourier
Frequência (Hz)
Am
plitu
de
 
Fonte: Elaborada pelos autores (2016) 
Em seguida, obteve-se o gráfico representado na Figura 32 utilizando os mesmos critérios 
para obter o gráfico anterior, mas desta vez apenas a voz humana foi capturada. Ficou 
evidente que as frequências predominantes da voz estão abaixo de 1 kHz, bem distante das 
frequências fundamentais da sirene. 
Figura 32 - Espectro de frequências do sinal capturado da voz 
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000
0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
Transformada de Fourier
Frequência (Hz)
Am
plitu
de
 
Fonte: Elaborada pelos autores (2016) 
45 
Por último, como o objetivo é realizar a filtragem do sinal de áudio de modo que os ruídos do 
ambiente fossem removidos e sobrasse apenas o som da voz, foi feita a gravação da voz em 
conjunto com o toque da sirene da Planta Didática 3 por um tempo de 10 segundos. A 
gravação teve forte presença da sirene, dificultando a compreensão da voz, como era 
desejado. Observa-se no gráfico do espectrode frequências desta gravação (que pode ser 
visualizado na Figura 33), a presença simultânea das frequências comuns na voz e na sirene. 
Figura 33 - Espectro de frequências do sinal capturado da voz com a sirene ligada 
0 500 1000 1500 2000 2500 3000
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
Transformada de Fourier
Frequência (Hz)
Am
plitu
d e
 
Fonte: Elaborada pelos autores (2016) 
3.2 Determinação e modelagem do filtro ideal 
Como as frequências da voz estão abaixo das frequências que devem ser removidas (as 
frequências da sirene), o filtro ideal deve permitir a passagem de todas as frequências abaixo 
de 2250 Hz e remover todas as outras frequências. Por isso, será modelado nesta seção um 
filtro passa-baixas ideal, capaz de atenuar todas as frequências acima da frequência de corte 
𝜔𝑐. 
Deste modo, para um filtro passa-baixas, o módulo da resposta ideal ao impulso 𝐻𝑑(𝑒𝑗𝜔) 
deve ser 1 para todas as frequências 𝜔 que estiverem abaixo da frequência de corte 𝜔𝑐 e zero 
para todas as frequências restantes, como mostra a Figura 34 e é caracterizado pela Equação 
38. 
 
 
46 
Figura 34 - Módulo de 𝐻𝑑(𝑒𝑗𝜔) em função da frequência ω para um filtro passa-baixas 
 
Fonte: Elaborada pelos autores (2016) 
 |𝐻𝑑(𝑒𝑗𝜔)| = {
1, 𝑝𝑎𝑟𝑎 |𝜔| ≤ 𝜔𝑐 
0, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝜔𝑐 < |𝜔| ≤ 𝜋
 (38) 
Logo, a transformada inversa de Fourier para o plano complexo de −𝜋 a +𝜋 fica demonstrado 
na Equação 39: 
 
ℎ𝑑(𝑛) =
1
2𝜋
[∫ 1 × 𝑒𝑗𝜔𝑛𝑑𝜔
𝜔𝑐
−𝜔𝑐
+ ∫ 0 × 𝑒𝑗𝜔𝑛𝑑𝜔
−𝜔𝑐
𝜔𝑐
] 
(39) 
Resolvendo as integrais, chegou-se a: 
 
ℎ𝑑(𝑛) =
1
2𝜋
[
𝑒𝑗𝑛𝜔
𝑗𝑛
]
+𝜔𝑐
−𝜔𝑐
 
(40) 
Após resolver o intervalo de integração, obteve-se a Equação 41: 
 
ℎ𝑑(𝑛) =
1
2𝜋
×
(𝑒𝑗𝜔𝑐𝑛 − 𝑒−𝑗𝜔𝑐𝑛) 
𝑗𝑛
 
(41) 
Sabendo que, por definição, 
 
𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑛) =
1
2𝑗
× (𝑒𝑗𝜔𝑛 − 𝑒−𝑗𝜔𝑛) → 2𝑗𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑛) = (𝑒𝑗𝜔𝑛 − 𝑒−𝑗𝜔𝑛), 
(42) 
obteve-se a Equação 43 por substituição da equação anterior na Equação 41: 
0 𝜔 𝜔𝑐 −𝜔𝑐 
|𝐻𝑑(𝑒𝑗𝜔)| 
1 
 𝜋 −𝜋 
47 
 
ℎ𝑑(𝑛) =
𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑐𝑛)
𝜋𝑛
 
(43) 
A Equação 43 foi multiplicada por 𝜔𝑐 𝜔𝑐⁄ e foi obtida a Equação 44: 
 
ℎ𝑑(𝑛) =
𝜔𝑐
𝜔𝑐
×
𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑐𝑛)
𝜋𝑛
=
𝜔𝑐
𝜋
×
𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑐𝑛)
𝜔𝑐𝑛
 
(44) 
Como 
 𝑠𝑒𝑛(𝜋𝑥)
𝜋𝑥
= 𝑠𝑖𝑛𝑐(𝑥) 
(45) 
a Equação 45 foi adaptada ao contexto e substituída na Equação 44, de modo que foi obtida a 
Equação 46, que é a equação final para o filtro passa-baixas ideal. 
 ℎ𝑑(𝑛) =
𝜔𝑐
𝜋
× 𝑠𝑖𝑛𝑐 (
𝜔𝑐𝑛
𝜋
) (46) 
Para este filtro, foi desenvolvida uma função que implementa a Equação 46 (ver Apêndice C), 
bastando invoca-la através do seu nome: pb_ideal(wc, M), em que wc é a frequência angular 
normalizada e M é o comprimento do filtro. 
A função 𝑠𝑖𝑛𝑐, que significa seno cardinal, trata-se da transformada inversa de Fourier para 
um pulso retangular centralizado no zero com largura de 2𝜋 e amplitude unitária, possuindo a 
Figura 35 como gráfico característico no domínio do tempo (MATHWORKS, 2016). 
48 
Figura 35 - Gráfico da função sinc 
 
Fonte: MathWorks, 2016 
3.3 Implementação do filtro FIR 
Após a modelagem do filtro ideal, é possível desenvolver o filtro FIR utilizando uma função-
janela. Para isso, foi feito em um primeiro momento o uso da janela de Hamming, em que os 
resultados do áudio filtrado são demonstrados na Figura 36, o primeiro gráfico corresponde ao 
espectrograma do áudio original e o segundo corresponde ao áudio filtrado. 
49 
Figura 36 - Espectrograma com o resultado da janela de Hamming 
Tempo (s)
Fr
eq
uê
nc
ia
Áudio sem filtro
Tempo (s)
Fr
eq
uê
nc
ia
Áudio filtrado
 
Fonte: Elaborada pelos autores (2016) 
Legenda: As cores representam o ganho em dB do áudio em todo o tempo amostrado e na faixa de frequência de 
0 a 22000 Hz. Pode-se observar que no gráfico do áudio filtrado o sinal é fortemente atenuado acima de 2000 
Hz, no entanto, nota-se vestígios da sirene em amarelo, evidenciado principalmente entre 4000 Hz e 6000 Hz, 
que são frequências harmônicas da sirene 
Como pode ser visto na Figura 36, houve vestígios do sinal da sirene, mesmo após a 
filtragem. Para resolver o problema, o algoritmo foi alterado para fazer uso da janela de 
Blackman, os resultados são demonstrados na Figura 37. 
50 
Figura 37 - Espectrograma com o resultado da janela de Blackman 
Tempo (s)
Fr
eq
uê
nc
ia
Áudio sem filtro
Tempo (s)
Fr
eq
uê
nc
ia
Áudio filtrado
 
Fonte: Elaborada pelos autores (2016) 
Legenda: Diferente do espectrograma da Figura 36, houve uma atenuação ainda maior do sinal entre 2000 Hz e 
4000 Hz, e os vestígios da sirene que foram observados principalmente entre 4000 Hz e 6000 Hz não apareceram 
ao usar a janela de Blackman 
Como pode ser percebido ao comparar os resultados, a janela de Blackman foi mais efetiva na 
filtragem. Isso se deve pelo fato desta janela ter maior atenuação na faixa de rejeição do que a 
janela de Hamming. Por causa do bom desempenho apresentado, os gráficos deste estudo de 
caso, a partir daqui, estarão voltados ao uso da janela de Blackman. 
3.3.1 Parâmetros do filtro FIR 
Apesar da janela de Blackman possuir, para determinada faixa de transição, um comprimento 
do filtro M maior do que a janela de Hamming e por consequência acarretar em maior 
processamento, a janela de Blackman possui maior atenuação na faixa de rejeição. Por essa 
razão, ela consegue reduzir consideravelmente mesmo os sinais de alta amplitude, como é o 
caso da sirene, bastando que os parâmetros do filtro sejam corretamente configurados. 
Os parâmetros de frequência de passagem fp, no qual marca o início da banda de transição e o 
parâmetro fs, que marca o fim da banda de transição e o início da faixa de rejeição, foram 
definidos em 2000 Hz e 2250 Hz, respectivamente. O valor de fs foi definido puramente pela 
frequência do sinal da sirene iniciar neste ponto, já fp foi definido ao observar a Figura 32 e 
notar-se que em 2000 Hz as frequências ressonantes da voz já estão bem atenuadas. 
51 
Para os parâmetros que foram definidos de fp e fs, o filtro possui frequência de corte em 2125 
Hz e uma banda de transição de 250 Hz. Usando a janela de Blackman, o cálculo do 
comprimento M deste filtro chegou ao valor de 972 para uma atenuação de 74dB no início da 
faixa de rejeição, contra um comprimento de 584 para obter uma atenuação de 53dB usando a 
janela de Hamming. 
Como a frequência de amostragem do áudio foi de 44100 Hz, o filtro anti-aliasing da placa de 
som limita a maior componente de frequência do sinal em 22050 Hz, de acordo com o 
teorema de amostragem de Nyquist. Assim sendo, o importantíssimo parâmetro fmax foi 
definido em 22050 Hz. 
Como o espectro de frequências é simétrico, de modo que a mesma componente de frequência 
aparece tanto no lado positivo (0 a 𝜋) quanto no lado negativo (−𝜋 a 0) (DINIZ; SILVA; 
NETTO, 2014, p. 38), os 22050 Hz devem ser expressos em apenas 180° do plano complexo 
Z. Isso se torna muito simples fazendo uma regra de três: 
 𝑓𝑚𝑎𝑥
𝑓
→
→
𝜋
𝑤
 
(47) 
resolvendo e isolando 𝑤, chegou-se à Equação 48: 
 
𝑤 =
𝑓
𝑓𝑚𝑎𝑥
× 𝜋 
(48) 
sendo 𝜋 o resultado da conversão de 180° para radiano, 𝑓𝑚𝑎𝑥 a maior componente de 
frequência do sinal amostrado, 𝑓 a frequência que se deseja representar no plano complexo Z 
e 𝑤 a frequência angular normalizada em unidades de 𝜋. 
O termo 
 𝑓
𝑓𝑚𝑎𝑥
 
(49) 
52 
representa uma fração da frequência de referência 𝑓𝑚𝑎𝑥, em que 𝑓 ≤ 𝑓𝑚𝑎𝑥 e, por isso, arazão nunca será maior que 1. A razão de uma frequência por uma outra frequência de 
referência é conhecida como frequência normalizada. 
Todo os cálculos efetuados pelo filtro que envolvam a frequência fazem uso da frequência 
angular em unidades de pi, então, as frequências fp e fs foram convertidas adequando-se ao 
requisito e dando origem a wp e ws, representando, respectivamente, a frequência angular 
normalizada da faixa de passagem e a frequência angular normalizada da faixa de rejeição, 
ambas em unidades de pi. 
Após fazer a adequação das frequências, foi calculada a faixa de transição, simplesmente 
subtraindo ws por wp. A faixa de transição é usada para calcular o valor ideal do 
comprimento M do filtro, quanto maior for a faixa de transição, menor será o comprimento do 
filtro. 
Em seguida, foi calculado a frequência de corte wc para enfim gerar os coeficientes da 
resposta ideal ao impulso, através da linha wc = (ws+wp)/2 e hd = pb_ideal(wc, M), 
respectivamente. 
Tendo os coeficientes da resposta ideal ao impulso do filtro em mãos, foi necessário gerar os 
coeficientes da função-janela escolhida através da linha w_black = (blackman(M))' e em 
seguida fazer o janelamento da resposta ideal com a função-janela, através da multiplicação 
dos dois no tempo discreto, produzindo, agora, a função de transferência do sistema 
representada por h. 
Como é desejado e pode ser visto na Figura 38, a função de transferência do sistema obtida 
através do janelamento não deve ter nenhuma ou quase nenhuma componente de frequência 
na faixa de rejeição. Isso caracteriza a atenuação das frequências do áudio que estiverem na 
faixa de rejeição. 
53 
Figura 38 - Resposta em frequência da função h usando a janela de Blackman 
0 500 1000 1500 2000 2500 3000
0
2
4
6
8
10
x 10
-4 Transformada de Fourier
Frequência (Hz)
Am
pli
tud
e
 
Fonte: Elaborada pelos autores (2016) 
Enfim, a função de transferência do sistema está pronta e bastou efetuar a convolução no 
tempo discreto do áudio ruidoso com a função h para filtrar o áudio. O resultado da 
convolução entre os dois sinais no domínio do tempo discreto produziria o mesmo efeito que 
a multiplicação deles no domínio da frequência. 
3.3.2 Desempenho do filtro usando a janela de Blackman 
Ao final do código do filtro, disposto no Apêndice D, foram gerados diversos gráficos com o 
intuito de estudar o comportamento do filtro. 
A Figura 39 mostra a amplitude do sinal de áudio antes e depois da filtragem, foi observado 
que entre 6 e 8 segundos – período no qual apenas a sirene foi capturada na gravação – o sinal 
foi consideravelmente atenuado. 
54 
Figura 39 - Amplitude do sinal de áudio 
 
Fonte: Elaborada pelos autores (2016) 
Já na Figura 40 foi observado que as frequências da sirene, que possuem maior amplitude que 
todas as outras, não foi sequer notada após passar pelo filtro. Na Figura 41 foi aplicado um 
zoom na amplitude dos dois sinais com objetivo de visualizar melhor a amplitude das 
frequências da voz, no entanto, foi observado que mesmo após o zoom, as frequências da 
sirene não puderam ser notadas, porque possuem amplitude muito inferior à amplitude das 
frequências da voz. 
55 
Figura 40 - Comparação dos espectros de frequências do áudio original e após filtragem 
 
Fonte: Elaborada pelos autores (2016) 
Figura 41 - Comparação dos espectros de frequências do áudio original e após filtragem (com 
zoom) 
 
Fonte: Elaborada pelos autores (2016) 
56 
Na Figura 42 foram gerados alguns gráficos demonstrando algumas propriedades do filtro. 
Foi observado que os coeficientes da resposta do sistema ao impulso que estão próximos dos 
extremos convergiram para zero, graças à multiplicação da resposta ideal ao impulso pela 
janela de Blackman. Para a resposta em magnitude (dB), foi utilizada a função freqz_m(h, [1]) 
que recebe h como os coeficientes do numerador da função de transferência do filtro e 1 como 
coeficiente do denominador; a função está disponível na íntegra através do Anexo A (INGLE; 
PROAKIS, 2007, p. 261). 
Figura 42 - Propriedades do filtro FIR com janela de Blackman 
 
Fonte: Elaborada pelos autores (2016) 
A resposta em magnitude foi melhor apresentada na Figura 43, pois ficou mais visível os 
limites da faixa de passagem e da faixa de rejeição, bem como as suas magnitudes. 
57 
Figura 43 - Resposta em magnitude do filtro FIR com janela de Blackman 
 
Fonte: Elaborada pelos autores (2016) 
 
 
58 
4 CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS 
Todos os objetivos esperados com esse trabalho foram alcançados e através dos resultados 
obtidos foi possível comprovar que o software MATLAB é uma ferramenta eficaz para a 
realização de filtragem digitais de sinais. 
Também foi possível identificar o modo de operação e funcionamento de um Filtro Digital 
FIR e o uso de suas funções janelas e como seu comportamento interfere na filtragem em 
determinadas faixas de frequência. 
O projeto também serviu para demonstrar, através da filtragem de um sinal sonoro (sinal 
analógico), a maior simplicidade de se trabalhar com hardwares e softwares operando como 
Filtros Digitais, como a facilidade de programação e ajustes no processamento, ao invés de 
hardwares dedicados para a composição de Filtros Analógicos. 
Esse trabalho desenvolvido teve uma grande importância acadêmica pois através dele foi 
possível adquirir um maior conhecimento sobre o processamento de sinais que é de grande 
valia para sistemas elétricos devido a necessidade da fidelidade de informações transmitidas, 
outro benefício desse trabalho foi o conhecimento adquirido sobre a importância das 
transformas Z e de Fourier, além de poder aprofundar um pouco mais no software MATLAB. 
Uma sugestão para trabalhos futuros é a utilização de microcontroladores para operarem 
como filtros digitais, substituindo o processamento digital do sinal realizado por softwares de 
computadores para que o próprio componente realize esse processamento. 
 
59 
REFERÊNCIAS 
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<http://www.infowester.com/placadesom.php>. Acessado em: 26 Maio 2016. 
BARBOSA, Eli Renato. Filtros Digitais Reconfiguráveis. 2006. 65 p. Dissertação 
(Programa de Graduação em Engenharia de Computação) - Centro Universitário Positivo, 
Curitiba. 2006. 
CONTROLLER. Sub-Amostragem do sinal (Aliasing). Disponível em: 
<http://www.controllerbrasil.com.br/oscilosc%C3%B3pio-digital/sub-amostragem-do-sinal-
aliasing-dp1>. Acessado em: 14 Maio 2016. 
DINIZ, P.; SILVA, E.; NETTO, S. Processamento Digital de Sinais: Projeto e Análise de 
Sistemas. Tradução de Luiz Wagner Pereira Biscainho. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014. 
585 p. 
FACCAMP. Filtros de Sinais. Disponível em: 
<http://www.faccamp.br/apoio/JoseCarlosVotorino/princ_com/AulassobreFiltrosdesinais.pdf
>. Acessado em: 03 Jun. 2016. 
HAYKIN, S. S.; VEEN, B. V. Sinais e Sistemas. Tradução de José Carlos Barbosa dos 
Santos. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2001. 668 p. 
INGLE, Vinay K.; PROAKIS, John G. Digital Signal Processing Using MATLAB. 2.ed. 
Pacific Grove: Brooks/Cole, 2007. 605 p. 
INSTITUTO NEWTON C. BRAGA. Indutores, Capacitores e Filtros (EL001). Disponível 
em: <http://www.newtoncbraga.com.br/index.php/144-eletrotecnica-e-
eletricidade/eletricidade-industrial-eletrotecnica/1814-indutores-capacitores-e-filtros-el001>. 
Acessado em: 02 Fev. 2016. 
MATHWORKS. The Sinc Function. Disponível em: 
<http://www.mathworks.com/help/signal/gs/the-sinc-function.html>. Acessado em: 21 Jun. 
2016. 
MICROCHIP. Implementing FIR and IIR Digital Filters Using PIC18 Microcontrollers.Disponível em: <http://ww1.microchip.com/downloads/en/AppNotes/00852a.pdf>. Acessado 
em: 02 Fev. 2016. 
NATIONAL INSTRUMENTS. Porque Eu Deveria Usar Filtros Anti-Aliasing?. 2012. 
Disponível em: 
<http://digital.ni.com/public.nsf/allkb/CA53ABE9845FFFA986257A250050A6E0>. 
Acessado em: 26 Maio 2016. 
OLIVEIRA, Hélio Magalhães de. Engenharia de Telecomunicações. 1. ed. Recife: HM, 
2012. 673 p. 
ONUKI, Délio Miyoshi. Sistema de Análise em Frequência de Filtros Analógicos. 2005. 
72 p. Dissertação (Programa de Graduação em Engenharia de Computação) - Centro 
Universitário Positivo, Curitiba. 2005. 
60 
OPPENHEIM, A. V.; WILLSKY, A. S. Sinais e Sistemas. Tradução de Daniel Vieira e 
Rogério Bettoni. 2. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010. 560 p. 
ROBERTS, Stephen. Signal Processing & Filter Design. 2003. Disponível em: 
<http://www.robots.ox.ac.uk/~sjrob/Teaching/SP/l6.pdf>. Acessado em: 21 Maio 2016. 
RUCH, Conrado Jr. Implementação de Filtros Adaptativos em FPGA. 2006. 64 p. 
Dissertação (Programa de Pós-Graduação em Informática) - Universidade Católica de Pelotas, 
Pelotas. 2006. 
SABER ELETRICA. Uma Análise Filtros Passivos. Disponível em: 
<http://www.sabereletrica.com.br/resposta-em-frequencia-filtros-passivos>. Acessado em: 20 
Abr. 2016. 
TELECO. Filtro Digital: Conceitos e Projeto. Disponível em: 
<http://www.teleco.com.br/tutoriais/tutorialfiltrodig/pagina_3.asp>. Acessado em: 20 Abr. 
2016. 
VALEIRA, Gustavo de Melo. Modelagem e Simulação de Instrumentos Musicais 
Utilizando Filtros Digitais. 2007. 88 p. Dissertação (Programa de Graduação em Engenharia 
Elétrica) - Universidade Presbiteriana Mackenzie, São Paulo. 2007. 
VIAGEM AO MUNDO DA AUDIÇÃO. O que é um som?. 2013. Disponível em: 
<http://www.cochlea.org/po/som>. Acessado em: 26 Maio 2016. 
Wiki IFSC. PSD29007-Engtelecom(2015-1) - Prof. Marcos Moecke. Disponível em: 
<http://wiki.sj.ifsc.edu.br/wiki/index.php/PSD29007-Engtelecom(2015-1)_-
_Prof._Marcos_Moecke>. Acessado em: 15 Maio 2016. 
 
61 
APÊNDICE A – Função para gravar áudio 
function gravarAudio(fs, bits, tempo, arquivo) 
% Função para gravar audio em arquivo WAVE e salvar no HD 
% ------------------------------------ 
% gravarAudio(fs, bits, tempo, arquivo) 
% fs = Frequência de amostragem (recomendado 44100) 
% bits = Conversão A/D da placa de áudio (recomendado 16) 
% tempo = Tempo em segundos de gravação 
% arquivo = Nome do arquivo para salvar o audio gravado 
% 
gravador = audiorecorder(fs, bits, 1); 
 
% Realiza a gravação do áudio pelo tempo especificado 
disp('A gravação começou.') 
recordblocking(gravador, tempo); 
disp('Fim de gravação.'); 
 
% Reproduz a gravação 
play(gravador); 
 
% Obtém as amostras da gravação em um vetor Y 
Y = getaudiodata(gravador); 
 
% Plota a forma de onda do áudio 
plot(Y); 
 
% Salva no disco rígido o áudio gravado 
wavwrite(Y, fs, bits, arquivo); 
end 
62 
APÊNDICE B – Função da Transformada Rápida de Fourier 
function [Y, freq] = fftf(y, Fs); 
% Função da transformada de Fourier de um sinal 
% ------------------------------------ 
% [Y, freq] = fftf(y, Fs) 
% Y = Módulo do sinal no domínio da frequência 
% freq = Vetor de frequências 
% y = sinal de entrada 
% Fs = Frequência de amostragem do sinal de entrada 
% 
 
N = length(y); % Tamanho do vetor y 
k = [0:N-1]; 
T = N/Fs; 
freq = k/T; 
Y = fftn(y)/N; % Transformada de Fourier normalizada 
cutOff = ceil(N/2); % Frequência de corte para a transformada de Fourier 
Y = Y(1:cutOff); 
freq = freq(1:cutOff); 
end 
 
63 
APÊNDICE C – Função para gerar os coeficientes do filtro ideal 
function hd = pb_ideal(wc, M); 
% Cálculos filtro passa-baixa ideal 
%---------------------------------- 
% [hd] = pb_ideal(wc, M) 
% hd = resposta ideal ao impulso entre 0 a M-1 
% wc = frequência de corte normalizada em unidades de pi radianos 
% M = comprimento do filtro ideal 
% 
alpha = (M-1)/2; 
n = [0:1:(M-1)]; 
m = n - alpha; 
fc = wc/pi; 
hd = fc*sinc(fc*m); 
end 
 
64 
APÊNDICE D – Algoritmo do Filtro FIR 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 
% FILTRO PARA FILTRAGEM DE SINAL DE ÁUDIO, ELIMINANDO RUÍDOS DE ALTA % 
% FREQUÊNCIA. % 
% Autor: Igor Oliveira Souza % 
% Autor: Matheus Henrique Macieira % 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 
clc; 
close all; 
clear all; 
% Especificações do filtro FIR % 
% ================ % 
% Os parâmetros abaixo devem ser ajustados conforme a necessidade do 
% usuário 
% ================ % 
 
% Maior componente de frequência do sinal a ser filtrado [para sinais 
% capturados pela placa de som, será a frequência de amostragem dividida 
% por 2 (Fs/2)] 
fmax = 22050; 
% Frequência da faixa de passagem em Hertz 
fp = 2000; 
% Frequência da faixa de rejeição em Hertz 
fs = 2250; 
 
% ================ % 
% Os códigos abaixo devem ser executados pelo processador e não devem ser 
% configurados pelo usuário 
% ================ % 
% Frequência de passagem normalizada em unidades de pi % 
wp = pi*(fp/fmax); 
% Frequência de rejeição normalizada em unidades de pi % 
ws = pi*(fs/fmax); 
% Faixa de transição % 
tr = ws - wp; 
% Comprimento do filtro % 
M = ceil(11*pi/tr) + 1; % Comprimento para janela de Blackman com atenuação 
de 74dB 
% Frequência de corte % 
wc = (ws+wp)/2; 
% Resposta do filtro ideal ao impulso % 
hd = pb_ideal(wc, M); 
% Janela de Blackman % 
w_black = (blackman(M))'; 
% "Janelamento" % 
h = hd .* w_black; 
% Importação do arquivo de áudio gravado em disco % 
[Audio, Fs] = audioread('audioRuidoso.wav'); 
% Convolução entre o sinal de Audio e a Resposta ao Impulso do Sistema % 
Audio_filtrado = conv(Audio, h); 
% Cria um objeto para reproduzir o áudio % 
player_ruido = audioplayer(Audio, Fs); % Para o áudio ruidoso 
player_filtrado = audioplayer(Audio_filtrado, Fs); % Para o áudio filtrado 
 
% ============= 
% Gráficos 
% ============= 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 
65 
%% GERA O GRÁFICO COM O ESPECTRO DE FREQUÊNCIAS DO ÁUDIO FILTRADO E RUIDOSO 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 
fig = figure('Name','Espectro de frequências'); 
subplot(2,1,1,'Parent',fig,'Layer','top','FontSize',14,... 
 'FontName','Arial'); 
[FFTy, FFTx] = fftf(Audio, Fs); 
FFTy = abs(FFTy); 
plot(FFTx(1:30000), FFTy(1:30000)); title('Espectro de frequências do audio 
sem filtragem','FontSize',14,'FontName','Arial'); 
xlabel('Frequência (Hz)','FontSize',14,'FontName','Arial'); 
ylabel('Amplitude','FontSize',14,'FontName','Arial'); 
subplot(2,1,2,'Parent',fig,'Layer','top','FontSize',14,... 
 'FontName','Arial'); 
[FFTy, FFTx] = fftf(Audio_filtrado, Fs); 
FFTy = abs(FFTy); 
plot(FFTx(1:30000), FFTy(1:30000)); title('Espectro de frequências do audio 
filtrado','FontSize',14,'FontName','Arial'); 
xlabel('Frequência (Hz)','FontSize',14,'FontName','Arial'); 
ylabel('Amplitude','FontSize',14,'FontName','Arial'); 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 
%% GERA O GRÁFICO COM A AMPLITUDE DO ÁUDIO FILTRADO E RUIDOSO NO TEMPO 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 
fig = figure('Name','Audio no tempo'); 
N = length(Audio); 
t = linspace(0, N/Fs, N); 
subplot(2,1,1,'Parent',fig,'Layer','top','FontSize',14,... 
 'FontName','Arial'); 
plot(t, Audio); title('Audio sem 
filtragem','FontSize',14,'FontName','Arial'); 
ylim([-1.2 1.2]); 
xlabel('Tempo (s)','FontSize',14,'FontName','Arial'); 
ylabel('Amplitude','FontSize',14,'FontName','Arial') 
subplot(2,1,2,'Parent',fig,'Layer','top','FontSize',14,...